lista intro a algebra (3)

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Lista 31/março/2016
Observações:
Em todas as questões P1, P2 e P2 são, respectivamente, os pontos (1,2,3), (1,1,1) e (1,4,5).
Em todas as questões v, u, w e z são,respectivamente, os vetores (1,0,1), (2,0,0), (0,0,3) e (3,5,7).
P1, P2 e P3 são colineares? Como testar se sim ou se não?
Se P1, P2 e P3 não são colineares como achar o plano π que os contém? (na forma vetorial e na forma geral).
Se P1, P2 e P3 formam um triângulo no plano π como saber se um Ponto P do plano está na região interna ou externa do triângulo?
P1 VAP1
		VAP1P2					VAP1P3
	
VAP2		P2	 VAP2P3			P3	 VAP3 = “Área do vértice P3”
					Área interna.
Como saber se está na VAPi ou na VAPiPj ?
Usando os pontos P1 e P2 construir um triângulo retângulo no plano π. Sendo o segmento P1P2 a hipotenusa.
Usando os pontos P1 e P2 construir um triângulo retângulo no plano π. Sendo o segmento P1P2 um cateto.
Usando os pontos P1 e P2 construir um triângulo equilátero no plano π.
Dados 5 pontos Q1 a Q5, como saber se eles formam um pirâmide de base quadrada e altura igual às arestas da base?
Dados 8 pontos Q1 a Q8, como saber se eles formam um cubo de aresta de comprimento a?
Dado o Ponto P1 construa um cubo de aresta 1 a partir de P1.
Como achar o baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro com operações vetoriais?
Uma cadeia de montanhas pode ser aproximada por trechos de planos (como na figura a seguir). Suponha que cada trecho seja ser um polígono de 4 vértices. Você tem uma tabela (com 4 colunas) contendo todos esses pontos. Cada coluna é composta pelas coordenadas x, y e z e cada linha é representa os 4 vértices do polígono.
Por exemplo: 
	 (1,0,1)
	(2,5,-2)
	(0,2,4)
	(0,-2,4)
	(1,0,1)
	(1,1,0)
	(1,0,1)
	(0,0,2)
Nesse exemplo os 2 trechos compartilham o ponto (1,0,1), ou seja, os trechos estão assim:
12.1) Com esses dados como calcular a menor distância entre 2 cidades?
12.2) Como esses dados como escolher o traçado de uma ferrovia*?
	*não se esqueça que uma ferrovia não pode ter grandes inclinações, grandes curvas.