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UFPB - Universidade Federal da Paraiba Centro de ciências exatas e da natureza Departamento de matemática. CÁLCULO VETORIAL Prof.: José Ribeiro LISTA DE EXERCICIOS DE CÁLCULO VETORIAL 1) Determine as distâncias dos pontos A = (1,−1, 4) e B = (6,−3, 1) à reta cujas equações simétricas são x−24 = y −3 = z−1 −2 . 2) Determine a distância dos pontos R = (1, 1,−1) e S = (1, 1, 1) ao plano 2x− y + z = 2. 3) Cacule a distância da reta r : { y = 2x+ 3 z = 2x+ 1, ao plano pi : 4x− 4y + 2z − 7 = 0. 4) Calcule a distância entre as retas r1 : { y = x− 3 z = −x+ 1, e r2 : x = 1− t y = 3− 2t z = 1− t. 5) Para cada uma das parabolas x2 = 8y e x = 12y 2, construir o gráfico encontrando o foco e a diretriz. 6) Seja a parábola de vértice V = (4, 2) e foco F = (1, 2). Trace o gráfico e obtenha a equação geral desta parábola. 7) Dada a parábola de equação y2 + 6y − 8x + 17 = 0. Determine a equação geral, ser vértice, seu gráfico, o foco e a diretriz desta parábola. 8) Esboce o gráfico, obtenha o foco e o vértice da parábola (x− 1)2 = 12(y − 3). 9) Obtenha as coordenadas do vértice e o foco da parábola y = −2x2 + 8x− 8. 10) Obtenha os pontos de interseção das parábolas y = x2 + 1 e y = −x2 + 3. Além disso, calcule o vértice e as interseções com os eixos cartesianos. 11) Para cada uma das elipses abaixo, determine a medida dos eixos, o esboço dos gráficos, os focos e a excentricidade. 1. 9x2 + 252 = 225; 2. 4x2 + y2 − 16 = 0; 3. x2 − y2 − 9 = 0. 12) Uma elipse de centro na origem tem foco em (3, 0) e medida do eixo maior igual a 8. Determine sua equação. 13) Uma elipse cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro em (4,−2), excentricidade e = 12 e eixo menor de medida 6. Determine a equação desta elipse e esboce seu gráfico. 1 14) Dada a equação da elipse 4x2 + 9y2 − 8x − 36 + 4 = 0. Determine a equação geral, o centro, o gráfico, os vértices, os focos e a excentricidade destta elipse. 15) Obtenha a equação da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo X, que passa pelo ponto (1, 1) e e = a √ 2 2 . 16)Determinar a equação geral da elipse 9x2 − 4y2 − 54x− 32y + 109 = 0. 17) Para cada uma das hipérboles determine a medida dos eixos, esboce o gráfico, determine os vértices, os focos e a excentricidade. 1. x2 − 4y2 + 16 = 0; 2. x2 − y2 = 4. 18) Uma hipérbole tem focos em F1 = (−5, 0) e F2 = (5, 0) e a medida do eixo real é 6. Determine a sua equação geral. 19) Determine uma equação para a hipérbole de vértices A1 = (1,−2) e A2 = (5,−2). Sabendo que F = (6,−2) é um de seus focos. 20) Identifique as quadricas representadas abaixo esboçando seus gráficos. 1. 2x2 + 4y2 + z2 − 16 = 0; 2. z = x2 + y2; 3. 4y2 + z2 − 4x = 0; 4. −x 2 4 + z2 9 − y 2 4 = 1; 5. y = −x2 − 3z2 + 2. 21) Dada a superfície esférica x2 + y2 + z2 + 6x − 4y − 12 = 0, determine e centro, o raio e esboce graficamente tal superfície. 22) Verifique se os pontos A = (1, 1, 0) e B = (1, 1, 3) pertencem a superfície quádrica S : x2 + y2 + z2 − 2x+ 3y − z − 3 = 0. Esboce tal superfície. 23)Identifique e esboce graficamente a superfície S : { z = x2 + y2; z = 4. 24) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos de R3 cujas distâncias ao ponto A = (2, 1,−3) equivale ao triplo da distância ao eixo X. 2
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