Resumo do Numero 'e'

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Sobre o nu´mero e
Definic¸a˜o: e := lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n
Contas para o nu´mero e = 2, 718281828459 . . .
(
1 +
1
1
)1
= 2
(
1 +
1
2
)2
= 2, 25
(
1 +
1
3
)3
= 2, 37037037 . . .
(
1 +
1
4
)4
= 2, 44140625
(
1 +
1
6
)6
= 2, 52162637 . . .
(
1 +
1
12
)12
= 2, 61303529 . . .
(
1 +
1
52
)52
= 2, 69259695 . . .
(
1 +
1
365
)365
= 2, 71456748 . . .
(
1 +
1
8760
)8760
= 2, 71812669 . . .
(
1 +
1
525600
)525600
= 2, 71827924 . . .
1
Uma motivac¸a˜o: Uma quantia de P reais e´ aplicada a` juros compostos a uma taxa
de 100% ao ano.
a. Determine o montante apo´s um ano supondo que os juros sejam capitalizados n
vezes ao ano.
b. Supondo no caso a. que os juros sejam capitalizados continuamente, qual e´ o mon-
tante?
c. Qual sera´ o montante apo´s t anos, supondo que os juros sejam capitalizados n vezes
ao ano?
d. Como em b. qual sera´ o montante apo´s t anos, supondo que os juros sejam capita-
lizados continuamente?
• Uma soluc¸a˜o para a.:
Apo´s a 1a. parcela, o montante e´ M1 = P ·
(
1 +
1
n
)
;
Apo´s a 2a. parcela, o montante e´ M2 = M1
(
1 +
1
n
)
= P ·
(
1 +
1
n
)2
;
Apo´s a 3a. parcela, o montante e´ M3 = M2
(
1 +
1
n
)
= P ·
(
1 +
1
n
)3
;
...
...
...
Apo´s a n-e´sima parcela, o montante e´ Mn = P ·
(
1 +
1
n
)n
.
• Uma soluc¸a˜o para b.:
O montante M pedido e´ o limite de Mn quando n→∞ e por isso igual a Pe.
Ou seja, M = lim
n→∞
Mn = lim
n→∞
P ·
(
1 +
1
n
)n
= Pe.
2
• Uma soluc¸a˜o para c.:
Como para t anos o total de parcelas e´ n · t e sendo o montante ao final de um ano
igual a Mn, teremos enta˜o, apo´s esse tempo, o montante de Mn(t) = P ·
(
1 +
1
n
)nt
.
Uma soluc¸a˜o para d.:
Apo´s t anos, para uma capitalizac¸a˜o dos juros cont´ınua, apos t anos, o montante sera´
(∗) M(t) = Pet, pois
M(t) = lim
n→∞
Mn(t) = lim
n→∞
P ·
(
1 +
1
n
)nt
= lim
n→∞
P ·
((
1 +
1
n
)n)t
= Pet.
Observac¸a˜o: Notar que em (∗) apareceu a func¸a˜o exponencial.
Uma aplicac¸a˜o mais geral
A motivac¸a˜o na˜o acontece apenas para o caso em que os juros anuais sejam de
100%, o que esta´ ilustrado abaixo.
1. Se uma quantia P e´ investida a juros compostos a` taxa de 100i por cento ao ano,
com i > 0 (ou seja, representado pelo nu´mero real i), e os juros sa˜o capitalizados n
vezes ao ano, os montantes Mn e Mn(t), respectivamente apo´s 1 ano e t anos, sera˜o:
Mn = P ·
(
1 +
i
n
)n
e Mn(t) = P ·
(
1 +
i
n
)nt
2. Se a quantia P investida a juros compostos, a´ taxa de 100i por cento, e os juros
sa˜o capitalizados continuamente, enta˜o os montantes apo´s 1 ano e apo´s t anos sera˜o,
respectivamente,
M = lim
n→∞
Mn = P e
i e (∗∗) M(t) = lim
n→∞
Mn(t) = P e
it.
Observac¸a˜o: Notar que em (∗∗) apareceu a func¸a˜o composta h(t) = eit = g(f(t)),
onde f(t) = it e g(u) = eu.
3