AP2-MetDet_I-2009-1gabarito (1)

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2009.1
Questa˜o 1 (2 pontos). Encontre o conjunto das respostas das inequac¸o˜es a seguir.
a) −5x < 8 + 4x
b) |4x− 7| ≥ 13
c) (2x + 8)2 < x− 7
d) |x2 − 10| ≥ 6
Soluc¸o˜es:
a) −5x < 8 + 4x ⇔ −9x < 8 ⇔ −x < 8/9 ⇔ x > −8/9.
Resposta: x ∈ (−8/9,∞).
b) |4x− 7| ≥ 13 ⇔ 4x− 7 ≥ 13 ou 4x− 7 ≤ −13
4x− 7 ≥ 13 ⇔ 4x ≥ 20 ⇔ x ≥ 5
4x− 7 ≤ −13 ⇔ 4x ≤ −6 ⇔ x ≤ −6/4
Resposta: x ∈ (−∞,−3/2] ∪ [5,∞)
c)(2x + 8)2 < x− 7 ⇔ 4x2 + 32x + 64 < x− 7 ⇔ 4x2 + 31x + 71 < 0
Por Bhaskara, vemos que na˜o ha´ ra´ızes para o polinoˆmio do segundo grau 4x2 + 31x + 57,
pois ∆ = 312 − 4 · 4 · 71 = 969− 1136 = −167 < 0. Ale´m disso, vemos que quando x = 0, o
polinoˆmio assume um valor positivo (71). Logo podemos concluir que o gra´fico do polinoˆmio
esta´ todo acima do eixo x, isto e´ na˜o ha´ nenhum valor de x para o qual 4x2 + 31x+ 71 < 0.
Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto ∅.
d)|x2 − 10| ≥ 6 ⇔ x2 − 10 ≥ 6 ou x2 − 10 ≤ −6 x2 − 10 ≥ 6 ⇔ x2 − 16 ≥ 0 ⇔
(x− 4)(x + 4) ≥ 0
1
Fazendo a ana´lise de sinais desta u´ltima inequac¸a˜o, vemos que (x − 4)(x + 4) ≥ 0 quando
x ≥ 4 ou x ≤ −4.
Por outro lado, temos x2 − 10 ≤ −6 ⇔ x2 − 4 ≤ 0 ⇔ (x− 2)(x + 2) ≤ 0
Fazendo a ana´lise de sinais desta u´ltima inequac¸a˜o, vemos que (x−2)(x+2) ≤ 0 se e somente
se −2 ≤ x ≤ 2.
Resposta: x ∈ (−∞,−4] ∪ [−2, 2] ∪ [4,∞).
Questa˜o 2 (1,5 pontos). Represente geometricamente os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; x = y e |y| ≤ 2}
b) {(x, y) ∈ R2; |x| < 3 e |y + 2| ≤ 5}
c) {(x, y) ∈ R2; |x| ≥ 4 e y > 2}
Soluc¸o˜es:
2
Questa˜o 3 (1,5 ponto). Em cada item, encontre o que se pede:
a) A distaˆncia entre os pontos P = (5, 3) e Q = (2,−1).
b) A equac¸a˜o do c´ırculo de centro C = (0,−1) e raio R = 3
c) O conjunto dos pontos (x, y) que pertencem ao c´ırculo do item anterior e tambe´m a`
reta definida pela equac¸a˜o y = 2x− 1.
3
Soluc¸o˜es:
a) d(P, Q) =
√
(5− 2)2 + (3− (−1))2 = √9 + 16 = 5
b) Para encontrarmos a equac¸a˜o do c´ırculo, devemos buscar os pontos (x, y) que distam 3
de C:√
(x− 0)2 + (y − (−1))2 = 3 ⇔ x2 + (y + 1)2 = 9 ⇔ x2 + y2 + 2y = 8
c) Para encontrar o conjunto pedido vamos substituir y na equac¸a˜o do c´ırculo por y = 2x−1:
x2 + (2x− 1)2 + 2(2x− 1) = 8⇔
x2 + 4x2 − 4x + 1 + 4x− 2 = 8⇔
5x2 = 9⇔
x = 3/
√
5 = 3
√
5
5
ou x = −3
√
5
5
Temos ainda que encontrar os valores de y correspondentes a cada um destes valores de x:
Se x = 3
√
5/5, temos y = 2x− 1 = (6√5− 5)/5.
Se x = −3√5/5, temos y = 2x− 1 = (−6√5− 5)/5.
Resposta: O conjunto procurado e´:{(
3
√
5
5
,
6
√
5− 5
5
)
,
(
−3
√
5
5
,
−6√5− 5
5
)}
Questa˜o 4 (2 pontos). Encontre o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es a seguir:
a)
(3x + 1)
2
+
1
8
=
(
x− 3
2
)
1
5
b) 3x2 − x− 4 = 0
c) ∣∣∣∣8x3 + 49
∣∣∣∣ = 10
4
d) |2x2 − 8x + 6| = 2
Soluc¸o˜es:
a)
(3x + 1)
2
+
1
8
=
(
x− 3
2
)
1
5
⇔
12x + 4
8
+
1
8
=
(
x
5
− 3
10
)
⇔
12x + 5
8
=
2x + 3
10
⇔
120x + 50 = 16x + 24⇔
104x = −26⇔
x = −26/104 = −1/4 (1)
Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ −1/4.
b) Podemos resolver por Bhaskara:
∆ = 1− 4 · 3 · (−4) = 1 + 48 = 49
x = (1±√49)/6 = (1± 7)/6, isto e´,
x = 8/6 = 4/3 ou x = −6/6 = −1.
Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ {4/3,−1}.
c) Para que a equac¸a˜o seja satisfeita devemos ter
8x
3
+
4
9
= 10 ou
8x
3
+
4
9
= −10
8x
3
+
4
9
= 10⇔
24x + 4
9
= 10⇔
24x + 4 = 90⇔
24x = 86⇔
x =
43
12
5
Ale´m disso,
8x
3
+
4
9
= −10⇔
24x + 4
9
= −10⇔
24x + 4 = −90⇔
24x = −94⇔
x = −47
12
Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ {43/12,−47/12}.
d) |2x2 − 8x + 6| = 2 ⇔ 2x2 − 8x + 6 = 2 ou 2x2 − 8x + 6 = −2
Por um lado, temos:
2x2 − 8x + 6 = 2⇔
2x2 − 8x + 4 = 0⇔
x2 − 4x + 2 = 0
Resolvendo por Bhaskara:
∆ = 16− 8 = 8
x = (8±√8)/2 = 4±√2
Por outro lado,
2x2 − 8x + 6 = −2⇔
2x2 − 8x + 8 = 0⇔
x2 − 4x + 4 = 0⇔
(x− 2)2 = 0⇔
x = 2
Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ {4 +√2, 4−√2, 2}.
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Questa˜o 5 (0,5 ponto). Resolva o sistema de equac¸o˜es a seguir:


x + 3y = 5
2x− y = 1
Soluc¸a˜o:
Vamos isolar x na primeira equac¸a˜o e substituir na segunda:
Temos x = 5− 3y e, substituindo,
2(5− 3y)− y = 1 ⇔ −7y = −9 ⇔ y = 9/7
Da´ı, x = 5− 3y = 5− 27/7 = 8/7.
Resposta: x = 8/7 e y = 9/7.
Questa˜o 6 (2,5 pontos). Na loja OBA o sala´rios dos vendedores e´ composto da seguinte
forma: cada funciona´rio recebe 700 reais mais dez porcento do valor total que ele vender
no meˆs. Se representarmos por x o total vendido por um funciona´rio em determinado meˆs,
podemos considerar que seu sala´rio sera´ calculado, enta˜o, por uma func¸a˜o s : [0,∞) → R
cuja lei e´ dada por s(x) = 700 + 0, 1x. Responda os ı´tens a seguir:
a) Esboce o gra´fico de s.
b) Qual sera´ o sala´rio de um funciona´rio que tenha vendido 5000 reais no meˆs?
c) Quanto deve vender um funciona´rio para que receba no fim do meˆs sala´rio de 2000
reais?
d) Na loja EBA, vizinha e concorrente da OBA, os funciona´rios recebem sala´rio fixo de
1000 reais, mais comissa˜o de 5% sobre as vendas. Encontre a lei da func¸a˜o r : [0,∞)→
R que descreve a remunerac¸a˜o r(x) de um funciona´rio da EBA que tenha vendido x
durante o meˆs.
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e) Joa˜o trabalha na OBA e vende todo meˆs algo entre 7000 e 8000 reais. A EBA oferece
para ele um emprego. Para Joa˜o, tanto faz trabalhar na EBA ou na OBA, o que ele
quer e´ ter o maior sala´rio poss´ıvel. Com base nesse crite´rio, decida se Joa˜o deve ou
na˜o aceitar a oferta e mudar de emprego. Justifique sua resposta. (Considere que se
ele mudar de empresa, continuara´ com o mesmo volume de vendas mensais).
f) (boˆnus) Dentre a OBA e a EBA, qual voceˆ acha que deve conseguir contratar os
funciona´rios mais eficientes? Deˆ uma justificativa matema´tica para sua resposta. Caso
voceˆ responda e justifique corretamente, este item podera´ substituir um outro item da
prova que voceˆ tenha errado.
Soluc¸o˜es:
a)
b) s(5000) = 700 + 0, 1 · 5000 = 1200. O sala´rio sera´ de 1200 reais.
c) s(x) = 2000 ⇔ 700 + 0, 1x = 2000 ⇔ 0, 1x = 1300 ⇔ x = 13000.
Para receber 2000 reais o funciona´rio deve vender 13000.
d) r(x) = 1000 + 0, 05x.
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e) Temos que descobrir para quais valores de x ocorre r(x) > s(x):
r(x) > s(x) ⇔ 1000 + 0, 05x > 700 + 0, 1x ⇔ 300 > 0, 05x ⇔ x < 6000. Isso
significa que so´ e´ mais vantajoso trabalhar na EBA se o funciona´rio vender menos de 6000
reais por meˆs. Na˜o e´ o caso do Joa˜o, que vend por meˆs entre 7 e 8 mil reais. Logo ele deve
permanecer na OBA.
f) Para qualquer funciona´rio que venda mais que 6000 por meˆs (como e´ o caso do Joa˜o), o
sala´rio na OBA sera´ maior que na EBA. Logo e´ razoa´vel considerar que a loja OBA atraira´
os funciona´rios mais eficientes.
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