Lista 01 Unidade 01

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A AVALIAÇÃO 01
DISCIPLINA: VGA - 2016.1, T9
5. Descreva e esboce a superfície em R3 representada pela equa-
ção x � y � 2.
6. (a) O que a equação x � 4 representa em R2? O que ela repre-
senta em R3? Ilustre com esboços.
(b) O que a equação y � 3 representa em R3? O que z � 5 re-
presenta? O que o par de equações y � 3 e z � 5 representa?
Em outras palavras, descreva o conjunto de pontos (x, y, z) tal
que y � 3 e z � 5. Faça um esboço ilustrativo.
7–8 Encontre os comprimentos dos lados do triângulo PQR. Ele é
um triângulo retângulo? É isósceles?
7. P(3, �2, �3),MMQ(7, 0, 1),MMR(1, 2, 1)
8. P(2, �1, 0),MMQ(4, 1, 1),MMR(4, �5, 4)
9. Determine se os pontos estão em uma mesma reta.
(a) A(2, 4, 2),MMB(3, 7, �2),MMC(1, 3, 3) 
(b) D(0, �5, 5),MME(1, �2, 4),MMF(3, 4, 2) 
10. Determine a distância entre (3, 7, �5) e cada um dos seguintes. 
(a) Plano xy (b) Plano yz
(c) Plano xz (d) Eixo x 
(e) Eixo y (f) Eixo z
11. Determine uma equação da esfera com centro em (1, �4, 3) e
raio 5. Qual é a intersecção dessa esfera com o plano xz?
12. Determine uma equação da esfera com centro em (2, �6, 4) e raio
5. Descreva sua intersecção com cada um dos planos coordenados. 
13. Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto (4, 3, �1)
e tem centro em (3, 8, 1).
14. Determine uma equação da esfera que passa pela origem e tem
centro em (1, 2, 3).
15–18 Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu
centro e raio. 
15. x2 � y2 � z2 � 2x � 4y � 8z �15
16. x2 � y2 � z2 �8x � 6y � 2z � 17 � 0
17. 2x2 � 2y2 � 2z2 � 8x � 24z � 1
18. 3x2 � 3y2 � 3z2 � 10 � 6y � 12z
19. (a) Prove que o ponto médio do segmento de reta de P1(x1, y1, z1)
a P2(x2, y2, z2) é
(b) Determine os comprimentos das medianas do triângulo com
vértices A(1, 2, 3), B(�2, 0, 5) e C(4, 1, 5).
20. Encontre uma equação de uma esfera que tenha um diâmetro
com extremidades dadas por (2, 1, 4) e (4, 3, 10).
21. Encontre as equações das esferas com centro (2, �3, 6) que toquem
(a) o plano xy, (b) o plano yz e (c) o plano xz.
22. Determine uma equação da maior esfera com centro em (5, 4, 9)
contida no primeiro octante.
23–34 Descreva em palavras a região de R3 representada pela equa-
ção ou inequação. 
23. x � 5 24. y � �2 
25. y 	 8 26. x 
 �3 
27. 0 � z � 6 28. z2 � 1
29. x2 � y2 � 4, z � �1 30. y2 � z2 � 16
31. x2 � y2 � z2 � 3 32. x � z
33. x2 � z2 � 9 34. x2 � y2 � z2 � 2z
35–38 Escreva inequações para descrever a região dada. 
35. A região entre o plano yz e o plano vertical x � 5.
36. O cilindro sólido que está sobre ou abaixo do plano z � 8 e sobre
ou acima do disco no plano xy com centro na origem e raio 2. 
37. A região constituída em todos os pontos entre (mas não sobre)
as esferas de raio r e R centradas na origem, onde r 	 R.
38. O hemisfério superior sólido da esfera de raio 2 centrada na origem.
39. A figura mostra uma reta L1 no espaço e uma segunda reta L2,
que é a projeção de L1 no plano xy. (Isto é, os pontos de L2 estão
diretamente abaixo ou acima dos pontos de L1.)
(a) Determine as coordenadas do ponto P da reta L1.
(b) Localize no diagrama os pontos A, B e C, onde a reta L1 in-
tercepta os planos xy, o plano yz e o plano xz, respectivamente.
40. Considere os pontos P tais que a distância de P para A(�1, 5, 3)
seja o dobro da distância de P para B(6, 2, �2). Mostre que o con-
junto desses pontos é uma esfera e determine seu raio e centro.
41. Determine uma equação para o conjunto de pontos equidistan-
tes dos pontos A(�1, 5, 3) e B(6, 2, �2). Descreva o conjunto.
42. Determine o volume do sólido que está contido em ambas as es-
feras
x2 � y2 � z2 � 4x � 2y � 4z � 5 � 0 
e x2 � y2 � z2 � 4 
43. Encontre a distância entre as esferas x2 � y2 � z2 � 4 e 
x2 � y2 � z2 � 4x + 4y + 4z �11.
44. Descreva e esboce um sólido com as seguintes propriedades.
Quando iluminado por raios paralelos ao eixo z, a sua sombra é
um disco circular. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo
y, sua sombra é um quadrado. Quando iluminado por raios pa-
ralelos ao eixo x, sua sombra é um triângulo isósceles.
� x1 � x22 , y1 � y22 , z1 � z22 �
x
0
z
y
1
1 1
L¡
L™
P
Calculo12_01:calculo7 5/25/13 6:33 AM Page 712
Fazer o exercícios de números entre 6 e 22
1. (4, 0, �3) 3. C; A
5. Um plano vertical que
intercepta o plano xy na
reta y � 2 � x, z � 0
7. (a) �PQ� � 6, �QR�� 2 , �RP�� 6; triângulo isósceles
9. (a) Não (b) Sim
11. (x � 1)2 � (y � 4)4 � (z � 3)2 � 25;
(x � 1)2 + (z � 3)2 � 9, y � 0 (um círculo)
13. (x � 3)2 (y � 8)2 � (z � 1)2 � 30
15. (1, 2, �4), 6 17. (2, 0, �6), 9/√–2
19. (b) , √––94, √––85
21. (a) (x � 2)2 � (y � 3)2 � (z � 6)2 � 36 
(b) (x � 2)2 � (y � 3)2 � (z � 6)2 � 4 
(c) (x � 2)2 � (y � 3)2 � (z � 6)2 � 9
23. Um plano paralelo ao plano yz e 5 unidades à esquerda dele
25. Um semiespaço consistindo em todos os pontos à frente do plano
y � 8
27. Todos os pontos sobre ou entre os planos horizontais z � 0 e 
z � 6 
29. Todos os pontos em um círculo com raio 2 com centro no eixo z,
isto é, contido no plano z � �1
31. Todos os pontos em ou dentro de uma esfera com raio √
–
3 e cen-
tro O
33. Todos os pontos em ou dentro de um cilindro circular de raio 3
com eixos no eixo y
35. 0 � x � 5 37. r2 � x2 � y2 � z2 � R2
39. (a) (2, 1, 4) (b) 
41. 14x � 6y � 10z � 9, um plano perpendicular a AB
43. 2
√
–
3 � 3
s10
P
A
C
B
0
z
y
x
L™
L¡
5
2
1
2
1
2
z
y
2
x
2
0
y=2-x
y=2-x, z=0
apendices–res2:calculo7 5/25/13 11:55 AM Page A70
Respostas
Fazer os exercícios de números entre 1 e 11.
Fazer os exercícios de números entre 3 e 11.