problemas de OTIMIZACAO

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Nas aplicac;6es, uma quantid~defisica ou geom~trica costuma
ser descrita por meio de alguma f6rmula Q ~ f(x), na qual f e
uma func;ao. Assim, Q pode ser a temperatura de uma substancia
no instante x, a corrente em urn circuito eletrico quando a
resistencia ex, ou 0 volume de gas em urn balao esferico de,raio
x. Naturalmente, usamos tambem outros simbolos para variaveis '
tais como T para temperatura, t para tempo, I para corrente, R
, para resistencia, V para volume e r para raio. Se Q = f(x) e'f t
diferenciavel, entao a derivada DJ2 = f(x)pode ser util na
pesquisa de maximos e minimos de Q. 'Em aplicac;6es, esses
valores extremos saD as vezes chamados valores 6timos, porque
sao, em certo sentido, os melhores ou mais favoraveis valores
da quantidade Q. A tarefa de determinar esses valores constitui
urn problema de otimizac;ao.
Se urn problema de otimizac;ao e enuDciado em palavras,
entao e necessario converter 0 enunciado em uma f6mlUla
adequada como Q = f(x), a fim de acharmos os Dumeros criticos.
Na maioria dos casos existe apenas urn numero critico c. Se,
al6m dissO, f e continua em urn intervalo fechado [a, b) con tendo
c, enlao, pelas Diretrizes (4.9), os extremos de fsao 0 maior e
o mt;j1or dos valores f(a), f(b) e f(c). Por isso e, em geral,
desnecessario aplicar 0 teste da derivada. Entretanto, se for facil
caJcular r(x), aplicamos 0 teste da derivada segunda para
verificar urn extremo, conforme ilustrado no exemplo a seguir.
De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura
deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente
a folha. Quantos centimetros devem ser dobrados de cada lado
de modo que a calha tenha capacidade maxima?
A calha esta i1ustrada na Figura 4.45, onde x denota 0 numero
de centimetros a ser dobrado de cada lado. A largura da'base da
calha e 30 - 2x cm. A capacidade da calha sera maxima quando
a area do retangulo de lados x e 30 - 2x for maxima. Denotando
esta area por f(x), temos
Como 0 ~ 2x ~ 30, 0 dominio de f e 0 s x s 15. Se x = 0
ou x = 15, nao se forma nenhuma calha (a area do retangulo seria
f(O) = 0 = f(15».
de onde 0 unico numero crilico ex = 7,5 .. Como
f"{x)";-4 <0, f(7,5) e' maximo local para f. Segue-se que
devem ser dobiados 7,5 cm de cada lado para obtermos a
capacidade ma~ima:',
., "\,', '"J i , .
Como 0 numero de tipos de problemas de otimizac;ao e
, ilimitado, (diffcil esta!Jelecer regras especificas para obter as
respectivas soluc;6es. Todavia, podemos desenvolver uma estra-
tegia geral para abordar' tais problemas. Poderao ser uteis as
seguintes 'diretrizes .. Ao emprega-Ias, 0 leitor nao deve se
desencorajar se naoconseguir resolver rapidamente urn determi-
nado problema. Em geral e necessario multo esforc;o e pratica
para uma pessoa se tomar proficiente na resoluc;ao de problemas
de otirnizac;ao. Continue tentando!
Diretrizes para a resolufiio
de problemas de otimizafiio
(4.20)
EXEMPLO 2 •
D .. d /eve-se construu uma calxa e base retangular, com uma folha
de cartolina de 40 cm de largura e ~2 cm de comprimento,
retirando-se urn quadrado de cada canto da carlolina e dobran-
do-se perpendicularmente os lados result antes. Determine 0
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa
de volume maximo. (Desprezar a espessura da cartolina.)
Diretriz 2 Fazer urn esbo<;o da caixa como na Figura 4.46(i),
introduzindo uma varia vel x para denotar 0 lado do quadrado a
ser cortado de cad a canto.
J
.~ " x
~ "'f52-Z.< >
~ •.•••. ~.AO - Z.<
III'" .-' ','.'"II
_ -!' 0 t, '.:~ ~.
} :' T~.,,::"
.' ; ~. . '.~..,'
g' :' ' ;.:.
Diretriz 3 Dobrando-se a cartolina ao longo das linhas Ira-
cejadas no esbil<;oda Figura 4.46(ii), a base da caixa obtida lera
dimensoes 52 - lxe' 40 - lx.
Diretriz 4· '. A quantidade a ser maximizada e ovolume V da caixa
Corn base ria F~.~.46 (ii), expressamos V oomo fim<;30de x:
V=x(40-.lx)(52- lx) = 4(520x-46r +x3)
;: '. "," .~.:-i
Como 0 s lx s 40,0 domfnio de x eO sx s 20.
~:J;~. :"y; -:-'.'''. .;.
. Diretriz 5 '.1, Para achar os niimeros critiCos da fun<;ao, dife-
renciamosVem rela<;ao ax.
Fazendo Dx V = 0, obtemos as rafzes (aproximadas) 23,19
e 7,47, que san possiveis numeros criticos. Como 23,19 est a fora
do domfnio de x, 0 unico niimero critico e 7,47.
Diretriz 6 Como V e continua em [0,20] utilizaremos as
Diretrizes (4.9) para determinar os extremos. Os pontos x = ° e
X ~ 20 do dominio dao 0 valor minimo V = O. Para 0 numero
crftico x ~ 7,47, obtemos V = 15,537 cm', que e urn valor
maximo. Consequentemente, deve-se cortar um quadrado de
7,47 cm de lado, de cada canto da folha de cartolina, para
maximizar 0 volume da caixa.
Nos exemplos restanles, nem sempre explicitaremos as
diretrizes utilizadas. 0 leilor deve ser capaz de identifica-Ias,
estudando as solu<;6es.
Urn recipiente cilfndrico, aberto em cima, deve teI a capacidade
de 375 n cm3.0 custo do material usado para a base do recipiente
e de 15 centavos por cm2 e 0 custo do material usado para a
parte curva e de 5 centavos por cm2• Se nao hi[ perda de material,
determine as dimens6es que minimizem 0 custo do material.
Come<;amos fazendo urn esbo<;o do recipiente (Figura 4.47),
denotando por r 0 raio da base e por h a altura (ambos em
centimetros).A quantidade a minimizar e 0 custo C do material.
Como os custos, por centfmetro quadrado, da base e da parte
curva san 15 centavos e 5 centavos, respectivamente, temos, em
termos de cruzeiros,
C = 15(nr) + 5(inrh)
C = 5n(3r + 2rh)
Podemos expressar C como fun<;ao de uma variavel, r,
escrevendo h em term os de r. Como 0 volume do recipiente e
375 n cm3, vemos que
nrll = 375n ou II = 375r
Sub~tituindo h por 375/~ na ultima forma de C, tern os
C = 5n(3r + 2r . 3~5).= 5n (3r + 7~0)
o domfnio de C e (0, co).
.- : Para a~'oo ri6rriei1)s'6ltioos, diferenciamos C em rela<;3oa r:~ '.': .
(
. 750) (125) (r3 - 125)D,c~5n 6r-7 =3On r-7 =3On -,2-
I:-..r- : :
•...•-4->-!
-..
I r I I
•..•- •.• I
~-4~
Como D,C =0 sc r ='5, vemos que 5 e 0 unieo numero eritieo.
E eoino D,C' <::'0se r <5 e D,C > 0 se r >5, segue-se do teste da
d'ciivada primeiraqhe'C tern seu minimo quando 0 raio do
eilin~ro e de 5 em. 0 valor eorrespondente da altura (obtido de
h= 7) e ¥t...;' 15 cin:._
..~
Determine 0 volume maximo de urn eilindro circular reto que •.
pode ser inserito em urn cone de 12 em de altura e 4 em de raio
da base, se os eixos do eilindro e do cone eoineidem.
A Figura 4.48 da urn esbo<;o do problema, onde (ii) e uma se<;ao
transversa segundo 0 eixo comum. A qualltidade a ser maximi.
zada If a volume V do cililldro. Da geometria,
Exprimimos em seguida V em termos de uma variavel,
estabeleeendo urna rela<;ao entre r e h. Considerando a Figura
4.48(ii) e usando a semelhan<;a de triangulos, vemos que
Se r = 0 OUr = 4, vemos que V = 0; logo, 0 maximo nao e
urn extremo correspondente as eXlremidades. Basta, porlanlo,
pesquisar maximos locais. Como V = 31t( 4,-2- ,3),
2
(
8) 256Jt 3
V=Jt "3 (4)=-9-~89,4em,
que, pclas Diretrizes (4.9), e urn maximo para 0 volume do
cilindro inscrilo.
Vma rodovia Norte-SuI intereepta outra rodovia Lesle-Oeste em
;um ponlo P. Urn aUlorn6vel passa por P as lOh, dirigiJido-se
parao leste a 20 kmlh. No mesmo instante, outro autom6vel esla
a 2 km ao norte de P e sc dirige para 0 suI a 50 krnlh. Deteqnine
o inst.ante em' que os autom6veis eslao mais pr6ximos UDl do
outro, e aproxime a distancia ~inima entre eles. '
• I, : ,1,
A Figura' 4.49 ihistra 'as posi<;6es tipicas dos dois a~iom6v~is.
Se t denota '0 numero; de horas ap6s 10h, entao 0 veiculo mais
lento 'esla a 20t kID a leste de P. 0 veieulo mais rapido est a a
SOt km ao Su'l de suap'osi<;ao as lOh e, assim, sua distancia de
P e 2 - SOt. Pelo teorema de PiHigoras, a disti\ncia d entre os
autom6veis e
d = '~/(2- SOt? + (20t?
.= ";4 - 200t + 2.5002 + 4002
= ';4 - 200t + 2.900t'
Queremosachar () inst~nte t em que d tern seu mellor valor. Isto
ocorrera quando 0 radicando for minimo, porque d aumenta se
e somente se 4 - 200t + 2.900f! aumenta. Assim, podemos,
simplificar nosso trabalho fazendo
200 1
t = 5.800 = 29
Alem disso, j"(I) = 5.800, de modo que a derivada segunda e
sempre positiva. Portalito, f tern minimo local em t =~, e
f(~) =~. Como 0 dominio de t e [0, (0) e como f(O) =4, nao ha
maximo nem'minimo nas extremidades. Conseqtientemente, os
aut~m6veis estarao mais pr6ximos urn do outro a f,; horas (ou
aproximadamente 2,07 minutos) ap6s lOh. A distancia minima e
';f(f.) =V[ - 0,74 km
", .~,'.:.", ,-;-.
:~:.:~;..',
.;,,';
Vma pessoa se acha em urn bote a 2 km de distancia do ponto
mais pr6ximo em uma praia retiHnea, e deseja atingir uma casa
a 6 km praia abaixo. Se a pessoa pode remar 11 razao de 3 krn/h
e andar a razao de 5 krii/h, determine 0 tempo minimo que lev ani
," para atingir a casa. '
A Figura 4.50 ihi'sfra o'problema: A denota a posi.;ao do bote,
)
" B 0 ponto ,mais pr6ximo na praia, C a casa, D 0 ponto em que
, ',0 bote ati,rige a praia'e x a distancia entre BeD. Pelo teorema
. de Pitagoras, a distancia entre A e D e Y.?+4, onde 0 :sX :s 6.
Aplica~doa f6rmula. '
t distancia
empo = t;;;;-
distancia de A a D
Tempo para remar de A a D = d
tempo e remagem
distiincia de D a C 6-x
, , , , ' . :I:t:mpo para andar de 1)3 C = . - --
".>c •••••• , ,.".('", ,I" •. " ,', tempo de camillhada 5,
, .;j ,.JL:-l.<'_.i~jr.-~ :l \A·;:;·, ;; ;..::',:-;'.:;..
; <:).ogo,otempo t()taIJ,do percurso e
,:i,V' ,;;;':,ii'1, ',' T R+4 6-x'
=--3-'+ -5-'
, L:,; 01l_eq~iv!l'7~~el1le~~e,c', .. T =1(XI + 4)° + ~- ¥.
,;..,.... " : .' Desejamas achar a valar minima de T. Note que x = 0
cOrresponde 11 situa.;ao extrema em que a pessoa rem a direta- ,
mente' a B, em seguida faz, por terra, 0 percurso de B a C. Se
x = 6, entao a pessoa rema diretamente de A a C. Estes nillneros
'li ;=. pod em seT eonsiderados como pontos extremos do dominio de
'L;?( f. Se x"; 0, entao, pel a formula de T,
.' ; .•.. ';' ~- -I., . . . .. ' _.
. ::' que:e Iho.~~:e52 m.i?,utos. Se x = 6, entao
.• ",: ..:, :'. ".' ...• ~b.. ,_,"Ill''', ;: _.. ,.-:1:.'.:,
;,,;i~'i.r:,. ';1 =~U __?~F9xim~~amente 2 horns e 7 minutos;
.. _.__ _._.. __ ~~~~~:~cian..9? ~..f~~ufa geral de T, vemos que
DTc-_x __ 1
x 3(x2 + 4)112 5'
Para determinar os numeros criticos, fazemos DJ =0,0que nos
da as seguintes equaltoes:
x 1
3(XI+ 4)1l2 5
5x = 3(XI + 4)112
25.\J = 9(x2 + 4)
Assim, ~ e 0 unieo numero critico. D tempo T correspondente a
x =~ e
2
ou seja, 1 hora e 44 minutos.
Ja vimos que os val ores de T nos extremos do dominio sao
1 hora e 52 minutos e aproximadamente 2 horas e 7 minutos,
respectivamente. Logo, 0 tempo minimo de 1hora e 44 minutos
oeorre em x =~. Portanto, 0 barco deve aportar em D, l~
quilOmetros de B, a fim de minimizar T. Para urn problema
analogo, em que ocorre tempo minimo nas extremidades do
dominio, veja 0 Exercicio 6.
Corta-se urn pedalto de arame de 1,50 rn de eomprimento em
duas partes. Com uma das partes forma-se urn circulo, e com a
outra, urn triangulo equilatero. Dnde deve ser cortado 0 arame
de modo que a soma das areas do circulo e do triiingulo seja
minima? maxima?
.G'Y::6.: ',.":~n~~~:Opor x 0 comprimento de urn dos pedaltos do arame,o cornprimento do outro peda~o sera 1,50 -x. Formemos 0
s. circulo' de ~aio',- com 0' pedaltQ de comprimento x; entao,
2J1:r= x, OU r = x/(2J1:) (veja a Figura 4.51). Se com 0 peda'to
rest ante formamos urn triangulo equilatero de lade S, enlaO
;",1-·
'C, "; "" 1 50 -x . . . . .
3s = 1,50 - x, ou s = -'-3-' Queremos mmlmlzar e maXlmlzar
a somaA das areas do dreulo e do trifmgulo. Pela Figura 4.51"
vemos que
';, ( X )2 1 ,
lIr = 11 211 = 411r
{3 (1,50 _X)2 = {3 (1 50 _ )2
4 3 36' x
Logo, a soma A das areas e
1 , {3' ,
A = 411x- + 36 (1,50 -x)-
, 1,50 {3/18 0,14434
x = 1/211+ V3/18 = 0,15915 + 0,09623 = 0,565
que e positiva. Logo, 0 numero eritieo da urn valor minima para
A, e 0 arame deve ser eortado a (aproximadamente) 56,52 em
de uma extremidade. 0 valor minima aproximado de A e
A =2. (5652)2 + V3 (150 - 56 52)2
411' 36 '
I
Como nao ha outros numeros eritieos, 0 maximo de A deve
oeorrer em uma das extremidades do intervalo de varia<;ao de x.
Se x = 0, todo 0 arame e usado para formar 0 triangulo e
_fl ( )2 _ OS? 5 2A - 36 1,50 - 1. -, 3em .
A = -L (l,50j2 = 1.790,49 em2
411
Assim, 0 valor maximo deA oeorrera se 0 arame nao forcortado
sendo usado em todo 0 seu eomprimento para'for~ar 0 dreuIo:
EXEMPLO 8.l: 'co';';
6;tg" Urn e~rtaz de 6 m de altura esta eoloeado no alto de urn ediffcio,
Cl ~ com sua parte inferior a20 m acima do nivel do olho do observador,
'liS ,20n]!;)' Cl i;fS eonforme Figura 4.52(i)',A que distaneia diretamente abaixo do
/" Cl 1q !;) ;.} eartaz deve eoloear-se urn observador de modo a maximizar 0;::;::://" b '" !;) Cl ~l:angulo 8 formado peIas Iinhas de visao do topo e da ba~e do eartaz?
~'/~ !;) -:':;\ (Este angulo deve resultar na melhor visao do eartaz.)
';/~~~/ t:J ;.:, '- '
II -~. • .
l>< - , " 0' SOLUC;Ao
,1 ".' _ .' .'
:"'" A Figura 4.52(ii) e urn esbo<;o do problema. Utilizando os
triangulos retangulos AOe e BOC com lado eomum oe de
e~mprim~nto (variiivel) x, ve-se que
, 26" 20
tga=- e tg~=-
",r, X X
o &ngulo 8 = a -'~e fun<;ao dex e
8 tg a-tg lL
tg =tg(a-~)= l+tgatg~
x x
tg 8= 1+ (2
x
6)(~O)
20x 6x
xl + 4.800 = xl + 520
Os extremos de 8 eorrespondem a D,8 = O. Difereneiando impli-
eitamente em rela<;ao a x e usando a regra do quoeiente, temos
28D 8 _ (xl + 520)(6) - (6x)(2x) _ 3.120 - 6.y2
see ., - (r + 520j2 - (r + 520)2
Pode-se verifiear que 0 sinal de D,8 passa de positivo a negativo
em V5W e, assirn, 0 valor maximo de () oeorre em x = V5W
=22,8 m.
1 Vma caixa da base quadrada, sem tampa, deve
ter 1 m3 de volume. Determine as dimensaes que
exigem 0 minimo de material. (Desprezar a
espessura do material e as perdas na constru«ao
''z\. ..da caixa.)
______ 0a~l!~Q..E1I.eL<;l!;.ilLLJ1a!1Ll!mlU;ajXa_c_O!1JJ.ampJl,, _
3 Urn recipiente ~ilindrico sem tampa deve ter 1 m3
\. 'de c~pacidade. Se nao h:\ perdas na constru«iio,
ache as dimensoes que exigem 0 minimo de
material. (Comparar com 0 Exemplo 3.)
4 Se a base circular do recipiente do Exercfcio 3 e
corlada de uma folha quadrada de metal, despre-
zando-se as sobras, delermine as dimensaes que
~'" exigem 0 minimo de material.
o'\.&00 m de gradeado vao ser usados para construir
seis jaulas para um zool6gico, conforme figura.
Determine as dimensaes que maximizam a area
cerca.da, (Sugestiio: Primeiro expresse y como
uma !iJn«ao de x; e entao expresse A como uma
fun••ao de x.)
. ,.';;
6 Com referencia ~o Exemplo 6, se uma pessoa esta
em urn barco a motor que pode navegar a
15 kmJh, que, rota deve fazer para ehegar ii casa'
em tempo minimo?0:1:00 da' tard~ 0 navio A est a a 30 mi ao sui do
navio B e navega rumo Norte a 15 mith. Se 0
navioB navega para 0 Oeste a 10 mith, detenmine
o inslante em que a distancia d entre os dois
navios e minima?
8 Vma janela t~m a forma de urn retangulo enci-
made por urn semicfrculo. Se 0 perimetro da
janela e de 6 m, determine as dimensaes que
maximizem a entrada de luz.
(V;m muro tern 3 m de altura, e paraleJo ii parede
de urn ediffcio, e esta a 0,30 m desta. Determine
o comprimento da menor escada que va do chao
ii parede do ediffcio, tocando 0 muro. (Sugestiio:
Use triangulos semelhantes.)
I I
I I
-i>-i '--0,30 m
A. \
~ma pilgina de Iivro deve ter uma area de
580 cm2, com margens de 2,5 em em baixo e dos
lados e 1,25 em em cima. Determine as dimen-
saes da paglna com maior area impressa.
11 Urn construtor deseja construir urn dep6sito com
capacidade de 30 m3, teto plano, base relangular
cuja Jargura e tres quartos do comprimento.0
custo por metro quadrado do material e de
36.000,00 para 0 chao, R$ 204.000,00 para os
lados e R$ 102.000,00 para 0 telo. Que dimensaes
minirniz~rao 0 custo?
12 Para construir uma ta••a em fonma de cone circu-
, lar relo, remove-se urn setor de uma folha circular
de carlolina de raio a, e unem-se as duas margens
retilineas do corte (veja a figura). Determine 0
volume da maior ta••a que pode ser construfda.
_. . ... ',,' ~ .._:' __ Q.m?':~~eve-.~~~~~pont~~-JL ..- _..
~E{~t~·~l~~jr~~~\ dlstantes 3 k.m urn do Qulro e Situ ados em
';'{d';:;;){it,,; margens opostas de urn rio de 1 km de largura.
. ,ii: Parte do oJeodulo ficara submersa, de A e C, e
parte acima do solo, de CaB. Se 0 custo de
opera ••ao do oleodulo sob a agua e quatro vezes
o custc, da opera••ao no solo, delenmine a locali-
za«ao de C que minimize 0 cuslo de opera«ao do
oleoduto. (Desprezar a inclina••ao do lcito do rio.)
em fazendeiro tern 500 melros de cerca para
" envolver urn terreno relangular. Urn celefro sera
usado como parte de urn Jado do campo (veja a
figura). Prove que a area do terreno cercado sera
maxima quando 0 terreno for urn quadrado. '
14 Com referencia ao Exerdcio 13, suponha que 0
fazendeiro queini que a area retangular tenha
A m2. Prove que a extensao necessaria de cerci!
sera minima quando a area for urn quadrado.
15 Urn 'hotel que cobra $ 80 a diaria, da desc~ntos
, .especiais a grupos que res~rvem entre 30 e 60
quarlos. Se sac' reservados mais de 30, 0 pre«o
de cada quarto e reduzido de uma quantia igual
a uma vez o· n"mero de quartos reservados .
Nessas condi••oes, quanlos quartos, devem ser
reservados para que a receita diaria seja maxima?
i6 'COmreferencia ao Ex~rcfdo '15, ~~poncio que
cada quarto aJugado acarrete uma despesa diaria
de $ 6 de Iimpeza e niamiten••~o,'quantos quartos
devem ser alugados para produzir a receila diaria
maxima?
i'7 Deve-se consiruir urn tanque para aririi\zenamen-
"to de gas propano em Conmadecilindrocircular
'reto com dois hemisferios nas' extremi'dades. 0
: - custo do metro, quadrado dos he~isi~rios ',e 0
. dobro do 'cUSIOda pait'e' cilfndrica. Se' a capaci-
:.;:d~de d~ 'tanque deve';er d~~lO~~3,~q~~di~en-
saes minimizarao,o cust~.da ~~!1stru«ao? ,.>..
, /~eterrninar ~~ dimens6~s do r~tangulo de area
~axima que pode ser inscrito em urn semicirculo
de raio a, se seus vertices estao sobre 0 diamctro
(veja a Figura).
20 Deterrninar as dimenstles do retangulo de area
maxim'a que pode ser inserito em urn lriangulo
equilalero de Jadoa, se dois vertices do retangulo
estao sobr~ urn dos lados do triangulo.
21 De todos os cones circulares retos que podem ser
insc'ritos em uma esfera de raio a, determine 0
volume do' cone de volume maximo.
Iii It 111111[1II~ dimellsoes do cilindro circular relo
ill vnllllllc III~ximoque pode ser inscrito em uma
I ,.11 In II\' IIlin fl.
\} ,Ii, 111'1111111do grMico y = / + 1 mais proximo
11111""1111(.\. I).
1\1 Ii,' " 1'11"'" cia grafico de y = x3 mais proximo
11111""111.(11,0).
I, A 11\11"1111<;,II de uma fonle luminosae diretamen-
1\ 111111'111lanai i. intensidade da fonle e jnversa-
1111'111('1""l'orcional ao quadrado da distancia da
1111111'Sl' dllas fonles luminosas 51 e 52 dislam
"11'11 01" Olllra eI onidades, em que ponto do
'/',111('111"relilfnco que une as duas fontes a
Iltllll IIU~ 0 c minima?
J I 1111111I1'\'adisla vende lenis a $ 20 0 par, para
,"',11"", d' mcnos de 50 pares. No caso de
1III"'lI,'IIlbs de 50 pares ou mais (ale 600), 0
I'""." 1"" par sofre uma redu~ao de 2 centavos
v""'" " ""lIIcra de pares encomendados. Qual
",'v,- ·.n II qllantidade eneomendada que propor-
I Ollt' 11Illinr rcccita 30 atacadista?
11"v,' 'Y' fat.er uma lao;a de cartolina em forma de
""'" dlcular rclo, dc volume de 600 em3. Determine
'" oI"",''''''\<:s '!ue 'exigem menor quantidade de
1111""11"1,(I\;,preze eventuais pcrclas na confeco;ao,)
'I 11111I'I'oI,,<;nde arame de 36 cm de comprimento
Ilrvl' 'In nrtado em duas partes. Com uma delas
tltl 'I(' 11111lriflOglllo equilatero, e com a outra, urn
III 11\"In clljo comprimento e 0 dobra da largura.
()lId,' S' dcve cortar 0 arame de modo que a area
111111101,) 1,;;illgulo e do retangulo seja (a) minima,
(II) ",("illla?
Q'm Iriangulo isosceles tem basc b e lados iguais
~e comprimenlo a cad a urn. Determine 0 relan-
gulo de area maxima que pode ser inscrilo no
triangulo, se um lado do retangulo jaz sobre a
base do triangulo.
34 Um cilindro circular reto e gerado pela rola~ao
de um retangulo de perimetro p em lomo de um
de seus lados. Que dimensoes deve IeI'0 retangulo
para gerar 0 cilindro de volume maximo?
35 0 proprietario de um pomar de ma~as estima que,
planlando 24 pes por acre (~40~7 m\ cad a pe
de ma~a adulto produzini 600 mao;iis por anO. Para
cada arvore plantada par acre a!em de 24 haveni
um decrescimo de produo;ao de 12 mao;as par ano.
Quantas arvores devem ser plantadas de modo a se
obler 0 numero maximo de mao;iis par ano?
36 Uma imobiliaria,.possui 180 apartamenlos tipo
economico, que eSlao lodos alugados pOl' $300
mensa is. A imobiliaria estima que, para cad a $ 10
de aumenlo no alugue!, 5 aparlamentos ficmao
vazios. Qual a aluguel que deve ser cobrado para
se obler renda mensal maxima?
37 Um pacote pode ser enviado pelo reembolso
poslal desde que a soma de seu comprimenlo mais
o perfmetro da base nao exceda a 2,5 m. Deter-
mine as dimensoes do pacote de volume maximo
que pode ser enviado, se a base e quadrada.,_
38 Uma rodovia Norte-Sui A e uma rodovia Lcste-
Oesle B se cruzam em um ponto P. As 10,00 hs
da manha,passa pOl' P um automovel em dire~ao
norte a 80 kmlh. No mesmo instanle, um aviao
voando em direo;iio !este a 310 km/h a uma
altitude de 8.800 melroS passa par um ponln na
rodovia B a 160 km a oesle de P, Se 0 aulomovel
e 0 aviao mantem constantes suas velocidades e
dire~oes, ~m que instante eles eSlaraO a uma
distfmcia minima urn do oulro?
39 Duas fabricas A e B dislam 4 km uma da outra e 43 Automoveis passam pOI' uma pan Ie de, 1,5 km de
emi,le'!1 part!~ulas na fuma~a, quep~luem a area . extensao. Cada carro tern 3,5 m de comprimento
entre, elas. Suponha que 0 ,n~m~ro de partlculas "e deve ficar a,uma distancia de eI metros do carro
emilidas pOI' cada, fabrica seja di~elaJllente 1'1'0- " imedialamenle em frente (veja a figura).
porcional ao cuba da distancia da fabrica. Se a ". ,"
(a) Mostreq' ue'o maior numero de carros quefabrica A emite duas vezes mais fuma~a do que
a fabrica B, em que ponlo entre A e B apolui~ao podem estar sobre a ponte em um dado
e minima? .. ', in~tantee [[1.500/(3,5-:- eI)]l, onde [[ II de-
., ' : nota a fun~ao maior inleiro. ,,: .
40 Um campo petrolifero lem 8 po~os que pr~.i~~____ _ _~___ ._..:... ' -,--, -'-----
------um-Iotal de 1~600Darrisae pefr6leopOr-dia. Para (0) Se a velocldade de ,c~da carro e de v ~mlh,
cada poo;o adidonal perfurado a produ~ao media mostre que a taxa m~xlma de fhLXO,de trafego
pOI' po~o decresce de 10 barris diarios. Quantos F (e~ ,c~rr~slhora) e dadaP9r
po~os adidonais devem ser aberlos para maximi- F,~ [[1.500 v (3,5+ d))l
zar a produ~ao?
41 Deve-se construir uma barraca de lona em forma
de uma piramide de base quadrada. Urn poste de
a~o fincado no cenlro da barraca serve de apoio
(veja a figura). Se dispomos de 5 metros quadra-
dos de lona para as qualro lados, e, se x e a
comprimento de urn dos lados da base, moslre que
(a) 0 volume da barraca e V=ixV52-x4
(b) V loma seu valor maximo quando x e igual
a Y2 vezes 0 comprimento do posle.
42 Urn barco deve percorrer 100 km rio acima,
conlra uma corrente com veloddade de 10 kmlh.
Quando a velocidade do barco e de v kmlh, 0
numero de gaJoes de gasolina consumidos a cad a
hora e direlamente proporcional a v2.
(a) Mantida uma velocidade conslante de
v kmlh, mOSlre que 0 numero lolal y de
galoes de Ijasolina consumidos e dado par
y = 100 kI'-/(v - 10) parav > 10 c uma
conslante positiva k.
Delermine a velocidade que mtnlm,ze 0
numero de galoes de gasolina consumidos
duranle a viagem.
31 Uma janela tem a forma de urn relangulo end-
mado pOI' um triangulo equilatero. Se 0 perimetro
da janeJa deve ser de 4 melros, determine as
dimensoes do ret~nguJo que proporcione area
i\ I'" 'Mllrill de urna viga retangular e direlamen- _,m~~!m~,para ,a..janela. ,_...__, .._. _
" 1"111"11'11111111aO produ!o-'de-sua-I'a:rgmrpe1o"-"-"""·--- .., _ .
'1,",,11lid" de IIltura da se~ao transversa. Determi- 32 Dois pastes verticais de 2 m e 2,50 m de altura
III II dill, ·"s()cs da viga mais resistente que pode distam 3 m um do outro. Determine 0 comprimento
_, I ,,,' ",d" de 11m 101'0 cilindrico de raio a (veja do menor cabo que, partindo do tapa de um poste,
II 1111'1111). 'htoque 0 solo e lennine no topa do Dutro paste.
~ Prove que 0 relangulo de perfmetro dado p e area
maxima e 0 quadrado.
A distiinda de parada (em metros) de um
~arro av km/h e aproximadamente 0,015 .,2.
Se d"" D,005 .,2, determine a velocidade que
maximiza 0 fluxode lfMego na ponte.
3,5 m~,
I -+! d
I" I
1'90:'
I~,
j~[¢:~b{;l--
44 Prove que a menor distancia de um ponto
(XI, YI) ao grMico de uma funo;ao diferenciavel e
medida ao longo de uma normal ao grMico - isto
e, uma reta perpendicular a !angenle.
45 Deve-se constroir uma linha de estrada de ferro
da ddade A a cidade C, passando pOI'B (veja a
figura). Em razao das montanhas enlre A e C, a
ponto de ramifica~ao B deve ficar pelo menos a
20 km a leste de A. Se 0 cusio da construo;ao e
de $ 50.000,00 'POI' km entre A e B e de
$ 100.000,00 en Ire B e C. determine 0 angulo e
de ramifica~ao que minimize 0 custo da cons-
tro~ao.