Apostila de matemática agosto de 2015

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Matemática 
Elementar 
 
Material 
Didático 
 Agosto 2015 
Equipe de Matemática: 
(PCNA - Agosto de 2015) 
 
 José Benício da Cruz Costa 
(Coordenação) 
 
Monitores: 
 Daniel de Souza Avelar da Costa 
 Fernanda Lacerda Palheta 
 João Marcos Costa de Oliveira 
 Lucas Carvalho de Paula 
 Matheus Roberto Martins Batista 
 Murilo Henrique Silva da Silva 
 
Universidade Federal do Pará 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipe de Professores 
 Alexandre Guimarães Rodrigues 
(Coordenação Geral) 
 
Matemática: 
 José Benício da Cruz Costa 
(Coordenação) 
 Rosana Paula de Oliveira Soares 
 Rita de Cássia Carvalho Silva 
 
Química: 
 Shirley Cristina Cabral Nascimento 
(Coordenação) 
 Marlice Cruz Martelli 
 Ana Rosa C.L.M. Duarte 
 Marcos Vinícius de Souza Pinto 
 
Física: 
 Alexandre Guimarães Rodrigues 
(Coordenação) 
 José Benício da Cruz Costa 
i 
 
Sumário 
 
1. Aritmética e Expressões Algébricas ............ 2 
1.1.Operações com Números Fracionários ..... 2 
1.2. Potenciação e Radiciação ........................ 3 
1.3. Logaritmos ............................................... 4 
1.4. Racionalização ......................................... 6 
1.5. Polinômios ............................................... 7 
1.6. Operações Com Expressões Algébricas. 11 
Exercícios ..................................................... 15 
Gabarito de Aritmética e Expressões 
Algébricas .............................................. 17 
 
 
2. Intervalos, Inequações e Módulo ....... 18Erro! 
Indicador não definido. 
2.1. Intervalos Erro! Indicador não definido.18 
2.2. Inequações ................ Erro! Indicador não 
definido.18 
2.3. Módulo ou Valor Absoluto ...................... 19 
Exercícios ..................................................... 23 
Gabarito de Intervalos, Inequações e Módulo 25 
 
 
3. Função ...................................................... 26 
3.1. Definição ................................................ 26 
3.2. Domínio, Contradomínio e Imagem ........ 26 
3.3. Tipo de Funções .................................... 28 
3.4. Gráfico de Funções ................................ 31 
3.5. Função Polinomial de 1° Grau ................ 32 
3.6. Função Polinomial de 2° Grau ................ 33 
3.7. Função Exponencial .............................. 36 
3.8. Função Logarítmica............................... 37 
3.9. Função Inversa ...................................... 37 
3.10. Função Composta ............................... 38 
Exercícios ..................................................... 40 
Gabarito de Função ...................................... 42 
 
ii 
 
 
 
4. Geometria ................................................. 43 
4.1. Sistema de Coordenadas Cartesianas 
Retangulares ou Plano Cartesiano ......... 43 
4.2. Distância Entre Dois Pontos No Plano 
Cartesiano .............................................. 43 
4.3. Coeficiente Angular e Equação da Reta . 44 
4.4. Semelhança ........................................... 46 
4.5. Área ....................................................... 47 
4.6. Volumes ................................................. 49 
Exercícios ..................................................... 51 
Gabarito de Geometria .................................. 52 
 
 
5. Trigonometria ............................................ 53 
5.1. Conceitos Iniciais ................................... 53 
5.2. Círculo Trigonométrico ........................... 55 
5.3. Relações Trigonométricas Inversas ....... 59 
5.4. Identidades Trigonométricas .................. 60 
5.5. Funções Trigonométricas ....................... 60 
5.6. Sistema de Coordenadas Polares .......... 63 
Exercícios ..................................................... 66 
Gabarito de Trigonometria ............................ 67 
 
 
 
6. Limite ........................................................ 68 
7. Derivada ................................................... 74 
8. Integral ...................................................... 82 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. Aritmética e Expressões Algébricas 
1.1.Operações com Números Fracionários 
1.1.1 Soma e Subtração 
1º Caso: 
 Para a soma ou subtração de duas frações deve-
se observar se as mesmas possuem o mesmo 
denominador. Neste caso, o resultado é uma nova 
fração onde o numerador é a soma dos 
numeradores e o denominador é o mesmo das 
frações que estão sendo somadas, de acordo com 
a regra geral: 
a b a b
c c c

 
 
Veja alguns exemplos: 
Ex1: 
2 4 2 4 6
5 5 5 5

  
 
Ex2: 
23 3 23 3 26
10 10 10 10

  
 
Ex3:
9 2 1 9 2 1 10
8 8 8 8 8
 
   
 
2º Caso: 
Para frações que não possuem o denominador em 
comum, deve-se determinar com antecedência 
o mínimo múltiplo comum (MMC) de todos os 
denominadores das frações envolvidas, de modo a 
igualar os denominadores e aplicar a regra acima.
 
2 9
?
3 4
 
 
O MMC é obtido a partir da fatoração dos 
denominadores, como segue abaixo: 
4,3 2 
2,3 2 
1,3 3 
1,1 2.2.3 12
 
O MMC então é igual a 12. Prossegue-se adotando 
o 12 (MMC) como denominador comum para as 
duas frações e determinando um novo numerador 
para ambas, o qual é obtido dividindo-se o MMC 
pelo antigo denominador e multiplicando este 
resultado pelo antigo numerador, como abaixo: 
2 9 (12 3) 2 (12 4) 9 8 27 35
3 4 12 12 12 12
    
    
 
Outra forma de solução para igualar os 
denominadores do exemplo anterior é multiplicar e 
dividir uma das frações pelo denominador da outra 
fração envolvida. O mesmo procedimento deverá 
ser efetuado na outra fração. Observe:
 
2 9 2 4 9 3 8 27 35
3 4 3 4 4 3 12 12 12
       
 
Ou ainda segundo a regra geral: 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
2
3
+
9
4
=
2 × 4 + 3 × 9
3 × 4
=
35
12
 
 
Verifica-se que o resultado obtido foi o mesmo 
quando se calculou usando o MMC. Ressalta-se 
que esta forma de cálculo é aconselhável quando a 
operação envolve poucas frações, visto que no 
caso de mais frações envolvidas os cálculos 
poderão ser mais trabalhosos e, 
consequentemente, levar a resultados errados. 
2 8 7
?
5 9 12
  
 
5,9,12 2 
5,9,6 2 
5,9,3 3 
5,3,1 3 
5,1,1 5 
1,1,1 2 2 3 3 5 180    
 
2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127
5 9 12 180 180 180 180 180 180 180
     
        
 
2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127
5 9 12 180 180 180 180 180 180 180
     
        
 
 
4 
 
1.1.2 Multiplicação de Números Fracionários 
O produto de duas ou mais frações é o produto dos 
seus numeradores dividido pelo produto dos seus 
denominadores. 
Ex1:
3 21 3 21 63 63 21 3
14 15 14 15 210 210 21 10
 
    
 
 
 
Ex2:
1 2 1 2 2
10 5 10 5 50

  
 
 
Ex3
5 2 10 5 2 10 5 2 50 2 (12 3) 50 (12 4) 2
10
3 4 1 3 4 1 3 4 3 4 12 12
         
                
     
 
5 2 10 5 2 10 5 2 50 2 (12 3) 50 (12 4) 2
10
3 4 1 3 4 1 3 4 3 4 12 12
         
                
      
5 2 200 6 206
10
3 4 12 12 12
 
    
 
 
Com o objetivo de facilitar os cálculos pode-se 
primeiramente simplificar as frações envolvidas 
para depois efetuar os cálculos multiplicativos: 
 
3 21 (3 3) 21 1 21 1 (21 7) 1 3 1 3 3
14 15 14 (15 3) 14 5 (14 7) 5 2 5 2 5 10
  
          
  
 
 
1.1.3. Divisão de Números Fracionários 
Para o caso de divisão entre frações procede-se 
multiplicando a primeira fração pelo inverso da 
segunda: 
a
a d a db
c b c b c
d

  

 
Exemplos: 
Ex1: 
1
1 5 57
2 7 2 14
5
   
Ex2:
11
11 10 11 55 5 11 11
2 5 2 5 5
10
       
Ex3:
35
35 12 (35 7) (12 4) 5 3 1514
28 14 28 (14 7) (28 4) 2 7 14
12
 
      
 
35
35 12 (35 7) (12 4) 5 3 1514
28 14 28 (14 7) (28 4) 2 7 14
12
 
      
 
 
1.2. Potenciação e Radiciação 
Sendo a e b números reais não nulos, m e n 
inteiros, tem-se as seguintes regras para a 
potenciação e radiciação: 
Potenciação 
1) Potência de expoente nulo e igual a 1: 
𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎 
2) Potencia de expoente negativo: 
𝑎−𝑚 = (
1
𝑎
)
𝑚
 
3) Multiplicação de potência (= base): 
𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
4) Multiplicação de potência (≠ base): 
𝑎𝑚. 𝑏𝑚 = (𝑎. 𝑏)𝑚 
5) Divisão de potência (= base): 
𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
6) Divisão de potência (≠ base): 
𝑎𝑚: 𝑏𝑚 = (𝑎: 𝑏)𝑚 
7) Potência de expoente fracionário: 
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
 
8) Potência de uma potência: 
(𝑎𝑚)𝑛 = (𝑎)𝑚.𝑛 
 
3 21 (3 3) 21 1 21 1 (21 7) 1 3 1 3 3
14 15 14 (15 3) 14 5 (14 7) 5 2 5 2 5 10
  
          
  
5 
 
Exemplos: 
Ex1:
4 1 4 1 32 2 2 2 2 2 2 8      
 
Ex2:
 
2
3 3 2 610 10 10 
 
 Ex3: 
3 3 3
3
2 7 7 7 7 7 343
7 2 2 2 2 2 8

        
         
        
 Ex4:
6 3 6 3 94 4 4 4 262144   
 
Ex5:
 
5 5 52 11 2 11 32 161051 5153632     
 
 
Radiciação 
1) Raiz elevada a expoente de mesmo índice: 
( √𝑎
𝑚 )𝑚 = 𝑎 
 
2) Raiz em forma de potência: 
√𝑎
2 = 𝑎
1
2 
3) Raiz de uma raiz: 
√√𝑎
𝑛𝑚 = √𝑎
𝑚.𝑛
 
4) Raiz de um produto e produto de raízes: 
√𝑎. 𝑏. 𝑐
𝑚
= √𝑎
𝑚 . √𝑏
𝑚
 . √𝑐
𝑚
 
5) Raiz de um quociente e quociente de duas 
raízes: 
√
𝑎
𝑏
𝑚
=
√𝑎
𝑚
√𝑏
𝑚 
6) Raiz de uma potência e potência de uma raiz: 
( √𝑎
𝑚 )𝑛 = √𝑎𝑛
𝑚
 
7) Inversamento: 
𝑎 √𝑏
𝑚
= √𝑎𝑚𝑏
𝑚
 
 
Exemplos: 
Ex1: √5 = 5
1
2 
Ex1: 33 3 13 38 2 2 2 2    
Ex2: 44 2216 2 2 2 4    
Ex3: 22 2 220 2 5 2 5 2 5 2 5        
Ex4: 333 33 2 3 23 3 3372 2 3 2 3 2 9 2 9        
1.3. Logaritmos 
O logaritmo de a na base b é o expoente c que 
devemos atribuir ao número b para obter a. 
 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑐 ↔ 𝑏
𝑐 = 𝑎. 
onde 𝑎 > 0; 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1. 
Isto é ilustrado nos seguintes exemplos: 
Ex1: 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥 → 2
𝑥 = 4 →2𝑥 = 22 ∴ 𝑥 = 2, 
Ex2: 𝑙𝑜𝑔3 27 = 𝑑 → 3
𝑑 = 27 →3𝑑 = 33 ∴ 𝑑 = 3, 
Ex3: 𝑙𝑜𝑔3 (
1
81
) = 𝑓 → 3𝑓 =
1
81
→3𝑓 =
1
34
→ 3𝑓 =
3−4 ∴ 𝑓 = −4, 
Ex4: 𝑙𝑜𝑔2 (
1
32
) = 𝑔 → 2𝑔 =
1
32
→ 2𝑔 =
1
25
→ 2𝑔 =
2−5 ∴ 𝑔 = −5 
Ex5: 𝑙𝑜𝑔3 1 = ℎ → 3
ℎ = 1 → 3ℎ = 30 ∴ ℎ = 0 
 
O 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 é definido somente para 𝑎 ∈ ℝ+
∗ . 
1.3.1. Tipos particulares de logaritmos 
A notação para o logaritmo decimal, cuja base é 
igual a 10, é 
𝑙𝑜𝑔 𝑎 
como é indicado nos exemplos a seguir: 
Ex1: 𝑙𝑜𝑔 100 = 𝑐 → 10𝑐 = 100 → 10𝑐 = 102 
∴ 𝑐 = 2 
Ex2: 𝑙𝑜𝑔 1000 = 𝑐 → 10𝑐 = 1000 → 10𝑐 = 103 
∴ 𝑐 = 3 
Ex3: 𝑙𝑜𝑔 (
1
10
) = 𝑐 → 10𝑐 =
1
10
→ 10𝑐 = 10−1 
∴ 𝑐 = −1 
Ex4: 𝑙𝑜𝑔 (
1
10000
) = 𝑐 → 10𝑐 =
1
10000
→ 10𝑐 = 10−4 
6 
 
∴ 𝑐 = −4 
 
A notação para o logaritmo natural, cuja base é o 
número de (Euler 𝑒) é: 
 𝑙𝑛 𝑎 
como está ilustrado nos exemplos a seguir: 
Obs: Logaritmo natural não é a mesma coisa que 
logaritmo neperiano. Logaritmo neperiano é o 
logaritmo cuja base é 
1
𝑒
. 
Ex1: 𝑙𝑛 𝑒 = 𝑐 → 𝑒𝑐 = 𝑒 ∴ 𝑐 = 1, 
Ex2: 𝑙𝑛 𝑒3 = 𝑐 → 𝑒𝑐 = 𝑒3 ∴ 𝑐 = 3 
Ex3: 𝑙𝑛
1
𝑒4
= 𝑐 → 𝑒𝑐 =
1
𝑒4
→ 𝑒𝑐 = 𝑒−4 ∴ 𝑐 = −4. 
Exemplo: Encontre o valor de 
𝑙 =
𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔2 (
1
2
)
𝑙𝑜𝑔 100
+ 
+
𝑙𝑛 𝑒−3 + 𝑙𝑜𝑔 1000 − 𝑙𝑜𝑔4(1/16)
𝑙𝑛 𝑒2 + 𝑙𝑜𝑔 10 + 𝑙𝑜𝑔 100
 
Resolução: 
𝑙 =
2 + 𝑙𝑜𝑔2 2
−1
𝑙𝑜𝑔 102
+
(−3). 1 + 𝑙𝑜𝑔 103 − 𝑙𝑜𝑔4 4
−2
2 + 1 + 𝑙𝑜𝑔 102
 
𝑙 =
2 + (−1)
2
+
(−3) + 3 − (−2)
2 + 1 + 2
= 
=
1
2
+
2
5
, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
𝑙 =
1.5 + 2.2
2.5
=
5 + 4
10
=
9
10
 
 
 
1.3.2. Propriedades dos logaritmos 
1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0. 
𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏
0 = 0 
2) Logaritmo da base é 1. 
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏
1 = 1 
3) Logaritmo de um produto 
 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 
4) Logaritmo de um quociente 
𝑙𝑜𝑔𝑏 (
𝑎
𝑐
) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 
5) Logaritmo de uma potência 
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 
6) Potência de base b e expoente log𝑏 𝑎 é igual a 
𝑎. 
𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎 
6) Mudança da base b para a base c 
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 =
 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
 
Exemplos: 
Ex1: 𝑙𝑜𝑔2 16 = 𝑙𝑜𝑔2 2.8 = 𝑙𝑜𝑔2 2 + 𝑙𝑜𝑔2 8 = 
= 1 + 3 = 4 
Ex2: 𝑙𝑜𝑔3 243 = 𝑙𝑜𝑔3 9.27 = 𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔3 27 = 
= 2 + 3 = 5 
Ex3: 𝑙𝑜𝑔4(16.64) = 𝑙𝑜𝑔4 16 + 𝑙𝑜𝑔4 64 = 2 + 3 = 5 
Ex4: 𝑙𝑜𝑔(0,1 × √10) = 𝑙𝑜𝑔 0,1 + 𝑙𝑜𝑔√10 
= 𝑙𝑜𝑔10−1+ 𝑙𝑜𝑔10
1
2 = −1 +
1
2
= −
1
2
 
Ex6: 𝑙𝑜𝑔2 (
1
16
) = 𝑙𝑜𝑔2 1 − 𝑙𝑜𝑔2 16 = 0 − 4 = −4 
Ex7: 𝑙𝑜𝑔3 (
27
81
) = 𝑙𝑜𝑔3 27 − 𝑙𝑜𝑔3 81 = 3 − 4 = −1 
Ex8: 𝑙𝑜𝑔2 (
1024
256
) = 𝑙𝑜𝑔2 1024 − 𝑙𝑜𝑔2 256 
= 10 − 8 = 2 
Ex9: 𝑙𝑜𝑔5 (
25
625
) = 𝑙𝑜𝑔5 25 − 𝑙𝑜𝑔5 625 = 
= 2 − 4 = −2 
 
Ex10: 𝑙𝑜𝑔5 25 = 𝑙𝑜𝑔5 5
2 = 2 𝑙𝑜𝑔5 5 = 2.1 = 2 
Ex11: 𝑙𝑜𝑔5 (
1
125
) = 𝑙𝑜𝑔5 5
−3 = (−3) 𝑙𝑜𝑔5 5 = − 3 
7 
 
 
Ex12: 𝑙𝑜𝑔4 1024 = 𝑙𝑜𝑔4 4
5 = 5 𝑙𝑜𝑔4 4 = 5.1 = 5 
Ex13: 𝑙𝑜𝑔 0,0001 = 𝑙𝑜𝑔 10−4 = (−4) 𝑙𝑜𝑔 10 = 
= (−4)1 = −4 
Ex14: 𝑙𝑜𝑔 0,001 = 𝑙𝑜𝑔 10−3 = (−3) 𝑙𝑜𝑔 10 = 
= (−3)1 = −3 
Ex15: 4𝑙𝑜𝑔2 4 = 22.𝑙𝑜𝑔2 4 = 2𝑙𝑜𝑔2 4
2
= 2𝑙𝑜𝑔2 16 = 16 
Ex17: 𝑒−3𝑙𝑛 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛𝑥
−3
= 𝑥−3 
Ex18: 𝑒−2.𝑙𝑛𝑥
3
= 𝑒𝑙𝑛𝑥
(−2).3
= 𝑒𝑙𝑛𝑥
−6
= 𝑥−6 
Ex19 Encontre 𝑦 em função de 𝑥 
𝑦 =
𝑙𝑜𝑔2(2 . 8) + 𝑙𝑜𝑔5(125 . 5) + 𝑒
−2.𝑙𝑛 𝑥
𝑙𝑜𝑔 1000 + 𝑙𝑛 𝑒5
 
Resolução: 
𝑦 =
(𝑙𝑜𝑔2 2 + 𝑙𝑜𝑔2 8) + ( 𝑙𝑜𝑔5 125 + 𝑙𝑜𝑔5 5) +𝑒
𝑙𝑛𝑥−2
𝑙𝑜𝑔 103 + 5. 𝑙𝑛 𝑒
 
𝑦 =
(1 + 3) + (3 + 1) + 𝑥−2
3 𝑙𝑜𝑔 10 + 5.1
 
𝑦 =
4 + 4 + 𝑥−2
3.1 + 5
=
8 + 𝑥−2
3 + 5
, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
𝑦 =
8 + 𝑥−2
8
=
8
8
+
𝑥−2
8
= 1 + (
1
8
)𝑥−2 
Para uma igualdade tem-se que 
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 
como é ilustrado a seguir: 
Ex1: 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4 → 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
2 = 𝑙𝑜𝑔2 4 ∴ 𝑥
2 = 4 
Ex2: 𝑙𝑛 𝑢 = − 𝑙𝑛 𝑡 → 𝑙𝑛 𝑢 = 𝑙𝑛 𝑡−1 ∴ 𝑢 = 𝑡−1 
Ex3: e2x−1 = 1 → 𝑙𝑛(𝑒2𝑥−1) = 𝑙𝑛(1) → (2𝑥 −
1) 𝑙𝑛 𝑒 =0 → 2𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 =
1
2
 
Observe que ln(𝑒2.𝑥−1) não é um produto de "ln" 
com "(𝑒2.𝑥−1)" , pois ln é uma função, ou seja, 
ln(𝑒2𝑥−1) = ln(1) é a aplicação do logaritmo ln na 
igualdade 𝑒2𝑥−1 = 1. 
Exemplo: Encontre o valor de 𝑥 na equação 
3 𝑒4𝑥+8 = 1 
 
Resolução: Para isolar a variável 𝑥 na equação é 
necessárioaplicar o logaritmo ln na igualdade, 
então: 
3 𝑒4𝑥+8 = 1 → 𝑙𝑛[3 . 𝑒4𝑥+8] = 𝑙𝑛(1) 
aplicando as propriedades de logaritmo, tem-se: 
ln(3) + 𝑙𝑛(𝑒4𝑥+8) = 𝑙𝑛(𝑒0) 
(4𝑥 + 8) 𝑙𝑛(𝑒) = 0 − 𝑙𝑛 (3) 
(4𝑥 + 8). 1 = −𝑙𝑛 (3) 
𝑥 =
−8 − 𝑙𝑛(3)
4
 
𝑥 = −2 −
1
4
 𝑙𝑛 (3) 
1.4. Racionalização 
O objetivo nos cálculos realizados abaixo é retirar a 
raiz do denominador. A seguir serão mostrados 
diferentes casos para realizar a racionalização de 
denominadores: 
1° Caso: O denominador possui somente uma 
raiz. 
Ex1:
30 2 30 2 30 2 30 2 30
2 15 2
2 22 2 2 2 4
  
       

30 2 30 2 30 2 30 2 30
2 15 2
2 22 2 2 2 4
  
       

 
Ex2:  
 
3 3 63 6 3 6 3 6 3 6 3 6 6 6
4 6 4 6 3 4 2 84 6 6 4 6 6 4 6 6 4 36
    
       
        
 
 
3 3 63 6 3 6 3 6 3 6 3 6 6 6
4 6 4 6 3 4 2 84 6 6 4 6 6 4 6 6 4 36
    
       
        
 
8 
 
Ex3:              2 5 7 2 7 5 7 2 7 35 2 7 352 5 7
77 7 7 7 7 7 49
        
    
 
             2 5 7 2 7 5 7 2 7 35 2 7 352 5 7
77 7 7 7 7 7 49
        
    
 
             2 5 7 2 7 5 7 2 7 35 2 7 352 5 7
77 7 7 7 7 7 49
        
    
 
 
2° Caso: Quando o denominador é composto 
por uma raiz somada a um número qualquer
 
 
   
   
   
 23 4 5 23 4 23 5 92 23 523 4 5
24 5 4 5 16 254 5 4 5 4 4 5 4 5 5 5
      
    
          
 
=
(23 × 4) − (23 × √5)
42 + (4 × √5) − (4 × √5) − √5 × 5
=
92 − (23 × √5)
16 − √25
= 
=
92 − (23 × √5)
16 − 5
=
92 − (23 × √5)
11
 
 
3° Caso: Ocorre quando se tem uma raiz dentro 
de outra raiz no denominador 
       2
21 3 7 21 3 7 21 3 7
3 7 3 7 3 7 3 7 3 3 7 3 7 7 7
    
  
          
       2
21 3 7 21 3 7 21 3 7
3 7 3 7 3 7 3 7 3 3 7 3 7 7 7
    
  
          
= 
 
21 3 7 21 3 7 21 3 7
9 7 23 7 3 7
    
  
 
 
Ainda há uma raiz no denominador e por isso 
deve-se usar o cálculo mostrado no caso 1. 
    21 6 2 721 2 3 721 3 7 2 21 2 3 7
2 22 2 2 2
        
   

    21 6 2 721 2 3 721 3 7 2 21 2 3 7
2 22 2 2 2
        
   
 
4° Caso: Quando no denominador há uma raiz 
diferente da raiz quadrada 
Ex1: 5 5 5 52 1 3 3 3
5 3
5 5 5 52 2 1 3 2 5
21 7 21 7 21 7 21 7
3 7
77 7 7 7

 
  
     
 
5 5 5 52 1 3 3 3
5 3
5 5 5 52 2 1 3 2 5
21 7 21 7 21 7 21 7
3 7
77 7 7 7

 
  
     
 
Ex2: 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 37 7 4 7 4 7 4 3
3 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 6
6 26 6 6 6 6 6 6
     
  
   
      

3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 37 7 4 7 4 7 4 3
3 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 6
6 26 6 6 6 6 6 6
     
  
   
      

 
 
1.5. Polinômios 
Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 da seguinte 
forma: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 
+𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑥
0 
Em que os coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1e 𝑎0 são 
números reais e 𝑛 é inteiro. A seguir exemplificam-
se alguns polinômios: 
𝑎(𝑥) = 4𝑥4 − 2𝑥2 + 5 
𝑏(𝑥) = 3 −
5
2
𝑥2 + 𝑥 
𝑐(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 
Note que 𝑎(𝑥) é de 4º grau, com coeficientes 𝑎3 =
𝑎1 = 0; 𝑏(𝑥) é de 2º grau e 𝑐(𝑥) é de 3º grau, com 
coeficientes 𝑎2 = 𝑎0 = 0. 
 
9 
 
1.5.1. Soma e Subtração de Polinômios 
Para somar dois polinômios 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 +
𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑥
0 e 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 +
𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0𝑥
0 é só somar os termos 
de mesmo grau, como está indicado a seguir: 
𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑥
𝑛 +⋯+(𝑎0 + 𝑏0)𝑥
0 
Para subtrair dois polinômios 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 +
𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯++𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑥
0 e 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 +
𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0𝑥
0 é só subtrair os termos 
de mesmo grau, como é mostrado a seguir: 
 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) = (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)𝑥
𝑛 +⋯+ (𝑎0 − 𝑏0)𝑥
0 
Ex1: Calcule 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) e 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥), sendo: 
𝑝(𝑥) = −3𝑥2 + 5 − 𝑥 + 2𝑥3 
𝑞(𝑥) = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2 
Resolução: 
𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = [−3 + (−6)]𝑥2 + [5 + (−2)]
+ [−1 + 4]𝑥 + 2𝑥3 + 𝑥4 
𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = [−3 − 6]𝑥2 + [5 − 2] + 3𝑥 + 2𝑥3 + 𝑥4 
𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = −9𝑥2 + 3 + 3𝑥 + 2𝑥3 + 𝑥4 
 
𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) = [−3 − (−6)]𝑥2 + [5 − (−2)]
+ [−1 − 4]𝑥 + 2𝑥3 + 𝑥4 
𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) = [−3 + 6]𝑥2 + [5 + 2] + (−5)𝑥 + 2𝑥3
+ 𝑥4 
𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) = 3𝑥2 + 7 − 5𝑥 + 2𝑥3 + 𝑥4 
1.5.2. Multiplicação e Divisão de Polinômios 
Para multiplicar dois polinômios, utiliza-se a 
propriedade distributiva da multiplicação: 
(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑 + 𝑓) 
= (𝑎𝑐) + (𝑎𝑑) + (𝑎𝑓) + (𝑏𝑐) + (𝑏𝑑) + (𝑏𝑓) 
Ex1: Determine os produtos 𝑔(𝑥) 𝑘(𝑥) e ℎ(𝑥) 𝑚(𝑥), 
sendo 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 
𝑘(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 
ℎ(𝑥) = −𝑥 + 𝑥3 
𝑚(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥3 
Resolução: 
𝑔(𝑥)𝑘(𝑥) = (2𝑥 − 1)(−𝑥2 + 3𝑥) 
𝑔(𝑥)𝑘(𝑥) = (2𝑥)(−𝑥2) + (2𝑥)(3𝑥) + (−1)(−𝑥2) + 
+(−1)(3𝑥) 
𝑔(𝑥)𝑘(𝑥) = [2(−1)]𝑥1+2 + (2.3)𝑥1+1 
+[(−1)(−1)]𝑥2 + [(−1)3]𝑥 
𝑔(𝑥)𝑘(𝑥) = −2𝑥3 + 6𝑥2 + 𝑥2 − 3𝑥 
𝑔(𝑥)𝑘(𝑥) = −2𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 
 
ℎ(𝑥)𝑚(𝑥) = (−𝑥 + 𝑥3)(𝑥5 − 𝑥3) 
ℎ(𝑥)𝑚(𝑥) = (−𝑥)(𝑥5) + (−𝑥)(−𝑥3) + 
+(𝑥3)(𝑥5) + (𝑥3)(−𝑥3) 
ℎ(𝑥)𝑚(𝑥) = [(−1)1]𝑥1+5 + [(−1)(−1)]𝑥1+3 + 
+(1 ∗ 1)𝑥3+5 + [1(−1)]𝑥3+3 
ℎ(𝑥)𝑚(𝑥) = −𝑥6 + 𝑥4 + 𝑥8 − 𝑥6 
ℎ(𝑥)𝑚(𝑥) = −2𝑥6 + 𝑥4 + 𝑥8 
 
Para dividir dois polinômios 𝑎(𝑥) e 𝑏(𝑥) , o 
processo é semelhante ao da divisão de dois 
números reais. Os termos do quociente 𝑞(𝑥)são 
escolhidos de modo que os termos de maior grau 
dos dividendos ao longo da operação sejam 
eliminados. E o resto 𝑟(𝑥) é o dividendo que tem 
grau menor que o divisor. A relação entre 𝑎(𝑥) , 
𝑏(𝑥), 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥) é: 
 𝑎(𝑥) ÷ 𝑏(𝑥) = 𝑞(𝑥) +
𝑟(𝑥)
𝑏(𝑥)
 
Estes conceitos são ilustrados no exemplo a 
seguir: 
Ex1: Determine a divisão 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥), sendo: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 
Resolução: 
 
10 
 
 𝑥3 − 2𝑥 | 𝑥 + 1 
 −𝑥3 − 𝑥2 𝑥2 − 𝑥 − 1 
 −𝑥2 − 2𝑥 
 +𝑥2 + 𝑥 
 −𝑥 
 +𝑥 + 1 
 1 
 
A soma (𝑥3 − 2𝑥) + (−𝑥3 − 𝑥2) é −𝑥2 − 2𝑥 (o 
“novo” dividendo). 
A soma (−𝑥2 − 2𝑥) + (𝑥2 + 𝑥) é – 𝑥 (o “novo” 
dividendo). 
E finalmente, fazendo-se a divisão de – 𝑥 por(𝑥 +
1)encontramos como resultado o número 1. Como 
1 é de grau menor que (𝑥 + 1), tem-se que 1 é o 
resto da divisão. Portanto o quociente da divisão é 
𝑥2 − 𝑥 − 1 e o resto é 1. Então, de [1.5], tem-se 
que: 
(𝑥3 − 2𝑥) ÷ (𝑥 + 1) = (𝑥2 − 𝑥 − 1) + (
1
𝑥 + 1
) 
 
 Método de Briot-Ruffini para a divisão de 
polinômios 
Baseado no Método de Descartes para a divisão 
de polinômios, criou-se um algoritmo simplificado 
para realizar a divisão de um polinômio qualquer 
por um binômio da forma (𝑥 − 𝛼). Esse algoritmo 
simplificado é conhecido como Algoritmo de Briot-
Ruffini, ou também Algoritmo de Redução de 
Ordem. Vamos ilustrar a divisão de 
𝑥4 + 2𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 − 4 pelo polinômio 𝑥 − 5 
utilizandoo Algoritmo: 
a) Coloque do lado direito em ordem 
decrescente de grau os coeficientes do 
dividendo 
 Os coeficientes de 𝑥4 + 2𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 − 4, 
já na ordem decrescente de grau, são: 
1, 2, −5, 2 𝑒 − 4 
b) Do lado esquerdo coloque a raiz do divisor 
 A raiz do divisor (𝑥 − 5) é 𝑥 = 5 
 Devemos então montar o seguinte 
diagrama: 
 
c) “Desce” o 1º coeficiente do dividendo 
 
d) Multiplique pela raiz do divisor e acrescente 
ao resultado o próximo coeficiente do 
dividendo. 
 Multiplicamos então 1 por 5 e somamos 
com 2, resultando em 7: 
 
 Multiplicamos 7 por 5 e somamos com −5, 
resultando em 30: 
 
 Multiplicamos 30 por 5 e somamos com 2 , 
resultando em 152: 
 
 Multiplicamos 152 por 5 e somamos com 
−4, resultando em 756: 
 
e) o último número será o RESTO e, os demais, 
os coeficientes do QUOCIENTE: 
Sendo assim, temos 𝑅(𝑥) = 756 e o quociente é 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 7𝑥2 + 30𝑥 + 152 
11 
 
1.5.3. Raiz de um Polinômio 
A raiz ou o zero de um polinômio 𝑝(𝑥) é o valor que 
torna 𝑝(𝑥) = 0. Para um polinômio de 1ª ordem da 
forma 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
tem-se que a raiz 𝑥1 é dada por 
𝑎𝑥1 + 𝑏 = 0 → 𝑥1 =
−𝑏
𝑎
 
Ex1: Encontre a raiz dos polinômios 
𝑟(𝑥) = 3𝑥 − 5 
𝑠(𝑥) = 6𝑥 + 18 
Resoluções: Primeiramente faz-se 𝑟(𝑥) = 0 e 
calcula-se o respectivo valor de 𝑥1: 
3𝑥1 − 5 = 0 
3𝑥1 = 5 ∴ 𝑥1 =
5
3
 
Repete-se o mesmo procedimento para 𝑠(𝑥): 
6𝑥1 + 18 = 0 
6𝑥1 = −18 ∴ 𝑥1 =
−18
6
= −3 
 
Para um polinômio de 2ª ordem da forma 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
tem-se que as raízes 𝑥1 e 𝑥2 são dadas por 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
em que 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Ex1: Calcule as raízes dos polinômios 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 
𝑘(𝑥) = −8𝑥 + 2𝑥2 + 6 
 
Resolução: Para 𝑔(𝑥) tem-se que 𝑎 = 1, 𝑏 = −3 e 
𝑐 = 2, então: 
∆= (−3)2 − 4.1.2 = 9 − 8 = 1, logo: 
𝑥 =
−(−3) ± √1
2.1
=
3 ± 1
2
, portanto: 
𝑥1 =
3 + 1
2
=
4
2
= 2 
𝑥2 =
3 − 1
2
=
2
2
= 1 
E como para 𝑘(𝑥) tem-se que 𝑎 = 2, 𝑏 = −8 e 𝑐 =
6, então: 
∆= (−8)2 − 4.2.6 = 64 − 48 = 16, logo: 
𝑥 =
−(−8) ± √16
2.2
=
8 ± 4
4
, portanto: 
𝑥1 =
8 + 4
4
=
12
4
= 3 
𝑥2 =
8 − 4
4
=
4
4
= 1 
 
 
 
 
1.5.4. Produtos Notáveis 
Alguns produtos são tão utilizados que acabam 
recebendo nomes e métodos especiais de 
resolução. Eis alguns deles: 
a) Produto da soma pela diferença de dois 
termos:
    2 2x a x a x a    
 
b) Quadrado da soma de dois termos: 
 
2 2 22x a x xa a   
 
c) Quadrado da diferença de dois termos: 
 
2 2 22x a x ax a   
 
d) Cubo da soma de dois termos: 
3 3 2 2 33 3( )x a x x a xa a    
 
e) Cubo da diferença de dois termos: 
 
3 3 2 2 33 3x a x x a xa a    
 
ATENÇÃO: 
 
2 2 2x a x a  
 
12 
 
 
3 3 3x a x a  
 
 Exemplos 
1) 25 𝑎2 − 𝑏2 = 52 𝑎2 − 𝑏2 = (5 𝑎 − 𝑏) (5 𝑎 + 𝑏) 
 
2) 9 𝑥2 + 12 𝑥𝑦 + 4 𝑦2 = 
32 𝑥² + 2.3.2 𝑥 𝑦 + 22 𝑦2 = (3𝑥 + 2𝑦)2 
 
3) 9 𝑣2 + 𝑢2 − 6 𝑢 𝑣 = 32 𝑣2 − 2.3.1 𝑢 𝑣 + 𝑢2 
= (3𝑣 − 𝑢)2 
 
4) (7 + 𝑛)3 = 73 + 3.72𝑛 + 3.7𝑛2 + 𝑛3 
= 343 + 147𝑛 + 21𝑛2 + 𝑛³ 
 
5) 
   
3 3 2 3 2 2
2 3 36 122 3 2 3 2 2 8
4 4 4 4 64 16 4
g g g g g g h gh
h h h h h
       
                   
       
   
3 3 2 3 2 2
2 3 36 122 3 2 3 2 2 8
4 4 4 4 64 16 4
g g g g g g h gh
h h h h h
       
                   
       
   
3 3 2 3 2 2
2 3 36 122 3 2 3 2 2 8
4 4 4 4 64 16 4
g g g g g g h gh
h h h h h
       
                   
        
3 3 2
2 332 3 8
4 64 8
g g g h
h gh h
 
     
 
 
 
6) Qual é o polinômio P que devemos adicionar 
a (x – 2)³ para obter 
 ( x + 3)³ ? 
 
P + (x – 2)³ = (x + 3)³ 
 
P = (x + 3)³ - (x – 2)³ 
 
 
(x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 
27 
(x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8 
 
 
P = x³ + 9x² + 27x + 27 – (x³ - 6x² + 12x -8) = 
 
= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² - 12x +8 = 15x² + 
15x + 35 
 
7) 
    2 2 22 2 2 4l l l l      
 
 
8) 3 3 2
2 3 2 34 4 4 4 64 163 3 4
3 3 3 3 27 3
a a a a a a a
       
                     
       
3 3 2
2 3 2 34 4 4 4 64 163 3 4
3 3 3 3 27 3
a a a a a a a
       
                     
       
 
1.6. Operações Com Expressões Algébricas 
Uma expressão matemática é denominada 
algébrica ou literal quando possui “números e 
letras”. As letras são chamadas variáveis. 
Exemplos: 
1) 𝑥 + 𝑦 2) 3𝑧 + 𝑤2 
3) 4𝑎 − 7𝑏(𝑐 + 3𝑑) 
 
1.6.1Fatoração 
Fatoração significa escrever um número ou uma 
expressão algébrica como produto de outras 
expressões (transformar em fatores). 
Caso 1: Fator comum em evidência 
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥 (𝑎 + 𝑏) 
Exemplos: 
1) 6 𝑎4 − 12 𝑎2 + 18 𝑎3 = 
= 6 (𝑎4 − 2 𝑎2 + 3 𝑎3) → 6 é o maior divisor entre 6, 
12 e 18 
= 6 𝑎2(𝑎2 − 2 + 3 𝑎) → 𝑎2 é o maior divisor entre 
𝑎2, 𝑎3e 𝑎4 
 
2) 3 𝑥2 𝑦 − 9 𝑥 𝑦2 = 3 (𝑥2 𝑦 − 3 𝑥 𝑦2) = 
= 3 𝑥 (𝑥 𝑦 − 3 𝑦2) = 3 𝑥 𝑦(𝑥 − 3 𝑦) 
 
3) − 15 𝑥2 − 20 𝑥3 − 30 𝑥4 − 50 𝑥6 = 
= 5𝑥2(−3 − 4𝑥 − 6𝑥2 − 10𝑥4) 
13 
 
 
4) 3 𝑎 (𝑥 + 𝑦) + 5 𝑏 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) (3 𝑎 + 5 𝑏) 
 
Caso 2: Agrupamento 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = 
= (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) 
Exemplos: 
1) 2 𝑎 𝑚 + 3 𝑏 𝑚 + 2 𝑎 𝑛 + 3 𝑏 𝑛 = 
= 𝑚 (2 𝑎 + 3 𝑏) + 𝑛 (2 𝑎 + 3 𝑏) = 
= (2 𝑎 + 3 𝑏) (𝑚 + 𝑛) 
 
2) 3 𝑎 𝑥 − 3 𝑎 𝑦 − 2 𝑏 𝑥 + 2 𝑏 𝑦 = 
= 3 𝑎 (𝑥 − 𝑦) + 2 𝑏 (−𝑥 + 𝑦) = 
= 3 𝑎 (𝑥 − 𝑦) − 2 𝑏 (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦) (3 𝑎 − 2 𝑏) 
 
Caso 3: Fatoração de Polinômios 
Pode-se escrever um polinômio 𝑝(𝑥)em função de 
suas raízes, utilizando a fatoração: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛−1)(𝑥 − 𝑥𝑛) 
Ex1: Fatore os polinômios 
𝑟(𝑥) = 3𝑥 − 5, 
𝑠(𝑥) = 6𝑥 + 18, 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 
𝑘(𝑥) = −8𝑥 + 2𝑥2 + 6 
 
Resoluções: 
Para 𝑟(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 3 e 𝑥1 = 5/3, então: 
𝑟(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1) 
𝑟(𝑥) = 3 (𝑥 −
5
3
) 
Para 𝑠(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 6 e 𝑥1 = −3, então: 
𝑠(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1) 
𝑠(𝑥) = 6[𝑥 − (−3)] = 6(𝑥 + 3) 
Para 𝑔(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 1 , 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 1 , 
então: 
𝑔(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) 
e para 𝑘(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 2 , 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 1 , 
então: 
𝑘(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
𝑘(𝑥) = 2(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) 
 
1.6.2. Simplificação de Expressões Algébricas 
 
Regra: 
1º Passo: Fatorar o numerador e o denominador 
2º Passo: Dividir numerador e denominador em 
seus fatores comuns 
Exemplos: 
1) 
4𝑥 + 6
2
=
2 (2𝑥 + 3)
2
=
2
2
(2 𝑥 + 3) = 1 (2 𝑥 + 3) 
= 2𝑥 + 3 
 
2) 
−3𝑎2 + 9𝑎
3𝑎
=
3𝑎 (−𝑎 + 3)
3𝑎
= 3 − 𝑎 
 
3) 
𝑥2 + 10𝑥 + 25
𝑥 + 5
=
𝑥2 + 2. 𝑥. 5 + 52
𝑥 + 5
=
(𝑥 + 5)2
𝑥 + 5
 
= 𝑥 + 5 
 
4) 
2𝑢 − 2
𝑢2 − 1
=
2(𝑢 − 1)
(𝑢 − 1)(𝑢 + 1)
=
2
𝑢 + 1
 
 
5) 
4𝑎2 − 12𝑎𝑏 + 9𝑏2
4𝑎2 − 9𝑏2
=
22𝑎2 − 2.2.3𝑎𝑏 + 32𝑏2
22𝑎2 − 32𝑏2
 
=
(2𝑎 − 3𝑏)2
(2𝑎 − 3𝑏)(2𝑎 + 3𝑏)
=
2𝑎 − 3𝑏
2𝑎 + 3𝑏
 
14 
 
 
6) 
6𝑎𝑥 + 3𝑎𝑦 + 6𝑏𝑥 + 3𝑏𝑦
12𝑥2 − 3𝑦2
 
=
3(2𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 2𝑏𝑥 + 𝑏𝑦)
3(4𝑥2 − 𝑦2)
 
=
2𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)
22𝑥2 − 𝑦2
 
=
(𝑎 + 𝑏)(2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦)(2𝑥 + 𝑦)
=
𝑎 + 𝑏
2𝑥 − 𝑦
 
 
1.6.3. Operações com Frações Algébricas 
Adição e Subtração 
Regra: Somar ou subtrair as frações utilizando o 
MMC dos denominadores 
Exemplos: 
 
1) 
𝑦
𝑥
+
𝑥 + 2𝑦
𝑦
=
𝑦2 + 𝑥(𝑥 + 2𝑦)
𝑥 𝑦
=
𝑦2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑦
𝑥 𝑦
 
=
(𝑥 + 𝑦)2
𝑥𝑦
 
 
2) 
2𝑥
𝑦
+ 𝑦 =
2𝑥
𝑦
+
𝑦
1
=
2𝑥 + 𝑦2
𝑦
 
 
3) 3𝑥2 −
3𝑥3
𝑥2
=
3𝑥4 − 3𝑥3
𝑥2
=
3 𝑥2(𝑥2 − 𝑥)
𝑥2
 
= 3 (𝑥2 − 𝑥) 
 
4) 
𝑥 + 3
𝑥2 − 9
+
1
𝑥 + 3
=
𝑥 + 3
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
+
1
(𝑥 + 3)
 
=
1(𝑥 + 3) + (𝑥 − 3)1
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
= 
=
𝑥 + 3 + 𝑥 − 3
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
2𝑥
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
2𝑥
𝑥2 − 9
 
 
5) 
2 𝑎
12 𝑎2 − 3 𝑏2
+
𝑏
12 𝑎2 − 3 𝑏2
=
2 𝑎 + 𝑏
12 𝑎2 − 3 𝑏2
 
=
2 𝑎 + 𝑏
3 (4 𝑎2 − 𝑏2)
= 
=
2 𝑎 + 𝑏
3 (2 𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)
=
1
3 (2 𝑎 − 𝑏)
 
 
6) 
𝑎2 − 4
𝑎 − 2
−
𝑎 + 2
𝑎2 − 4
= 
=
(𝑎 − 2)(𝑎 + 2)
𝑎 − 2
−
𝑎 + 2
(𝑎 + 2)(𝑎 − 2)
= 
=
𝑎 + 2
1
−
1
𝑎 − 2
= 
=
(𝑎 − 2)(𝑎 + 2) − 1
𝑎 − 2
=
𝑎2 − 4 − 1
𝑎 − 2
=
𝑎2 − 5
𝑎 − 2
 
 
Multiplicação 
Regra: Multiplicar entre si tanto os numeradores 
quanto os denominadores. 
Exemplos: 
1)
3
2 𝑥
 .
𝑥2
6
=
3 𝑥2
12 𝑥
=
3 𝑥 (𝑥)
3 𝑥 (4)
=
𝑥
4
 
 
2)
4 𝑥2 − 4
2 𝑥 + 2
 .
2
𝑥 − 1
=
2 (4 𝑥2 − 4)
(2 𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
 
=
2 (2 𝑥 + 2)(2 𝑥 − 2)
(2 𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
 
=
2 . 2 (𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
= 4 
 
3)
6 𝑥 − 3
𝑥
 .
𝑥2
2 𝑥 − 1
=
(6 𝑥 − 3)𝑥2
𝑥 (2 𝑥 − 1)
=
3 (2𝑥 − 1)𝑥2
(2𝑥 − 1) 𝑥
= 3𝑥 
 
4)
6 𝑥 − 3
𝑥
 .
𝑥−2
2 𝑥 − 1
=
6𝑥 − 3
𝑥
 .
1
𝑥2(2 𝑥 − 1)
 
15 
 
=
(6𝑥 − 3)
𝑥3 (2 𝑥 − 1)
=
3 (2 𝑥 − 1)
𝑥3(2 𝑥 − 1)
=
3
𝑥3
 
 
Divisão 
 
Regra: Conservar a 1𝑎 fração e multiplica pelo 
inverso da 2𝑎fração. 
Exemplos: 
1)
3
2 𝑥
 ÷
𝑥2
6
=
3
2 𝑥
.
6
𝑥2
=
18
2 𝑥3
=
9
𝑥3
 
 
 
2)
𝑥2 + 2 𝑥 𝑦 + 𝑦2
𝑥 − 𝑦
 ÷
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
= 
=
𝑥2 + 2 𝑥 𝑦 + 𝑦2
𝑥 − 𝑦
.
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
= 
=
(𝑥 + 𝑦)2(𝑥 − 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
= 𝑥 + 𝑦 
 
 
3) 2 𝑥 + 6 ÷
4 𝑥2 − 36
2 𝑥 − 6
+
1
2𝑥 − 6
 
=
2 𝑥 + 6
1
.
2𝑥 − 6
4 𝑥2 − 36
+
1
2 𝑥 − 6
= 
=
(2 𝑥 + 6)(2 𝑥 − 6)
4 𝑥2 − 36
+
1
2 𝑥 − 6
 
=
4 𝑥2 − 36
4 𝑥2 − 36
+
1
2𝑥 − 6
= 1 +
1
2 𝑥 − 6
= 
=
2 𝑥 − 6 + 1
2 𝑥 − 6
=
2 𝑥 − 5
2 𝑥 − 6
=
2 𝑥 − 5
2 (𝑥 − 3)
 
 
 
16 
 
Exercícios 
 
1) Encontre o valor de A 
𝐴 =
1 −
1
4
+
1
1+
1
4
1 +
1
4
−
1
1+
1
4
 
 
2) Calcule a expressão 
(
2𝑎
𝑥 − 3
+
𝑎
𝑥
−
2𝑎𝑥
𝑥2 − 3𝑥
) .
𝑥
2𝑎
 
 
3) Encontre o valor de x que satisfaz a equação 
22𝑥+1 − 3. 2𝑥+2 = 32 
 
4) Reduza à expressão mais simples 
 
 
 
5)Encontre o Valor de y 
 
𝑦 =
3−2 + 2−1
√1 − 7. 2−3
3 
 
6)Sabendo que log3(7x - 1) = 3 e que log2(y3 + 3) 
= 7, calcule logy(x2 + 9) 
 
7) Sabendo que 𝑥 = 2 é raiz de 𝑥3 − 8𝑥2 + 37𝑥 −
50, determine suas outras raízes. 
 
8) A solução para o sistema de equações 
 
 
9) Calcule o Log24 6 em função de x e y, sabendo 
que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y. 
 
10) Resolva a equação 
log(x + 2) + log(x – 2) = 1 
 
11) Racionalize 
13
13
13
13





 
 
12) A expressão [ 2.(x2y).(3x2y3) ] : (x2y2) é igual 
a: 
 
13) Efetue o produto 
(3𝑎𝑏 − 6𝑎𝑏2 + 5) . (−
5𝑎
3
+
2𝑏2
𝑎
) 
 
14) Determine o quociente e o resto da seguinte 
divisão 
2𝑥3 − 9𝑥2 + 10𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 1
 
 
15) Calcule os valores de a, b, c e d para que o 
polinômio p(x) = a(x+c)³ +b(x+d) seja idêntico a 
q(x)= x³ +6x² +15x+14 
 
16) Simplifique a expressão 
𝑥2−1
𝑥2−2𝑥+1
𝑥2+2𝑥+1
𝑥−1
 
17 
 
17) Simplificar a expressão 


















 
ab2b
ab2a
ab2b
ab2a2b2a
 
 
18) Calcule . 
 
 
19) Resolva a expressão 
𝑥 + 𝑦
𝑎2 − 6𝑎 + 9
 . 
𝑎 − 3
𝑥2 − 𝑦²
 
 
20) Resolva a expressão 
(
𝑥+1
𝑥−2
+
𝑥−3
𝑥+2
)
2𝑥2−2𝑥+8
𝑥−2
 
 
21) Sabendo – se que 𝑥 ∈ ℝ mostre que a 
expressão: 
𝑥 = √2 + √2 + √2 + √2 +⋯ 
é igual a 2. 
22) Simplifique a expressão 
2𝑎√1+𝑥2
𝑥+√1+𝑥2
 sabendo 
que 𝑥 =
1
2
(√
𝑎
𝑏
−√
𝑏
𝑎
 ); 
(0 < 𝑏 < 𝑎) 
23) Qual o último algarismo (algarismo das 
unidades) do número 14(14
14) ? 
 
 
24) Se: 
6 − 5𝑥
𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥
=
𝐴
𝑥 − 𝑎
+
𝐵
𝑥 − 𝑏
+
𝐶
𝑥 − 𝑐
 
Onde 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são reais e 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são raízes da 
equação 𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥. Calcule 𝐴, 𝐵 e 𝐶. 
 
 
18 
 
Gabarito de Aritmética e Expressões Algébricas 
1) A = 
31
9
 
2) 
1
2
 
3) x = 4 
4) 𝑎
1
3⁄ . 𝑎
5
24⁄ 
5) y = 
11
9
 
6) 𝐿𝑜𝑔𝑦(𝑥
2 + 9) = 2 
7) x’ = 3 + 4i; x’’ = 3 - 4i 
8) x = 4; y = 9 
9) 𝐿𝑜𝑔246 = 
𝑥
𝑥+𝑦
 
10) x = ±√14 
11) 4 
12) 6x²y² 
13) -15a²b + 6b² - 12b² + 10b²/a – 25/3a 
14) q(x) = 2x - 3; r(x) = -x + 1 
15) a = 1; b = 3; c = 2; d = 2 
16) 
1
𝑥+1
 
17) b² - a² 
18) -5 
19) 
1
(𝑎−3)(𝑥−𝑦)
 
20) 
1
𝑥+2
 
22) 
𝑎+𝑏
2√𝑎𝑏
 
23)...6 
24) A = 1; B = -2/5; C = -3/5 
 
19 
 
2. Intervalos, Inequações e Módulo 
2.1. Intervalos 
Intervalos são trechos contínuos da reta numérica. 
Que podem ser delimitados conforme conveniência 
ao estudo do problema abordado 
 
2.1.1. Intervalos Limitados 
Sejam a e b números reais com a < b 
a) Intervalo aberto de a até b 
(𝑎, 𝑏) = ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℜ |𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 
 
 
 
Obs: a e b não fazem parte do intervalo, apenas o 
limitam. 
b) Intervalo fechado de a até b 
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ |𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
 
 
Obs: a e b fazem parte do intervalo, e o limitam. 
c) Intervalo aberto à direta de a até b 
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℜ |𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} 
 
 
Obs: a limita o intervalo e faz parte dele, b limita 
mas não faz parte. 
d) Intervalo aberto à esquerda de a até b 
(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ |𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
 
Obs: a limita o intervalo mas não faz parte dele, b 
limita o intervalo e faz parte dele. 
2.1.2. Intervalos Não Limitados 
a) Intervalo aberto de a até +∞ 
(𝑎, +∞) = ]𝑎,+∞[ = {𝑥 ∈ ℜ |𝑥 > 𝑎} 
 
 
b) Intervalo fechado de a até +∞ 
[𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℜ |𝑥 ≥ 𝑎} 
 
 
c) Intervalo aberto de −∞ até a 
(−∞, 𝑎) = ]−∞, 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℜ |𝑥 < 𝑎} 
 
 
d) Intervalo fechado de −∞ até a 
(−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℜ |𝑥 ≤ 𝑎} 
 
 
 
2.2. Inequações 
Resolver uma inequação é determinar todos os 
valores da variável que torna verdadeira a 
inequação. Este conjunto de valores é chamado 
conjunto solução da inequação. O conjunto solução 
representa um trecho contínuo do eixo de 
coordenadas, ou seja, representa um intervalo. 
2.2.1Regras para trabalhar com desigualdades 
Sejam a, b, c, e d números reais 
i) Se 𝑎 < 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 
ii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑑 então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 
iii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então 
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 e 𝑎/𝑐 < 𝑏/𝑐 com 𝑐 ≠ 0 
iv) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 0 então 
 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 e 𝑎/𝑐 > 𝑏/𝑐 com 𝑐 ≠ 0 
a b 
a b 
a b 
a 
a 
 aa 
a b 
20 
 
Obs: Isto significa que se formos multiplicar ou 
dividir por um número negativo devemos inverter o 
sinal da desigualdade 
v) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑏 < 𝑐 , ou seja, 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 então 𝑎 <
𝑐 
Nestas regras também podemos usar as 
desigualdades não estritas ≤ e ≥. 
Exemplos: 
Resolva as inequações e represente o conjunto 
solução na reta numérica: 
1) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1 
𝑥 − 5𝑥 < −1 − 3 
−4𝑥 < −4 x (-1) 
4 𝑥 > 4 
𝑥 > 1 
 
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ |𝑥 > 1} 
 
2) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5 
Separando em duas inequações temos: 
𝐴) 13 ≥ 2𝑥 − 3 
 13 + 3 ≥ 2𝑥 
2𝑥 ≤ 16 → 𝑥 ≤ 8 
𝑆𝐴 = {𝑥 ≤ 8} 
e (significa a interseção) 
𝐵) 2𝑥 − 3 ≥ 5 
2𝑥 ≥ 8 → 𝑥 ≥ 4 𝑆𝐵 = {𝑥 ≥ 4} 
 
 
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 4 ≤ 𝑥 ≤ 8} 
2.3. Módulo ou Valor Absoluto 
O nome módulo deriva do latim modulus, que 
significa medida, comprimento (valor 
necessariamente positivo). Pode-se dizer que 
módulo é o mesmo que distância de um número 
real (positivo ou negativo) à origem da reta 
numérica, sendo a origem tida como ponto de 
referência. 
O módulo de um número real 𝑥 também é 
conhecido como valor absoluto de 𝑥. 
 
2.3.1. Interpretação Geométrica 
O módulo ou valor absoluto de um número real é, 
na reta numérica, a distância entre este número e a 
origem. 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
O número -2 está a 2 unidades de medida à 
esquerda da origem. Assim, sua distância à origem 
é 2. Dizemos, então, que o módulo ou valor 
absoluto de -2 é 2, indicado por |−2| = 2. 
O número 3 está a 3 unidades de medida à direita 
da origem. Assim, sua distância à origem é 3. 
Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de 
3 é 3, indicado por |3| = 3. 
Se considerarmos dois números reais x e y 
associados aos pontos X e Y na reta real, então |x 
– y| corresponde a distância entre os dois pontos. 
 
𝑥 ≤ 8 
𝑥 ≥ 4 
𝑆𝐴 ∩ 𝑆𝐵 
[4 , 8] 
1 
(1, +∞) 
0 -2 3 
2 3 
ℜ 
21 
 
 
 
 
2.3.2 Definição de Módulo de um Número Real 
O módulo de um número real irá seguir duas 
opções: 
O módulo ou valor absoluto de um número real é o 
próprio número, se ele for positivo ou zero. 
O módulo ou valor absoluto de um número real 
será o seu simétrico, se ele for negativo. 
Assim, dado x ∈ℝ, definimos o módulo (ou valor 
absoluto) de x, o qual é indicado por |x|, como 
segue: 
|𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
De acordo com a definição acima, para todo x, 
|𝑥| ≥ 0, ou seja, o módulo de um número real é 
sempre positivo. 
 
2.3.3. Propriedades 
i) |𝑥| ≥ 0 
ii) |𝑥| = | − 𝑥| 
iii) −|𝑥| ≤ 𝑥 ≤ |𝑥| 
iv) |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦| 
v) |𝑥/𝑦| = |𝑥|/|𝑦| com 𝑦 ≠ 0 
vi) |𝑥| = |𝑦| 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ±𝑦 
vii) |𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
viii) |𝑥| ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎 
 
ix) √𝑥𝑛
𝑛
= {
|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟
 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
 
x) Desigualdade Triangular 
|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| 
 Observe que:|𝑥 + 𝑦| ≠ |𝑥| + |𝑦| 
Exemplos: 
1) Considerando |𝑎| = 10, |𝑏| = 2 e 𝑐 = −5, calcule 
as expressões: 
𝑎) |𝑎2. 𝑏| 
|𝑎2. 𝑏| = |𝑎2|. |𝑏| = |𝑎|. |𝑎|. |𝑏| = 10.10.2 = 200 
𝑏) |
𝑎
𝑐
| 
|
𝑎
𝑐
| =
|𝑎|
|𝑐|
=
10
| − 5|
=
10
5
= 2 
𝑐) √𝑐2
2
 
√𝑐2
2
= |𝑐| = |−5| = 5 
𝑑) √𝑐3
3
 
√𝑐3
3
= 𝑐 = −5 
𝑒) |𝑎 − 𝑏| 
|𝑎 − 𝑏| = |𝑎 + (−𝑏)| ≤ |𝑎| + |𝑏| 
|𝑎 − 𝑏| ≤ 10 + 2 
|𝑎 − 𝑏| ≤ 12 
 
2) Resolva a equação |2𝑥 + 1| = 3. 
Solução: Da definição de módulo, temos que: 
|2𝑥 + 1| = 2𝑥 + 1 se (2𝑥 + 1) ≥ 0 
ou 
|2𝑥 + 1| = −( 2𝑥 + 1) se (2𝑥 + 1) < 0 
Dessa forma, 2𝑥 + 1 = 3 ou −(2𝑥 + 1) = 3. 
 2𝑥 + 1 = 3 → 2𝑥 = 3 − 1 → 2𝑥 = 2 → 
𝑥 =
2
2
= 1 
 -(2𝑥 + 1) = 3 → −2𝑥 − 1 = 3 → 
−2𝑥 = 4 → 𝑥 =
4
−2
= −2 
Assim, o conjunto-solução é o seguinte: 
 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = −2}. 
22 
 
 
3) Resolva a equação |𝑥 − 𝑥𝑜| = 𝜀, com 𝜀 > 0 . 
Temos que 𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝜀 𝑜𝑢 − ( 𝑥 − 𝑥𝑜) = 𝜀 , 
equivalente a 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝜀 ou 𝑥 = 𝑥𝑜 − 𝜀 . 
Observando na reta real, percebe-se que o número 
x está a uma distância 𝜀 de 𝑥𝑜. 
 
4)Resolva a inequação |3𝑥 + 2| ≥ 5 
Da propriedade (viii) do módulo temos: 
3𝑥 + 2 ≥ 5 ou 3𝑥 + 2 ≤ −5 
Lembre que ou em matemática significa união. 
Resolvendo as inequações: 
𝐴) 3𝑥 + 2 ≥ 5 
3𝑥 ≥ 3 → 𝑥 ≥ 1 
B) 3𝑥 + 2 ≤ −5 
3𝑥 ≤ −7 
𝑥 ≤ −7/3 
 
 
 
 
 
(−∞,−7 3⁄ ] ∪ [1, +∞ 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ |𝑥 ≤ −
7
3
 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1} 
3)Resolva a inequação (𝑥 − 3)4 ≤ 16 
(𝑥 − 3)4 ≤ 16 
√(𝑥 − 3)4
4
≤ √16
4
 
Da propriedade (ix) do módulo 
√(𝑥 − 3)4
4
= |𝑥 − 3| 
então 
|𝑥 − 3| ≤ 2 
Da propriedade (vii) do módulo 
−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2 
Resolvendo as inequações 
𝐴) 𝑥 − 3 ≤ 2 
 𝑥 ≤ 5 
E (usar interseção) 
B) −2 ≤ 𝑥 − 3 
 1 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≥ 1 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ |1 ≤ 𝑥 ≤ 5} 𝑆=[1 , 5] 
 
4) Resolver a inequação modular |2𝑥 − 5| < 3. 
Solução: Da propriedade (vii) do módulo temos 
que: 
−3 < 2𝑥 − 5 < 3 
Resolvendo sem separar as inequações: 
−3+ 5 < 2𝑥 < 3 + 5 
2 < 2𝑥 < 8 
 
2
2
< 𝑥 <
8
2
 
 1 < 𝑥 < 4 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 < 𝑥 < 4} 
 
5) Resolver a inequação modular |6 − 2𝑥| ≥ 7. 
Solução: Da propriedade (vii), temos que: 
-7/3 
 1 
 -7/3 1 
1 
 5 
 1 5 
23 
 
6 − 2𝑥 ≤ −7 
−2𝑥 ≤ −7 − 6 
−2𝑥 ≤ −13 → 𝑥 ≥
13
2
 
Ou 
 
6 − 2𝑥 ≥ 7 
−2𝑥 ≥ 7 − 6 
−2𝑥 ≥ 1 → 𝑥 ≤
−1
2
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≤
−1
2
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
13
2
} 
 
24 
 
Exercício de Intervalos 
1) Escreva na forma de intervalo cada representação 
geométrica dada abaixo. 
 
2) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma 
de intervalo e na forma geométrica: 
 
 
3) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma 
geométrica: 
 
4) Sendo A = ]-3,4[ e B = [-1,6[, calcule A U B, A 
∩ B, A – B e B – A. 
 
 
5) Dados A = ]-3,2]; B = ]-1,4[ e 
C = (-∞, +∞) determine: 
 
a) (A U C) ∩ B 
b) (B U C) - A 
c) A – B 
d) B – C 
e) (C – A) ∩ B 
f) A ∩ B 
 
Exercício de Inequações 
6) Resolva a seguinte inequação: 
a) 
5𝑥
4
+
𝑥
2
≤ 2𝑥 − 1 
b) 
4𝑥−4
3
− 2𝑥 − 2 > 3𝑥 +
1
3
 
c) 
2𝑥−4
3
+
𝑥+1
4
>
𝑥−1
2
+ 𝑥 
d) 𝑥2 + 1 < 2𝑥2 − 3 ≤ −5𝑥 
 
7) Determine a solução das inequações: 
a) (x - 2).(-x2 + 3x + 10) > 0. 
b) (x2 - 8x + 12).(x2 - 5x) > 0. 
c) (x - 5).(x2 - 2x - 15) ≤ 0 
d) (x2 - 4).(5x2 + x - 4) ≥ 0 
e) 
2𝑥−3
1−𝑥
 ≥ 0 
 
Exercício de Módulo 
8) Resolva as equações: 
a) |5𝑥 − 3| = 12 
b) |3𝑥 + 2| = 5 – x 
c) | 3x+1 | = | x-3 | 
c) 
d) 
e) |xl 2 + |x| - 6 = 0 
25 
 
9) Resolver a inequação 
a) | x2 - 4 | < 3x. 
b) |
2𝑥+1
𝑥−1
| <
1
2
 
c) |𝑥 + 1| < |2𝑥 − 1| 
d) |𝑥 − 3| < 𝑥 + 1 
10) Elimine o módulo: 
a) |𝑥 + 1| + |𝑥| 
b) |𝑥 + 2| − |𝑥 + 1| 
c) |2𝑥 − 1| + |𝑥 − 2| 
d) |𝑥| + |𝑥 − 1| + |𝑥 − 2| 
 
 
26 
 
Gabarito de Intervalos, Inequações e Módulo 
1.a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 2 < 𝑥 ≤ 3} 
1.b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥ 4} 
1.c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < −5} 
1.d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 0 < 𝑥 < 1} 
2.a) [6,10] 
2.b) [1,5] 
2.c) [-4,+∞) 
2.d) (-∞,1[ 
4) AU B ]-3,6[ ; A ∩ B [-1,4[ ; A – B [-3,-1[ ; 
B – A [4,6[ 
5.a) ]-1,4[ 
5.c) ]-3,-1] 
5.d) não existe 
6.a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥ 4} 
6.b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < −1} 
6.c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < −1} 
6.d) x² + 1 < 2x² - 3 ≤ -5x 
7.a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −2 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 5} 
7.b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 2 𝑜𝑢 0 < 𝑥 < 5 𝑜𝑢 𝑥 > 6} 
7.c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −3} 
7.d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 − 1 ≤ 𝑥 ≤
4
5
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
2} 
7.e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|1 < 𝑥 < 3/2} 
8.a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −9/5} 
8.b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3/4 𝑜𝑢 𝑥 = −7/2} 
8.c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2} 
8.c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 + 3√2 𝑜𝑢 𝑥 = 3 −
3√2 𝑜𝑢 𝑥 = −3} 
8.d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = ±1/2} 
8.e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2} 
9.a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|1 < 𝑥 < 4} 
9.b) 𝑆 = {Ø} 
9.c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
10.a) 𝑆 = {
−2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
1, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 0
2𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
} 
10.b) 𝑆 = {
−1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−2𝑥 − 3, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
1, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
} 
10.c) 𝑆 = {
−3𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 1/2
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 1/2 ≤ 𝑥 ≤ 2
3𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
} 
10.d) 𝑆 = {
−3𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 2
3𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
} 
27 
 
3. Função 
3.1. Definição 
No estudo científico e na engenharia muitas vezes 
precisamos descrever como uma quantidade varia 
ou depende de outra. O termo função foi 
primeiramente usado por Leibniz justamente para 
indicar essa dependência ou variação. 
Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e 
B é uma função de A em B, representado por 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 , se todos os elementos do conjunto A 
estão associados a um e somente um elemento do 
conjunto B. 
Vamos analisar alguns tipos de relações e verificar 
se são funções. 
 
(a) Esta relação não é uma função, pois o 
elemento 3, pertencente a A, está associado a dois 
elementos de B 
 
 
(b) Esta relação não é uma função, pois o 
elemento 1, pertencente a A, não está associado a 
elemento algum de B 
 
 
(c) Esta relação é uma função. 
3.2. Domínio, Contradomínio e Imagem 
Considere a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 indicada no diagrama 
de fechas: 
 
Ao conjunto A damos o nome de domínio da 
função. Neste nosso exemplo o domínio da função 
𝑓 é representado por 𝐷(𝑓) = { − 3, 0, 3 }, ou seja, 
o domínio contém todos os elementos do 
conjunto A. 
Ao conjunto B damos o nome de contradomínio 
da função. No exemplo, o contradomínio da função 
𝑓 é representado por 𝐶𝐷(𝑓) = { 0, 9, 18 }, isto é, o 
contradomínio contém todos os elementos do 
conjunto B. Segundo o conceito de função não é 
necessário que todos os elementos de B estejam 
relacionados aos elementos do domínio. Note que 
no conjunto B o elemento 18 não está relacionado 
a qualquer elemento de A. Um elemento do 
contradomínio B pode estar associado a mais de 
um elemento do domínio. Como exemplo temos o 
elemento 9 que está associado aos elementos do 
domínio -3 e 3. 
Os elementos do conjunto imagem são todos os 
elementos do contradomínio que estão associados 
a algum elemento do domínio. No exemplo, o 
conjunto imagem é representado por 
𝐼𝑚(𝑓) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos 
do 𝐶𝐷(𝑓) que estão associados a algum elemento 
do 𝐷(𝑓). Nesta função, o conjunto imagem é um 
subconjunto do contradomínio, pois o elemento 
18 de B não está contido no conjunto imagem, por 
não estar associado a nenhum elemento do 
domínio. 
Na representação cartesiana temos que Domínio é 
o conjunto das abscissas dos pontos tais que as 
retas verticais conduzidas por esses pontos 
interceptam o gráfico de 𝑓 , isto é, é o conjunto 
formado por todas as abscissas dos pontos do 
gráfico de 𝑓. Imagem é o conjunto das ordenadas 
dos pontos tais que as retas horizontais 
A 
1 
2 
3 
B 
a 
b 
c 
d 
e 
A 
1 
2 
3 
B 
a 
b 
c 
d 
e 
A 
1 
2 
3 
B 
a 
b 
c 
d 
e 
28 
 
conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico 
de 𝑓 , isto é, é o conjunto formado por todas as 
ordenadas dos pontos do gráfico de 𝑓. 
A função 𝑓 de A em B, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , deste exemplo, 
pode ser expressa pela seguinte lei de associação: 
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
ou ainda como 
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑦 = 𝑥2 
A variável 𝑓(𝑥) ou 𝑦 é chamada de variável 
dependente, pois depende de 𝑥, já a variável 𝑥 é 
chamada de variável independente, pois 
independentemente de y, pode representar 
qualquer elemento do domínio A 
IMPORTANTE: Não confundir 𝒇 e 𝒇(𝒙) : 𝑓 é o 
“nome” da função, enquanto 𝑓(𝑥) é o valor que a 
função 𝑓 assume no ponto 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). 
A definição da função leva em conta tanto o 
domínio quanto o contradomínio, relacionando-os. 
O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra 
de associação, no caso f(x) = x2, como também do 
D(f) e do CD(f). 
Quando a função 𝑓 é definida apenas pela lei de 
associação, sem especificação dos conjuntos 𝐴 e 
𝐵 , convenciona-se que o contradomínio 𝐵 seja o 
conjunto dos números reais. O domínio é o 
conjunto dos números reais, desconsiderando os 
valores de 𝑥 para os quais não é possível obter, 
pela lei de associação, uma imagem real. Diz-se, 
então, que a função 𝑓 é uma função real de 
variável real. 
Exemplos: 
1) Dada a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 2, determine 
[𝑓(0) − 𝑓(2)]/𝑓(1) 
𝑓(0) = 4.02 − 2 = −2 
𝑓(2) = 4. 22 − 2 = 14 
𝑓(1) = 4.12 − 2 = 2 
[𝑓(0) − 𝑓(2)]
𝑓(1)
=
−2 − 14
2
= −
16
2
= −8 
 
2) Exercício Proposto: Considere a função 
𝑓 (𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1. 
Calcule o valor da constante 
𝑏 = {[𝑓(1)]2 − 2. 𝑓(1)}/4𝑓(0) 
e um número real 𝑎 de modo que 𝑓 (𝑥) = 0. 
Resposta: 𝑏 = 2 ; 𝑎 = −1 (multiplicidade 2). 
3) Seja 𝑓 uma função que identifica a letra inicial do 
nome de uma pessoa. Considere esta função 
aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas 
José, Lia, Mário, Maria e Vítor. Determine o 
Domínio, a Imagem e o Contradomínio da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷(𝑓) = { 𝐽𝑜𝑠é, 𝐿𝑖𝑎,𝑀á𝑟𝑖𝑜,𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑉𝑖𝑡𝑜𝑟} 
𝐼(𝑓) = { 𝐽, 𝐿,𝑀, 𝑉} 
𝐶𝐷(𝑓) = 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜 
4) Encontre o Domínio e a Imagem da função 𝑓 
que calcula o quadrado de um número. 
Como não há especificação do domínio e do 
contradomínio, considera-se a função 𝑓 como uma 
função real de variável real. Chamando a variável 
independente de 𝑥 e a variável dependente de 𝑦, a 
função 𝑓 pode ser representada pela equação: 
𝑦 = 𝑥2. 
Como para qualquer valor de 𝑥 ∈ ℜ , (negativo, 
zero, positivo) é possível calcular o valor de 𝑦, tem-
se: 
𝐷(𝑓) = {ℜ} 
Se 𝑥 < 0 então 𝑦 = 𝑥2 > 0; se 𝑥 = 0 então 𝑦 = 0 e 
se 𝑥 > 0 então 𝑦 > 0. Portanto, 𝑦 poderá ser zero 
ou um número positivo, assim: 
𝐼(𝑓) = {𝑦 𝜖 ℜ| 𝑦 ≥ 0} = [0,+∞) 
 
𝑥 = 𝐽𝑜𝑠é 
𝑥 = 𝐿𝑖𝑎 
𝑥 = 𝑀á𝑟𝑖𝑜 
𝑥 = 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 
𝑥 = 𝑉í𝑡𝑜𝑟 
𝑦 = 𝑓(𝐽𝑜𝑠é) = 𝐽 
𝑦 = 𝑓(𝐿𝑖𝑎) = 𝐿 
𝑦 = 𝑓(𝑀á𝑟𝑖𝑜) = 𝑀 
𝑦 = 𝑓(𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎) = 𝑀 
𝑦 = 𝑓(𝑉í𝑡𝑜𝑟) = 𝑉 
29 
 
5) Encontre o Domínio e a Imagem da função 𝑔 
que calcula a área de um quadrado. 
Chamando o comprimento do lado do quadrado de 
𝑥 e sua área de 𝑦, podemos calcular a área de uma 
seção quadrada como 𝑥. 𝑥 = 𝑥2. Assim, a função 𝑔 
pode ser representada pela equação 𝑦 = 𝑔(𝑥) =
𝑥2. 
Só é possível calcular a área 𝑦 de um quadrado se 
o tamanho de seu lado for maior do que zero 
𝐷(𝑔) = {𝑥 𝜖 ℜ| 𝑥 > 0} = (0,+∞) 
Como 𝑥 é sempre maior do que zero, a área 
𝑦 calculada pela equação 𝑦 = 𝑥2 será sempre um 
número maior do que zero;𝐼𝑚(𝑔) = {𝑦 𝜖 ℜ| 𝑦 > 0} = (0,+∞) 
Observe que a função 𝑓, que calcula o quadrado 
de um número, e a função 𝑔, que calcula a área de 
um quadrado, podem ser expressas pela mesma 
equação 𝑦 = 𝑥2 , porém não são funções iguais, 
pois seus domínios são diferentes. 
Duas funções 𝒇 e 𝒈 são iguais se elas têm o 
mesmo domínio e se 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) para todo 𝒙 do 
domínio. 
6) Calcule o domínio da função: 
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 
Como √2𝑥 − 4 só é possível em IR se 2𝑥 − 4 ≥ 0, 
ou seja, x ≥ 2, então: 
D = {x IR | x ≥ 2} 
7) Calcule o domínio da função: 
𝑓(𝑥) =
5
𝑥 + 1
 
Como o termo x + 1 é o denominador da função, 
ele não pode ser nulo (pois não existe divisão por 
zero). Portanto x + 1 ≠ 0, ou seja, x ≠ -1. 
D = {x IR | x ≠ -1} 
8) Calcule o domínio da função: 
𝑓(𝑥) =
(√𝑥 − 2)
(√3 − 𝑥)
. 
Como visto anteriormente: √𝑥 − 2 ≥ 0. Portanto 
𝑥 – 2 ≥ 0, ou seja, 𝑥 ≥ 2 (condição 1). 
Além disso, √3 − 𝑥 > 0, ou seja, x < 3. Mas como 
ele está no denominador, ele não pode ser igual a 
zero, portanto, x < 3 (condição 2). 
Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 
2 obtemos a solução representada na figura a 
seguir. 
 
Portanto, D = {x IR | 2 ≤ x < 3}. 
9) Determine o domínio da função: 
 
2
1
1)(



z
z
zzh
 
 Devemos ter simultaneamente: 
 21/
21
)2(202
)1(101




zzzD
ssD
szz
szz
 
3.3. Tipos de Funções 
 Função Sobrejetora: 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é sobrejetora se, e somente 
se, o seu conjunto imagem for especificadamente 
igual ao contradomínio. 
 
 
 
 
 Função Injetora: 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora se os elementos 
distintos do domínio tiverem imagens distintas. 
A B 
30 
 
 
 
 
 
 
 Função Bijetora: 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetora se ela é injetora e 
sobrejetora. Isto é, se os elementos distintos do 
domínio tiverem imagens distintas e o conjunto 
imagem for igual ao contradomínio. 
 
 
 
 
 
3.3.1 Outros tipos de funções 
3.3.1.1 Função Crescente 
Definição: 
A função 
BAf :
 definida por 
)(xfy 
 é 
crescente no conjunto 
AA 
1
 se, para dois 
valores quaisquer 
1
x
 e 
2
x
 pertencentes a 
1
A
, com 
21
xx 
 tivermos 
)()(
21
xfxf 
. 
Em símbolos: 
f
é crescente quando 
))()(();(
212121
xfxfxxxx 
 
A função é crescente em um determinado intervalo 
se, ao aumentarmos o valor atribuído a 𝑥, o valor 
de 𝑦 também aumenta (coeficiente angular 
positivo). 
 
Gráfico: 
 
Exemplo: 
A função 
xxf 2)( 
 é crescente em 

, pois: 
)(;22
:);()(
2,12121
2121


xxxxxx
assimxfxfxx 
3.3.1.2 Função Decrescente: 
Definição: 
A função 
BAf :
 definida por 
)(xfy 
 é 
decrescente no conjunto 
AA 
1
 se, para dois 
valores quaisquer 
1
x
 e 
2
x
 pertencentes a 
1
A
, com 
21
xx 
 tivermos 
)()(
21
xfxf 
. 
Em símbolos: 
f
é decrescente quando 
))()(();(
212121
xfxfxxxx 
 
A função é decrescente em um determinado 
intervalo se, ao aumentarmos o valor atribuído a 𝑥, 
o valor de 𝑦 diminui (coeficiente angular negativo). 
Gráfico: 
 
 
Exemplo: 
B A 
B A 
31 
 
A função 
xxf 2)( 
 é decrescente em 

, pois: 
)(;22
:);()(
2,12121
2121


xxxxxx
assimxfxfxx 
Função Constante 
Toda função 𝑓:ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑘, com 𝑘 ∈
 ℜ é denominada função constante. 
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘 
Na função constante, todos os elementos do 
domínio terão sempre o mesmo valor de imagem, 
isto é, ao variarmos 𝑥 encontramos sempre o valor 
𝑘. 
O diagrama de flechas abaixo representa este tipo 
de função. 
 
O gráfico de uma função constante é uma reta 
paralela ao eixo X que cruza o eixo Y em 𝑦 = 𝑘. Ou 
seja, passa pelo ponto (0, 𝑘). 
Exemplo: Plote o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 
Para qualquer valor de 𝑥 o valor da imagem da 
função é igual a 2. Por exemplo, se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) =
2, se 𝑥 = 4 → 𝑓(4) = 2. Assim, o gráfico da função 
é uma reta paralela ao eixo X e que passa pelo 
ponto (0, 2). 
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 2 
 
 
Função Identidade 
Uma aplicação 
f
 de 

 em 

,recebe o nome de 
função identidade quando a cada elemento 
x
 
associa o próprio 
x
, isto é: 
xx
f

: 
O gráfico da função identidade é uma reta que 
contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. 
A imagem é 
Im
 
Gráfico: 
 
Função Par e Função Ímpar 
Uma função 𝑓 é dita ser uma função par se: 
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
O gráfico de uma função par é simétrico em 
relação ao eixo dos Y. 
Uma função 𝑓 é dita ser uma função impar se: 
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
O gráfico de uma função impar é simétrico em 
relação à origem do sistema cartesiano. 
Exemplos: 
Dada a função 𝑓 determine se ela é uma função 
par ou uma função impar. 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 
 Escolhendo valores arbitrários do domínio de f 
temos: 
32 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑓(−2) = 𝑓(2) = 3 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 → 𝑓(−3) = 𝑓(3) = 8 
como 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) a função é par 
Também podemos reconhecer se uma função é 
par analisando seu gráfico. Observe no gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, que existe uma simetria em 
relação ao eixo 𝑦 . Por exemplo, as imagens de 
𝑥 = 2 e 𝑥 = −2 são iguais ( 𝑦 = 3 ), assim os 
pontos (2,3) e (-2,3) estão simétricos em relação a 
Y. 
 
 
 
2) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 
 Escolhendo valores arbitrários do domínio de f 
temos: 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 → 𝑓(1) = 2 𝑒 − 𝑓(−1) = 2 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 4 𝑒 − 𝑓(−2) = 4 
como −𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) a função é impar 
É possível observar que no gráfico de 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 
existe uma simetria em relação ao ponto da origem 
do sistema cartesiano (0;0). Temos os pontos 
simétricos (1;2) e (–1;-2), assim como (2;4) e (-2;–
4). Nesse caso, temos uma função ímpar. 
 
 
 
3.4. Gráfico de Funções 
O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos 
os pares ordenados (𝑥, 𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 
𝑥 pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦 pertence a 𝐼(𝑓). Assim, o 
gráfico de uma função é o conjunto dos pares 
ordenados (𝑥, 𝑓(𝑥)) , pois 𝑦 = 𝑓(𝑥). Costuma-se 
dizer que uma função real a uma variável real gera 
uma curva em 2. 
Como não é possível a representação de todos os 
pontos (𝑥, 𝑓(𝑥)), podemos escolher alguns valores 
de 𝑥 pertencentes ao 𝐷(𝑓) para calcular as 
correspondentes imagens 𝑓(𝑥) . Representando 
estes pontos no sistema de coordenadas obtemos 
o chamado gráfico de dispersão. 
Se os pontos de dispersão são suficientemente 
próximos e a forma da função é simples ou 
conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de 
dispersão com uma curva, obtendo o gráfico da 
função. 
Exemplo: Esboce o gráfico da função 
 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥 
9 − 𝑥 ≥ 0 ∴ 𝑥 ≤ 9 
𝐷(𝑓) = (−∞, 9] 𝑒 𝐼𝑚(𝐹) = [0,+∞) 
 𝑥 𝑦 = √9 − 𝑥 
-16 5 
-7 4 
0 3 
5 2 
9 0 
33 
 
 
3.4.1. Análise de Gráficos 
Para reconhecer se uma curva representa ou não o 
gráfico de uma função, basta verificar se qualquer 
reta paralela ao eixo vertical e que passe por um 
ponto do domínio intercepta a curva em um só 
ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em 
mais de um ponto não é função. 
Na figura abaixo traçamos o gráfico da equação 
𝑦2 = 4𝑥 + 6𝑦 − 13 . Esta equação não representa 
uma função, pois para um mesmo valor de x 
obtém-se dois valores de y. 
 
Através do gráficoda função podemos visualizar 
seu domínio e sua imagem. O domínio de uma 
função é o conjunto das abscissas 𝑥 dos pontos do 
gráfico (projeção no eixo X). A imagem da função é 
o conjunto das ordenadas 𝑦 dos pontos do gráfico 
(projeção no eixo Y). 
 
Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0 chamam-se 
zeros da função 𝑓 ou raízes da equação 𝑓(𝑥) = 0. 
Geometricamente os zeros reais de uma função 
são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o 
eixo horizontal. 
3.5. Função Polinomial de 𝟏º Grau 
A função 𝑓 é dada por um polinômio de 𝟏º Grau: 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0. 
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ 
Se 𝑏 ≠ 0 a função recebe o nome de função afim. 
Se 𝑏 = 0 a função recebe o nome de função 
linear. 
O coeficiente 𝑎 determina se 𝑓 é uma função 
crescente ou decrescente. Se 𝑎 > 0 , 𝑓 é uma 
função crescente. Se 𝑎 < 0 , 𝑓 é uma função 
decrescente. 
O gráfico de uma função polinomial de 1º grau é 
uma reta. Para determinar uma reta bastam 2 
pontos. Uma vez encontrados dois pontos que 
satisfazem a equação da função, seu gráfico é 
obtido traçando uma reta por eles. 
 Gráfico de uma Função Afim 
Seja a função afim de equação: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0 
O coeficiente linear 𝑏 é o valor que 𝑦 assume 
quando 𝑥 = 0, enquanto que a raiz 𝑥 = −𝑏/𝑎 é o 
valor de 𝑥 que torna 𝑦 = 0. Assim, os pontos (0, 𝑏) 
e (−𝑏/𝑎, 0) podem ser usados para traçar o gráfico 
da função 
Exemplo: Plote o gráfico das funções dadas pelas 
equações: 
a) 𝑦 = 2 𝑥 + 4 
Quando 𝑥 = 0 → 𝑦 = 4 e quando 𝑦 = 0 → 𝑥 = −2 . 
A reta passa pelos pontos 𝐴(−2,0) e 𝐵(0,4). 
 
 
b) 𝑦 = −2 𝑥 − 2 
34 
 
Para 𝑥 = 0 → 𝑦 = −2 e para 𝑦 = 0 → 𝑥 = −1 . A 
reta passa pelos pontos 𝐴(−1,0) e 𝐵(0,−2). 
 
 
 Gráfico de uma Função Linear 
Seja a função linear de equação: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 
com 𝑎 ≠ 0. 
A função linear é um caso particular da função afim 
quando o termo independente 𝑏 é nulo. 
Uma característica das funções lineares é que o 
seu gráfico passa pelo ponto (0,0). a origem da 
sistema de coordenadas cartesianas. Para o 
traçado do gráfico precisamos de mais um ponto. 
Este ponto pode ser obtido encontrando o valor da 
imagem 𝑦 = 𝑓(𝑥) para qualquer valor de 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). 
 
Exemplo: 
Plote o gráfico da função dada pela equação: 
𝑦 = − 
𝑥
2
 
Quando 𝑥 = 0 → 𝑦 = 0 e quando 𝑥 = −4 → 𝑥 = 2 . 
A reta passa pelos pontos 𝐴(0,0) e 𝐵(−4,2). 
 
 Sinal de uma Função 
Para se estudar o sinal de uma função, quando a 
função está representada no plano cartesiano, 
basta examinar se é positiva, nula ou negativa a 
ordenada de cada ponto da curva. 
Ex: Estudar o sinal da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) cujo gráfico 
está abaixo representado. 
 
Preparando o gráfico com aspecto prático temos: 
 
Conclusão: 
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = 7 
𝑓(𝑥) > 0 → −1 < 𝑥 < 2 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 > 7 
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 < −1 𝑜𝑢 4 < 𝑥 < 7 
3.6. Função Polinomial de 𝟐º Grau 
Uma função 𝑓 é denominada de função de 2º grau 
quando ela for dada por um polinômio de 𝟐º Grau: 
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais e 𝑎 ≠ 0 
O gráfico de uma função de 2º grau é uma 
parábola. A parábola será côncava para cima se 
𝑎 > 0, e será côncava para baixo se 𝑎 < 0. 
 
O vértice da parábola é dado pelo ponto (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) 
em que as coordenadas 𝑥𝑣 e 𝑦𝑣 são dadas por: 
 𝑥𝑣 =
−𝑏
2 𝑎
 𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4 𝑎
 𝑜𝑢 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) 
y
x
y
x
35 
 
onde ∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐. 
O domínio e imagem da função de 2º grau é: 
𝑠𝑒 𝑎 > 0 , 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = [𝑦𝑣 , +∞) 
𝑠𝑒 𝑎 < 0 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = (−∞ , 𝑦𝑣 ] 
É importante notar que se a parábola for côncava 
para cima, 𝑥𝑣 corresponde ao seu ponto de 
mínimo e 𝑦𝑣 corresponde ao valor mínimo da 
função. Se a parábola for côncava para baixo, 𝑥𝑣 
corresponde ao seu ponto de máximo e 𝑦𝑣 
corresponde ao valor máximo da função. 
A função polinomial de 2º grau possui duas raízes 
ou zeros, que são os pontos 𝑥1 e 𝑥2 do domínio 
para os quais a imagem é nula, ou seja, 
𝑓(𝑥1) = 0 𝑒 𝑓(𝑥2) = 0 
As raízes da função podem ser calculadas pela 
fórmula de Bhaskara: 
𝑥1 = 
−𝑏 + √∆
2 𝑎
 𝑒 𝑥1 = 
−𝑏 − √∆
2 𝑎
 
Se ∆ > 0 a função 𝑓 tem duas raízes reais e 
distintas 𝑥1 ≠ 𝑥2 . Se ∆ = 0 a função 𝑓 tem duas 
raízes reais iguais 𝑥1 = 𝑥2 . Se ∆ < 0 a função 𝑓 
não tem raízes reais. 
Se as raízes da função forem números reais então 
os pontos (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) = (𝑥1, 0) e (𝑥2, 𝑓(𝑥2)) =
(𝑥2, 0) são os pontos que o gráfico da função 
intercepta o eixo dos X. 
Exemplos: 
Plote o gráfico das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥2 − 9 𝑥 + 6 
𝑎 = 3 ; 𝑏 = −9 ; 𝑐 = 6 
∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐 = (−9)2 − 4.3.6 = 9 
𝑥1 = 
9 + √9
6
= 2 𝑒 𝑥2 = 
9 − √9
6
 = 1 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
=
9
6
=
3
2
 𝑒 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −
9
12
= −
3
4
 
 
O gráfico da função é a parábola que passa pelos 
pontos (1,0), (2,0) e (3/2,−3/4) e que é côncava 
para cima, pois 𝑎 = 3 > 0. 
 
b) 𝑓(𝑥) = − 𝑥2 + 3 𝑥 
𝑎 = −1 ; 𝑏 = 3 ; 𝑐 = 0 
Como o termo 𝑐 = 0, a fatoração deste polinômio é 
bastante simples e podemos utilizar este fato para 
encontrar as raízes da função sem utilizar a 
fórmula de Baskara. 
𝑓(𝑥) = − 𝑥2 + 3 𝑥 = 0 → 𝑥 . (−𝑥 + 3) = 0 
Para que o produto seja nulo temos que ou 𝑥 = 0 
ou (−𝑥 + 3) = 0, assim, 𝑥1 = 0 𝑒 𝑥2 = 3. 
𝑥𝑣 = −
3
2(−1)
=
3
2
 𝑒 𝑦𝑣 = 𝑓 (
3
2
) =
9
4
 
O gráfico da função é a parábola que passa pelos 
pontos (0,0), (3,0) e (3/2 , 9/4) e que é côncava 
para baixo pois 𝑎 = −1 < 0. 
 
c) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 + 2 
𝑎 = 2 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 2 
∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐 = (−4)2 − 4.2.2 = 0 
𝑥1 = 𝑥2 =
4 ± 0
4
= 1 
36 
 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
=
4
4
= 1 𝑒 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −
0
8
= 0 
Quando ∆= 0 as raízes da função são iguais 𝑥1 =
𝑥2. O gráfico da função é uma parábola de vértice 
(𝑥1, 0) coincidindo com o ponto que ela intercepta o 
eixo dos X. 
Para uma representação razoável de uma 
parábola, necessitamos de no mínimo 3 pontos. 
O gráfico da função intercepta o eixo Y quando 𝑥 =
0 então, se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 2, assim o ponto (0 , 2) 
pertence à parábola. 
Qualquer ponto do domínio pode ser utilizado para 
encontrar o terceiro ponto da parábola. Se 𝑥 = 2 →
𝑓(2) = 2, assim o ponto (2 , 2) pertence à parábola. 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 + 2 é a 
parábola que passa pelos pontos (1 , 0), (0 , 2) e 
(2 , 2) e que é côncava para cima, pois 𝑎 = 2 > 0. 
 
d) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 + 3 
𝑎 = 2 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 3 
∆= (−4)2 − 4 .2 .3 = −8 < 0 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
=
4
4
= 1 𝑒 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −
(−8)
8
= 1 
Quando ∆ < 0 as raízes da função não são 
números reais. Isto significa que o gráfico da 
função não intercepta o eixo dos X. 
O gráfico da função intercepta o eixo Y quando 𝑥 =
0 então, se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 3 . Quando 𝑥 = 2 →
𝑓(2) = 3, assim o ponto (2 , 3) pertence à parábola. 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 + 3 é a 
parábola que passa pelos pontos (1 , 1), (0 , 3) e 
(2 , 3) e que é côncava para cima, pois 𝑎 = 2 > 0. 
 
 
 Gráfico de uma Função Quadrática 
Para fazermos o esboço do gráfico de uma função 
quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , buscaremos, 
daqui para a frente,informações preliminares que 
são: 
1) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de 
simetria é a reta 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 perpendicular ao 
eixo dos 𝑥. 
2) Verificar se a parábola tem concavidade 
voltada para cima ou para baixo, 𝑎 > 0 ou 
𝑎 < 0. 
3) Zeros da função. 
 Se ∆> 0, a parábola intercepta o eixo dos 𝑥 
em dois pontos distintos 𝑃1 (
−𝑏+√∆
2𝑎
) e 𝑃2 (
−𝑏−√∆
2𝑎
) 
4) Vértice da parábola é o ponto 𝑉 (
−𝑏
2𝑎
,
−∆
4𝑎
) que 
é máximo se 𝑎 < 0 e mínimo se 𝑎 > 0. 
Seguem-se os tipos de gráficos que poderemos 
obter: 
 
37 
 
 
 
3.7. Função Exponencial 
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , com 
𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 é denominada de função 
exponencial. 
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+
∗ = (0,+∞) 
O gráfico da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é uma 
curva que intercepta o eixo Y no ponto (0 , 1), pois 
𝑓(0) = 𝑎0 = 1 e nunca intercepta o eixo dos X, 
pois a imagem da função não pode ser zero pois é 
estritamente positiva. A função é crescente se a 
base 𝑎 > 1 e decrescente se 0 < 𝑎 < 1. 
 
Observe que para valores positivos de 𝑥,o gráfico 
da função se aproxima do eixo 0x, embora sem 
nunca tocá-lo. Dizemos que o eixo 0x é uma 
assíntota do gráfico desta função. 
 
 
A função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , cuja base é a constante de 
Euler 𝑒 (𝑒 ≈ 2,718… ) desempenha um papel muito 
importante nas aplicações da engenharia. 
Exemplos: Plote o gráfico das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑔(𝑥) = −𝑒𝑥 
Como a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 é uma função 
exponencial de base igual ao número de Euler 𝑒 =
2,7182…, a função é crescente, pois 𝑒 > 0. 
Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −𝑒𝑥 assume são 
iguais aos valores de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 multiplicados por -
1. Isto significa que as funções 𝑔 e 𝑓 são 
simétricas em relação ao eixo dos X. 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = −𝑒−𝑥 
Como a função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 = (𝑒−1)𝑥 é uma função 
exponencial de base igual 𝑒−1, ela é decrescente, 
pois 0 < 𝑒−1 < 1. 
Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −𝑒−𝑥 assume são 
iguais aos valores de 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 multiplicados por -
38 
 
1. Isto significa que as funções 𝑔 e 𝑓 são 
simétricas em relação ao eixo dos X. 
 
3.8. Função Logarítmica 
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 com 
𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 é denominada de função 
logarítmica 
𝐷(𝑓) = ℜ+ ⋆ = (0,+∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ 
O gráfico da função logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 é 
uma curva que intercepta o eixo X no ponto (1, 0), 
pois 𝑓(1) = log𝑎 1 = log𝑎 𝑎
0 = 0 . O gráfico da 
função nunca intercepta o eixo dos Y, pois 𝑥 =
0 não pertence ao domínio da função, ou seja, 
 ∄ 𝑓(0). A função é crescente se a base 𝑎 > 1 e 
decrescente se 0 < 𝑎 < 1. 
 
 
 
Exemplo: Plote o gráfico das seguintes funções: 
𝑓(𝑥) = ln (𝑥) e 𝑔(𝑥) = −ln (𝑥) 
Como a função 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) é uma função 
logarítmica de base igual ao número de Euler 𝑒 =
2,7182…, a função é crescente, pois 𝑒 > 0. 
Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −ln (𝑥) assume 
são iguais aos valores de 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) 
multiplicados por -1. Isto significa que as funções 𝑔 
e 𝑓 são simétricas em relação ao eixo dos X. 
 
3.9. Função Inversa 
Se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 for uma função injetora então, ela 
admite uma função inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴. 
Exemplo: Dados dois conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑒} e 
𝑌 = { 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝐷 , 𝐸}, define-se a função (𝑓 ) como 
sendo a lei que associa cada letra minúscula ao 
seu correspondente em maiúsculo. 
39 
 
 
Observe que a função f é injetora onde 𝐷(𝑓) = 𝐴 e 
𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵. 
Se 𝑓 é injetora então ela admite uma função 
inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 onde 𝐷(𝑓) = 𝐵 e 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐴. 
 
 
Observação 1: o que era domínio na função 𝑓 
original vira imagem na função inversa 𝑓−1, e o que 
era imagem na função original vira domínio na 
função inversa. 
Observação 2: Se 𝑓 tiver uma inversa, então os 
gráficos de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) são reflexões 
um do outro em relação a reta 𝑦 = 𝑥. 
Exemplos: 
1) Dada a função 𝑓 calcule sua inversa 𝑓−1 
1) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 + 6 
Fazendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
(I) 𝑦 = 3 𝑥 + 6 
(II) 𝑥 = 3 𝑦 + 6 
(III) 3 𝑦 = 𝑥 − 6 
(IV) 𝑦 = 𝑓 
−1
(𝑥) =
𝑥 − 6
3
 
É fácil observar em (II) a mudança das variáveis: o 
que era 𝑥 virou 𝑦 , e vice-versa. Após fazer essa 
substituição, é só isolar a variável 𝑦 para encontrar 
a função inversa. 
 
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
𝑦 = 2𝑥 → 𝑥 = 2𝑦 
 log2(𝑥) = log2 2
𝑦 
𝑦 log2 2 = log2 𝑥 
𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = log2 𝑥 
Observe que as funções exponenciais e 
logarítmicas são funções inversas. 
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+ ⋆ = (0,+∞) 
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = ℜ+ ⋆ = (0,+∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ 
 
 
3.10. Função Composta 
Sejam três conjuntos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 que entre 
eles existam as seguintes funções: 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑒 𝑔: 𝐵 → 𝐶 
Assim, irá existir outra função ℎ ∶ 𝐴 → 𝐶 tal que 
ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) que é chamada de função 
composta de 𝑔 e 𝑓 denotada por (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥). 
B A 
A B 
40 
 
 
Na função (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) , resolvemos 
primeiro a função interna 𝑓, ao resultado, ou seja, à 
imagem de 𝑓 aplicamos a função 𝑔 . Assim, o 
domínio de (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) é o conjunto de todos os 
elementos 𝑥 no domínio de 𝑓 tal que 𝑓(𝑥) esteja no 
domínio de 𝑔. 
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)|𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)} 
É importante lembrar que as funções (𝑔 ∘ 𝑓) e (𝑓 ∘
𝑔) são geralmente diferentes. 
 
Exemplo: 
Considere as funções: 
𝑔(𝑥) = 2𝑥2 e 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
 
a) Determine a função composta 𝑔 𝑜 𝑓. 
Como a função (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) agora os 
elementos do domínio de 𝑔 são as imagens 𝑦 =
𝑓(𝑥) da função 𝑓. Isto significa que o "𝑥" da função 
𝑔 deve ser substituído por "𝑓(𝑥)". Então: 
𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 2. 𝑓(𝑥)2 = 2. [𝑥 + 1]2 = 
= 2. [𝑥2 + 2𝑥 + 1] = 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 
∴ (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 
 
b) Determine a função composta 𝑓 𝑜 𝑔. 
Como a função (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) agora os 
elementos do domínio de 𝑓 são as imagens 𝑦 =
𝑔(𝑥) da função 𝑔. Isto significa que o "𝑥" da função 
𝑓 deve ser substituído por "𝑔(𝑥)". Então: 
𝑓 𝑜 𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 1 = [2𝑥2] + 1 = 
= 2 𝑥2 + 1 
∴ (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 + 1. 
 
c) Determine a função composta 𝑓 𝑜 𝑓. 
𝑓 𝑜 𝑓 = 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) + 1 = [𝑥 + 1] + 1 = 
= 𝑥 + 2 
∴ (𝑓 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 2 
 
c) Determine a função composta 𝑔 𝑜 𝑔. 
𝑔 𝑜 𝑔 = 𝑔(𝑔(𝑥)) = 2. [𝑔(𝑥)]2 = 2. [2𝑥2]2 = 
= 2. (4𝑥4) = 8 𝑥4 
∴ (𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥) = 8 𝑥4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Exercícios 
1) Seja 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 , 𝑥 ≠ 0. Se 𝑓(2 + 𝑝) − 𝑓(2) =
3
2
. Calcule 𝑓(1 − 𝑝) − 𝑓(1 + 𝑝). 
 
2) Esboce o lugar geométrico do seguinte 
conjunto 𝐻 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑥2⁄ + 𝑦2 − 2𝑦 =
0}. Verifique que o conjunto esboçado não 
corresponde a uma função. 
3) Verifique as possibilidades para os quais x 
satisfaz a inequação (4𝑥 − 3)/(𝑥 + 1) > 2 
 
4) Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de 
uma função quadrática 𝑓. O mínimo de 𝑓 é 
assumido no ponto de abscissa 𝑥 = −0.25. 
Calcule o valor de 𝑓(1). 
 
5) O maior elemento da sequência 𝑎𝑛 = 400 +
20𝑛 − 2𝑛2, 𝑛 = 1,2,3,…50, vale: 
 
6) Plote o seguinte gráfico ||𝑥| − 2| − 3. 
 
7) Considere a função 
𝑓(𝑥) = {
1, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−2, 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 < 0
 
e 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)| − 1. Plote 𝑔(𝑥). 
 
8) Se o conjunto: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ/𝑎 ≤ 𝑥