02V Resist Materiais (1)

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PROFS. ENG. MEC. LUCIANO A. MASSOCO e ENG. MEC. VAGNER GRISON
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Os esforços podem ser classificados em EXTERNOS e INTERNOS:
Esforços EXTERNOS (Solicitações):
• Ativos: são cargas externas aplicadas ao elemento tais como carga distribuída, 
carga concentrada e momento estático de forças;
• Reativos: são as reações de apoio em mancais ou vínculos.
Esforços INTERNOS:
Os esforços internos são produzidos no elemento devido as solicitações 
externas e podem ser classificados em:
• Força Normal - devido a componente axial da carga externa;
• Força Cortante - devido a componente tangencial da carga externa;
• Momento Fletor - devido ao momento estático da carga externa;
• Momento de Torção - devido a aplicação de um conjugado externo.
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Resistência
�Para o dimensionamento é necessário sabermos até que valor de tensão um 
determinado material resiste.
�Os valores de resistência são determinados em laboratório através de 
ensaios.
�O ensaio de tração é o mais utilizado para determinação das características 
dos materiais.
Diagrama tensão / deformação:
�O ensaio de tração consiste em aplicar a um corpo de prova uma força axial 
que vai aumentando de valor, deformando-o até a sua ruptura. 
�O ensaio é realizado em uma máquina, conforme a figura a seguir, que 
consiste basicamente de uma prensa hidráulica.
�Durante o ensaio ao aumentar a força aumenta também a deformação e 
dividindo-se a força aplicada pela área da seção do corpo de prova tem-se a 
tensão.
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S Pode-se representar o 
resultado do ensaio 
através de um gráfico, o 
qual tem o eixo das 
abscissas representando 
as deformações e o eixo 
das ordenadas, as 
tensões 
correspondentes.
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S
1o
2o
3o
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S
• 1º período: Predominância da deformação elástica.
Neste trecho é válida a Lei de Hooke que pode ser 
expressa assim: “As deformações são diretamente 
proporcionais as tensões que as produzem.”
Na verdade, o limite de proporcionalidade não coincide com 
o fim deste período. Antes existe um pequeno trecho curvo 
onde a proporcionalidade não mais existe. Este trecho é 
dividido em dois. No primeiro, as deformações ainda são 
elásticas e no segundo as deformações elásticas são 
combinadas com deformações plásticas.
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• 2º período: Escoamento.
A partir do fim do período anterior a tensão sofre pequenas 
oscilações porém sem aumentar praticamente seu valor e o 
material deforma-se bastante. Este fenômeno é chamado 
de escoamento e a tensão correspondente, tensão de 
escoamento (Sy).
É bom destacar que o escoamento é típico dos aços doces 
e alguns outros materiais.
O escoamento marca o início das grandes deformações 
permanentes.
O final deste período registra a máxima tensão suportada 
pelo material (Su)
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• 3º período: Estricção e ruptura.
Continuando o ensaio aparece o fenômeno da estricção, 
que é uma redução acentuada da seção do corpo de prova 
localizada na região aonde vai acontecer a ruptura. Por fim 
ocorre a ruptura do corpo de prova. A tensão 
correspondente ao ponto de ruptura é a tensão de ruptura 
(Sr ou Sf).
Se a tensão de ruptura for calculada pelo valor real da 
seção no momento da ruptura, esta terá um valor maior 
(real) do que o valor apresentado no gráfico (tensão de 
engenharia).
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Lei de Hooke
Pelo enunciado descrito as deformações são diretamente proporcionais 
as tensões que as produzem então podemos escrever:
σ = ε × fator de proporcionalidade
Este fator é o Módulo de elasticidade (E):
σ = ε · E
O valor do módulo de elasticidade depende do material e sua unidade é 
a mesma da tensão (força/área).
Observe que:
O módulo de elasticidade do material é obtido do resultado do ensaio 
bastando para isto dividir qualquer par de valores (σ, ε ) do gráfico 
tensão deformação desde que este par seja do trecho onde é válida a 
Lei de Hooke.
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S
Solicitação de Tração:
A solicitação de tração simples acontece quando a resultante das forças 
externas que atuam sobre uma dada seção do corpo, está orientada segundo 
seu eixo e tende a provocar um alongamento.
A
N
=σ
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Solicitação de Compressão:
A solicitação de compressão simples acontece quando a resultante das forças 
externas que atuam sobre uma dada seção do corpo, está orientada segundo 
seu eixo, como na tração, porém tendendo a provocar um encurtamento.
A
N
=σ
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Flambagem:
Uma coluna sob ação de carregamento de compressão pode ser dimensionada 
de forma que o valor σ = N/A fique abaixo da tensão admissível para o material 
utilizado. No entanto, se a sua dimensão longitudinal for consideravelmente 
maior que a transversal poderá ocorrer um desvio súbito na forma do eixo, a 
qual é conhecida como flambagem.
P
A
B
L
P
A
B
(a) (b)
2
2
L
EIPcr
pi
=
2
2
)/( rL
E
cr
pi
σ =
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Flambagem: Condições de Extremidade
2
2
e
cr L
EIP pi=
2
2
)/( rL
E
e
cr
pi
σ =
P
A
A’
(a) Livre-
engastada
P’
BLe = 2L
P
A
B
Le = 0,7L
(b) Articulada-
engastada
(c) Biengastada
P
A
B
Le = 0,5L
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Flambagem: Carregamento Excêntrico
2
2
e
cr L
EIP pi=






+=
crP
P
r
ec
A
P
2
sec1 2max
pi
σ
A
B
P
L
P’
e
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Flambagem:
50
100
150
200
250
300
50 100 150 200
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
Curva de Euler E = 200 GPa
σσσσe = 250 MPa
Le / r
σσσσ
(MPa)
12 =
r
ec
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S
Solicitação de Flexão:
A solicitação de flexão simples acontece quando um binário ou momento 
externo tende a modificar o eixo do corpo.
W
M
I
cM ff
=
⋅
=σ
M
M – esforço externo
Mf – esforço interno
M
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S
Solicitação de Cisalhamento Transversal:
A solicitação de cisalhamento transversal acontece quando forças externas 
tendem a modificar o eixo do corpo.
tI
QV
⋅
⋅
=τ
V
F – esforço externo
Mf – momento fletor
V – força cortante
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Solicitação de Cisalhamento:
A solicitação de cisalhamento acontece quando duas seções de um corpo 
tendem a escorregar uma em relação a outra devido a forças externas.
A
Q
=τ
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Solicitação de Torção:
A solicitação de torção acontece quando duas seções de um corpo tendem a 
girar, uma em relação a outra, devido a um momento gerado por forças externas
J
cT ⋅
=τ
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Solicitação de Torção: 
Relação Torque x Potência
J
cT ⋅
=τ
n
HHT 55,9≅=
ω
H = potência, W
T = Torque, N.m
ω = velocidade angular, rad/s
n = velocidade angular, rpm
ωωωω
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Solicitação de Torção: 
Seções transversais não-circulares
•Baseia-se na teoria de membranas de Timoshenko – Teoria da Elasticidade
2
1 .. bac
T
máx =τ
T
a/b c1
1,0 0,208
1,2 0,219
1,5 0,231
2,0 0,246
2,5 0,258
3,0 0,267
4,0 0,282
5,0 0,291
10,0 0,312
∞ 0,333
T
a
b
* A máxima tensão sempre ocorre sobre a face maior
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Solicitação de Torção: 
Tubos de paredes finas (r >10.t)
tA
T
m2
=τ
Am= área incluída pela linha 
média da seção
T
Am
t
r
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Solicitação de Torção: Seções abertas de 
paredes finas
2
3
cL
T
m
=τ Lm= comprimento da linha 
mediana
T
Lm
c
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S
Cilindros Pressurizados: 






+
−
= 2
2
22
2
1
r
r
rr
pr o
io
ii
tσ 





−
−
= 2
2
22
2
1
r
r
rr
pr o
io
ii
rσ
ro
ri
pi
po=0
tσ
ro
ri
pi
po=0
rσ
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S
Concentração de Tensões
O equacionamento básico de tensões considera que não há qualquer 
irregularidade geométrica ocorrendo nos membros considerados.
É mais comum, na prática, a ocorrência de peças com variações 
geométricas nas seções transversais, tais como furos, ressaltos, 
rebaixos, etc.
σmáx
σnominal
nomtmáx K σσ ⋅=
Kt = fator de concentração 
de tensão teórico 
(tabelado)
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S
Tensões de contato: Contato Esférico
( ) ( )
3
21
2
2
2
1
2
1
11
11
8
3
dd
EEF
a
+
−
+
−
=
νν
z
y
2a
F
F
d2
d1
22
3
a
Fpmáx pi
=
( ) ( )





+
−+







−−==
−
22
1
/12
11
/
1
tan1
azaza
zpmáxyx νσσ
2
2
1
a
z
pmáx
zmáx
+
−
==σσ
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Tensões de contato: Contato Cilíndrico
( ) ( )
21
2
2
2
1
2
1
11
11
.
2
dd
EE
l
Fb
+
−
+
−
=
νν
pi
z
y
2b
F
F
d2
d1 bl
Fpmáx
pi
2
=
22 /1 bz
pmáx
z
+
−
=σ
l








−+−=
b
z
b
zpmáxx 2
2
12νσ












−
+
+
−=
b
z
b
z
b
z
pmáxy 2
1
21
2
2
2
2
σ
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I
S
Estado Plano de Tensões
Casos mais gerais de carregamentos podem gerar combinações entre 
tensões normais de tração e compressão, bem como tensões de 
cisalhamento.
Nestes casos, um cubo elementar sofre tensões em 4 das suas faces e 
tem duas faces isentas de tensões.
Esta situação ocorre em placas finas, vasos de pressão ou na superfície 
livre de elementos estruturais sob ação de carregamentos.
σσσσx
σσσσy ττττyx
ττττxy
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S
Estado Plano de Tensões
ττττx’y’
σσσσx’
R
D
E
B A
C
M
σσσσmáximo
σσσσx’
σσσσmínimo
σσσσmédio
ττττx’y’
ττττmáximo
O
(a)
2θθθθ
ττττx’y’
σσσσx’
R
C
Nσσσσmédio
−−−−ττττx’y’
σσσσx’O
(b)
2θθθθ
σσσσ
ττττ
σσσσ
ττττ
Sentido Horário - Acima
σσσσ
ττττ
σσσσττττ
Sentido Anti-Horário - Abaixo
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S
 
M
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E
R
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A
I
S
Estado Plano de Tensões
2
2
minmax, 22 xy
yxyx τ
σσσσ
σ +




 −
±
+
=
ττττx’y’
σσσσx’
R
D
E
B A
C
M
σσσσmáximo
σσσσx’
σσσσmínimo
σσσσmédio
ττττx’y’
ττττmáximo
O
(a)
2θθθθ
ττττx’y’
σσσσx’
R
C
Nσσσσmédio
−−−−ττττx’y’
σσσσx’
O
(b)
2θθθθ
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S
Estado Plano de Tensões
2
2
2 xy
yx τ
σσ
τ +




 −
=
2
yx
médio
σσ
σ
+
=
ττττx’y’
σσσσx’
R
D
E
B A
C
M
σσσσmáximo
σσσσx’
σσσσmínimo
σσσσmédio
ττττx’y’
ττττmáximo
O
(a)
2θθθθ
ττττx’y’
σσσσx’
R
C
Nσσσσmédio
−−−−ττττx’y’
σσσσx’
O
(b)
2θθθθ
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Tensão Geral Tridimensional
A
B
D
E
F1
F2
F3
F4
F5
K
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S
Tensão Geral Tridimensional
A
B
F1 K
y
x
z
My
Vy
Mz
T
P
Vz
C
τyz
τzy
τxy
τzx
τxz
τyx
σy
σx
σz
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MECÂNICOS
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R
E
S
I
S
T
E
N
C
I
A
 
D
O
S
 
M
A
T
E
R
I
A
I
S
Deformação Elástica
Estado de tensão
Deformações 
Principais
Tensões Principais
Uniaxial
E
1
1
σ
ε =
11 .εσ E=
E
1
2
σ
νε ⋅−= 02 =σ
03 =σE
1
3
σ
νε ⋅−=
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E
S
I
S
T
E
N
C
I
A
 
D
O
S
 
M
A
T
E
R
I
A
I
S
Deformação Elástica
Estado de tensão
Deformações 
Principais
Tensões Principais
Biaxial
EE
21
1
σ
ν
σ
ε ⋅−= ( )
2
21
1 1
..
ν
ενε
σ
−
+
=
E
EE
21
2
σσ
νε +⋅−=
03 =σEE
21
3
σ
ν
σ
νε ⋅−⋅−=
( )
2
21
2 1
..
ν
εεν
σ
−
+
=
E
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E
S
I
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T
E
N
C
I
A
 
D
O
S
 
M
A
T
E
R
I
A
I
S
Deformação Elástica
Estado de 
tensão
Deformações 
Principais
Tensões Principais
Triaxial
EEE
321
1
νσνσσ
ε −−=
( ) ( )
2
321
1 21
1
νν
εεννε
σ
−−
++−
=
EE
EEE
321
2
νσσνσ
ε −+−=
EEE
321
3
σνσνσ
ε +−−=
( ) ( )
2
312
2 21
1
νν
εεννε
σ
−−
++−
=
EE
( ) ( )
2
213
3 21
1
νν
εεννε
σ
−−
++−
=
EE
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I
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T
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N
C
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A
 
D
O
S
 
M
A
T
E
R
I
A
I
S
Teorias de Falha:
Os materiais são classificados tipicamente como dúcteis ou frágeis. 
Cada material pode reagir diferentemente aos carregamentos externos e 
apresentar mecanismos de falha distintos.
Com isso, várias hipóteses foram estudadas ao longo dos anos, 
levando às práticas aceitas atualmente.
Abaixo estão relacionadas as teorias geralmente aceitas
•Materiais Dúcteis (critérios de escoamento)
•Máxima tensão de cisalhamento (MSS)
•Energia de distorção (DE)
•Coulomb-Mohr dúctil (DCM)
•Materiais Frágeis (critérios de ruptura)
•Máxima tensão normal (MNS)
•Coulomb-Mohg frágil (BCM)
•Modificações da teoria de Mohr
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D
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S
 
M
A
T
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A
I
S
Máxima tensão de cisalhamento (MSS)
σa
σb
σe
σe
σe
σe
O
eba
ba
σσσ
σσ
<−
≥≥ 0
eb
ea
ba
ba
σσ
σσ
σσ
σσ
<
<
≥≥
≥≥
0
0
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D
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S
 
M
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E
R
I
A
I
S
Energia de Distorção (DE)
σa
σb
σe
σe
σe
σe
O
σa
σb
σe
σe
σe
σe
O( ) 222 ebbaa σσσσσ <+−
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C
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D
O
S
 
M
A
T
E
R
I
A
I
S
Coulomb-Mohr dúctil (DCM)
σa
σb
σt
σt
σc
σc
O
1
0
≤+
≥≥
c
b
t
a
ba
σ
σ
σ
σ
σσ
cb
ta
ba
ba
σσ
σσ
σσ
σσ
<
<
≥≥
≥≥
0
0
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T
E
N
C
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A
 
D
O
S
 
M
A
T
E
R
I
A
I
S
Máxima Tensão Normal (MNS)
σb
σaσt
σt
σc
σc
O
tbc
tac
e
σσσ
σσσ
<<
<<
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D
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M
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T
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S
Coulomb-Mohr Frágil (BCM)
σa
σb
σt
σt
σc
σc
O
1
0
≤+
≥≥
c
b
t
a
ba
σ
σ
σ
σ
σσ
cb
ta
ba
ba
σσ
σσ
σσ
σσ
<
<
≥≥
≥≥
0
0
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D
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S
Teoria de Mohr modificada I(M1M)
σa
σb
σt
σt
σc
σc
O
−σt
−σt
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Referências Bibliográficas
BEER, Ferdinand P. e JOHNSTON, Elwood 
Russell Jr.; Resistência dos Materiais, 3ª edição, 
Makron books, 1995.
SHIGLEY, Joseph E., et alli, Projeto de 
Engenharia Mecânica, 7ª edição, Bookman, 
2004.