Series de Fourier

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Séries de Fourier
• Representação de funções em séries de Fourier
• Convergência das séries de Fourier
• Funções pares e ímpares
Representação em série de Fourier
� Séries de Fourier são somas infinitas envolvendo as duas
funções trigonométricas básicas (senos e cossenos). 
� Esta série é análoga a série de Taylor no sentido de que
podemos expressar uma grande classe de funções em termos
de somas infinitas de senos e cossenos.
� Do ponto de vista mais forma, a série de Fourier (assim como
a série de Taylor) constitui um conjunto completo de 
funções na qual podemos expressar qualquer função (desde
que a série em questão convirja). Assim, podemos dizer que a 
série de Fourier constitui uma base no espaço das funções.
� A série de Fourier é particularmente importante na descrição
de funções e fenômenos periódicos. Ela está presente também
no estudo de uma importante classe de equações diferenciais
parciais (EDP).
Representação de funções em séries de Fourier
� Começamos com a série sob a forma
� O conjunto de pontos onde esta série converge, define a 
função f cujo valor em cada ponto x é a soma da série para
aquele valor de x. 
� Neste caso a série é chamada de série de Fourier series de f. 
� Nosso principal objetivo é determinar quais funções podem
ser representadas por uma série de Fourier, e determinar o 
procedimento para o cálculo de seus coeficientes para uma
dada função específica.
∑∞
=


 ++
1
0 sincos
2 m
mm L
xmb
L
xm
a
a pipi
Funções periódicas
� Primeiramente estudaremos propriedades do sen(mpi x/L) e 
cos(mpi x/L), onde m é um inteiro positivo.
� A primeira propriedade diz respeito a sua periodicidade. 
� Uma função é periódica com período T > 0 se o domínio de f
contem x + T sempre que x está no domínio, e se 
f (x + T) = f(x) 
para todo x. Veja gráfico abaixo.
Periodicidade das funções seno e cosseno
� Para uma função periódica de período T, f (x + T) = f(x) para
todo x. 
� Note que 2T (ou qualquer múltiplo de T) também é um período.
� O menor valor de T no qual f é periódica é chamado de período
fundamental de f. 
� Se f e g são duas funções periódicas com período comum T, 
então fg e c1 f + c2g também são periódicas com período T. 
� Em particular, sen(mpi x/L) e cos(mpi x/L) são periódicas com 
período T = 2L/m.
Ortogonalidade
� O produto interno (u, v) entre duas funções reais u e v no 
intervalo α ≤ x ≤ β é definido por
� As funções u e v são ortogonais em α ≤ x ≤ β se seu produto
interno (u, v) é zero:
� Um conjunto de funções é mutualmente ortogonal se cada
par distinto de funções do conjunto é ortogonal.
∫= βα dxxvxuvu )()(),(
0)()(),( == ∫βα dxxvxuvu
Ortogonalidade de senos e cossenos
� As funções sen(mpi x/L) e cos(mpi x/L), m = 1, 2, …, formam
am um conjunto de funções mutualmente ortogonal em -L ≤ x
≤ L, com
� Estes resultados podem ser obtidos através de integração
direta.


=
≠=
=


=
≠=
∫
∫
∫
−
−
−
.,
,,0
sinsin
;, ,0sincos
;,
,,0
coscos
nmL
nm
dx
L
xn
L
xm
nmtododx
L
xm
L
xm
nmL
nm
dx
L
xn
L
xm
L
L
L
L
L
L
pipi
pipi
pipi
Determinando os coeficientes na expansão de Fourier 
� Supondo que f(x) seja dado pela série convergente abaixo:
� Os coeficientes an, n = 1, 2, …, podem ser determinados como
segue:
� Por ortogonalidade,
∑∞
=


 ++=
1
0 sincos
2
)(
m
mm L
xmb
L
xm
a
a
xf pipi
∫∑
∫∑∫∫
−
∞
=
−
∞
=
−−
+
+=
L
L
m
m
L
L
m
m
L
L
L
L
dx
L
xn
L
xmb
dx
L
xn
L
xm
adx
L
xnadx
L
xn
xf
pipi
pipipipi
cossin
coscoscos
2
cos)(
1
1
0
n
L
Ln
L
L
Ladx
L
xn
adx
L
xn
xf == ∫∫
−−
pipi 2coscos)(
Fórmulas para os coeficientes
� Assim, do slide anterior temos
� Para determinar a0 fazemos
� Portanto, os coeficientes an são dados por
� Similarmente, os coeficientes bn são dados por
0
11
0 sincos
2
)( Ladx
L
xmbdx
L
xm
adxadxxf L
L
m
m
L
L
m
m
L
L
L
L
=++= ∫∑∫∑∫∫ −
∞
=
−
∞
=
−−
pipi
K,2,1,0,cos)(1 == ∫
−
ndx
L
xn
xf
L
a
L
Ln
pi
K,2,1,cos)(1 == ∫
−
ndx
L
xn
xf
L
a
L
Ln
pi
K,2,1,sin)(1 == ∫
−
ndx
L
xn
xf
L
b
L
Ln
pi
As fórmulas de Euler-Fourier
� Assim, os coeficientes são dados pelas equações
conhecidas por formulas de Euler-Fourier.
� Note que estas fórmulas dependem somente dos valores de f(x) 
no intervalo -L ≤ x ≤ L. Uma vez que cada termo da série de 
Fourier
é periódica com período 2L, a série converge para todo x
quando ela convergir em -L ≤ x ≤ L, e f é determinado para
todo x através de seu valor calculado em -L ≤ x ≤ L.
,,2,1,sin)(1
,,2,1,0,cos)(1
K
K
==
==
∫
∫
−
−
ndx
L
xn
xf
L
b
ndx
L
xn
xf
L
a
L
Ln
L
Ln
pi
pi
∑∞
=


 ++=
1
0 sincos
2
)(
m
mm L
xmb
L
xm
a
a
xf pipi
Exemplo 1: onda triangular (1 de 3)
� Considere a função abaixo. 
� Esta função representa uma onda triangular com período T = 
4. Veja o gráfico de f abaixo. Neste caso, L = 2. 
� Assumindo que f possui uma representação em série de 
Fourier, determine os coeficientes am e bm.
)()4(,
20,
02,)( xfxf
xx
xx
xf =+

<≤
<≤−−=
Exemplo 1: Coeficientes (2 de 3)
� Primeiro, obtemos a0:
� Então para am, m = 1, 2, …, temos
onde usamos integração por partes. 
� Similarmente, pode-se mostrar que bm= 0, m = 1, 2, …
( ) 211
2
1
2
1 2
0
0
20
=+=+−= ∫∫
−
dxxdxxa
( )

−=+−= ∫∫
− par,0,
impar,)/(8
2
cos
2
1
2
cos
2
1 22
0
0
2 m
mmdxxmxdxxmxam
pipipi
Exemplo 1: expansão de Fourier (3 de 3)
� Assim bm= 0, m = 1, 2, …, e
� Então
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−−=
−=


 +++−=


 ++=
1
22
,...5,3,1
22
222
1
0
)12(
2/)12cos(81
)2/cos(81
2
5
cos
5
1
2
3
cos
3
1
2
cos
81
sincos
2
)(
n
m
m
mm
n
xn
m
xm
xxx
L
xmb
L
xm
a
a
xf
pi
pi
pi
pi
pipipi
pi
pipi
K

−==
par,0,
ímpar,)/(8
,2
2
0
m
mm
aa m
pi
Exemplo 2: função (1 de 3)
� Considere a função abaixo: 
� Esta função é periódica com período T = 6. Neste caso, L = 3. 
� Assumindo que f tem uma representação em série de Fourier, 
determinemos os coeficientes an e bn.
)()6(,
31,0
11,1
13,0
)( xfxf
x
x
x
xf =+



<<
<<−
−<<−
=
Example 2: Coefficients (2 de 3)
� Primeiro determinamos a0:
� Usando as fórmulas de Euler-Fourier, obtemos
3
2
3
1)(
3
1 1
1
3
30
=== ∫∫
−−
dxdxxfa
,,2,1,0
3
cos
1
3
sin
3
1
,,2,1,
3
sin2
3
sin1
3
cos
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
K
==−==
====
−
−
−
−
∫
∫
n
xn
n
dxxnb
n
n
n
xn
n
dxxna
n
n
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
Exemplo 2: expansão de Fourier (3 de 3)
� Assim, bn= 0, n = 1, 2, …, e
� Então


 +

−

−

+

−=
+=


 ++=
∑
∑
∞
=
∞
=
K
3
5
cos
5
1
3
4
cos
4
1
3
2
cos
2
1
3
cos
3
3
1
3
cos
3
sin2
3
1
sincos
2
)(
1
1
0
xxxx
xnn
n
L
xnb
L
xn
a
a
xf
n
n
nn
pipipipi
pi
pipi
pi
pipi
K,2,1,
3
sin2,
3
2
0 === n
n
n
aa n
pi
pi
Exemplo 3: onda triangular (1 de 5)
� Considere novamente a função do exemplo 1como plotado abaixo, e com a seguinte representação de 
Fourier
� Examinaremos agora a velocidade de convergência
determinando o número de termos necessários para que o erro
seja menor do que 0.01 para todo x.
),()4(,
20,
02,)( xfxf
xx
xx
xf =+

<≤
<≤−−=
∑∞
= −
−
−=
1
22 )12(
2/)12cos(81)(
n n
xn
xf pi
pi
Exemplo 3: somas parciais (2 de 5)
� A m-ésima soma parcial da série de Fourier é
e pode ser usada para aproximar a função f. 
� Os coeficientes diminuem por um fator de (2n -1)2, assim a 
série converge relativamente rápida. Este fato pode ser 
confirmado no gráfico abaixo que mostra s1, s2, e f.
,)12(
2/)12cos(81)(
1
22∑
= −
−
−=
m
n
m
n
xn
xs
pi
pi
Exemplo 3: erros (3 de 5)
� Para investigar a convergência de forma mais detalhada, 
consideraremos a função erro em(x) = f (x) - sm(x). 
� Abaixo apresentamos o gráfico de|e6(x)| com 0 ≤ x ≤ 2. 
� Note que os erros são maiores em x = 0 e x = 2, onde o gráfico
de f(x) tem pontas. 
� Gráficos similare são obtidos para outros valores de m.
Exemplo 3: cota máxima (4 de 5)
� Uma vez que o erro máximo ocorre em x = 0 ou x = 2, 
podemos obter uma cota máxima para cada m calculando
|em(x)| em um destes pontos.
� Por exemplo, e6(2) = 0.03370, assim |e6(x)| < 0.034 entre 
0 ≤ x ≤ 2, e consequentemente para todo x.
Exemplo 3: velocidade de convergência (5 de 5)
� A tabela abaixo mostra valores de |em(2)| para vários valores de 
m, e estes pontos são graficados a direita. 
� Partindo desta análise, pode-se começar a estimar o número de 
termos necessários para alcançar um certo nível de precisão.
� Assim, para termos |em(2)| ≤ 0.01, é necessário escolher m ¥ 21.
m e_m(2)
2 0.09937
4 0.05040
6 0.03370
10 0.02025
15 0.01350
20 0.01013
25 0.00810
Aplicação da série de Fourier
� Séries de Fourier possuem amplas aplicações em ciências e 
engenharias, e em geral são ferramentas valiosas na
investigação de fenômenos periódicos. 
� Por exemplo, um problema básico em análise espectral é
decompor um sinal de entrada em seus harmônicos, o que
consiste em construir sua representação em série de Fourier.
� Em alguns intervalos de frequência termos separados
correspondem a diferentes cores ou diferentes tipos de som
audíveis. 
� A magnitude dos coeficientes determina a amplitude de cada
componente.
O teorema de convergência de Fourier
� Nos slides anteriores mostramos que se a série de Fourier
converge e portanto define uma função f, então f é periódica
com período 2L, com coeficientes am e bm dados por
� Suponha que tomemos uma função periódica f de período 2L
que é integrável em [-L, L]. Calculamos am e bm usando as 
fórmulas acima e em seguida contruimos a série de Fourier 
associada. Pergunta: será que esta série converge para todo x, e 
se assim for, será que sua soma é de fato a função f(x)?
∑∞
=


 ++
1
0 sincos
2 m
mm L
xmb
L
xm
a
a pipi
dx
L
xm
xf
L
bdx
L
xm
xf
L
a
L
Lm
L
Lm ∫∫ −− == pipi sin)(1,cos)(1
Representação de funções em séries de Fourier
� Para garantir a convergência da série de Fourier para a função
na qual os coeficientes são calculados, é essencial considerar
condições adicionais a função. 
� De um ponto de vista prático, cada condição extra deve ser 
ampla o suficiente para cobrir todas as situações de interesse, e 
ainda assim simples o suficiente para que seja de fácil
verificação. 
� Para isso, é importanta entender o que é uma função
seccionalmente contínua. 
Funções seccionalmente contínuas
� A função f é seccionalmente continua em um intervalo [a, b] 
se este intervalo puder ser dividido por um número finito de 
pontos.
a = x0 < x1 < … < xn = b tal que
(1) f é contínua em cada intervalo (xk, xk+1) 
� A notação f(c+) denota que o limite de f(x) com x→ c é
tomado pela direita, e f(c-) denota o limite de f(x) com x→ c
vindo pela esquerda. Note que não é essencial que a função
seja definida nos pontos xk,.
nkxf
nkxf
k
k
xx
tx
,,1,)(lim)3(
1,,0,)(lim)2(
1
K
K
=∞<
−=∞<
−
+
+
→
→
Teorema 10.1
� Suponha que f e f ' são funções seccionalmente contínuas
no intervalo [-L, L). 
� Suponha também que f é definida fora de [-L, L), assim ela
é periódica com período 2L.
� A função f tem a seguinte série de Fourier,
onde
� A série de Fourier acima converge para todo f(x) em todos
os pontos x onde f é contínua, e para [f (x+) + f (x-)]/2 para
todos os pontos x onde f é descontinua.
∑∞
=


 ++=
1
0 sincos
2
)(
m
mm L
xmb
L
xm
a
a
xf pipi
dx
L
xm
xf
L
bdx
L
xm
xf
L
a
L
Lm
L
Lm ∫∫ −− == pipi sin)(1,cos)(1
Discussão do teorema 10.1
� Note que a série de Fourier converge para o ponto médio entre 
f (x+) e f (x-) nas vizinhanças de f. 
� As condições dadas por este teorema são suficientes para a 
convergência da série, porém não são necessárias. 
� Os principais tipos de funções que estão excluídos por este
teorema são aquelas que apresentam descontinuidades infinitas
em [-L, L), como a função 1/x2.
� Uma série de Fourier pode convergir para uma função que não
é diferenciavel ou contínua, e ainda assim cada termo da série
permanecer contínua e infinitamente diferenciável. 
� O próximo exemplo ilustra justamente este ponto.
Exemplo 4: onda quadrada (1 de 8)
� Considere a função abaixo:
� Deixaremos temporariamente em aberto a definição de f em
x = 0 e em x = ±L, exceto que consideraremos estes pontos
finitos. 
� Esta função é representada pela onda quadrada, e é periódica
com período T = 2L. Veja gráfico abaixo:
)()2(,
0,
0,0)( xfLxf
LxL
xL
xf =+

<<
<<−=
Exemplo 4: onda quadrada (2 de 8)
� Copiando do slide anterior a função f, 
� O intervalo [-L, L) pode ser dividido em dois sub-intervalos
abertos (-L, 0) e (0, L).
� Em (0, L), f(x) = L e f '(x) = 0. Assim, f e f ' são contínua e tem 
limites finitos quando x→ 0 pela direita e x → L pela esquerda. 
� Similarmente para (-L, 0). Assim, f e f' são funções
seccionalmente contínuas em [-L, L), e portanto podemos
aplicar o teorema 10.1.
)()2(,
0,
0,0)( xfLxf
LxL
xL
xf =+

<<
<<−=
Exemplo 4: coeficientes (3 de 8)
� Primeiro, determinamos a0:
� Então para am, m = 1, 2, …, temos
� Similarmente, para bm= 0, m = 1, 2, …,
LdxL
L
dxxf
L
a
LL
L
=== ∫∫
− 00
1)(1
0,0sincos1
0
0
≠=== ∫ mL xmmLdxL xmLLa
L
L
m
pi
pi
pi

=== ∫ par,0, ímpar,/2cossin1 00 m
mmL
L
xm
m
Ldx
L
xmL
L
b
L
L
m
pipi
pi
pi
Exemplo 4: expanção de Fourier (4 de 8)
� Assim, am= 0, m = 1, 2, …, e
� Então
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−+=
+=


 ++++=


 ++=
1
,...5,3,1
1
0
12
/)12sin(2
2
)/sin(2
2
5
sin
5
13
sin
3
1
sin2
2
sincos
2
)(
n
m
m
mm
n
LxnLL
m
LxmLL
L
x
L
x
L
xLL
L
xmb
L
xm
a
a
xf
pi
pi
pi
pi
pipipi
pi
pipi
K

==
par,0,
ímpar,/2
,0
m
mmL
bLa m
pi
Exemplo 4: teorema 10.1 (5 de 8)
� Assim,
� Agora, f é contínua em (-nL, 0) e em (0, nL). Portanto, pelo
teorema 10.1, a série de Fourier converge para f(x) neste
intervalo. 
� Nos pontos x = 0, ±nL onde f é descontínua, a soma é
L/2 = [f (x+) + f (x-)]/2. 
� Portanto, podemos definir f(x) como sendo L/2 nestes pontos
de descontinuidade, para que a série convirja para f também
nestes pontos.
∑∞
= −
−
+=
1 12
/)12sin(2
2
)(
n n
LxnLL
xf pi
pi
Exemplo 4: Fenômeno de Gibbs (6 de 8)
� Considere a soma parcial
� O gráfico de s8(x) e f são dados abaixo paraL = 1. 
� A soma parcial parece convergir para f nos pontos contínuos e 
tende a produzir mudanças abrúptas próximo das 
descontinuidade. 
� Este comportamento, típico das séries de Fourier próximos da
descontinuidades, e conhecido como fenômeno de Gibbs.
∑
= −
−
+=
n
k
n k
LxkLL
xs
1 12
/)12sin(2
2
)( pi
pi
Exemplo 4: erros (7 de 8)
� Para investigar a convergência em maior detalhe, 
consideraremos a função erro en(x) = f (x) - sn(x). 
� Abaixo apresentamos o gráfico de |e8(x)| e L = 1. O maior
valor de |e8(x)| é 0.5, atingido quando x → 0 e x→ 1. 
� Conforme n aumenta, o erro decresce no intervalo (0, 1), onde
f é contínua, porém esta diminuição não é acompanhada
uniformemente nos extremos onde temos a descontinuidade.
� Assim, não é possível reduzir uni-
formemente o erro pelo aumento
do número de termos.
Exemplo 4: velocidade de convergência (8 de 8)
� Note que nesta série de Fourier,
os coeficientes são proporcionais 1/(2n-1). 
� Assim, esta série converge mais devagar do que aquelas dos 
exemplos 1 e 3, cujo os coeficientes são proporcionais a 
1/(2n -1)2.
∑∞
= −
−
+=
1 12
/)12sin(2
2
)(
n n
LxnLL
xf pi
pi
Função par e ímpar
� Depois de termos feito alguns exemplos envolvendo séries de 
Fourier é interessante distinguir duas classes de funções para o 
qual as fórmulas de Euler-Fourier podem ser simplificadas. 
� Estas duas classes são as funções pares e ímpares, 
caracterizadas geometricamente pelas propriedades de simetria
com respeito ao eixo-y e a origem respectivamente.
dx
L
xn
xf
L
b
dx
L
xn
xf
L
a
L
Ln
L
Ln
∫
∫
−
−
=
=
pi
pi
sin)(1
cos)(1
Definição de funções pares e ímpares
� Analiticamente, f é uma função par se o seu domínio contém
o ponto –x para todo x do seu domínio, e se f (-x) = f (x) para
cada x do domínio de f. Veja figura (a) abaixo.
� A função f é uma função ímpar se o seu domínio contém o 
ponto –x para todo x do seu domínio, e se f (-x) =- f (x) para
cada x do domínio de f. Veja figura (b) abaixo.
� Note que f (0) = 0 para funções ímpares. 
� Exemplos de funções pares
são 1, x2, cos x, |x|. 
� Exemplos de funções ímpares
são x, x3, sin x.
Propriedades aritméticas
� As funções pares e ímpares respeitam as seguintes
propriedades: 
� A soma (diferença) de duas funções pares é par.
� O produto (quociênte) de duas funções pares é par.
� A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpares. 
� O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
� Essas propriedades podem ser verificadas diretamente
das definições. 
Propriedades das integrais
� Se f é uma função par, então
� Se f é uma função ímpar, então
� Estas propriedades podem ser verificadas diretamente das 
definições:
dxxfdxxf LL
L ∫∫ =− 0 )(2)(
0)( =∫
−
dxxfL
L
Série de cossenos
� Suponha que f e f ' são seccionalmente contínuas em [-L, L) e 
que f é uma função par periódica com período 2L.
� Então f(x) cos(npi x/L) é par e f(x) sen(npi x/L) é ímpar. Assim,
� Segue que a série de Fourier de f é
� Portanto, a série de Fourier de uma função par consiste
somente de cossenos (e o termo constante), e é chamada de 
série de Fourier em cosseno.
∑∞
=
+=
1
0 cos
2
)(
n
n L
xn
a
a
xf pi
K
K
,2,1,0
,2,1,0,cos)(2
0
==
== ∫
nb
ndx
L
xn
xf
L
a
n
L
n
pi
Série de senos
� Suponha que f e f ' são seccionalmente contínuas em [-L, L) e 
que f é uma função ímpar periódica com período 2L.
� Então f(x) cos(npi x/L) é ímpar e f(x) sen(npi x/L) é par. 
Assim, 
� Segue que a série de Fourier de f é
� Portanto, a série de Fourier de uma função ímpar consiste
somente de senos, e é chamada de série de Fourier em senos.
∑∞
=
=
1
sin)(
n
n L
xnbxf pi
K
K
,2,1,sin)(2
,2,1,0,0
0
==
==
∫ ndxL xnxfLb
na
L
n
n
pi
Exemplo 5: onda dente de serra (1 de 3)
� Considere a função abaixo. 
� Esta função representa uma onda dente de serra, e é periódica
com período T = 2L. Veja o gráfico de f abaixo. 
� Vamos determinar a representação em série de Fourier desta
função.
)()2(,
,0
,)( xfLxf
Lx
LxLx
xf =+

±=
<<−=
Exemplo 5: coeficientes (2 de 3)
� Uma vez que f é uma função ímpar periódica com período 2L, 
temos
� Segue que a série de Fourier de f é
( )∑∞
=
+
−
=
1
1
sin12)(
n
n
L
xn
n
L
xf pi
pi
( ) K
K
,2,1,12
cossin2sin2
,2,1,0,0
1
0
2
0
=−=


 −

==
==
+
∫
n
n
L
L
xn
L
xn
L
xn
n
L
L
dx
L
xn
x
L
b
na
n
L
L
n
n
pi
pipipi
pi
pi
Exemplo 5: gráfico de somas parciais (3 de 3)
� Os gráficos das somas parciais s9(x) e f são dados abaixo. 
� Observe que f é descontínua em x = ±(2n +1)L, e estes pontos
da série convergem para a média dos limites laterais (teorema
10.1), que é zero.
� O fenômeno de Gibbs ocorre novamente perto da
descontinuidade.