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MA211 - Lista 03 Derivadas Parciais e Aproximac¸o˜es Lineares 14 de setembro de 2016 EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 1. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o. a) F f(r, s) = r ln(r2 + s2) b) F f(x, y) = ∫ x y cos2 t dt Soluc¸a˜o: a) Sendo f(r, s) = r · ln(r2 + s2), temos que as derivadas parciais em relac¸a˜o a r e s, respectivamente, sa˜o: •fr(r, s) = 1 · ln(r2 + s2) + r · 1 r2 + s2 · 2r = ln(r2 + s2) + 2r 2 r2 + s2 . •fs(r, s) = 0 · ln(r2 + s2) + r · 1 r2 + s2 · 2s = 2rs r2 + s2 . b) Sendo f(x, y) = ∫ x y cos(t2) dt, temos que as derivadas parciais em relac¸a˜o a x e y, respectivamente, sa˜o: • ∂ ∂x f(x, y) = ∂ ∂x (∫ x y cos(t2) ) = cos(x2). • ∂ ∂y f(x, y) = ∂ ∂y (∫ x y cos(t2) ) = ∂ ∂y ( − ∫ y x cos(t2) ) = − cos(y2). Notemos que nas soluc¸o˜es das derivadas parciais acima utilizamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo. 2. ([2], sec¸a˜o 10.1) � Considere a func¸a˜o dada por z = x sen ( x y ) . Verifique que x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z. Soluc¸a˜o: Primeiramente, vamos calcular ∂z ∂x e ∂z ∂ . Assim, • ∂z ∂x = ∂ ∂x [ x · sen ( x y )] = 1 · sen ( x y ) + x · cos ( x y ) · 1 y = sen ( x y ) + x y · cos ( x y ) • ∂z ∂y = ∂ ∂y [ x · sen ( x y )] = 0 · sen ( x y ) + x · cos ( x y ) · ( − x y2 ) = −x 2 y2 · cos ( x y ) . 1 Enta˜o, x · ∂z ∂x + y ∂z ∂y = x · [ sen ( x y ) + x y · cos ( x y )] + y · [ − x 2 y2 · cos ( x y )] = x · sen ( x y ) + x2 y cos ( x y ) − x 2 y · cos ( x y ) x · sen ( x y ) = z. 3. � ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x, y, z) =√ x2 + y2 + z2 em (3, 2, 6) e use-a para aproximar o nu´mero √ (3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2. Soluc¸a˜o: Vamos determinar a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f em (3, 2, 6). Primeiramente, calculamos as derivadas parcias fx, fy e fz, para todo (x, y, z). •fx(x, y, z) = 1 2 (x2 + y2 + z2)−1/2 · 2x = x√ x2 + y2 + z2 . •fy(x, y, z) = 1 2 (x2 + y2 + z2)−1/2 · 2y = y√ x2 + y2 + z2 . •fz(x, y, z) = 1 2 (x2 + y2 + z2)−1/2 · 2z = z√ x2 + y2 + z2 . Agora, calculamos as derivadas parciais de f no ponto (3, 2, 6), enta˜o •fx(3, 2, 6) = 3√ 32 + 22 + 62 = 3 7 . •fx(3, 2, 6) = 2√ 32 + 22 + 62 = 2 7 . •fx(3, 2, 6) = 6√ 32 + 22 + 62 = 6 7 . Assim, a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f em (3, 2, 6) e´ f(x, y, z) ≈ f(3, 2, 6) + fx(3, 2, 6)(x− 3) + fy(3, 2, 6)(y − 2) + fz(3, 2, 6)(z − 6) = 7 + 3 7 (x− 3) + 2 7 (y − 2) + 6 7 (z − 6) = 3 7 x+ 2 7 y + 6 7 z + ( 7− 9 7 − 4 7 − 36 7 ) = 3 7 x+ 2 7 y + 6 7 z. Agora, vamos aproximar o nu´mero √ (3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2. Assim, 2 √ (3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2 = f(3, 02 , 1, 97 , 5, 99) ≈ 3 7 (3, 02) + 2 7 (1, 97) + 6 7 (5, 99) ≈ 6, 9914. 4. � ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine o plano que e´ paralelo ao plano z = 2x+ 3y e tangente ao gra´fico de f(x, y) = x2 + xy. Soluc¸a˜o: Considere z − f(x0, y0) = ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) o plano tangente ao gra´fico de f . Assim, z = ∂f ∂x (x0, y0)·x+ ∂f ∂y (x0, y0)·y+ [ f(x0, y0)− ∂f ∂x (x0, y0)·x0− ∂f ∂y (x0, y0)·y0 ] . Como tal plano e´ paralelo ao plano z = 2x+ 3y, obtemos que ∂f ∂x (x0, y0) = 2 e ∂f ∂y (x0, y0) = 3. Notemos que ∂f ∂x (x, y) = 2x+ y e ∂f ∂y (x, y) = x. Assim, temos o seguinte sistema de equac¸o˜es{ 2x0 + y0 = 2 x0 = 3 Logo, x0 = 3 e y0 = −4. A partir desses valores temos que f(x0, y0) = −3, ∂f ∂x (x0, y0) · x0 = 6 e ∂f ∂y (x0, y0) · y0 = −12. Portanto, o plano desejado tem equac¸a˜o z = 2x+ 3y − 3− 6 + 12, ou seja, z = 2x+ 3y + 3. 3 EXERCI´CIOS PROPOSTOS 5. � ([1], sec¸a˜o 14.3) A temperatura T de uma localidade do Hemisfe´rio Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos es- crever T = f(x, y, t). Vamos medir o tempo em horas a partir do in´ıcio de Janeiro. a) Qual e´ o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t? b) Honolulu tem longitude de 158◦W e latitude de 21◦N . Suponha que a`s 9 horas em 1◦ de Janeiro esteja ventando para nordeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja mais frio. Voceˆ esperaria que fx(158, 21, 9), fy(158, 21, 9) e ft(128, 21, 9) fossem positivas ou negativas? Explique. 6. ([1], sec¸a˜o 14.3) O ı´ndice de sensac¸a˜o te´rmica W e´ a temperatura sentida quando a temperatura real e´ T e a velocidade do vento, v. Portanto, podemos escrever W = f(T, v). Considerando a tabela abaixo: a) Estime os valores de fT (−15, 30) e fv(−15, 30). Quais sa˜o as inter- pretac¸o˜es pra´ticas desses valores? b) Em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de ∂W/∂T e ∂W/∂v? c) Qual parece ser o valor do seguinte limite lim v→∞ ∂W ∂v ? 4 7. ([1], sec¸a˜o 14.3) As seguintes superf´ıcies, rotuladas a, b e c, sa˜o gra´ficos de uma func¸a˜o f e de suas derivadas parciais fx e fy. Identifique cada superf´ıcie e deˆ razo˜es para sua escolha. 8. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o. a) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4 c) u = √ x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n f) u = xy/z b) f(x, y) = x− y x+ y d) u = tew/t 9. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine a derivada parcial fx(3, 4), onde f(x, y) = ln(x+√ x2 + y2). 10. ([1], sec¸a˜o 14.3) Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para encontrar fx(x, y) e fy(x, y), sendo f(x, y) = x 2y − x3y. 11. � ([1], sec¸a˜o 14.3) Use a derivac¸a˜o implic´ıta para determinar ∂z/∂x e ∂z/∂y. a) x− z = arctg(yz) b) sen(xyz) = x+ 2y + 3z 12. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine ∂z/∂x e ∂z/∂y, sendo z = f(x) + g(y). 13. ([1], sec¸a˜o 14.3) Determine as derivadas parciais indicadas. 5 a) F u = erθ sen θ; ∂ 3u ∂r2∂θ b) w = x y + 2z ; ∂3w ∂z∂y∂x , ∂3w ∂x2∂y 14. ([1], sec¸a˜o 14.3) Sa˜o mostradas as curvas de n´ıvel de uma func¸a˜o f. Determine se as seguintes derivadas parciais sa˜o positivas ou negativas no ponto P. a) fx c) fxx e) fyy b) fy d) fxy 15. ([1], sec¸a˜o 14.3) Verifique que a func¸a˜o u = 1/ √ x2 + y2 + z2 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace tridimensional uxx + uyy + uzz = 0. 16. ([1], sec¸a˜o 14.3) Verifique que a func¸a˜o z = ln(ex + ey) e´ uma soluc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais ∂z ∂x + ∂z ∂y = 1 e ∂2z ∂2x + ∂2z ∂2y − ( ∂2z ∂x∂y )2 = 0. 17. F ([1], sec¸a˜o 14.3) A lei dos gases para uma massa fixa m de um ga´s ideal a` temperatura absoluta T , pressa˜o P e o volume V e´ PV = mRT , onde R e´ a constante do ga´s. Mostre que ∂P ∂V ∂V ∂T ∂T ∂P = −1. 18. F ([1], sec¸a˜o 14.3) Disseram-lhe que existe uma func¸a˜o f cujas derivadas parciais sa˜o fx(x, y) = x+ 4y e fy(x, y) = 3x− y, e cujas derivadas parciais de segunda ordem sa˜o cont´ınuas. Voceˆ deve acre- ditar nisso? 19. F ([1], sec¸a˜o 14.3) O elipsoide 4x2 + 2y2 + z2 = 16 intercepta o plano y = 2 em uma elipse. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` elipse no ponto (1, 2, 2). 6 20. ([1], sec¸a˜o 14.3) Seja f(x, y) = x3y − xy3 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). a) Use um computador para trac¸ar o gra´fico de f . b) Determine fx(x, y) e fy(x, y) quando (x, y) 6= (0, 0). c) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0) use a definic¸a˜o das derivadas parciais como limite. d) Mostre que fxy(0, 0) = −1 e fyx(0, 0) =1 e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? Use o gra´fico de fxy e fyx para ilustrar sua resposta. 21. � ([2], sec¸a˜o 10.1) Determine as derivadas parciais. a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4 c) z = x3 + y2 x2 + y2 e) z = x2 ln(1 + x2 + y2) g) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y i) g(x, y) = xy l) f(x, y) = 3 √ x3 + y2 + 3 b) z = cos(xy) d) f(x, y) = e−x 2−y2 f) z = xyexy h) z = arctg x y j) z = (x2 + y2) ln(x2 + y2) m) z = x sen y cos(x2 + y2) 22. ([2], sec¸a˜o 10.1) Considere a func¸a˜o z = xy2 x2 + y2 . Verifique que x ∂z ∂x +y ∂z ∂y = z. 23. � ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja φ : R → R uma func¸a˜o de uma varia´vel real, dife- rencia´vel e tal que φ′(1) = 4. Seja g(x, y) = φ ( x y ) . Calcule a) ∂g ∂x (1, 1) b) ∂g ∂y (1, 1) 24. ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja g(x, y) = φ ( x y ) a func¸a˜o do exerc´ıcio anterior. Verifi- que que, para todo (x, y) ∈ R2, com y 6= 0, temos que x ∂g ∂x (x, y) + y ∂g ∂y (x, y) = 0. 25. ([2], sec¸a˜o 10.1) A func¸a˜o p = p(V, T ) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o pV = nRT , onde n e R sa˜o constantes na˜o-nulas. Calcule ∂p ∂V e ∂p ∂T . 7 26. ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja z = eyφ(x − y), onde φ e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de uma varia´vel real. Mostre que ∂z ∂x + ∂z ∂y = z. 27. ([2], sec¸a˜o 10.1) Seja φ : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel de uma varia´vel real e seja f(x, y) = (x2 + y2)φ ( x y ) . Mostre que x ∂f ∂x + y ∂f ∂y = 2f. 28. ([2], sec¸a˜o 10.1) Determine ∂f ∂x e ∂f ∂y , sendo f(x, y) = x+ y4 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). 29. ([2], sec¸a˜o 10.2) Calcule as derivadas parciais. a) f(x, y, z) = xex−y−z b) w = x2 arcsen y z c) w = xyz x+ y + z d) f(x, y, z) = sen (x2 + y2 + z2) e) s = f(x, y, z, w) dada por s = xw ln (x2 + y2 + z2 + w2) 30. ([2], sec¸a˜o 10.2) Seja f(x, y, z) = x x2 + y2 + z2 . Verifique que x ∂f ∂x + y ∂f ∂y + z ∂f ∂z = −f. 31. ([2], sec¸a˜o 10.2) Seja s = f(x, y, z, w) dada por s = e x y − z w . Verifique que x ∂s ∂x + y ∂s ∂y + z ∂s ∂z + w ∂s ∂w = 0. 32. ([3], sec¸a˜o 11.3) Nos itens abaixo encontre ∂f/∂x e ∂f/∂y. a) f(x, y) = (x2 − 1)(y + 2) c) f(x, y) = 1/(x+ y) e) f(x, y) = exy ln y b) f(x, y) = (xy − 1)2 d) f(x, y) = e−x sen(x+ y) f) f(x, y) = cos2(3x− y2) 8 33. � ([3], sec¸a˜o 11.3) Nos itens abaixo, encotre fx, fy e fz. a) f(x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2 c) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2 e) f(x, y, z) = e−(x 2+y2+z2) b) f(x, y, z) = x−√y2 + z2 d) f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z) f) f(x, y, z) = e−xyz 34. ([3], sec¸a˜o 11.3) Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o de treˆs varia´veis indepen- dentes. Escreva a definic¸a˜o formal de derivada parcial ∂f/∂z em (x0, y0, z0). Use essa definic¸a˜o para encontrar ∂f/∂z em (1, 2, 3) para f(x, y, z) = x2yz2. 35. � ([3], sec¸a˜o 11.3) Encontre o valor de ∂z/∂x no ponto (1, 1, 1) sabendo que a equac¸a˜o xy + z3x− 2yz = 0 define z como uma func¸a˜o de duas varia´veis independentes x e y e que a derivada parcial existe. 36. ([3], sec¸a˜o 11.3) De acordo com o triaˆngulo abaixo: a) Expresse A implicitamente como uma func¸a˜o de a, b e c e calcule ∂A/∂a e ∂A/∂b. b) Expresse a implicitamente como uma func¸a˜o de A, b e B e calcule ∂a/∂A e ∂a/∂B. 37. ([2], sec¸a˜o 14.1) Calcule todas as derivadas parciais de 2a ordem. a) f(x, y) = x3y2 c) z = ln(1 + x2 + y2) b) z = ex 2−y2 d) g(x, y) = 4x3y4 + y3 38. ([2], sec¸a˜o 14.1) Seja f(x, y) = 1 x2 + y2 . Verifique que a) x ∂2f ∂x2 (x, y) + y ∂2f ∂y∂x (x, y) = −3∂f ∂x (x, y) b) ∂2f ∂x2 (x, y) + ∂2f ∂y2 (x, y) = 4 (x2 + y2)2 39. ([2], sec¸a˜o 14.1) Verifique que ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = 0, onde f(x, y) = ln(x2 + y2). 40. ([2], sec¸a˜o 14.1) Verifique que x ∂2z ∂x∂y + y ∂2z ∂y2 = 0, onde z = (x+ y)ex/y. 9 41. � (Prova, 2006) Considere a superf´ıcie dada implicitamente por x2 + 2y2 + 2z2 = −4xyz. a) Calcule as derivadas ∂z ∂x e ∂z ∂y em um ponto gene´rico. b) Quais os pontos nos quais as derivadas parciais calculadas no item ante- rior na˜o esta˜o definidas? 42. (Prova, 2010) Seja f(x, y) = x2y2 x2 + y2 . a) Calcule as derivadas parciais ∂f ∂x (x, y) e ∂f ∂y (x, y), num ponto (x, y) 6= (0, 0). b) Calcule o limite, se existir. lim (x,y)→(0,0) ∂f ∂x (x, y) 43. (Teste, 2013) Considere a func¸a˜o f(x, y) = log(9− x2 − 9y2). a) Esboce no plano xy o domı´nio de f. b) Calcule as derivadas parciais fx e fy. 44. � (Prova, 2014) Considere a func¸a˜o f(x, y) = xy x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). a) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta. b) Calcule as derivadas parciais ∂f ∂x (0, 0) e ∂f ∂y (0, 0). c) Determine ∂f ∂x (x, y) e ∂f ∂y (x, y) para (x, y) 6= (0, 0). d) f e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique sua resposta. 45. (Prova, 2014) Considere a func¸a˜o f(x, y) = { x+ y, se xy = 0, κ, caso contra´rio, em que κ e´ um nu´mero real. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de f em (0, 0). 10 46. F (Prova, 2014) Considere a func¸a˜o f(x, y) = xy2 x2 + y4 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). a) A func¸a˜o e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta. b) Determine as derivadas parciais ∂f ∂x (0, 0) e ∂f ∂y (0, 0). 47. (Prova, 2014) Se z = sen(x+ sen y), mostre que ∂z ∂x ∂2z ∂x∂y = ∂z ∂y ∂2z ∂x2 . 48. ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no ponto especificado. a) z = 4x2 − y2 + 2y, (−1, 2, 4). b) z = 3(x− 1)2 + 2(y + 3)2 + 7, (2,−2, 12). c) z = √ xy, (1, 1, 1). d) z = y cos(x− y), (2, 2, 2). 49. ([1], sec¸a˜o 14.4) Explique por que a func¸a˜o e´ diferencia´vel no ponto dado. A seguir, encontre a linearizac¸a˜o L(x, y) da func¸a˜o naquele ponto. a) f(x, y) = x √ y, (1, 4). b) f(x, y) = x x+ y , (2, 1). c) f(x, y) = e−xy cos y, (pi, 0). 50. ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x, y) = √ 20− x2 − 7y2 em (2, 1) e use-a para aproximar f(1, 95; 1, 08). 51. ([1], sec¸a˜o 14.4) Determine a diferencial da func¸a˜o. a) z = x3 ln y2. b) m = p5q3. c) R = αβ2 cosλ. 52. ([1], sec¸a˜o 14.4) Se z = 5x2 +y2 e (x, y) varia de (1, 2) a (1, 05; 2, 1), compare os valores de ∆z e dz. 53. ([1], sec¸a˜o 14.4) Se z = x2−xy+3y2 e (x, y) varia de (3;−1) a (2, 96;−0, 95), compare os valores de ∆z e dz. 11 54. ([1], sec¸a˜o 14.4) O comprimento e a largura de um retaˆngulo foram medi- dos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no ma´ximo, 0, 1 cm. Utilize as diferenciais para estimar o erro ma´ximo cometido no ca´lculo da a´rea do retaˆngulo. 55. ([1], sec¸a˜o 14.4) Utilize as diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cil´ındrica fechada com 8 cm de diaˆmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0, 04 cm. 56. ([1], sec¸a˜o 14.4) Se R e´ a resisteˆncia equivalente de treˆs resistores conectados em paralelo, com resisteˆncias R1, R2, R3, enta˜o 1 R = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 . Se as resisteˆncias medem, em ohms, R1 = 25Ω, R2 = 40Ω, R3 = 50Ω, com margem de erro de 0, 5% em cada uma, estime o erro ma´ximo no valor calculado de R. 57. ([1], sec¸a˜o 14.4) Quatro nu´meros positivos, cada um menor que 50, sa˜o ar- redondados ate´ a primeira casa decimal e depois multiplicados. Utilize os diferenciais para estimar o ma´ximo erro poss´ıvel no ca´lculo do produto que pode resultar do arredondamento. 58. ([1], sec¸a˜o 14.4) Mostre que a func¸a˜o f(x, y) = xy − 5y2 e´ diferencia´vel achando os valores ε1e ε2 que satisfac¸am a Definic¸a˜o 7 da Sec¸a˜o 14.4 do Stewart. 59. F ([1], sec¸a˜o 14.4) Considere a func¸a˜o f(x, y) = xy x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). Mostre que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0). 60. � ([2], sec¸a˜o 11.1) f e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique. a) f(x, y) = x2 − y2 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) b) f(x, y) = x2y x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) c) f(x, y) = x4 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) 12 61. � ([2], sec¸a˜o 11.2) Verifique que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel. a) f(x, y) = ex−y 2 c) f(x, y) = x2y e) f(x, y) = x cos (x2 + y2) b) f(x, y) = x4 + y3 d) f(x, y) = ln (1 + x2 + y2) f) f(x, y) = arctg xy 62. ([2], sec¸a˜o 11.2) Determine o maior conjunto de pontos em que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel. Justifique. a) f(x, y) = xy x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) b f(x, y) = x3 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = 0 c) f(x, y) = xy3 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = 0 d) f(x, y) = e 1 x2 + y2 − 1 , se x2 + y2 < 1, 0, se x2 + y2 ≥ 1 63. � ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o dada, no ponto dado. a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)). b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)). c) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)). d) f(x, y) = xex 2−y2 em (2, 2, f(2, 2)). e) f(x, y) = arctg (x− 2y) em ( 2, 1 2 , f ( 2, 1 2 )) . f) f(x, y) = xy em ( 1 2 , 1 2 , f ( 1 2 , 1 2 )) . 64. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gra´fico de f(x, y) = xy. 65. (Prova, 2014) Determine a equac¸a˜o dos planos tangentes ao gra´fico de f(x, y) = −x2 − y2 que passam por ambos os pontos (1, 0, 7) e (3, 0, 3). 66. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine o plano que e´ paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2. 13 67. ([2], sec¸a˜o 11.3) z = 2x + y e´ a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule ∂f ∂x (1, 1) e ∂f ∂y (1, 1). 68. ([2], sec¸a˜o 11.3) 2x+ y+ 3z = 6 e´ a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 1, 1). a) Calcule ∂f ∂x (1, 1) e ∂f ∂y (1, 1). b) Determine a equac¸a˜o da reta normal no ponto (1, 1, 1). 69. ([2], sec¸a˜o 11.3) Considere a func¸a˜o f(x, y) = x φ ( x y ) , em que φ(u) e´ uma func¸a˜o deriva´vel de uma varia´vel. Mostre que os planos tangentes ao gra´fico de f passam pela origem. 70. F (Prova, 2013) Determine a equac¸a˜o do plano que e´ tangente ao paraboloide z = 2x2 + 3y2 e paralelo ao plano 4x− 3y − z = 10. 71. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine os planos que sa˜o tangentes ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2 e que contenham a intersec¸a˜o dos planos x+ y + z = 3 e z = 0. 72. ([2], sec¸a˜o 11.3) Determine os planos tangentes ao gra´fico de f(x, y) = 2 + x2 + y2 e que contenham o eixo x. 73. ([2], sec¸a˜o 11.3) Considere a func¸a˜o f(x, y) = x g(x2 − y2), em que g(u) e´ uma func¸a˜o deriva´vel de uma varia´vel. Mostre que o plano tangente ao gra´fico de f no ponto (a, a, f(a, a)) passa pela origem. 74. (Prova, 2010) Mostre que o plano tangente ao parabolo´ide z = x2 + y2 no ponto (1, 2, 5) intercepta o plano xy na reta{ 2x+ 4y − 5 = 0 z = 0 . 14 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS PROPOSTOS 5. a) ∂T/∂x e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura quando a longitude muda, mas a latitude e o tempo sa˜o constantes; ∂T/∂y e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura quando a latitude muda, mas a longitude e o tempo sa˜o constantes; ∂T/∂t e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura quando o tempo muda, mas a longitude e a latitude sa˜o constantes. b) fx(158, 21, 9) > 0, fy(158, 21, 9) < 0 e ft(158, 21, 9) > 0. 6. a) fT (−15, 30) ≈ 1.3 Isto significa que quando a temperatura real e´ −15oC e a velocidade do vento e´ 30km/h, a temperatura aparente aumenta cerca de 1.3oC para cada 1oC que a temperatura real aumenta; fv(−15, 30) ≈ −0.15 Isto significa que quando a temperatura real e´ −15oC e a velocidade do vento e´ 30km/h, a temperatura aparente di- minui cerca de 0.15oC para cada 1km/h que a velocidade do vento aumenta. b) ∂W ∂T > 0 e ∂W ∂v ≤ 0. c) limv→∞ ∂W∂v = 0. 7. a) fy, b) fx, c) f . 8. a) ∂f ∂x = 5x4 + 9x2y2 + 3y4 e ∂f ∂y = 2x3y + 12xy3. b) ∂f ∂x = 2y (x+ y)2 e ∂f ∂y = − 2x (x+ y)2 . c) ∂u ∂xi = xi√ x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n para todo i = 1, · · · , n. d) ∂u ∂t = ew/t ( 1− w t ) e ∂u ∂w = ew/t. f) ∂u ∂x = y z x(y/z)−1, ∂u ∂y = xy/z lnx e ∂u ∂z = −yx y/z z2 lnx. 9. fx(3, 4) = 1 5 . 10. fx = y 2 − 3x2y e fy = 2xy − x3. 11. a) ∂z ∂x = 1 + y2z2 1 + y + y2z2 e ∂z ∂y = − z 1 + y + y2z2 . b) ∂z ∂x = 1− yz cos(xyz) xy cos(xyz)− 3 e ∂z ∂y = 2− xz cos(xyz) xy cos(xyz)− 3. 12. ∂z ∂x = f ′(x) e ∂z ∂y = g′(y). 15 13. a) ∂3u ∂r2∂θ = θerθ(2 sen θ + θ cos θ + rθ sen θ). b) ∂3w ∂z∂y∂x = 4 (y + 2z)3 e ∂3w ∂x2∂y = 0. 14. a) Negativa b) Positiva c) Positiva d) Negativa e) Positiva 15. uxx = 2x2 − y2 − z2 (x2 + y2 + z2)5/2 , uyy = 2y2 − x2 − z2 (x2 + y2 + z2)5/2 e uzz = 2z2 − x2 − y2 (x2 + y2 + z2)5/2 . 16. ∂z ∂x = ex ex + ey , ∂z ∂y = ey ex + ey , ∂2z ∂x2 = ∂2z ∂y2 = ex+y (ex + ey)2 , ∂2z ∂x∂y = − e x+y (ex + ey)2 . 17. ∂P ∂V = −mRT V 2 , ∂V ∂T = mR P e ∂T ∂P = V mR . 18. Na˜o, pois pelo Teorema de Clairaut deveria ser verdade que fxy = fyx, mas temos fxy = 4 6= 3 = fyx. 19. x = 1 + t, y = 2, z = 2− 2t. 20. a) Gra´fico de f : b) fx = x4y + 4x2y3 − y5 (x2 + y2)2 e fy = x5 − 4x3y2 − xy4 (x2 + y2)2 quando (x, y) 6= (0, 0). c) fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0. d) Use fxy(0, 0) = lim h→0 fx(0, h)− fx(0, 0) h e fyx(0, 0) = lim h→0 fy(h, 0)− fy(0, 0) h . e) Para (x, y) 6= (0, 0), fxy = x6 + 9x4y2 − 9x2y4 − y6(x2 + y2)3. Como fxy na˜o e´ cont´ınua na origem, na˜o ha´ uma contradic¸a˜o com o Teorema de 16 Clairaut. Os gra´ficos de fxy e fyx sa˜o ideˆnticos, exceto na origem: 21. a) ∂f ∂x = 20x3y2 + y3 e ∂f ∂y = 10x4y + 3xy2. b) ∂z ∂x = −y sen(xy) e ∂z ∂y = −x sen(xy). c) ∂z ∂x = x4 + 3x2y2 − 2xy2 (x2 + y2)2 e ∂z ∂y = 2x2y(1− x) (x2 + y2)2 . d) ∂f ∂x = −2xe−x2−y2 e ∂f ∂y = −2ye−x2−y2 . e) ∂z ∂x = 2x ln(1 + x2 + y2) + 2x3 1 + x2 + y2 e ∂z ∂y = 2x2y 1 + x2 + y2 . f) ∂z ∂x = yexy(1 + xy) e ∂z ∂y = xexy(1 + xy). g) ∂f ∂x = 12y(4xy−3y3)2+10xy e ∂f ∂y = 3(4xy−3y2)2(4x−9y2)+5x2. h) ∂z ∂x = y x2 + y2 e ∂z ∂y = −x x2 + y2 . i) ∂g ∂x = yxy−1 e ∂g ∂y = xy lnx. j) ∂z ∂x = 2x(1 + ln(x2 + y2)) e ∂z ∂y = 2y(1 + ln(x2 + y2)). l) ∂f ∂x = x2 3 √ (x3 + y3 + 3)2 e ∂f ∂y = 2y 3 3 √ (x3 + y3 + 3)2 . m) ∂z ∂x = sen y(cos(x2 + y2) + 2x2 sin(x2 + y2)) (cos(x2 + y2))2 e ∂z ∂y = x cos y cos(x2 + y2) + 2xy sin y sin(x2 + y2) (cos(x2 + y2))2 . 22. ∂z ∂x = y4 − x2y2 (x2 + y2)2 e ∂z ∂y = 2x3y (x2 + y2)2 . 23. a) 4. b) −4. 17 24. ∂g ∂x = 1 y φ′ ( x y ) e ∂g ∂y = − x y2 φ′ ( x y ) . 25. ∂p ∂V = −nRT V 2 e ∂p ∂T = nR V . 26. ∂z ∂x = eyφ′(x− y) e ∂z ∂y = eyφ(x− y)− eyφ′(x− y). 27. ∂f ∂x = 2xφ ( x y ) + (x2 + y2) y φ′ ( xy ) e ∂f ∂y = 2yφ ( x y ) −x(x 2 + y2) y2 φ′ ( x y ) . 28. ∂f ∂x = y2 − x2 − 2xy4 (x2 + y2)2 , se (x, y) 6= (0, 0), na˜o existe se (x, y) = (0, 0) e ∂f ∂y = 4x2y3 + 2y5 − 2xy x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). 29. a) ∂f ∂x = (1 + x)ex−y−z, ∂f ∂y = −xex−y−z e ∂f ∂z = −xex−y−z. b) ∂w ∂x = 2x arcsin ( t z ) , ∂w ∂y = x2|z| z √ z2 − y2 e ∂w ∂z = − x 2y |z|√z2 − y2 . c) ∂w ∂x = yz(y + z) (x+ y + z)2 , ∂w ∂y = xz(x+ z) (x+ y + z)2 e ∂w ∂z = xy(x+ y) (x+ y + z)2 . d) ∂f ∂x = 2x cos(x2 + y2 + z2), ∂f ∂y = 2y cos(x2 + y2 + z2) e ∂f ∂z = 2z cos(x2 + y2 + z2). e) ∂s ∂x = w ( 2x2 x2 + y2 + z2 + w2 + ln(x2 + y2 + z2 + w2) ) , ∂s ∂y = 2xyw x2 + y2 + z2 + w2 , ∂s ∂z = w 2xzw x2 + y2 + z2 + w2 e ∂s ∂w = x ( 2w2 x2 + y2 + z2 + w2 + ln(x2 + y2 + z2 + w2) ) . 30. ∂f ∂x = −x2 + y2 + z2 (x2 + y2 + z2)2 , ∂f ∂y = −2xy (x2 + y2 + z2)2 e ∂f ∂z = −2xz (x2 + y2 + z2)2 . 31. ∂s ∂x = 1 y e x y − z w , ∂s ∂y = − x y2 e x y − z w , ∂s ∂z = − 1 w e x y − z w e ∂s ∂w = z w2 e x y − z w . 32. a) ∂f ∂x = 2x(y + 2) e ∂f ∂y = x2 − 1. 18 b) ∂f ∂x = 2y(xy − 1) e ∂f ∂y = 2x(xy − 1). c) ∂f ∂x = ∂f ∂y = − 1 (x2 + y2)2 . d) ∂f ∂x = −e−x sin(x+ y) + e−x cos(x+ y) e ∂f ∂y = e−x cos(x+ y). e) ∂f ∂x = yexy ln y e ∂f ∂y = xexy ln y + exy y . f) ∂f ∂x = −6 cos(3x−y2) sen(3x−y2) e ∂f ∂y = 4y cos(3x−y2) sen(3x−y2). 33. a) fx = 1 + y 2, fy = 2xy e fz = −4z. b) fx = 1, fy = − y√ y2 + z2 e fz = − z√ y2 + z2 . c) fx = −x(x2 + y2 + z2)−3/2, fy = −y(x2 + y2 + z2)−3/2 e fz = −z(x2 + y2 + z2)−3/2. d) fx = 1 x+ 2y + 3z , fy = 2 x+ 2y + 3z e fz = 3 x+ 2y + 3z . e) fx = −2xe−(x2+y2+z2), fy = −2ye−(x2+y2+z2) e fz = −2ze−(x2+y2+z2). f) fx = −yze−xyz, fy = −xze−xyz e fz = −xye−xyz. 34. ∂f ∂z (1, 2, 3) = 12. 35. ∂z ∂x (1, 1, 1) = −2. 36. a) a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A), ∂A ∂a = a bc sen(A) e ∂A ∂b = c cos(A)− b bc sen(A) . b) a sen(A) = b sen(B) , ∂a ∂A = a cos(A) sen(A) e ∂a ∂B = −b csc(B) cot(B) sen(A). 37. a) ∂2f ∂x2 = 2xy2, ∂2f ∂y2 = 2x3 e ∂2f ∂x∂y = ∂2f ∂y∂x = 6x2y. b) ∂2z ∂x2 = 2ex 2−y2(1 + 2x2), ∂2z ∂y2 = 2ex 2−y2(2y2 − 1) e ∂2z ∂x∂y = ∂2z ∂y∂x = −4xyex2−y2 . c) ∂2z ∂x2 = 2 + 2y2 − 2x2 (1 + x2 + y2)2 , ∂2z ∂y2 = 2 + 2x2 − 2y2 (1 + x2 + y2)2 e ∂2z ∂x∂y = ∂2z ∂y∂x = −4xy (1 + x2 + y2)2 . 19 d) ∂2g ∂x2 = 24xy2, ∂2g ∂y2 = 48x3y2 e ∂2g ∂x∂y = ∂2g ∂y∂x = 48x2y3. 38. ∂f ∂x = − 2x (x2 + y2)2 , ∂2f ∂x2 = 6x2 − 2y2 (x2 + y2)3 , ∂2f ∂y2 = 6y2 − 2x2 (x2 + y2)3 e ∂2f ∂y∂x = 8xy (x2 + y2)3 . 39. ∂2f ∂x2 = 2y2 − 2x2 (x2 + y2)2 e ∂2f ∂y2 = 2x2 − 2y2 (x2 + y2)2 . 40. ∂2z ∂x∂y = −3xy − x2 y3 e x y e ∂2z ∂y2 = 3x2y + x3 y4 e x y . 41. a) ∂z ∂x = − x+ 2yz 2(z + xy) e ∂z ∂y = −y + xz z + xy . b) {(x, y, z) ∈ R3; z = −xy}. 42. a) ∂f ∂x = 2xy4 (x2 + y2)2 e ∂f ∂y = 2x4y (x2 + y2)2 . b) lim (x,y)→(0,0) ∂f ∂x (x, y) = 0. 43. a) Df = {(x, y) ∈ R2; x2 − 9y2 < 9}. b) fx = −2x 9− x2 − 9y2 e fy = −18y 9− x2 − 9y2 . 44. a) Na˜o, pois lim(x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe. b) ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0. c) ∂f ∂x = y3 − x2y (x2 + y2)2 e ∂f ∂y = x3 − xy2 (x2 + y2)2 . d) Na˜o, pois f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) (ou: pois suas derivadas parciais na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0)). 20 45. ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1. 46. a) Na˜o, pois lim(x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe. b) ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0. 47. ∂z ∂x = cos(x+ sen y), ∂z ∂y = cos(x+ sen y) cos y, ∂z2 ∂x∂y = − sen(x+ sen y) cos y e ∂ 2z ∂x2 = − sen(x+ sen y). 48. a) z = −8x− 2y. b) z = 6x+ 4y + 8. c) x+ y − 2z = 0. d) z = y. 49. As derivadas fx e fy de cada f existem e sa˜o cont´ınuas nos pontos dados, logo diferencia´veis. a) L(x, y) = 2x+ 1 4 y − 1. b) L(x, y) = 1 9 x− 2 9 y + 2 3 . c) L(x, y) = 1− piy. 50. L(x, y) = −2 3 x− 7 3 y + 20 3 e f(1, 95; 1, 08) ≈ 2.847. 51. a) dz = 3x2 ln(y2)dx+ 2x 3 y dy. b) dm = 5p4q3dp+ 3p5q2dq. c) dR = β2 cos(γ)dα + 2γβ cos(γ)dβ − αβ2 sen(γ)dγ. 52. ∆z = 0.9225 e dz = 0.9. 53. ∆z = −0.7189 e dz = −0.73. 54. ∆A ≈ 5.4 cm2. 55. Para V = pir2h o volume da lata de raio r e altura h, temos ∆V ≈ 16 cm3. 56. ∆R ≈ 0.059Ω. 57. Se x, y, z, w sa˜o os quatro nu´meros e p(x, y, z, w) = xyzw, temos ∆p ≤ 25000. 58. �1 = ∆y e �2 = −5∆y. 59. fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, mas lim(x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe, logo f e´ dis- cont´ınua em (0, 0) e portanto na˜o e´ diferencia´vel neste ponto. 21 60. a) Na˜o. b) Na˜o. c) Sim. 61. As derivadas parciais ∂f ∂x e ∂f ∂y de cada func¸a˜o f existem e sa˜o cont´ınuas em todos os pontos do domı´nio. 62. a) R2 \ {(0, 0)}. b) R2 \ {(0, 0)}. c) R2. d) R2. 63. a) Plano tangente: z = 4x+ 2y − 4 Reta normal: (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ (4, 2,−1). b) Plano tangente: z = 2y − 1 Reta normal: (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ (0, 2,−1). c) Plano tangente: z = −8x+ 2y + 8 Reta normal: (x, y, z) = (1,−1,−2) + λ (−8, 2,−1). d) Plano tangente: z = 9x− 8y Reta normal: (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ (9,−8,−1). e) Plano tangente: 4z = 2x− 4y + (pi − 2) Reta normal: (x, y, z) = ( 2, 1 2 , pi 4 ) + λ ( 1 2 ,−1,−1). f) Plano tangente: 4z = 2x+ 2y − 1 Reta normal: (x, y, z) = ( 1 2 , 1 2 , 1 4 ) + λ ( 1 2 , 1 2 ,−1). 64. x+ 6y − 2z = 3. 65. 2x+ 2y + z = 9 e 2x− 2y + z = 9. 66. z = 2x+ y − 5 4 . 67. ∂f ∂x (1, 1) = 2 e ∂f ∂y (1, 1) = 1. 68. a) ∂f ∂x (1, 1) = −2 3 e ∂f ∂y (1, 1) = −1 3 . b) (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 1, 3). 69. Note que x∂f ∂x (x, y) + y ∂f ∂y (x, y) = f(x, y). 70. 4x− 3y − z = −11 4 . 71. z = 0 e z = 6x+ 6y − 18. 72. z = 2 √ 2y e z = −2√2y. 22 73. Note que a∂f ∂x (a, a) + a∂f ∂y (a, a) = f(a, a). 74. Note que o plano tangente no ponto (1, 2, 5) e´ z = 2x+ 4y − 5. 23 Refereˆncias [1] J. Stewart. Ca´lculo, Volume 2, 6a Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Pioneira/ Thomson Le- arning. [2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Ca´lculo, Volume 2, 5a Edic¸a˜o, 2002, Rio de Janeiro. [3] G. B. Thomas. Ca´lculo, Volume 2, 10a edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Addison- Wesley/Pearson,2002. 24
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