Lista de Exercicios IFVV

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RURAL DO SEMI-A´RIDO
Centro de Cieˆncias Exatas e Naturais - Ensino de Graduac¸a˜o
Func¸o˜es de n varia´veis – Lista 1
Prof. Alexsandro Bele´m – email address: alexsandro.belem@ufersa.edu.br
1. Dados x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn e um nu´mero real λ, definimos a soma
x+ y e o produto por escalar λx pondo
x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn),
λ · x = (λx1, . . . , λxn).
Prove que Rn munido dessas operac¸o˜es e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o n sobre R.
2. Dados x, y ∈ Rn, com y 6= 0, prove que o vetor z = x−αy, onde α = (x|y)||y||2 , e´ ortogonal
a y.
3. Dados x, y ∈ Rn quaisquer, prove que |(x|y)| ≤ ||x|| · ||y||. Valendo a igualdade se, e
somente se, um dos vetores x, y e´ mu´ltiplo do outro. (Esse resultado e´ conhecido como
desigualdade de Couchy-Schwarz.)
4. Verifique as condic¸o˜es N1, N2 e N3 da definic¸a˜o de norma para as normas da soma e
do ma´ximo.
5. Prove que para todo x ∈ Rn
||x||M ≤ ||x|| ≤ ||x||S ≤ n · ||x||M ,
onde || · ||, || · ||M , || · ||S denotam as normas euclidiana, do ma´ximo e da soma respec-
tivamente.
(Por esse motivo, diz-se que essas treˆs normas sa˜o equivalentes.)
6. Prove as propriedades d1, d2, e d3 da distaˆncia.
7. Seja E um espac¸o vetorial com produto interno e considere em E a norma induzida por
tal produto.
a) Prove a identidade do paralelogramo
||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2), ∀ x, y ∈ E.
(Isso quer dizer que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo e´
igual a soma dos dos quadrados dos seus quatro lados.)
b) Prove que a identidade do item anterior na˜o e´ va´lida para as normas da soma e
do ma´ximo.
c) Conclua que as normas da soma e do ma´ximo na˜o proveˆm de produto interno
algum em Rn.
8. Prove que dada uma norma || · || em Rn, para x, y ∈ Rn quaisquer tem-se ∣∣||x||−||y||∣∣ ≤
||x− y||.
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9. Sejam x, y ∈ Rn. O segmento de reta de extremos x, y e´ o conjunto
[x, y] = {(1− t)x+ ty ; 0 ≤ t ≤ 1}.
Um subconjunto X ⊂ Rn diz-se convexo quando: x, y ∈ X ⇒ [x, y] ⊂ X.
Prove que toda bola em Rn (aberta ou fechada) e´ um conjunto convexo.
10. Analise os conjuntos a seguir no que diz respeito a conexidade
a) X = {(x, y) ∈ R2 ; y ≤ x2}.
b) X = {(x, y) ∈ R2 ; x2 ≤ y}.
11. Dado um conjunto convexoX ⊂ Rn e um nu´mero real r > 0, sejaB(X; r) =
⋃
x∈X
B(x; r).
Prove que B(X; r) e´ convexo.
12. Seja B[a; r] ⊂ Rn uma bola fechada de centro a e raio r. Prove que X = Rn − B[a; r]
e´ aberto.
13. Para qualquer subconjunto X ⊂ Rn, prove que int.X e´ um conjunto aberto.
14. Prove que uma bola fechada na˜o e´ um conjunto aberto em Rn.
15. Prove que os abertos de Rn gozam da seguinte propriedade:
1. ∅ e Rn sa˜o abertos.
2. intersec¸a˜o de dois abertos e´ um aberto, mais geralmente intersec¸a˜o finita de abertos
e´ um aberto.
3. A =
⋃
λ∈L
Aλ, reunia˜o de uma famı´lia qualquer (Aλ)λ∈L de abertos Aλ e´ um conjunto
aberto.
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