Projeto de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

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UESPI
Curso de Graduação em 
Engenharia Elétrica
Controle IIControle II
Prof. Mestre José Brito Neto
SUMÁRIO
4. Projeto de Sistemas de Controle no Espaço
de Estados
4.1. Alocação de Pólos
4.2. Projeto de Servossistemas
4.3. Observadores de Estado4.3. Observadores de Estado
4.4. Projeto de Sistemas Reguladores com
Observadores
4.5. Projeto de Sistemas de Controle com
Observadores
4.6. Sistemas Reguladores Quadráticos
Ótimos
Alocação de Pólos
• Método de projeto denominado também de designação
de pólos. Este método é, de certa maneira, similar ao
método do lugar das raízes, no qual alocamos os pólos
de malha fechada nas posições desejadas. A diferença
básica é que, no projeto pelo lugar das raízes, alocamos
somente os pólos dominantes de malha fechada nas
posições desejadas, enquanto no projeto por alocaçãoposições desejadas, enquanto no projeto por alocação
de pólos alocamos todos os pólos de malha fechada
nas posições desejadas.
• Condição necessária é o sistema original ser de estado
completamente controlável, então os pólos de malha
fechada do sistema poderão ser alocados em qualquer
posição desejada por meio de uma realimentação de
estado, empregando uma matriz de ganho apropriada.
Alocação de Pólos
• Projeto por alocação de pólos – considere o sistema de
controle:
onde x é um vetor de estado n dimensional, y é um sinal
de saída (escalar), u é um sinal de controle (escalar), A
é uma matriz constante n X n, B é uma matriz constante
n X 1, C é uma matriz constante 1 X n e D é uma
= +
= +
x Ax B
Cx
� u
y Du
n X 1, C é uma matriz constante 1 X n e D é uma
constante (escalar).
� Escolhemos o sinal de controle como
� Logo, o sinal de controle u é determinado por um
estado instantâneo. Este esquema é denominado
realimentação de estado. A matriz K de ordem 1 X n é
denominada matriz de ganho de realimentação de
estado.
= −Kxu
Alocação de Pólos
Sistema de controle de malha fechada com u=–Kx
Sistema
Regulador
Alocação de Pólos
� Esse sistema de malha fechada não possui entradas.
Seu objetivo é manter a saída nula. Por causa dos
distúrbios que podem estar presentes, a saída pode
ser não nula. A saída não nula vai retornar para o
valor nulo correspondente à entrada de referência
nula, por cauda do esquema de realimentação de
estado do sistema. Esse sistema em que a entradaestado do sistema. Esse sistema em que a entrada
de referência é sempre nula é denominado sistema
regulador (se a referência de entrada do sistema for
sempre uma constante não nula, o sistema também
será denominado sistema regulador).
� Substituindo o sinal de controle u=–Kx na equação do
sistema de controle
( ) ( ) ( )= + → = −x Ax B x A BK x� �u t t
Alocação de Pólos
�Cuja solução é:
onde x(0) é o estado inicial causado pelos
distúrbios externos.
�A estabilidade e as características temporais
do sistema são determinadas pelos
( ) ( ) ( )0−= A BKx xtt e
do sistema são determinadas pelos
autovalores da matriz A–BK. Logo, se a matriz
K for corretamente escolhida, então a matriz
A–BK poderá ser assintoticamente estável e,
para todo x(0)≠0, será possível fazer x(t)
tender a 0, à medida que t tende a infinito.
Alocação de Pólos
• Condição necessária e suficiente para alocação
arbitrária de pólos – sistema original deve ser de estado
completamente controlável. Leitura.
• Determinação da matriz K com a utilização da matriz de
transformação T – suponha que o sistema seja definido
por ẋ=Ax+Bu e que o sinal de controle seja definido por
u=–Kx. Então, a matriz de ganho K de realimentaçãou=–Kx. Então, a matriz de ganho K de realimentação
que força os autovalores de A–BK a serem valores
desejados pode ser determinada como segue:
� Etapa 1 – verifique se o sistema é de estado
completamente controlável.
� Etapa 2 – determinar os coeficientes ai da equação
característica:
1
1 1
−
−
− = + + + +I A …n n
n n
s s a s a s a
Alocação de Pólos
� Etapa 3 – determinar a matriz de transformação T que
transforma a equação de estado do sistema na forma
canônica controlável T=MW onde M=[B AB ... An–1B]
é a matriz de controlabilidade e 1 2 1
2 3
1
1
1 0
1 0 0
− −
− −
 
 
 
 =
 
 
W
�
�
� � � �
�
n n
n n
a a a
a a
a
Se a equação do sistema dado
já estiver na forma canônica
controlável, então T=I.
� Etapa 4 – com os autovalores desejados, escreva o
polinômio característico desejado e determine os αi:
� Etapa 5 – a matriz de ganho K de realimentação de
estado requerida pode ser determinada por:
1 1 0 0
1 0 0 0
 
  
�
�
a
( )( ) ( ) 11 2 1 1− −−µ −µ −µ = + α + +α +α… …n nn n ns s s s s s
[ ] 11 1 2 2 1 1 −− −= α − α − α − α −K T�n n n na a a a
controlável, então T=I.
Alocação de Pólos
• Determinação da matriz K com a utilização do método de
substituição direta – indicada para sistemas de baixa
ordem (n≤3). No caso de n=3, então:
� Substitua a matriz K no polinômio característico
desejado:
onde ambos os lados da equação são polinômios em s.
[ ]1 2 3=K k k k
( )( )( )1 2 3− + = −µ −µ −µI A BKs s s s
onde ambos os lados da equação são polinômios em s.
Igualando os coeficientes de mesma potência em s, é
possível determinar os valores de k1, k2 e k3.
� Se o sistema não for de estado completamente
controlável, a matriz K não poderá ser determinada (não
existe solução).
• Determinação da matriz K com a utilização da fórmula de
Ackermann – leitura. [ ] ( )110 0 0 1 −− = φ K B AB A B A… … n
Alocação de Pólos
• Exemplo 01 – considere o sistema regulador da
figura abaixo, cuja planta é dada por ẋ=Ax+Bu e
u=–Kx. Desejamos que os pólos de malha fechada
sejam s=–2±j4 e s=–10. Determine a matriz de
ganho K de realimentação de estado.
0 1 0
0 0 1
1 5 6
0
0
1
 
 
=  
 − − − 
 
 
=  
  
A
B
Alocação de Pólos
� Primeiro, precisamos verificar se o sistema é de
estado completamente controlável.
� Então, o posto da matriz M é igual a 3. Logo, o
2
0 0 1
0 1 6 1
1 6 31
 
  = = − → = −   
 − 
M B AB A B M
� Então, o posto da matriz M é igual a 3. Logo, o
sistema é de estado completamente controlável e
a alocação arbitrária de pólos é possível.
� Solução através da determinação da matriz K
com a utilização da matriz de transformação T:
[ ] 11 1 2 2 1 1 −− −= α − α − α − α −K T�n n n na a a a
Alocação de Pólos
� A equação característica do sistema é:
� Portanto, a1=6, a2=5 e a3=1. Logo, a equação
característica desejada é:
3 2 3 2
1 2 3
1 0
0 1 6 5 1 0
1 5 6
− 
 
− = − = + + + = + + + = 
 + 
I A
s
s s s s s s a s a s a
s
característica desejada é:
� Portanto, α1=14, α2=60 e α3=200. Como
onde T=I para este caso, uma vez que a equação de
estado é fornecida na forma canônica controlável.
Então:
[ ] 13 3 2 2 1 1 −= α − α − α −K Ta a a
( ) ( ) ( ) 3 2 3 21 2 32 4 2 4 10 14 60 200 0+ − + + + = + + + = +α +α +α =s j s j s s s s s s s
[ ] [ ]200 1 60 5 14 6 199 55 8= − − − =K
Alocação de Pólos
� Solução através da determinação da matriz K com a
utilização do método de substituição direta:
� Definimos a matriz de ganho desejado: [ ]1 2 3=K k k k
[ ]1 2 3
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
     
     
− + = − +     I A BK
s
s s k k k[ ]
( ) ( )
1 2 3
1 2 3
3 2
3 2 1
3 2
0 0 0 0 1 0
0 0 1 5 6 1
1 0
0 1
1 5 6
6 5 1
14 60 200
− + = − +     
     − − −     
− 
 
= − 
 + + + + 
= + + + + + +
= + + +
I A BKs s k k k
s
s
s
k k s k
s k s k s k
s s s
Equação
característica
desejada
Alocação de Pólos
� Logo:
� Solução através da determinação da matriz K com a
[ ]199 55 8=K
3 1
2 21 3
6 14 199
5 60 55
1 200 8
+ = = 
 
+ = → = 
 + = =
k k
k k
k k
� Solução através da determinação da matriz K com a
utilização da fórmula de Ackermann:
� Como
[ ] ( )
[ ] ( )
11
12
0 0 0 1
0 0 1
−
−
−
 = φ 
 = φ 
K B AB A B A
K B AB A B A
… …
n
2
0 0 1
0 1 6
1 6 31
 
   = −   
 − 
B AB A B
Alocação de Pólos
� e
( ) 3 2
3 2
14 60 200
0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 14 0 0 1 60 0 0 1 200 0 1 0
1 5 6 1 5 6 1 5 6 0 0 1
199 55 8
φ = + + +
       
       
= + + +       
       − − − − − − − − −       
 
A A A A I
� Obtemos:
199 55 8
8 159 7
7 43 117
 
 
= − 
 − − 
[ ] [ ]
10 0 1 199 55 8
0 0 1 0 1 6 8 159 7 199 55 8
1 6 31 7 43 117
−
   
   
= − − =   
   − − −   
K
10 0 1 5 6 1
0 1 6 6 1 0
1 6 31 1 0 0
−
   
   
− =   
   −   
Alocação de Pólos
� Como era de esperar, as matrizes de ganho K obtidas
pelas 3 soluções são as mesmas. Com essa
realimentação de estado, os pólos de malha fechada
ficam alocados em s=–2±j4 e s=–10, como especificado.
� Note que, se a ordem n do sistema for 4 ou maior, a
solução através da determinação da matriz K com a
utilização da matriz de transformação T e a soluçãoutilização da matriz de transformação T e a solução
através da determinação da matriz K com a utilização da
fórmula de Ackermann serão recomendadas, uma vez que
todas as manipulações matriciais podem ser realizadas
pelo computador. Se a solução através da determinação
da matriz K com a utilização do método de substituição
direta for usada, os cálculos manuais se tornarão
necessários, pois o computador pode não ser apropriado
para lidar com uma equação característica com
parâmetros desconhecidos k1, k2, ..., kn.
Alocação de Pólos
• É importante notar que a matriz K não é única
para um sistema dado, mas depende da
localização desejada dos pólos de malha
fechada (que determinam a velocidade e o
amortecimento da resposta) selecionados. Note
que a seleção dos pólos de malha fechadaque a seleção dos pólos de malha fechada
desejados ou da equação característica
desejada é um compromisso entre a velocidade
de resposta do vetor de erro e a sensibilidade
aos distúrbios e aos ruídos de medida, ou seja,
se aumentarmos a velocidade da resposta do
erro, em geral os efeitos contrários nos
distúrbios e nos ruídos de medida aumentarão.
Alocação de Pólos
• Se o sistema for de 2ª ordem, então as dinâmicas do
sistema (resposta característica) poderão ser
precisamente correlacionadas com as localizações dos
pólos de malha fechada e com o(s) zero(s) da planta.
Para sistemas de ordem superior, a localização dos
pólos de malha fechada e as dinâmicas do sistema não
são tão facilmente correlacionadas. Consequentemente,são tão facilmente correlacionadas. Consequentemente,
para a determinação da matriz de ganho K de
realimentação de estado para dado sistema, é desejável
examinar a resposta característica por meio de
simulações computacionais para várias matrizes K
distintas (com base em várias e distintas equações
características desejadas) e escolher aquela que
confere o melhor desempenho global do sistema.
Projeto de Servossistemas
• Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta
possui um integrador – suponha que a planta seja
definida por:
onde x é um vetor de estado n dimensional, u é um sinal
de controle (escalar), y é um sinal de saída (escalar), A
é uma matriz constante n X n, B é uma matriz constante
= +
=
x Ax B
Cx
� u
y
é uma matriz constante n X n, B é uma matriz constante
n X 1 e C é uma matriz constante 1 X n.
� Por meio da escolha apropriada de um conjunto de
variáveis de estado, é possível escolher a saída igual
a uma das variáveis de estado. Então, vamos supor
que y=x1. Supomos também que o sinal de referência
r seja uma função degrau.
Projeto de Servossistemas
Projeto de Servossistemas
� Nesse sistema, o controle por realimentação de
estado é dado por:
[ ] ( )
[ ]
1
2
2 1 10
 
 
 
= − + −
 
 
 
�
�
n
n
x
x
u k k k r x
x
� Supondo que a entrada de referência é aplicada em
t=0, então, para t>0, as dinâmicas do sistemas podem
ser descritas por:
� Em regime permanente y(∞)=r, u(∞)=0 e r(∞)=r.
Então:
[ ]1 1 2, onde
 
= − + =Kx K � nk r k k k
( ) 1= + = − +x Ax B A BK x B� u k r
( ) ( ) ( ) ( )1∞ = − ∞ + ∞x A BK x B� k r
Projeto de Servossistemas
� Como a entrada de referência é uma função degrau,
temos:
onde r(∞)=r(t)=r(cte) para t>0.
� Definindo:
� Então, a dinâmica do erro é dada por:
� Logo, se o sistema for de estado completamente
( ) ( ) ( ) ( ) ( )− ∞ = − − ∞  x x A BK x x� �t t
( ) ( ) ( )− ∞ =x x et t
( )= −e A BK e�
� Logo, se o sistema for de estado completamente
controlável, então poderemos definir autovalores
desejados da matriz A–BK através da técnica de
alocação de pólos. No regime permanente (t=∞),
temos que: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1 0
−
∞ = = − ∞ +
∞ = − −
∞ = − ∞ + =
x 0 A BK x B
x A BK B
Kx
� k r
k r
u k r
Projeto de Servossistemas
• Exemplo 02 – projete um servossistema do tipo 1 para o
caso em que a FT da planta possui um integrador e que
a FT da planta seja:
Os pólos desejados de malha fechada são s=–2±j2√3 e
s=–10. O diagrama de blocos é o mesmo da figura
anterior (slide 21) e a entrada de referência r é uma
( )
( ) ( )( )
1
1 2
=
+ +
Y s
U s s s s
anterior (slide 21) e a entrada de referência r é uma
função degrau. Obtenha a resposta ao degrau unitário
do sistema projetado.
� Primeiramente, passamos a FT para a forma de
espaço de estados: ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
1 1
1 2 3 2
3 2
= =
+ + + +
+ + =
Y s
U s s s s s s s
s s s Y s U s
Projeto de Servossistemas
� Fazendo a transformada inversa de Laplace:
� As variáveis de estado são escolhidas:
� Substituindo os estados escolhidos na equação
( ) ( ) ( ) ( )3 2+ + =��� �� �y t y t y t u t
1
2 1
3 2
=

= =

= =
� �
� ��
x y
x x y
x x y
� Substituindo os estados escolhidos na equação
anterior:
� A representação no espaço de estados do sistema
resulta em:
3 3 2 3 2 33 2 2 3+ + = → = − −� �x x x u x u x x
= +
=
x Ax B
Cx
� u
y [ ]
1 1
2 2
3 3
1
2
3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 2 3 1
1 0 0
       
       
= +       
       − −       
 
 
=  
  
�
�
�
x x
x x u
x x
x
y x
x
Projeto de Servossistemas
� Como n=3, o sinal de controle u é dado por:
( ) ( )
[ ]
2 2 3 3 1 1 1
1 2 3onde
= − + + − = − +
=
Kx
K
u k x k x k r x k r
k k k
Projeto de Servossistemas
� A matriz de ganho K de realimentação de estado
pode ser obtida com o auxílio do MATLAB:
� Portanto, a matriz de ganho K de realimentação de
estado é:
� Como:
[ ]160 54 11=K
[ ]
0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 160 54 11 0 0 1
0 2 3 1 160 56 14
     
     
− = − =     
     − − − − −     
A BK
Projeto de Servossistemas
� A representação no espaço de estados do sistema
projetado é:
1 10 1 0 0
0 0 1 0
       
       
= +       
�
�
x x
x x r
( ) 1= + = − +
=
x Ax B A BK x B
Cx
� u k r
y
[ ]
2 2
3 3
1
2
3
0 0 1 0
160 56 14 160
1 0 0
       
= +       
       − − −       
 
 
=  
  
�
�
x x r
x x
x
y x
x
Projeto de Servossistemas
� A resposta ao degrau unitário para o sistemaprojetado pode ser obtida com o auxílio do MATLAB:
Projeto de Servossistemas
Projeto de Servossistemas
� Note que: ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
1 1
1
2
3
160 54 11 160
∞ = − ∞ + ∞ = − ∞ +
∞ 
 
= − ∞ + 
 ∞ 
 
Kx Kxu k r k r
x
x r
x
� No regime permanente, o sinal de controle u se torna
nulo.
• Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta
não possui integrador – leitura.
[ ]160 54 11 0 160 0
0
 
 
= − + = 
  
r
r
Observadores de Estado
• Na abordagem por alocação de pólos no projeto de
sistemas de controle, vamos supor que todas as
variáveis de estado estejam disponíveis para
realimentação. Na prática, nem todas as variáveis estão
disponíveis para realimentação. Um dispositivo (ou
programa computacional) que estima ou observa as
variáveis de estado é chamado observador de estado.variáveis de estado é chamado observador de estado.
• Classificação:
� Observador de ordem plena: observa todas as
variáveis de estado, inclusive as disponíveis.
� Observador de ordem reduzida: quando estima
menos que todas as variáveis de estado.
� Observador de ordem mínima: quando a ordem do
observador é a mínima.
Observadores de Estado
• Observador de estado – estima as variáveis de estado
baseado nas medidas das variáveis de saída e das variáveis
de controle. Se o posto da matriz de observabilidade [C*
A*C* ... (A*)n–1C*] é n, o sistema é de estado completamente
observável e um observador de ordem plena é possível.
Considere a planta definida por: = +
=
x Ax B
Cx
� u
y
� O observador é um subsistema reconstrutor do vetor de
estado da planta. O modelo matemático do observador é o
mesmo da planta, acrescido de um termo adicional que
incorpora o erro de estimação para compensar as
incertezas nas matrizes A e B e a ausência do erro inicial.
O erro de estimação é a diferença entre a saída medida e
a saída estimada. O erro inicial é a diferença entre o
estado inicial e o estado inicial estimado.
=Cxy
Observadores de Estado
� Portanto, o modelo matemático do observador é:
onde ~x é o vetor de estado estimado ou observado e
C~x é a saída estimada. As entradas do observador
são a saída y e a entrada de controle u. A matriz Ke é
a matriz de ganho do observador que é uma matriz de
penalização do termo de correção que envolve a
( ) ( )= + + − = − + +x Ax B K Cx A K C x B K�� � � �e e eu y u y
penalização do termo de correção que envolve a
diferença entre a saída medida y e a saída estimada
C~x. Esse termo corrige continuamente a saída do
modelo e aumenta o desempenho do observador. Em
muitos casos práticos, ~x é utilizado na realimentação
de estado para gerar o vetor de controle desejado. A
figura a seguir mostra o diagrama de blocos do
sistema e o observador de ordem plena.
Observadores de Estado
Observadores de Estado
• Observador de estado de ordem plena – suponha que a
planta seja definida por:
� O modelo do observador é definido por:
� Para obter a equação do erro de observação subtrai-
= +
=
x Ax B
Cx
� u
y
( ) ( )= + + − = − + +x Ax B K Cx A K C x B K�� � � �e e eu y u y
� Para obter a equação do erro de observação subtrai-
se o modelo do observador a partir da equação de
estado da planta:
� Definindo o vetor de erro e:
� Então:
( ) ( )( )− = − − − = − −x x Ax Ax K Cx Cx A K C x x�� � � � �e e
= −e x x�
( )= −e A K C e� e
Observadores de Estado
� O comportamento do vetor de erro é determinado
pelos autovalores da matriz A–KeC. Se esta matriz for
estável, o vetor de erro tende a zero qualquer que
seja o vetor de erro inicial e(0), ou seja, ~x(t) tende a
x(t) independentemente do valor de x(0) e ~x(0).
� Se a planta for completamente observável, então
poderá ser provado que é possível escolher a matrizpoderá ser provado que é possível escolher a matriz
Ke tal que A–KeC tenha seus autovalores
arbitrariamente escolhidos, ou seja, a matriz de ganho
Ke do observador pode ser determinada para fornecer
a matriz A–KeC desejada.
• O problema dual – leitura.
• Condição necessária e suficiente para observação de
estado – leitura.
Observadores de Estado
• Técnica da transformação para obtenção da matriz de
ganho Ke do observador de estado – seguindo a mesma
abordagem utilizada na determinação da equação da
matriz de ganho K de realimentação de estado,
obtemos:
[ ] 11 1 2 2 1 1 −− −= α − α − α − α −K T�n n n na a a a[ ]1 1 2 2 1 1− − �n n n n
( )
( )
11 1 1 1
1 1 1 1
1
*
*
onde é uma matriz 1 e 
−
− − − −
−
α − α −   
   α − α −   
= =
   
   
α − α −   
× =
K Q WN
K Q WN
� �
n n n n
n n n n
e
e
a a
a a
a a
n
Observadores de Estado
� E: ( ) 1
1 2 1
2 3
1
* * * * *
1
1 0
1 0 0
−
− −
− −
 =
 
 
 
 
 =
 
 
N C A C A C
W
�
�
�
� � � �
�
n
n n
n n
a a a
a a
a
onde ai são os coeficientes da equação característica
de A (|sI–A|=0), αi são os coeficientes da equação
característica desejada ((s–po1)(s–po2) ... (s–pon)=0)
em que os poi são os pólos desejados do observador.
� Obs.: A matriz de transformação Q=I se o sistema
estiver na forma canônica observável.
1 1 0 0
1 0 0 0
 
  
�
�
a
Observadores de Estado
• Abordagem pela substituição direta para obtenção da
matriz de ganho Ke do observador de estado – se o
sistema for de ordem reduzida (n≤3, onde n é a
dimensão do vetor de estado x), então a substituição
direta da matriz Ke no polinômio característico desejado
poderá ser mais simples. Por exemplo, se x for um vetor
de dimensão 3, então: 1 ekde dimensão 3, então:
� Substitui-se esta matriz no polinômio característico
desejado:
� Igualam-se os coeficientes de mesma potência em s
e determina-se os valores de ke1, ke2 e ke3.
1
2
3
 
 
=  
  
K
e
e e
e
k
k
k
( ) ( )( )( )1 2 3− − = − − −I A K Ces s s sµ µ µ
Observadores de Estado
• Fórmula de Ackermann – determinada:
( )
1
2
1
0
0
0
1
−
−
−
   
   
   
   = φ
   
   
      
C
CA
K A
CA
CA
� �e
n
n
onde:
� Os αi são os coeficientes da equação característica
desejada ((s–po1)(s–po2) ... (s–pon)=0) em que os poi
são os pólos desejados do observador.
• Comentários sobre a seleção da melhor Ke – leitura.
1      CA
( ) 11 1− −φ = + α + +α +αA A A A I�n n n n
Observadores de Estado
• Exemplo 03 – considere o sistema:
onde:
u=–K~x é a realimentação por estado observado.
Projete um observador de ordem plena, supondo a
= +
=
x Ax B
Cx
� u
y
[ ]0 21 0, , 0 1
1 0 1
   
= = =   
   
A B C
Projete um observador de ordem plena, supondo a
configuração a seguir.
Considere os pólos
desejados da matriz
do observador iguais a
po1=–10 e po2=–10.
Observadores de Estado
� Primeiro, vamos examinar o posto da matriz de
observabilidade:
� Consequentemente, o sistema é completamente
observável e a determinação da matriz de ganho do
[ ] 0 1 Posto n 2* * * não singular
1 0 Determinante não nulo
= =  
= =  
  
C A C
observável e a determinação da matriz de ganho do
observador é possível.
� Método 01 – método da matriz de transformação – o
sistema já está na forma canônica observável. Assim
Q=I. A equação característica é:
� Portanto:
2 2
1 2
21
21 0
1
− 
− = = − = + + = 
− 
I A
s
s s s a s a
s
1 20 e 21= = −a a
Observadores de Estado
� A equação característica desejada é:
� Logo:
� Então, a matriz de ganho Ke do observador é:
( )2 2 2 1 210 20 100 0+ = + + = + α + α =s s s s s
1 220 e 100α = α =2 2 1 0 100 21 121α − +       
= = =
a
� Método 02 – método da substituição direta – a
equação característica do observador é:
2 2
1 1
1 0 100 21 121
0 1 20 0 20
α − +       
= = =       α − −      
K Qe
a
a
[ ]1
2
0
0 0 21
0 1 0
0 1 0
− + =
    
− + =    
     
I A K Ce
e
e
s
ks
ks
1
2
 
=  
 
K ee
e
k
k
Observadores de Estado
� Comparando com a equação característica desejada:
1
2
2
2 1
21
0
1
21 0
− +
=
− +
+ − + =
e
e
e e
s k
s k
s k s k
2 20 100 0+ + =s s
� Resulta:
� Portanto:
20 100 0+ + =s s
1 2121 e 20= =e ek k
121
20
 
=  
 
K e
Observadores de Estado
� Método 03 – método da fórmula de Ackermann:
� Com:
� Calcula-se:
( )
1 0
1
−
   
= φ    
   
C
K A
CAe
( ) 2 20 100φ = + +A A A I
0 21 0 21 21 0     � Calcula-se: 2 0 21 0 21 21 0
1 0 1 0 0 21
     
= =     
     
A
( )
( )
21 0 0 21 1 0
20 100
0 21 1 0 0 1
121 420
20 121
     φ = + +     
     
 φ =  
 
A
A
1 10 1 0 1
1 0 1 0
− −
     
= =     
     
C
CA
Observadores de Estado
� Logo:
� Como esperado, foi obtido a mesma Ke,
independentemente do método utilizado.
� A equação do observador de estado de ordem plena
é:
121 420 0 1 0 121
20 121 1 0 1 20
       
= =       
       
K e
é:
( )
[ ] 11
22
11
22
0 21 121 0 121
0 1
1 0 20 1 20
0 100 0 121
1 20 1 20
= − + +
            
= − + +           
          
  −       
= + +        
−       
x A K C x B K
xx
xx
xx
xx
�� �
� ��
� ��
� ��
� ��
e eu y
u y
u y
Observadores de Estado
� Note que, similarmente ao caso de alocação de pólos,
se a ordem n do sistema for 4 ou maior, os métodos
da matriz de transformação e da fórmula de
Ackermann serão recomendados, uma vez que todas
as manipulações computacionais podem ser
conduzidas através de computador, enquanto o
método da substituição direta sempre requer cálculosmétodo da substituição direta sempre requer cálculos
manuais de uma equação característica que envolve
parâmetros desconhecidos ke1, ke2, ..., ken.
• Efeitos da adição do observador em um sistema de
malha fechada – leitura.
• Função de transferência do controlador baseado em
observador – leitura.
Observadores de Estado
• Observador de ordem mínima – usado quando algumas
variáveis de estado podem ser medidas e não precisam
ser estimadas, cujo diagrama de blocos é:
Observadores de Estado
Observadores de Estado
� A equação do observador de ordem mínima é:
onde:
ˆ ˆ ˆη = η+ +A B F�� � y u
ˆ
ˆˆ
ˆ
 = −

= + −

= −
A A K A
B AK A K
F B K
bb e ab
e ba e aa
b e a
A
B
� O vetor de estado x fica particionado entre estados
medidos (a) e estados estimados (b):
ˆ
= −F B Kb e aB
[ ]1
       
= +       
       
 
=  
 
A
x A A x B
0
x
�
�
a aa ab a a
b ba bb b b
a
b
x A x B
u
x
y
Observadores de Estado
onde xa é um escalar, xb é um vetor de dimensão (n–
1), Aaa é um escalar, Aab é uma matriz 1 X (n–1), Aba
é uma matriz (n–1) X 1, Abb é uma matriz (n–1) X (n–
1), Ba é um escalar, Bb é uma matriz (n–1) X 1 e 0 é
um vetor linha que contém (n–1) zeros. A variável de
estado xa é igual a saída y e, portanto, pode ser
diretamente medida, enquanto xb é a porção nãodiretamente medida, enquanto xb é a porção não
mensurável do vetor de estado.
� A transformação de ῆ para ~x é feita por:
em que:
ˆ ˆ
= η+x C D�� y
1
1
ˆ ˆ
,
−
   
= =   
   
0
C D
I Kn e
Observadores de Estado
• Sistema de controle realimentado por meio de
estado observado com observador de ordem
mínima – leitura.
• Determinação da matriz de ganho Ke do
observador com o MATLAB – leitura.
• Função de transferência do controlador baseado• Função de transferência do controlador baseado
em observador de ordem mínima – leitura.
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
• Seja o sistema regulador do diagrama de blocos
a seguir, no qual a entrada de referência é nula e
a FT da planta é:
( ) ( )( )( )
10 2
4 6
+
=
+ +
s
G s
s s s
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
�Projete um controlador de modo que ao ser
submetido à condição inicial:
( ) ( )
1
1
0 0 , 0
0
0
 
  
= =       
x e
onde x é o vetor de estado da planta e e é o
vetor de erro do observador, o sobressinal
máximo de y(t) seja de 25% a 35% e o tempo
de acomodação aproximadamente 4s. Vamos
supor que apenas a saída y é mensurável e
que estejamos utilizando um observador de
ordem mínima.
 
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� O procedimento para o projeto de um sistema regulador
utilizando o método de alocação de pólos com observador
pode ser enunciado como segue:
1. Coloque a planta na forma de espaço de estados.
2. Escolha os pólos de malha fechada desejados e os
pólos desejados do observador.pólos desejados do observador.
3. Calcule a matriz de ganho de realimentação de estado
K e a matriz de ganho Ke do observador.
4. Determine a FT do controlador-observador. Se for um
controlador estável, verifique a resposta para dada
condição inicial. Se a resposta não for aceitável, ajuste
a alocação de pólos de malha fechada e/ou a alocação
de pólos do observador, até obter uma resposta
aceitável.
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Etapa 1: obter a representação no espaço de estados
da planta. A FT da planta é:
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
10 2 10 20
4 6 10 24
10 24 10 20
+ +
= =
+ + + +
+ + = +
Y s s s
U s s s s s s s
s Y s s Y s sY s sU s U s
� Comparando com o sistema de equações diferenciais
que possui derivadas na função de entrada:
� Resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 210 24 10 20
10 24 10 20
+ + = +
+ + = +��� �� � �
s Y s s Y s sY s sU s U s
y t y t y t u t u t
( ) ( 1) ( ) ( 1)
1 1 0 1 1
n n n n
n n n ny a y a y a y b u b u b u b u
− −
− −
+ + + + = + + + +� �� �
1 2 3 0 1 2 310; 24; 0; 0; 10; 20= = = = = = =a a a b b b b
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Calcula-se:
� Em termos de equações vetoriais-matriciais:
0 0
1 1 1 0
2 2 1 1 2 0
3 3 1 2 2 1 3 0
β 0
β β 0
β β β 10
β β β β 80
= =

= − =

= − − =
 = − − − = −
b
b a
b a a
b a a a
� Em termos de equações vetoriais-matriciais:
[ ]
1 1 1
2 2 2
3 3 2 1 3 3
1
2 0
3
0 1 0 β
0 0 1 β
β
1 0 0 β
       
       
= +       
       − − −       
 
 
= + 
  
�
�
�
x x
x x u
x a a a x
x
y x u
x
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Substituindo:
1 1
2 2
3 3
1
0 1 0 0
0 0 1 10
0 24 10 80
       
       
= +       
       − − −       
 
 
�
�
�
x x
x x u
x x
x
� Etapa 2: como primeira tentativa, escolhe os pólos de
malha fechada desejados e os pólos desejados do
observador:
[ ] [ ]
1
2
3
1 0 0 0
 
 
= + 
  
x
y x u
x
1 2 3
1 2
1 2; 1 2; 5
10; 10
= − + ⋅ = − − ⋅ = −
= − = −o o
p j p j p
p p
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Etapa 3: cálculo da matriz de ganho derealimentação
de estado K e da matriz de ganho Ke do observador
com o auxílio do MATLAB:
( )210− + = +I A K Abb e abs s
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Etapa 4: determinar a FT do controlador-observador.
� Portanto:
[ ] [ ]
0 1 0 0
0 0 1 , 10 , 1 0 0 , 1, 25 1,25 0,19375
0 24 10 80
   
   
= = = =   
   − − −   
A B C K
0=A� Portanto:
[ ]
0
1 0
0
0
0 1
24 10
=
=
 
=  
 
 
=  
− − 
A
A
A
aa
ab
ba
bb
A
[ ]
1,25
1,25 0,194
0
10
80
=
=
=
 
=  
− 
K
B
a
b
a
b
K
B
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� A FT do controlador-observador pode ser dada por:
( ) ( )( ) ( )
1− 
= = − − +
  
−
C I A B� � � �c
U s
G s s D
Y s
0 1 10 10 1−     [ ]0 1 10 10 1ˆ 1 0
24 10 24 0 10
10 1 10 0 10 124
ˆˆ 0
0 10 24 0 24 240
10 10 10
ˆ 0
80 24 80
−     
= − = − =     
− − − −     
− −         
= + − = + − =         
− − −         
     
= − = − =     
− − −     
A A K A
B AK A K
F B K
bb e ab
e ba e aa
b e a
A
B
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
[ ]
( ) [ ]
[ ]
10 1 10 22,5 0,94
ˆ ˆ 1,25 0,194
0 10 80 100 5,5
124 10 10 215
ˆ ˆ 1, 25 1,25 0,194
240 80 24 968
1, 25 0,194
− − −     
= − = − =     
− −     
−   −       
− = − + =        
− −        
− = − −
A A FK
B = B F +K K
C = K
�
�
�
b
a b eK
� Resulta em:
[ ]
( ) [ ]
1, 25 0,194
1, 25 1,25 0,194
− = − −
= − = − +
C = K
+K K
�
�
b
a b eD K
10
9,1
24
  
= −  
−  
( ) ( )
( )( )
( )( )
1
2
2
9,1 5,6425 2,43449,1 73,5 125
17 30 18,6119 1,6119
− 
= − − +
  
+ ++ +
= =
+ − + −
C I A B� � � �cG s s D
s ss s
s s s s
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Podemos também calcular a FT do controlador-
observador com o auxílio do MATLAB:
( )
2
2
9,1 73,5 125
17 30
+ +
=
+ −c
s sG s
s s
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� O diagrama de blocos desse sistema de controle é:
� O controlador-observador tem um pólo no semiplano
direito do plano s (s=1,6119), que significa que o
sistema de malha aberta é instável, embora o sistema
de malha fechada seja estável. Uma desvantagem de
utilizar um controlador instável é que o sistema se
torna instável se o ganho do sistema se tornar
pequeno. Esse sistema não é nem desejado nem
aceitável.
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Então, para obter um sistema satisfatório, é
necessário modificar a alocação de pólos de malha
fechada e/ou a alocação de pólos do observador
(etapa 2).
� Como segunda tentativa, mantém os pólos de malha
fechada desejados, mas modifica a localização dosfechada desejados, mas modifica a localização dos
pólos do observador:
� Assim:
1 2 3
1 2
1 2; 1 2; 5
4,5; 4,5
= − + ⋅ = − − ⋅ = −
= − = −o o
p j p j p
p p
[ ] 14,5 4,5 e 6,25
− 
= − − =  
 
L K e
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Repetindo o processamento anterior, com o auxílio do
MATLAB, obtemos a FT do controlador-observador:
( )
2
2
1,2109 11,2125 25,3125
6 2,1406
+ +
=
+ +c
s sG s
s s
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
( )
( )( )
( )( )
2
2
1,2109 11,2125 25,3125
6 2,1406
1,2109 5,3582 3,9012
5,619 0,381
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +
c
s sG s
s s
s s
s s
� Este é um controlador estável. Em seguida, obtemos
a resposta à condição inicial
� Substitui-se u=–K~x na equação no espaço de
estados da planta:
( )( )5,619 0,381+ +s s
( ) ( )
1
1
0 0 , 0
0
0
 
  
= =       
x e
= + = −x Ax B Ax BKx� �u
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
[ ]0 0
   
= − = − = −   
−   
    
= − − = − +    
    
x Ax BKx Ax BK Ax BK
x x e
Ax BK x Ax BKx B K
e e
� �
�
a a
b b
a b
x x
K
� A equação do erro do observador de ordem mínima é:
� Combinando as 2 últimas equações, temos:
    e e
( )= −e A K A e� bb e ab
−    
=     
−    
A BK BKx x
0 A K Ae e
�
�
b
bb e ab
( )
( )
1
0
0
0
0
1
0
 
 
  
 = 
  
 
  
x
e
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Com o auxílio do MATLAB, obtemos a resposta a
dada condição inicial:
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
As curvas de 
respostas 
parecem ser 
aceitáveis.
( ) ( )
1
1
0 0 , 0
0
0
 
  
= =       
x e
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
MF=40°
MG=+∞dB
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
Banda 
passante do 
sistema é 
de cerca de 
3,8rad/s.3,8rad/s.
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� O gráfico da figura (a) caracteriza um sistema instável,
enquanto o gráfico da figura (b) um sistema estável.
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
• Comentários:
� No projeto de sistemas reguladores, se os pólos
dominantes do controlador estiverem situados muito à
esquerda do eixo imaginário, os elementos da matriz de
ganho K de realimentação de estado se tornarão
grandes. Os valores elevados de ganho farão que agrandes. Os valores elevados de ganho farão que a
saída do atuador seja grande, de modo que haja
saturações. Então, o sistema projetado não se
comportará conforme o previsto.
� Também, pelo posicionamento dos pólos do observador
bem à esquerda do eixo imaginário, o controlador-
observador se torna instável, embora o sistema de
malha fechada seja estável. Um controlador-observador
instável não é aceitável.
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
� Se o controlador-observador se tornar instável, mova os
pólos do observador para a direita no semiplano
esquerdo do plano s até que o controlador-observador
se torne estável. Também pode ser necessário modificar
as localizações dos pólos de malha fechada desejados.
� Se os pólos do observador estiverem situados muito à� Se os pólos do observador estiverem situados muito à
esquerda do eixo imaginário, a banda passante do
observador aumentará e causará problemas de ruídos.
Se houver um problema sério de ruído, os pólos do
observador não poderão ficar alocados muito à
esquerda do eixo imaginário. O requisito geral é que a
banda passante seja suficientemente baixa para que o
ruído do sensor não se torne um problema.
Projeto de Sistemas Reguladores 
com Observadores
�A banda passante do sistema com o
observador de ordem mínima é mais alta que
a do sistema com o observador de ordem
plena, uma vez que os pólos múltiplos do
observador estão situados no mesmo lugarobservador estão situados no mesmo lugar
para ambos os observadores. Se o ruído do
sensor for um problema sério, o uso de um
observador de ordem plena será
recomendável.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
• Neste tópico, o projeto de sistemas de controle com
observadores possuem entradas de referência. Assim,
são concebíveis várias configurações de diagramas de
blocos, cada uma tendo um controlador-observador.
Controlador-Controlador-
observador
no ramo 
direto
Controlador-
observador
no ramo de 
realimentação
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
• Configuração 1: seja o diagrama de blocos a seguir
(controlador-observador no ramo direto). Nesse sistema,
a entrada de referência é simplesmenteadicionada ao
bloco somador. Projete um controlador-observador de
modo que, na resposta ao degrau unitário, o máximo
sobressinal seja menor do que 30% e o tempo desobressinal seja menor do que 30% e o tempo de
acomodação esteja em torno de 5s.
� Primeiro projeta um sistema regulador. Em seguida,
utilizando o controlador-observador projetado,
adiciona a entrada de referência r no somador.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
� A representação da planta no espaço de estados é:
( )
( ) ( )2
1
1
=
+
Y s
U s s s
1 1
2 2
3 3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
       
       
= +       
       −       
 
�
�
�
x x
x x u
x x
x
� Em seguida, escolhe os pólos de malha fechada
desejados e os pólos desejados do observador:
[ ] [ ]
1
2
3
1 0 0 0
 
 
= + 
  
x
y x u
x
1 2 3
1 2
1 ; 1 ; 8
4; 4
= − + = − − = −
= − = −o o
p j p j p
p p
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
� A matriz de ganho de realimentação de estado K e a
matriz de ganho Ke do observador podem ser obtidas
com o auxílio do MATLAB:
[ ]16 17 10=K
8
15
 
=  
 
K e
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
� A FT do controlador-observador com o auxílio do
MATLAB é:
( )
( )( )
( )( )
2
2
302 303 256
18 113
302 0,5017 0,772 0,5017 0,772
9 5,6569 9 5,6569
+ +
=
+ +
+ + + −
=
+ + + −
c
s sG s
s s
s j s j
s j s j
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
� O diagrama de blocos do sistema regulador projetado
é:
� O diagrama de blocos de uma configuração possível
do sistema de controle baseado no sistema regulador
do diagrama anterior é:
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
A resposta ao 
degrau unitário 
desse sistema de 
controle tem um 
sobressinal máximo sobressinal máximo 
de cerca de 28% e 
um tempo de 
acomodação de 
cerca de 4,5s. 
Assim, o sistema 
projetado satisfaz 
os requisitos do 
projeto.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
• Configuração 2: seja o diagrama de blocos a seguir
(controlador-observador no ramo de realimentação).
� A entrada de referência r é introduzida no sistema de
malha fechada por meio do bloco de ganho N. A FT é:
( )
( )
( )
( )( )
2
2 2 2
18 113
1 18 113 302 303 256
+ +
=
+ + + + + +
N s sY s
R s s s s s s s
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
� O valor da constante N tal que, para a entrada r em
degrau unitário, a saída y se torne unitária à medida
que t tende a infinito, é determinado:
( ) ( )( )( )
2
2 2 2
18 1131
1 18 113 302 303 256
+ +
=
+ + + + + +
N s s
Y s
s s s s s s s
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 2 2
0
2
2 2 20 0
1 18 113 302 303 256
TVF da TL: lim lim
18 1131lim lim 1
1 18 113 302 303 256
113 2561 2,2655
256 113
→∞ →
→ →
=
+ + + + + +
∞ = =
+ +
= =
+ + + + + +
⋅
= → = =
t s
s s
Y s
s s s s s s s
f f t sF s
N s s
sY s s
s s s s s s s
N N
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
A resposta ao 
degrau unitário 
desse sistema de 
controle tem um 
sobressinal máximo sobressinal máximo 
muito pequeno, 
aproximadamente 
4% e um tempo de 
acomodação de 
cerca de 5s.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
• Comentários:
� Outras configurações de diagramas de blocos são
possíveis para os sistemas de controle de malha fechada
utilizando controladores-observadores.
� A configuração 1 (controlador-observador no ramo direto)
geralmente fornece um sobressinal consideravelmentegeralmente fornece um sobressinal consideravelmente
grande. A configuração 2 (controlador-observador no ramo
de realimentação) produz um sobressinal menor. Essa
curva de resposta é bastante similar à do sistema
projetado pelo método de alocação de pólos utilizando o
controlador-observador. Nesses 2 sistemas, o tempo de
subida e o tempo de acomodação são determinados
principalmente pelos pólos desejados de malha fechada
para efeito de alocação de pólos.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
Resposta ao 
degrau unitário do 
sistema de 
controle projetado 
pelo método de pelo método de 
alocação de pólos 
sem observador. 
Os pólos de 
malha fechada 
desejados são:
1,2 31 ; 8= − ± = −p j p
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
Sistema 1 
(diagrama de 
blocos do 
slide 83) e 
sistema 2 
(diagrama de (diagrama de 
blocos do 
slide 85). A 
banda 
passante do 
sistema 1 é 
5rad/s e a do 
sistema 2 é 
1,3rad/s.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
• Resumo do método de projeto no espaço de
estados:
� O método de projeto no espaço de estados com
base no enfoque de alocação de pólos,
combinado com observador, é muito poderoso. Écombinado com observador, é muito poderoso. É
um método no domínio do tempo. Os pólos
desejados de malha fechada podem ser alocados
arbitrariamente, desde que a planta seja de
estado completamente controlável.
� Se nem todas as variáveis de estado puderem ser
medidas, deve-se incorporar um observador para
estimar as variáveis de estado não mensuráveis.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
�No projeto de um sistema utilizando o método
de alocação de pólos, é necessário considerar
vários conjuntos diferentes de pólos de malha
fechada desejados, comparar as características
de resposta e escolher a melhor delas.de resposta e escolher a melhor delas.
�A banda passante do controlador-observador
geralmente é grande, porque os pólos
escolhidos do observador estão bem à esquerda
no plano s. Uma banda passante grande
transmite ruídos de alta frequência, causando
problemas de ruído.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
� Geralmente, a adição de um observador ao sistema reduz a
margem de estabilidade. Em alguns casos, um controlador-
observador pode ter zero(s) no semiplano direito do plano s,
o que significa que o controlador pode ser estável, mas de
fase não mínima. Em outros casos, o controlador pode ter
pólo(s) no semiplano direito do plano s, isto é, o controladorpólo(s) no semiplano direito do plano s, isto é, o controlador
é instável. Então, o sistema projetado pode se tornar
condicionalmente estável.
� Quando o sistema é projetado pelo método de alocação de
pólos com observador, é recomendável verificar as margens
de estabilidade (margem de fase e margem de ganho)
utilizando-se o método da resposta em frequência. Se as
margens de estabilidade do sistema projetado forem
pequenas, é possível que o sistema se torne instável, se o
modelo matemático envolver incertezas.
Projeto de Sistemas de Controle 
com Observadores
� Para sistemas de ordem n, os métodos clássicos de
projeto (lugar das raízes e resposta em frequência)
resultam em compensadores de ordem pequena
(primeira ou segunda ordens). Como os controladores
com base em observadores são de ordem n ou de
ordem (n–m) se for utilizado o observador de ordemordem (n–m) se for utilizado o observador de ordem
mínima, para um sistema de ordem n, o sistema
projetado se tornará de ordem 2n ou de ordem (2n–m).
Como os compensadores de menor ordem são mais
baratos que os de maior ordem, o projetista deve aplicar
primeiro os métodos clássicos e, se não puder ser
determinado nenhum compensador adequado, então
deve tentar o método de projeto de alocação de pólos
com observador.
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
• Vantagem de fornecer um modo sistemático de cálculo
da matriz de ganho de controle por realimentação de
estado em relação ao método de alocação de pólos.
• O problema do regulador quadrático ótimo– será
considerado agora o problema de controle ótimo que,
dada a equação do sistema:dada a equação do sistema:
onde x é um vetor de estado n dimensional, u é um
vetor de controle r dimensional, A é uma matriz
constante n X n e B é uma matriz constante n X r.
� Determinar a matriz K do vetor de controle ótimo
u(t)=–Kx(t) para minimizar o índice de desempenho:
= +x Ax Bu�
( )* *
0
∞
= +∫ x Qx u RuJ dt
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
onde Q é uma matriz hermitiana ou real simétrica e
definida positiva ou semidefinida positiva, R é uma
matriz hermitiana ou real simétrica e definida positiva.
O segundo termo no segundo membro do índice de
desempenho J exprime o consumo de energia dos
sinais de controle. As matrizes Q e R determinam asinais de controle. As matrizes Q e R determinam a
importância relativa do erro e do consumo de energia.
� Como mencionado anteriormente, a lei de controle
linear dada pela equação u(t)=–Kx(t) é a lei de
controle ótimo. Em consequência, se os elementos da
matriz K forem determinados de modo a minimizar o
índice de desempenho, então u(t)=–Kx(t) é ótimo
qualquer que seja o estado inicial x(0).
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Diagrama de blocos da configuração ótima.
Sistema
Regulador
� Substituindo o vetor de controle ótimo na equação do
sistema, temos:
onde admite-se que a matriz A–BK é estável, isto é,
os autovalores desta matriz possuem parte real
negativa.
Regulador
Ótimo
( )= − = −x Ax BKx A BK x�
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Substituindo o vetor de controle ótimo na equação do
índice de desempenho, temos:
( )
( )
* * *
0
* *
∞
∞
= +
= +
∫
∫
x Qx x K RKx
x Q K RK x
J dt
dt
� Fazendo:
onde P é uma matriz hermitiana ou real simétrica e
definida positiva. Então, obtém:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
** *
** * * * *
= − → = −
 + = − − = − − + −
 
x A BK x x A BK x
x Q K RK x x Px x Px x A BK P P A BK x
� �
� �
( )
0
= +∫ x Q K RK xdt
( ) ( )* * *+ = −x Q K RK x x Pxddt
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Comparando ambos os membros da última equação e
observando que ela deve ser verdadeira para qualquer x,
temos:
� Se A–BK é uma matriz estável, então existe uma matriz P
definida positiva que satisfaz esta equação. Por conseguinte,
( ) ( ) ( )* *− + − = − +A BK P P A BK Q K RK
definida positiva que satisfaz esta equação. Por conseguinte,
o procedimento a adotar é o da determinação dos elementos
de P a partir desta equação e verificar se ela é definida
positiva. Note que mais de uma matriz P pode satisfazer esta
equação. Se o sistema é estável, existe sempre uma matriz
P definida positiva que satisfaz esta equação. Isto significa
que, ao resolver esta equação, se encontrarmos uma matriz
P definida positiva, o sistema é estável. Outras matrizes P
que podem satisfazer esta equação não são definidas
positivas e devem ser descartadas.
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� O índice de desempenho pode ser calculado como:
� Como se admite que todos os autovalores de A–BK
têm parte real negativa, temos x(∞)→0. Portanto,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *00 0 0∞ ∞= + = − = − ∞ ∞ +∫ x Q K RK x x Px x Px x PxJ dt
têm parte real negativa, temos x(∞)→0. Portanto,
obtém:
� Assim, o índice de desempenho J pode ser obtido em
termos do estado inicial x(0) e P.
� Para obter a solução do problema de controle
quadrático ótimo, procede da seguinte maneira: uma
vez suposto que R é uma matriz hermitiana ou real
simétrica e definida positiva, pode escrever:
( ) ( )* 0 0= x PxJ
*
=R T T
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
onde T é uma matriz não singular. Então, temos:
que pode ser reescrita sob a forma:
( ) ( )* * * * *− + − + + =A K B P P A BK Q K T TK 0
( ) ( )*1 1* * * * * 1 *− − −   + + − − − + =      A P PA TK T B P TK T B P PBR B P Q 0
� A minimização de J com relação a K requer a
minimização de
com respeito a K. Como esta última expressão é não
negativa, o mínimo ocorre quando ela vale zero, ou
seja, quando
      
( ) ( )*1 1* * * * *− −   − −      x TK T B P TK T B P x
( ) ( )1 1* * 1 * * 1 *− −− −= → = =TK T B P K T T B P R B P
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Esta equação fornece a matriz ótima K. Assim, a lei
de controle ótimo do problema de controle quadrático
ótimo, quando o índice de desempenho é dado pela
equação ( )* *
0
∞
= +∫ x Qx u RuJ dt
é linear e é dada por:
� Amatriz P na equação
deve satisfazer a equação
ou a seguinte equação reduzida:
( ) ( ) ( )1 *−= − = −u Kx R B Pxt t t
( ) 11 * * 1 *−− −= =K T T B P R B P
( ) ( ) ( )* *− + − = − +A BK P P A BK Q K RK
* 1 *−+ − + =A P PA PBR B P Q 0
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Esta equação reduzida é denominada equação matricial
reduzida de Riccati. As etapas do projeto podem ser
expressas como segue:
1. Resolva a equação matricial reduzida de Riccati para
a matriz P. Se existir uma matriz definida positiva P
(certos sistemas podem não ter a matriz definida(certos sistemas podem não ter a matriz definida
positiva P), o sistema será estável ou a matriz A–BK
será estável.
2. Substitua essa matriz P na equação
A matriz K resultante é a matriz ótima.
� Se a matriz A–BK for estável, o método apresentado
sempre fornecerá o resultado correto.
( ) 11 * * 1 *−− −= =K T T B P R B P
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Observe, finalmente, que se o índice de desempenho
for dado em termos do vetor de saída em vez do vetor
de estados, isto é,
� Então a expressão do índice de desempenho pode
( )* *
0
∞
= +∫ y Qy u RuJ dt
� Então a expressão do índice de desempenho pode
ser modificada utilizando-se a equação de saída
� Para
� E as etapas do projeto apresentadas podem ser
aplicadas para obter a matriz ótima K.
=y Cx
( )* * *
0
∞
= +∫ x C QCx u RuJ dt
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
• Exemplo 04 – considere o sistema de controle mostrado
na figura a seguir. Ao supor que o sinal de controle seja
u(t)=–Kx(t), determine a matriz de ganho K ótima de
realimentação de ganho ótimo, de modo que o seguinte
índice de desempenho seja minimizado:
( )∞ ( )2
0
∞
= +∫ x QxTJ u dt
( )1 0
0
 
= µ ≥ 0 µ 
Q
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� A partir da figura, vemos que a equação de estado da
planta é:
1 1
2 2
0 1 0
0 0 1
= +
      
= +      
      
x Ax B�
�
�
u
x x
u
x x
� Será mostrado o uso da equação matricial reduzida
de Riccati no projeto do sistema de controle ótimo.
Resolvendo a equação
� Observando que a matriz A é real e a matriz Q é real
e simétrica, vemos que a matriz P é uma matriz real
simétrica. Portanto, esta última equação pode ser
escrita como:
2 2      
* 1 *−+ − + =A P PA PBR B P Q 0
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
[ ][ ]
11 12 11 12
12 22 12 22
11 12 11 12
12 22 12 22
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 1
1 0 0 0
      
+ −      
      
        
− + =        µ        
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
� A partir da qual se obtém as 3 equações seguintes:
12 22 12 22
2
11 12 12 22
2
11 12 12 12 22 22
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
µ        
      
+ − + =      µ      
p p p p
p p p p p p
 
 
 
2
12
11 12 22
2
12 22
1 0
0
2 0
 − =

− =
µ + − =
p
p p p
p p
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Resolvendo estas 3 equações simultâneas em p11, p12
e p22, impondo que P seja definida positiva, temos:
11 12
12 22
2 1
1 2
 µ + 
= =   µ +    
P
p p
p p
� A matriz de ganho K ótima de realimentação é obtida
como:
� Assim, o sinal de controle ótimo é:
 
[ ][ ] [ ]11 121 * 12 22
12 22
1 0 1 1 2−    = = = = µ +   
 
K R B P
p p
p p
p p
1
1 2
2
1 2 2  = − = − µ + = − − µ +  
 
Kx
x
u x x
x
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Note que a lei de controle dada pela equação anterior
conduz a um resultado ótimo para qualquer estado
inicial sob o índice de desempenho dado. Além disso,
observa que a matriz Q só afeta o segundo elemento da
matriz de ganho K ótima de realimentação. O diagrama
de blocos desse sistema é visto na figura a seguir.de blocos desse sistema é visto na figura a seguir.
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
�Como a equação característica é:
�Se µ=1, os 2 pólos de malha fechada se
situam em s=–0,866±j0,5. Estes correspondem
aos pólos desejados de malha fechada quando
2 2 1 0− + = + µ + + =I A BKs s s
aos pólos desejados de malha fechada quando
µ=1.
• Resolvendo o problema do regulador quadrático
ótimo com o MATLAB – leitura.
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
• Comentários finais sobre sistemas reguladores ótimos:
� Dado um estado inicial x(t0) qualquer, o problema do
regulador ótimo é encontrar um possível vetor de
controle u(t) que transfira o estado para a região do
espaço de estados desejada e para o qual o índice de
desempenho seja minimizado. Para que exista um vetordesempenho seja minimizado. Para que exista um vetor
de controle ótimo u(t), o sistema deve ser de estado
completamente controlável.
� O sistema que minimiza o índice de desempenho
selecionado é, por definição, ótimo. Embora o
controlador possa, em muitas aplicações práticas, não
ter nada a ver com a ‘característica ótima’, o ponto
importante é que o projeto baseado no índice quadrático
de desempenho resulte em um sistema estável.
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� A característica de uma lei de controle ótimo, baseada
em um índice quadrático de desempenho, é a de ser
uma função linear das variáveis de estado, o que
implica a necessidade de realimentar todas as variáveis
de estado. Isso requer que todas essas variáveis
estejam disponíveis para realimentação. Se nem todasestejam disponíveis para realimentação. Se nem todas
as variáveis estiverem disponíveis para realimentação,
então será necessário empregar um observador de
estado para estimar as variáveis de estado não
mensuráveis e utilizar os valores estimados para gerar
sinais de controle ótimo. Note que os pólos de malha
fechada do sistema projetado por meio do método do
regulador quadrático ótimo podem ser encontrados a
partir de: 0− + =I A BKs
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
Como esses pólos correspondem aos pólos de malha
fechada desejados, no método de alocação de pólos,
as FTs dos controladores-observadores podem ser
obtidas da seguinte forma:
( ) ( ) 1−= − + +U s Observador( )( ) ( )
1−
= − + +
−
K I A K C BK Ke e
U s
s
Y s
( )
( ) ( )
1− 
= − − +
  
−
C I A B� � � �
U s
s D
Y s
Observador
de ordem 
plena
Observador
de ordem 
mínima
Sistemas Reguladores Quadráticos 
Ótimos
� Se o sistema de controle ótimo for projetado no domínio
do tempo, será desejável investigar as características
da resposta em frequência para compensar efeitos de
ruído. As características da resposta em frequência do
sistema devem ser tais que o sistema atenue
fortemente na faixa de frequências em que sãofortemente na faixa de frequências em que são
esperados os ruídos e a ressonância dos componentes.
� Se o limite superior de integração no índice de
desempenho dado pela equação
for finito, então de pode mostrar que o vetor de controle
ótimo ainda é uma função linear das variáveis de
estado, mas com coeficientes variantes no tempo.
( )* *
0
∞
= +∫ x Qx u RuJ dt