Matemática 10

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2003 DOREA 1ºTT 
 
Matemática 10 – Geometria 
Espacial 
O Professor Albino falou que só vai cobrar verdadeiro ou falso 
ou seja problemas relacionados com demonstração não são 
necessários serem feitos. 
 
Conceitos primitivos e postulados 
 Reta – Conjunto de infinitos pontos; 
 Plano – Conjunto de infinitos pontos; 
 Dois pontos distintos determinam uma única reta; 
 Se uma reta tem dois planos distintos no plano então ela 
está contida no plano 
Determinação de plano 
1. Três pontos não colineares. 
2. Por uma reta e um ponto fora dela. 
3. Por duas retas concorrentes 
4. Por duas retas paralelas 
Posições das retas 
 Paralelas – Nenhum ponto em comum; 
 Concorrentes – Um único ponto em comum; 
 Reversas – Não existe plano que as contenha. 
 SE DUAS RETAS SÃO COINCIDENTES (IGUAIS) ELAS SÃO PARALELAS, 
essa definição é a do livro. 
Interseção de planos 
 Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm 
pelos menos outro ponto em comum, logo sua interseção é 
uma reta. E esses planos são chamados de concorrentes. 
 
 
 
 
 
 
2003 DOREA 1ºTT 
 
Paralelismo 
Paralelismo de retas 
 Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são 
paralelas entre si. 
Paralelismo entre retas e planos 
 Uma condição necessária e suficiente para que uma reta, não 
contida num plano, seja paralela a esse plano é ser 
paralela a uma reta contida nesse plano. 
Posições relativas entre reta e plano 
 Dois pontos distintos ou mais – A reta está contida no 
plano; 
 Um único ponto – A reta é secante ao plano; 
 Nenhum ponto – A reta e o plano são paralelos. 
Duas retas reversas (duas retas reversas e um ponto P) 
1. O ponto pertence a uma das retas; 
2. O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à 
outra reta; 
3. O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não 
paralelo à outra. 
Posições relativas de dois planos 
1. Coincidentes 
2. Paralelos 
3. Secantes 
Três retas reversas duas a duas 
1. Não existe plano paralelo às três retas. O exemplo que o 
professor deu em sala foi de uma interseção da parede do 
quadro e da parede da janela, a outra seria uma reta 
embaixo do escaninho e a última seria a interseção da 
parede com o teto. 
2. Existe plano paralelo às três retas. Uma reta no chão, a 
outra no meio da sala e a outra no teto. 
Ângulos de duas retas – Retas ortogonais 
 Uma reta r divide o plano em dois semiplanos. 
 Ângulos entre duas retas reversas é só fazer a projeção de 
uma das duas retas em um plano. 
 Se dois ângulos possuem lados respectivamente paralelos, 
então eles são congruentes ou suplementares. 
2003 DOREA 1ºTT 
 
Retas ortogonais 
 Duas retas são ortogonais se, e somente se formam ângulos 
retos e são reversas. 
 Se duas retas formam ângulo reto, então elas são ortogonais 
ou perpendiculares. 
 
Perpendicularidade 
Reta e plano perpendinculares 
 Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, 
eles têm um ponto em comum e a reta é perpendicular a 
todas as retas do plano que passam por esse ponto comum. 
 Uma reta e um plano são chamados oblíquos se são 
concorrentes e não são perpendiculares. 
 Para ser perpendicular a um plano a reta tem que formar 
ângulo reto com duas retas concorrentes do plano. 
 Por um ponto P pode-se conduzir um único plano/ reta 
perpendicular a uma reta/plano. 
 
 
Planos perpendiculares 
 Para que dois planos secantes sejam perpendiculares é 
necessário que todas reta de um deles, perpendicular a 
interseção, seja perpendicular ao outro. 
 Por uma reta não perpendicular a um plano, existe um único 
plano perpendicular a esse plano. 
Exercícios que devem ser feitos: 
p. 8 ex.:12 
p.11 ex.:18,19 
p.13 ex.:20 
p.25 ex.:47,48 
p.30 ex.:64,65 
p.34 ex.:66 
p. 42 ex.:77 
p.51 ex.:91 
QUANDO ACHAREM FALSO EM ALGUMA AFIRMATIVA, TENTEM PROVAREM O 
PORQUE DE SER FALSO, PARA FICAR MAIS FÁCIL O APRENDIZADO. 
Exercícios que podem ser feitos: 
Testes de vestibulares: 1, 3, 4, 6, 8, 14.