Gabarito P2-2011 - MAP2121

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Gabarito
P2-2011 - MAP2121
NÃO-oficial, NÃO revisada
RAFAEL OLIVEIRA
rafelos@gmail.com
Enunciados
Questão 1 (2.5 pontos)
Considere o sistema linear sobredeterminado
1 −1 1
2 −1 1
1 1 0
3 −1 1

x1x2
x3
 =

1
0
1
0

a)(1.0 ponto): Qual sistema linear se obtém ao resolvê-lo pelo MMQ (correspondente ao cálculo da
projeção ortogonal do lado direito do sistema no espaço gerado pelos 3 vetores formados pelas colunas
da matriz)
b)(0.5): O sistema resultante pode ser resolvido por Gauss-Seidel?
c) (1.0): Resolva-o por eliminação de Gauss com 2 significativos e condensação pivotal.
Questão 2 (2.5 pontos)
Resolvendo-se pelo sistema linear 6 −1 12 −5 1
2 1 2
x1x2
x3
 =
11
1

pelo método de eliminação de Gauss com 3 significativos obtém-se a solução x = (0.0770,-0.0771,0.461)
a)(0.5 ponto): Qual sistema linear deve ser resolvido no primeiro passo de refinamento da solução? b)(0.5
ponto): Mostre que o sistema obtido pode ser resolvido por Gauss-Seidel. c)(1.5 ponto): Calcule com
3 significativos um passo de Gauss-Seidel a partir da aproximação nula e delimite o erro no cálculo da
correção.
Questão 3 (2.5 pontos)
A tabela
x 1 2 3 4 5
y 102 91 70 39 2
foi gerada a partir de medidas da posição de um objeto arremessado do alto de um edifício, onde y
é a altura do objeto em metros e x é sua distância ao edifício na direção horizontal. a)(2.0 pontos)
Use o método dos mínimos quadrados para estimar a trajetória (suponha um movimento uniformemente
acelerado sob a ação de g = 10m/s). b)(0.5 ponto) Que estimativa se obtém para a altura do edifício e
para a velocidade de lançamento do objeto?
Sugestão: use y(x) = a+ b(x− 3) + c(x− 3)2 para simplificar as contas.
Questão 4 (2.5 pontos)
Aproxime g(x) = 1 + x2 por uma função do tipo a1+bx no intervalo [0, 1] por um método de MMQ
linearizado (com o produto interno < f, g >=
∫ 1
0 f(x)g(x)dx).
2
Resoluções
Questão 1

A
1 −1 1
2 −1 1
1 1 0
3 1 −1


X
x1
x2
x3
 =

b
1
0
1
0

AT =
 1 2 1 3−1 −1 1 1
1 1 0 −1
 com AT ·A =
15 1 01 4 −3
0 −3 3
 e AT · b =
20
1

a) Sistema do MMQ 15 1 01 4 −3
0 −3 3
x1x2
x3
 =
20
1

b) O critério de linhas falha na linha 3, idem para o de Sassenfeld (B = 1), logo, nenhum dos critérios
nos permite dizer se o sistema converge ou não por Gauss-Seidel.
c) Solução por eliminação de Gauss 15 1.0 0.0 2.01.0 4.0 −3.0 0.0
0.0 −3.0 3.0 1.0
→
 15 1 0 20.067 3.9 −3 −0.13
0.0 −3 3 1
→
 15 1 0 20.067 3.9 −3 −0.13
0.0 −0.77 0.70 0.90

disso tudo, temos então que...
x3 =
0.90
0.70 = 1.3
x2 =
−0.13 + 3× 1.3
3.9 =
3.8
3.9 = 0.97
x1 =
2− 0.97
15 = 0.067
x = (0.067, 0.97, 1.3)
Questão 2
Ac(0) = r(0)
r(0) = b−Ax(0)
r(0) =
11
1
−
6 −1 12 −5 1
2 1 2
 0.0770−0.0771
0.461

3
r(0) =
11
1
−
 6× 0.0770 + 0.0771 + 0.4612× 0.0770 + 5× 0.0771 + 0.461
2× 0.0770− 0.0771 + 2× 0.0461

r(0) =
11
1
−
1.00011.0005
0.9989
 =
−0.0001−0.0005
0.0011

a) Sistema a resolver: 6 −1 12 −5 1
2 1 2

c
(0)
1
c
(0)
2
c
(0)
3
 =
−0.0001−0.0005
0.0011

b) Critério de linhas
6 > 1 + 1X
5 > 2 + 1X
2 > 2 + 1 FAIL → Critério de linhas não garante a convergência!
Critério de Sassenfeld
β1 =
1
6(1 + 1) =
2
6 =
1
3
β2 =
1
5(2
1
3 + 1) =
1
3
β3 =
1
2(2
1
3 + 1
1
3 =
1
2
B = maxβi = 1/2 < 1 X
Pelo critério de Sassenfeld, ceonverge por Gauss-Seidel.
c) Cálculo de uma iteração pelo método de Gauss-Seidel
x(0) = (0, 0, 0)
x
(1)
1 =
1
6(−0.001) = −1.67× 10
−5
x
(1)
2 =
1
5(−0.005− 2(−1.67× 10
−5) = −0.00497/5 = −0.000994
x
(1)
3 =
1
2(0.0011− 2(−1.67× 10
−5 − 1(−0.000994))
x
(1)
3 =
1
2(0.0011− 3.34× 10
−5 + 0.000994) = 0.00103
x(1) = (−1.67× 10−5,−9.94× 10−4, 1.03× 10−3)
O erro é ∆x = 1.03× 10−3
Questão 3
x 1 2 3 4 5
y 102 91 70 39 2
x− 3 −2 −1 0 1 2
(x− 3)2 4 1 0 1 4
Faremos o MMQ para obter os coeficientes da equação:
y(x) = a+ b(x− 3) + c(x− 3)2

1 x− 3 (x− 3)2
1 < 1, 1 > < 1, x− 3 > < 1, (x− 3)2 >
x− 3 < x− 3, 1 > < x− 3, x− 3 > < x− 3, (x− 3)2 >
(x− 3)2 < (x− 3)2, 1 > < (x− 3)2, x− 3 > < (x− 3)2, (x− 3)2 >
  ab
c
 =

y
< 1, y >
< x− 3, y >
< (x− 3)2, y >

Obtendo assim o sitema:  5 0 10 3040 10 0 −252
10 0 34 546

cuja solução é a = 69.66, b = −25.20 e c = −4.429
Da Cinemática de Ensino Médio, temos que, considerando x0 = 0:
y = y0 +
v0y
vx
x− g2vxx
2
E nós temos que, em função de nossos coeficientes,
y = (a− 3b+ 9c) + (b− 6c)x+ cx2
Logo...
y0 = a− 3b+ 9c = 105.4m , vx =
√−g
2c = 1.063m/s e v0y = vx(b− 6c) = 1.461m/s
E com isso temos que o módulo da velocidade inicial é v0 =
√
1.0632 + 1.4612 = 1.807m/s
Questão 4
g(x) = a1 + bx o que implica que
1
g(x) =
1
a
+ b
a
x
Temos então h(x) = 1
g(x) = c0 + c1x(
< 1, 1 > < 1, x > < 1, h >
< x, 1 > < x, x > < x, h >
)
< 1, 1 >=
∫ 1
0 1dx = 1
< 1, x >=< x, 1 >=
∫ 1
0 xdx = 1/2
< x, x >=
∫ 1
0 x
2dx = 1/3
< 1, h >=
∫ 1
0
1
1 + x2 dx = arctg(1) =
pi/4
< x, h >=
∫ 1
0
x
1 + x2 dx =
ln2/2 (
1 1/2 pi/4
1/3
1/3
ln2/2
)
Obtendo assim c0 = 1.062 e c1 = −0.554
como a = 1
c0
= 0.9416 e b = ac1 = −0.5217, a solução é:
g(x) = 0.94161− 0.5217x
Nota do autor: esse arquivo foi feito em LATEX, se você estiver interessado, pode pedir o arquivo .tex
que envio por email.