MEstII EP6 gabarito

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Métodos Estatísticos IIGabarito do Exercício Programado 6Profa. Ana Maria Farias
1. (a)
n ≥ 30200× 0.35 = 70 ≥ 5200× (1− 0, 35) = 130 ≥ 5
⇒ X ≈ N (200× 0.35; 200× 0.35× 0.65) = N(70; 45, 5)
P(X > 162) ≈ P(Z ≥ 162.5− 70√45.5
) = P (Z ≥ 13) ≈ 0
(b)
P(X ≤ 89) ≈ P(Z ≤ 89.5− 70√45.5
) = P(Z ≤ 2, 89) = 0, 5 + tab(2, 89) = 0, 9981
(c)
P(52 ≤ X ≤ 112) = P(X ≤ 112)− P(X < 52)
≈ P(Z ≤ 112.5− 70√45.5
)− P(Z ≤ 51.5− 70√45.5
)
= P(Z ≤ 6, 3)− P(Z ≤ −2, 74) = 1− [0, 5− tab(2, 74)]= 0, 5 + tab(2, 74) = 0, 9969
(d)
P(X ≥ 87) ≈ P(Z ≥ 86.5− 70√45.5
) = P(Z ≥ 2, 45) = 0, 5− tab(2, 45) = 0, 0071
(e) P(X < 172) = P(Z ≤ 171.5− 70√45.5
) = P(Z ≤ 15, 047) ≈ 1
2. (a) np = 100× 0, 25 = 25;n(1− p) = 100× 0, 75 = 75 OK ! X ≈ N(25; 18, 75)(b) np = 100× 0, 45 = 45;n(1− p) = 100× 0, 55 = 55 OK ! X ≈ N(45; 24, 75)(c) np = 150×0, 90 = 135, 0;n(1−p) = 150×0, 10 = 15 OK ! X ≈ N(135; 13, 5)(d) np = 5000 × 0, 006 = 30, 0;n(1 − p) = 5000 × 0, 994 = 4970. OK ! X ≈N(30; 29, 82)(e) np = 500× 0, 006 = 3, 0;n(1− p) = 500× 0, 994 = 497.A aproximação normal não pode ser usada aqui; note a diferença entre os itens (d)e (e): para uma probabilidade tão baixa de sucesso, temos que ter uma amostrabem grande para usar a proximação normal. Probabilidade muito baixa de sucessoequivale a uma distribuição binomial bastante assimétrica e, portanto, “afastada”da normal; daí a necessidade de amostras maiores.
Curso de Administração 1
3. (a)
np = 200× 0.4 = 80;n(1− p) = 200× 0.6 = 120 OK !
P̂ ≈ N (0, 40; 0.4× 0.6200
) ou P̂ ≈ N (0, 40; 0, 0012)
P(P̂ ≥ 0, 37) ≈ P(Z ≥ 0, 37− 0, 40√0, 0012
) = P(Z ≥ −0, 87) = 0, 5+tab(0, 87) = 0, 8078
(b)
P(P̂ ≥ 0, 45) ≈ P(Z ≥ 0, 45− 0, 40√0.0012
) = P(Z ≥ 1, 44) = 0, 5− tab(1, 44) = 0, 0749
(c)
P(0, 38 ≤ P̂ ≤ 0, 42) = P(0.38− 0.40√0.0012 ≤ Z ≤ 0.42− 0.40√0.0012
)
= P(−0.58 ≤ Z ≤ 0.58) = 2× tab(0, 58) = 0, 438
(d)
P(P̂ ≤ 0, 33 ∪ P̂ ≥ 0, 47) = P(P̂ ≤ 0, 33) + P(P̂ ≥ 0, 47)
= P(Z ≤ 0.33− 0.40√0.0012
)+ P(Z ≥ 0.47− 0.40√0.0012
)
= P(Z ≤ −2, 02) + P(Z ≥ 2, 02) = 2× [0, 5− tab(2, 02)]= 0, 0434
4. (a) Seja X a variável inidicadora de compra de brinquedos e jogos eletrâonicos. Então,X ∼ Bern(0, 36). Se P̂ é a proporção das pessoas que compram jogos e brinquedoseletrônicos, então P̂ ≈ N (0, 36; 0, 36× 0, 64200
)
A aproximação normal pode ser usada pois 200× 0, 36 = 72 e 200× 64 = 128.
P(P̂ < 0, 35) ≈ P
Z < 0.35− 0.36√0.36× 0.64200
 = P(Z < −0, 29) = 0, 5−tab(0, 29) = 0, 3859
(b)
P(P̂ > 0, 40) ≈ P
Z > 0, 40− 0, 36√0, 36× 0, 64200
 = P(Z > 1, 18) = 0, 5−tab(1, 18) = 0, 119
Curso de Administração 2
(c)
P(P̂ < t) = 0, 95 ⇔ P
Z < t − 0, 36√0, 36× 0, 64200
 = 0, 95
⇔ tab
 t − 0, 36√0, 36× 0, 64200
 = 0, 45
⇔ t − 0, 36√0, 36× 0, 64200
= 1.64
⇔ t = 0, 36 + 1, 64×√0, 36× 0, 64200 ⇔ t = 0, 41566
5. Seja P̂ a proporção amostral de propostas de subvenção financiadas. Então,
P̂ ≈ N (0, 10; 0, 1× 0, 9300
)
(a)
P(P̂ < 0, 075) ≈ P
Z < 0, 075− 0, 1√0, 1× 0, 9300
 = P(Z < −1, 44) = 0, 5−tab(1, 44) = 0, 0749
(b)
P(0, 11 < P̂ < 0, 15) ≈ P
 0, 11− 0, 1√0, 1× 0, 9300
< Z < 0, 15− 0, 1√0, 1× 0, 9300

= P(0, 58 < Z < 2, 89) = tab(2, 89)− tab(0, 58) = 0, 2791
(c)
P(P̂ ≥ 0, 16) ≈ P
Z ≥ 0, 16− 0, 1√0, 1× 0, 9300
 = P(Z > 3, 46) = 0, 5− tab(3, 46) = 0, 0003
Sendo a verdadeira proporção de 0,1, a probabilidade de se obter uma proporçãode 0,16 ou maior é bem baixa – 0,0003. Isso é indício de que a verdadeira taxa definanciamento não deve ser mais 0,10 e, sim, algum valor maior.
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