Álgebra Linear I - Poli - P3 - 2017

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Q1. Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, S1 e S2 subespac¸os
de V e B1 e B2 bases de S1 e S2, respectivamente. Considere as seguintes
afirmac¸o˜es:
(I) o conjunto
{
v1 + v2 : v1 ∈ B1, v2 ∈ B2
}
e´ uma base de S1 + S2;
(II) existe uma base de S1 ∩ S2 que conte´m o conjunto B1 ∩ B2;
(III) existe uma base de V que conte´m o conjunto B1 ∪ B2.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(d) nenhuma das afirmac¸o˜es e´ necessariamente verdadeira;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira.
Q2. Seja F(R,R) o espac¸o vetorial de todas as func¸o˜es f : R → R e seja
W o subespac¸o de F(R,R) definido por
W = [f1, f2, f3, f4],
em que
f1(t) = t, f2(t) = t cos(2t), f3(t) = t cos
2 t e f4(t) = t
(
2 + cos(2t)
)
,
para todo t ∈ R. Uma base para W e´:
(a) {f1, f2, f3, f4};
(b) {f1, f2, f3};
(c) {f4};
(d) {f1, f2};
(e) {f1, f2, f4}.
Q3. Considere os subespac¸os S1 e S2 de M3(R) definidos por
S1 =
{
A−At : A ∈M3(R)
}
e S2 =
{
A ∈M3(R) : tr(A) = 0
}
,
em que At denota a transposta da matriz A e tr(A) denota a soma dos
elementos na diagonal principal de A. Temos que a dimensa˜o de S1 ∩ S2 e´
igual a:
(a) 3;
(b) 4;
(c) 2;
(d) 1;
(e) 0.
Q4. Considere a base
B =
{(
1 1
1 1
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
0 0
)}
de M2(R) e seja S o subespac¸o de M2(R) definido por:
S = [(0, 1, 2,−1)B, (2,−1,−1, 3)B].
Se x, y ∈ R forem tais que ( x y2 3 ) ∈ S, enta˜o x− y sera´ igual a:
(a) 4;
(b) 3;
(c) 10;
(d) −5;
(e) −1.
Q5. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o 15 e sejam S1 e S2 subespac¸os
de V tais que
dim(S1) = dim(S2) ≤ 8
e V = S1 + S2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) dim(S1 ∩ S2) ≥ 2;
(II) existe v ∈ S1 ∩ S2 tal que S1 ∩ S2 = [v];
(III) se S1∩S2 6= {0}, enta˜o para quaisquer v, w ∈ S1∩S2 tais que v 6= w,
vale que o conjunto {v, w} e´ linearmente dependente.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q6. Seja S o subespac¸o de M2(R) gerado pelas matrizes:(
4 3
2 1
)
e
(
3 2
1 0
)
.
Suponha que α, β, γ, δ ∈ R sejam tais que αx + βy + γz + δt = 0, para
qualquer
( x y
z t
) ∈ S. Pode-se afirmar que:
(a) β + γ = 0;
(b) α+ β + γ + δ = 0;
(c) 2α+ γ = 0;
(d) β + γ + δ = 0;
(e) α+ β + γ = 0.
Q7. Considere os subespac¸os S1 e S2 de P4(R) definidos por:
S1 = [t
2 − t, t− 1] e S2 =
{
p ∈ P4(R) : p(1) = p(−1) = 0
}
.
Assinale a alternativa correta:
(a) S1 = P2(R);
(b) S1 + S2 = P4(R);
(c) se p ∈ S1 ∩ S2 na˜o for o polinoˆmio nulo, enta˜o p tera´ grau igual a 2;
(d) P1(R) e´ um subespac¸o de S1 ∩ S2;
(e) S1 esta´ contido em S2.
Q8. Considere os subespac¸os S1 e S2 de P3(R) definidos por:
S1 =
{
p ∈ P3(R) : p(1) + p(−1) = 0
}
e
S2 =
{
p ∈ P3(R) : p′(1) + p′(−1) = 0
}
.
Temos que a dimensa˜o de S1 ∩ S2 e´ igual a:
(a) 4;
(b) 0;
(c) 2;
(d) 3;
(e) 1.
Q9. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e maior ou igual a 4 e
seja A = {u1, u2, u3} um subconjunto de V com treˆs elementos. Considere
as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se v, w ∈ V forem tais que A ∪ {v, w} gera V , enta˜o v e w sera˜o
ambos na˜o nulos;
(II) se v, w ∈ V forem tais que A ∪ {v, w} gera V , enta˜o v e w sera˜o
linearmente independentes;
(III) se A for linearmente independente e W for um subespac¸o de V de
dimensa˜o 2 tal que V = [u1, u2, u3] +W , enta˜o [u1, u2, u3] ∩W tera´
dimensa˜o maior ou igual a 1.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(d) nenhuma das afirmac¸o˜es e´ necessariamente verdadeira;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira.
Q10. Assinale a alternativa em que o conjunto S e´ um subespac¸o do espac¸o
vetorial V :
(a) S =
{
f ∈ F(R,R) : f(t) ≥ 0, para todo t ∈ R} e V = F(R,R) e´ o
espac¸o vetorial de todas as func¸o˜es f : R→ R;
(b) S =
{(
a b
c d
) ∈M2(R) : ad = 0} e V = M2(R);
(c) S =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + z = 3} e V = R3;
(d) S =
{
A ∈ M3(R) : At = 2A
}
e V = M3(R), em que A
t denota a
transposta da matriz A;
(e) S =
{
p ∈ P4(R) : p(1) = 1
}
e V = P4(R).
Q11. Considere a matriz
A =
(
2 1
0 −1
)
e seja S o subespac¸o de M2(R) definido por:
S =
{
B ∈M2(R) : BA = AB
}
.
Temos que a dimensa˜o de S e´ igual a:
(a) 2;
(b) 3;
(c) 4;
(d) 1;
(e) 0.
Q12. Considere o conjunto
V =
{
(x, y) ∈ R2 : x > 0 e y > 0}
munido das operac¸o˜es de soma ⊕ e multiplicac¸a˜o por escalar � definidas
por
(x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1x2, y1y2), λ� (x, y) = (xλ, yλ),
para todos (x1, y1), (x2, y2), (x, y) ∈ V e todo λ ∈ R. Temos que o conjunto
V , munido dessas operac¸o˜es, e´ um espac¸o vetorial e que o conjunto
W =
{
(x, y) ∈ V : y = 3√x}
e´ um subespac¸o de V . Assinale a alternativa correspondente a uma base do
espac¸o vetorial W :
(a) {(1, 1)};
(b) {(8, 2)};
(c) {(8, 2), (27, 3)};
(d) {(1, 1), (27, 3)};
(e) {(1, 1), (8, 2)}.
Q13. Seja b ∈ R e considere o sistema linear homogeˆneo
x1 + x2 + bx3 = 0,
2x1 + 3x2 + bx3 = 0,
− x1 − x2 − bx3 = 0,
− x1 + (1− b)x3 = 0
nas inco´gnitas reais x1, x2 e x3. Temos que o subespac¸o de R
3 formado pelo
conjunto das soluc¸o˜es desse sistema tera´ dimensa˜o igual a 1 se, e somente
se, b for igual a:
(a) 2;
(b) 1;
(c) 0;
(d) −1;
(e) −2.
Q14. Seja q ∈ R. Temos que (1, 3, 1,−2) pertencera´ ao subespac¸o de R4
gerado pelos vetores
(1, 1, 1, q), (1, 2, 3, 0) e (1, 2, 4, 1)
se, e somente se, q for igual a:
(a) 4;
(b) 2;
(c) −4;
(d) 0;
(e) −2.
Q15. Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o 3 e B = {e1, e2, e3} uma
base de V . Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) para todo v ∈ V , o conjunto {v + e1, v + e2, v + e3} e´ linearmente
independente;
(II) o conjunto {e1 + e2, e1 + e3, e2 + e3} e´ linearmente independente;
(III) o conjunto {e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3} e´ linearmente independente.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira;
(e) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira.
Q16. Sejam a, b, c ∈ R. Temos que os vetores
(1, 1, 1), (a, b, c) e (a2, b2, c2)
geram R3 se, e somente se:
(a) a > 0, b > 0 e c < 0;
(b) a 6= b, b 6= c e a 6= c;
(c) a = b e b 6= c;
(d) a 6= b e b = c;
(e) a = b = c.