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1 Alguns teoremas envolvendo as propriedades algébricas (1) Se 𝒛, 𝒂 ∈ ℝ tais que 𝒛 + 𝒂 = 𝒂 então 𝒛 = 𝟎 . (2) Se 𝒘, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒃 ≠ 𝟎 tais que 𝒘 ∙ 𝒃 = 𝒃 então 𝒘 = 𝟏 (3) Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ e 𝒂 + 𝒃 = 𝟎 então 𝒃 = −𝒂 2 (4) Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎 e 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟏 então 𝒃 = 𝟏 𝒂 (5) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. Então a equação 𝒂 + 𝒙 = 𝒃 tem a solução única 𝒙 = (−𝒂) + 𝒃 (6) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. Então a equação 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃 tem a solução única 𝒙 = ( 𝟏 𝒂 ) ∙ 𝒃 3 (7) Seja um elemento arbitrário 𝒂 ∈ ℝ, então 𝒂 ∙ 𝟎 = 𝟎 (8) Seja um elemento arbitrário 𝒂 ∈ ℝ, então (−𝒂) = (−𝟏) ∙ 𝒂 4 (9) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então −(𝒂 + 𝒃) = (−𝒂) + (−𝒃) (10) Seja um elemento arbitrário 𝒂 ∈ ℝ, então −(−𝒂) = 𝒂 (11) 1)1()1( (12) Se 𝒂 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎 , então 𝟏 𝒂 ≠ 𝟎 e 𝟏 (𝟏 𝒂⁄ ) = 𝒂 5 (13) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então (−𝒂) ∙ (−𝒃) = 𝒂 ∙ 𝒃 (14) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então a.(-b)=-(a.b) (15) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então (-a).b=-(a.b) 6 Utilizaremos a Notação: baab aaa 2 aaa )( 23 Definição: Se 𝒏 ∈ ℕ, definimos 𝒂𝒏+𝟏 = (𝒂𝒏)𝒂 Resultado: Por indução, concluímos que se 𝒎, 𝒏 ∈ ℕ então 𝒂𝒎+𝒏 = 𝒂𝒎𝒂𝒏 Notação: Escreveremos Para denotar ab (-a)+b=b+(-a) a b ) 1 () 1 ( a bb a )0( a 1a a 1 )0( a na na 1 )0( a
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