Derivação Implícita e Funções Trigonométricas Inversas

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Aula 11
Derivação Implícita. Derivada
das Funções
Trigonométricas Inversas
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Motivação para a Derivação Implícita
Motivação:
Se y é dada explicitamente como uma função de x , podemos
calcular y ′ diretamente.
Exemplo
A derivada da função
y = x sin x ,
é, pela regra do produto,
y ′ = sin x + x cos x .
Porém, como derivar y quando a relação entre x e y é dada de
forma implícita?
Exemplo
Encontre a reta tangente ao círculo x2 + y2 = 25 em (3, 4).
Exemplo
Encontre a reta tangente ao círculo x2 + y2 = 25 em (3, 4).
Resposta: y − 4 = −34(x − 3).
Exemplo
Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6xy
no ponto (3, 3).
Exemplo
Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6xy
no ponto (3, 3).
Resposta: x + y = 6.
Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
Derivada das Funções Trigonométricas Inversas
d
dx
[
sin−1 x
]
=
1√
1− x2 .
d
dx
[
cos−1 x
]
= − 1√
1− x2 .
d
dx
[
tan−1 x
]
=
1
1 + x2
.
Lembre-se que
d
dx
[tan x ] = sec2x
e
1 + tan2 x = sec2 x .
Exemplo
Encontre y ′ se
sin(x + y) = y2 cos x .
Exemplo
Encontre y ′ se
sin(x + y) = y2 cos x .
Resposta:
y ′ =
y2 sin x + cos(x + y)
2y cos x − cos(x + y) .
Exemplo
Encontre y ′′ se
x4 + y4 = 16
Exemplo
Encontre y ′′ se
x4 + y4 = 16
Resposta:
y ′′ = −48x
2
y7
.