AULA 17 - Teste de hipótese - Desvio Padrão conhecido

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Produção 
ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO
Prof. Luciano Queiroz
Natal/RN 24/03/14
Sumário
 Inferência estatística
 Teste de hipótese da média 𝜇 𝜎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 : uma abordagem valor-
probabilidade
 Teste de hipótese da média 𝜇 𝜎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 : uma abordagem clássica
Abordagem valor-probabilidade
 Vamos formalizar o procedimento de teste de hipo ́tese no
que se aplica a afirmac ̧o ̃es relacionadas à média μ de uma
populac ̧ão com a restrição de que σ, o desvio padra ̃o da
populac ̧ão, seja um valor conhecido.
 O pressuposto para os testes de hipo ́tese referentes à
média μ utilizando um σ conhecido: A distribuição amostral
de
𝑥
é normal.
Abordagem valor-probabilidade
 O teste de hipo ́tese é um procedimento passo a passo bem
organizado, usado na tomada de decisões. Normalmente, são
utilizados dois formatos diferentes para testar as hipo ́teses. A
abordagem valor-probabilidade, ou simplesmente abordagem
valor-p, é o processo de teste de hipótese que ficou popular nos
últimos anos, muito em consequência de sua convenie ̂ncia e da
capacidade de “processar nu ́meros” do computador. Essa
abordagem é organizada como o procedimento de cinco
passos descrito na caixa a seguir.
Abordagem valor-probabilidade
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Para ter uma noção de como esse procedimento funciona, vamos
considerar um fabricante de aviões comerciais que compra rebites para
usar na montagem das aeronaves. Cada fornecedor de rebite que deseja
vender para o fabricante de aviões deve demonstrar que seus rebites
satisfazem as especificac ̧ões exigidas. Uma das especificac ̧ões é: “A
resistência me ́dia ao cisalhamento de todos esses rebites, μ, é no mi ́nimo
925 libras”. Cada vez que a fabricante de aeronaves compra rebites, sua
preocupaça ̃o é que a resiste ̂ncia média possa ser menor que a
especificaça ̃o de 925 libras
 Cada rebite tem uma resistência ao cisalhamento, a qual é determinada
pela mediça ̃o da força necessa ́ria para romper (“quebrar”) o rebite.
Evidentemente, nem todos os rebites podem ser testados. Portanto, uma
amostra dos rebites sera ́ testada e uma decisa ̃o sobre a resiste ̂ncia me ́dia
de todos os rebites não testados sera ́ tomada com base na média dos
rebites amostrados e testados.
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 1: Definição
 a. Descrever o para ̂metro populacional de interesse.
 O parâmetro populacional de interesse é a média μ, a resistência média ao
cisalhamento dos rebites (ou força média necessária para rompê-los) que
esta ̃o sendo considerados para a compra.
 b. Estabelecer a hipótese nula (Ho) e a hipótese alternativa (Ha).
 A hipótese nula e a hipótese alternativa são formuladas pela inspeça ̃o do
problema ou afirmac ̧a ̃o a ser investigada, formulando-se, primeiro, duas afirma-
ço ̃es opostas sobre a me ́dia μ. Para o nosso exemplo, essas duas afirmac ̧o ̃es
opostas sa ̃o: (H0) “A resistência me ́dia ao cisalhamento e ́ inferior a 925” e (H1)
“A resiste ̂ncia média ao cisalhamento é, no mi ́nimo, 925”
 H0: 𝜇 ≥ 925
 H1: 𝜇 < 925
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 2: Critérios do teste de hipóteses
 a. Verificar os pressupostos
𝜎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜. Uma amostra de tamanho 30 deve ser grande o
suficiente para aplicar o TLC e assegurar que a distribuição
amostral das médias amostrais seja feita normalmente.
b. Identificar a distribuiça ̃o de probabilidade e a estatística
de teste a ser utilizadas.
A distribuic ̧ão de probabilidade normal padra ̃o é usada
porque se espera que x tenha uma distribuic ̧ão normal.
C. Determinar o nível de confiança
Considere o 𝛼 = 0,05.
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 3: Evidência amostral
 a. Coletar informações da amostra
 Estamos prontos para os dados. A amostra deve ser aleato ́ria extraída
da populac ̧ão cuja média μ está sendo questionada. Uma amostra
aleatória de 50 rebites é selecionada, cada rebite é testado e a
resistência média ao cisalhamento da amostra é calculada: x = 921,18, n
= 50. Sabendo que o 𝜎 = 18.
 b. Calcular o valor da estati ́stica de teste.
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 4: Evidência amostral
 a. Calcular o valor-p para a estati ́stica de teste.
 O valor da probabilidade, ou valor-p, é a probabilidade de que a
estatística de teste possa ter seu próprio valor ou um valor mais extremo (na
direção da hipótese alternativa) quando a hipótese nula é verdadeira. O
valor-p é representado pela área abaixo da curva da distribuic ̧a ̃o de
probabilidade para a estatística de teste que e ́ mais extrema do que o
valor calculado da própria estati ́stica de teste. Há três casos distintos e a
direça ̃o (ou sinal) da hipótese alternativa é a chave.
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 4: Evidência amostral
 a. Calcular o valor-p para a estati ́stica de teste.
 Para esse teste, a hipótese alternativa que estamos interessados na
parte da distribuição amostral que é “menor que” z★. Portanto, o valor-p
é a área que se encontra à esquerda de z★. Pode ver que, para esse
exemplo, estamos lidando com uma hipótese unicaudal com a cauda à
esquerda.
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 4: Evidência amostral
 b. Determinar se o valor-p é ou não menor que 𝛼
0,068 < 0,05
 Passo 5: Os resultados
Teste de hipótese unicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 5: Os resultados
a. Estabelecer a decisão sobre H0.
Não Rejeitar Ho.
b. Estabelecer conclusões sobre H0.
A ação resultante tomada pelo gestor seria comprar os
rebites.
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Muitas empresas grandes em uma determinada cidade utilizam há anos a
agência de empregos A para testar possíveis funcionários. O teste de seleção
de funcionários resulta em pontuações distribuídas normalmente sobre uma
média igual a 82, com desvio padrão de 8.
 Uma outra agência B desenvolveu um novo teste que é mais rápido e fácil de
administrar, sendo menos oneroso. A agência B alega que obtém o mesmo
resultado que a A.
 Muitas empresas estão pensando em mudar da empresa A para a empresa B
com o objetivo de cortar custos. No entanto, eles não estão dispostos a fazer a
mudança se os resultados dos testes da empresa B tiverem um valor médio
diferente.
 Uma empresa independente testou 36 funcionários aplicando o teste da
empresa B. Resultou em uma média amostral igual a 79.
 Determine o valor-p associado a esse teste de hipótese.
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 1: Definição
 a. Descrever a populac ̧a ̃o de interesse.
A média da população μ, a média de todas as pontuações de
teste utilizando o teste da Age ̂ncia B.
 b. Estabelec ̧a a hipo ́tese nula (H0) e a hipo ́tese alternativa (H1).
Os resultados do teste de Agência B “será diferente” (a
preocupação) se a pontuação média do teste não for igual a 82.
Eles “serão idênticos” se a média for igual a 82. Portanto,
Ho: μ = 82 (os resultados dos testes têm a mesma média)
H1: μ ≠ 82 (os resultados do teste apresentam uma média
diferente)
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagemdo valor-p
 Passo 2: Critérios do teste de hipótese
 a. Verificar os pressupostos.
 σ é conhecido. Se as pontuac ̧ões do teste da B forem distribui ́das da
mesma forma que as pontua- ções do teste da A, elas serão distribui ́das
normalmente e a distribuição amostral será normal para todos os
tamanhos de amostra.
 b.Identificar a distribuição de probabilidade e a estati ́stica de teste a
ser utilizadas.
 A distribuic ̧a ̃o de probabilidade normal padra ̃o e a estati ́stica de teste
 c. Determinar nível de significância
 É omitidos, pois na questão só pede o valor-p, não para tomar uma
decisãoa
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 3: Evidência amostral
a. Coletar as informac ̧o ̃es da amostra.
n = 36, xmédio = 79.
b. Calcular o valor da estatística de teste.
μ é 82 de Ho; σ = 8 é a quantidade conhecida. No ́s temos
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 4: Distribuição de probabilidade
a. Calcular o valor-p para a estatística do teste.
 Uma vez que a hipo ́tese alternativa indica um teste bicaudal, devemos
determinar a probabilidade asso- ciada às duas caudas. O valor-p é
encontrado duplicando-se a área de uma cauda.
 Valor-p: 0,0244
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a abordagem do valor-p
 Passo 5: Resultados
 O valor-p para esse teste de hipótese é 0,0244. Cada empresa agora
vai decidir se vai continuar a usar os serviços da Agência A ou mudar
para a Agência B. Cada um terá de estabelecer o nível de
significância que melhor se adapta à sua própria situação e, depois,
tomar uma decisão usando a regra de decisão descrita anteriormente.
Avaliação da abordagem do valor-p
 A ideia fundamental do valor-p e ́ expressar o grau de crença na hipo ́tese nula:
 Quando o valor-p e ́ minúsculo (algo como 0,0003), a hipótese nula seria
rejeitada por todos, pois os resultados da amostra são muito improváveis para
uma Ho verdadeira.
 Quando o valor-p e ́ relativamente pequeno (como 0,012), a evide ̂ncia contra
H0 e ́ muito forte e H0 sera ́ rejeitada por muitos.
 Quando o valor-p começa a aumentar (digamos, de 0,02 a 0,08), há muita
probabilidade de que os dados, assim como a amostra envolvida possam ter
corrido mesmo se Ho for verdadeira, e a rejeição de Ho não e ́ uma decisão
fácil.
 Quando o valor-p e ́ grande (como 0,15 ou mais), os dados não são de forma
alguma improva ́veis se Ho e ́ verdadeira e ningue ́m rejeitara ́ H0.
Avaliação da abordagem do valor-p
 As vantagens da abordagem do valor-p são as seguintes: (1) Os resultados do
procedimento de teste são expressos de acordo com uma escala de probabilidade
contínua de 0,0 a 1,0 e não, simplesmente, com base em “rejeitar” ou “não rejeitar”. (2)
O valor-p pode ser relatado e o usuário da informac ̧a ̃o pode decidir quanto a ̀ forc ̧a da
evide ̂ncia que se aplica a ̀ sua pro ́pria situac ̧a ̃o.
 A desvantagem da abordagem do valor-p e ́ a tendência de as pessoas protelarem a
determinaça ̃o do nível de significa ̂ncia. Não deve ser permitido que isso aconteça,
porque assim e ́ possi ́vel que alguém defina o nível de significa ̂ncia apo ́s o fato,
deixando em aberto a possibilidade de que o resultado seja a decisa ̃o “preferida”.
Provavelmente, isso e ́ importante somente quando o valor-p informado se encontra no
intervalo “escolha difícil” (digamos, de 0,02 a 0,08), como descrito anteriormente.
Abordagem clássica
A abordagem clássica utiliza valores críticos ao 
realizar o processo de tomada de decisão
 Teste de hipótese da média 𝜇 𝜎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 : uma abordagem clássica
Abordagem clássica
Abordagem clássica
 Para compreender usaremos o mesmo exemplo da resistência dos rebites.
 Lembre-se da definição: um fabricante de aviões comerciais compra rebites
para usar na monta- gem das aeronaves. Cada fornecedor que deseja vender
rebites para o fabricante de aviões deve demonstrar que seus rebites satisfazem
as especificações exigidas. Uma das especificac ̧ões é: “A resistência média ao
cisalhamen- to de todos esses rebites, μ, é no mínimo 925 libras”. Cada vez que o
fabricante de aviões compra rebites, sua preocupação e ́ que a resistência média
possa ser menor que a especificac ̧ão de 925 libras.
 Os passos 1,2 e 3 são iguais ao já feito.
Abordagem clássica
 Passo 4: Distribuição de probabilidade
 a. Determinar a região crítica e o(s) valor(es) crítico(s).
 A variável normal padra ̃o z é a nossa estatística de teste para
esse teste de hipótese. Portanto, desenhamos um esboço da
distribuição normal padra ̃o, identificamos a escala como z e
localizamos seu valor médio, 0. A região cri ́tica é o conjunto de
valores para a estatística de teste que fará que rejeitemos a
hipótese nula. O conjunto valores que na ̃o está na região cri ́tica
é chamado de regia ̃o na ̃o cri ́tica.
Abordagem clássica
 Passo 4: Distribuição de probabilidade
 a. Determinar a regia ̃o cri ́tica e o(s) valor(es) cri ́tico(s).
 Lembre-se de que estamos trabalhando sob o pressuposto de que a hipótese
nula é verdadeira. Assim, estamos pressupondo que a resistência média ao
cisalhamento de todos os rebites na população amostrada é igual a 925. Se
esse for o caso, então, ao selecionarmos uma amostra aleatória de 50 rebites,
podemos esperar que essa média amostral, x, componha uma distribuição
normal centralizada em 925 e tenha um erro padrão de σ/√ n = 18/√50 ou,
aproximadamente, 2,55. Aproximadamente, 95% dos valores médios amostrais
serão superiores a 920,8 [um valor de 1,65 erro padrão abaixo da média: 925 –
(1,65)(2,55) = 920,8].
 Assim, se Ho e ́ verdadeira e μ = 925, então, esperamos que x seja superior a
920,8 aproximadamente 95% das vezes, e inferior a 920,8 somente 5% das vezes.
Abordagem clássica
 Passo 4: Distribuição de probabilidade
 a. Determinar a região cri ́tica e o(s) valor(es) cri ́tico(s).
Abordagem clássica
 Passo 4: Distribuição de probabilidade
 a. Determinar se a estatística do teste calculada está
dentro da região crítica ou não.
Abordagem clássica
 Passo 4: Distribuição de probabilidade
 b. Estabelecer a conclusão.
 Fazer a compra dos rebites.
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a Abordagem clássica
 Alega-se que o peso médio das alunas de uma
determinada faculdade é 54,4 kg. O Professor Hart não
acredita nessa alegac ̧ão e dispo ̂s-se a mostrar que o peso
médio não é 54,4 kg. Para testar a alegac ̧ão, ele coleta
uma amostra aleato ́ria de 100 pesos entre as estudantes. O
resultado é uma média amostral de 53,75 kg. Para
determinar se essa evide ̂ncia é suficiente para o Professor
Hart rejeitar a afirmação, consideremos 𝛼 = 0,05 e 𝜎 = 5,4
kg.
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a Abordagem clássica
 Passo 1:
 O parâmetro populacional de interesse é a média μ, o peso
médio de todas as alunas da faculdade
 O peso médio é igual a 54,4 kg, ou o peso médio não é igual a
54,4 kg.
 Ho: μ = 54,4
 H1: μ ≠ 54,4
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a Abordagem clássica
 Passo 2:
 σ é conhecido. Geralmente, os pesos de um grupo de mulheres
adultas têm distribuição aproximadamen- te normal, assim, uma
amostra de n = 100 é grande o suficiente para permitir que se
aplique o TLC.
 A distribuição de probabilidade normal padrão e a estati ́stica
de teste
 𝛼 = 0,05 (fornecido no enunciado do problema).
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a Abordagem clássica
 Passo 3:
 x = 53,75 e n = 100.
 Passo 4:
A região crítica abrange tanto a cauda esquerda quanto a
direita,pois tanto os valores menores quanto os maiores da
média amostral sugerem que a hipo ́tese nula está errada. O
nível de significância sera ́ dividido ao meio, com 0,025 sendo
a medida de cada cauda.
Teste de hipótese bicaudal utilizando 
a Abordagem clássica
 Passo 5:
 Não há evidências suficientes no nível de significância 0,05 para
mostrar que as alunas te ̂m um peso médio diferente do
alegado, 54,4 quilos. Em outras palavras, não há evidência
estatística para sustentar as alegações do Professor Hart.