p1 poli resolução 2014

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PI< tOVA - T I'eo 01-
Q1. Sejam SI e S2 subespaços de um espaço vetorial V. Pode-se afirmar
que:
(a) SI U S2 é um subespaço de SI + S2;
(b) SI U S2 é um subespaço de V;
l§J SI e S2 são subespaços de SI + S2;
(d) SI nS2 não é um subespaço de SI;
(e) SI + S2 é um subespaço de SI n S2.
Q2. Seja V um espaço vetorial de dimensão maior ou igual a 5 e sejam
A = {Vl,V2,V3} e B = {Wl,W2} subconjuntos de V. Suponha que A UB
gere V. Assinale a alternativa correta:
(a) o subespaço [VI, V2, V3l n [Wl, W2l tem dimensão maior ou igual a 1;
(b) Wl pertence ao subespaço gerado por A;
(c) o conjunto A UB pode ser linearmente dependente;
~ o conjunto A é linearmente independente;
(e) a interseção A nB pode não ser vazia.
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Q3. Considere o subespaço S de M2(IR) definido por:
s ~ { (~ !) E M,(IR) , a+ 2b+ 2c+ 2d ~O e a+2b+ c+2d ~ O}.
Assinale a alternativa correspondente a uma base de M2(lR) em que os pri-
meiros vetores formam uma base de S:
(a) {( ~2 ~),( ~2 ~),(~ ~),(~ ~n
(b) { G ~), (~ ~), (~ ~), (~ n};
{ (O 0) (0 0) (1 -1) (-2 I)}(c) 1 ° ' ° 2 ' ° O ' O O ;
{ ( 8 12) (4 -4) (-2 1) (1 O)}(d) -6 1 ' 1 O ' O O ' O O ;
o{(~2~),(~2~),G ~),(~1~)}
Q4. A soma das coordenadas do vetor (g ~) relativamente à base:
{G ~), G ~1),G ~),G ;)}
do espaço vetorial M2(IR) é igual a:
(a) O;
€)-1;
(c) 2;
(d) -2;
(e) 1.
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'. Seja V um espaço vetorial de dimensão 3 .e seja {VI, V2, V3} uma base
V. Considere o conjunto A = {VI, VI + V2, VI + V2 + V3}. Pode-se afirmar
s:
I o subespaço gerado por A tem dimensão 2;
I A é linearmente dependente;
~ dim([Vl, VI + V2l n [VI + V2, VI + Vz + V3]) = 2;
t A é uma base de V;
~A não gera V.
i. Sejam 81 e 82 subespaços de um espaço vetorial V. Sejam 81 e 82
ses de 81 e de 82, respectivamente. Considere as seguintes afirmações:
(1) 81 n82 é uma base de 81n 82;
(lI) 81 u 82 é uma bas,e de 81 + 82;
llI) toda base de V contém alguma base de 81,
sinale a alternativa correta:
) apenas a afirmação (I} é necessariamente verdadeira;
, apenas a afirmação (llI) é necessariamente verdadeira;
D nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;
) apenas as afirmações (lI) e (Il l) são necessariamente verdadeiras;
) apenas a afirmação (lI) é necessariamente verdadeira.
r. Seja c E ]R e considere o subconjunto A de JR4 definido por:
A = {(1, 0, -1, 1), (O,-1,1,1), (2, 1, c, 1)}.
mos que o conjunto A está contido numa base de JR4 se, e somente se:
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, O -\ ~ ( . 'V O -1 \ I "V o -{ ( r
) c i= 1; 2.. I c. ( \() ( c..tl -, o o Ct 3 o
) c i= -4;
~ci=-3; .", A/ L. I. ~ c.+3jo ~ c.4=--3. 4
) c i= -l. L" Y' A: M h-.' VD","t 'ti o .t "''' u 1M ~ bMlt (tU IR )
~ A./ L.1, ~ c. 4t -3
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Q8. No conjunto V = JR2, considere as operações EBe 0 definidas por:
(aI, br) EB(a2, b2) = (ci + a2 - 1, b1 + b2 - 1), a 0 (a, b) = (aa, O),
para todos (aI, b1), (a2, b2), (a, b) E lR,2 e todo a E R. Assinale a alternativa
correta:
(a) o conjunto V, munido das operações EBe 0, não é um espaço vetorial
pois não satisfaz precisamente duas das oito propriedades que aparecem
na definição usual de espaço vetorial;
(b) o conjunto V, munido das operações EBe 0, não é um espaço vetorial
pois não satisfaz precisamente uma das oito propriedades que aparecem
na definição usual de espaço vetorial;
@ o conjunto V, munido das operações EBe 0, não é um espaço vetorial
pois não satisfaz precisamente três das oito propriedades que aparecem
na definição usual de espaço vetorial;
(d) o conjunto V, munido das operações EBe 0, não é um espaço vetorial
pois não satisfaz precisamente quatro das oito propriedades que apare-
cem na definição usual de espaço vetorial;
(e) o conjunto V, munido das operações EBe 0, é um espaço vetorial.
Q9. Seja a E lR, e considere os polinômios:
PI(t)=1-2t+3t2, p2(t)=-2+t+t2, P3(t)=-5+4t-t2
e q(t) = a - t + (13+ a)t2. Pode-se afirmar que:
(a) q E [Pr,P2,P3] se, e somente se, a = i;
@ q E [Pr,P2,P3] se, e somente se, a = -4;
(c) q E [PI,P2,P3];
(d) q E [Pl,P2,P3] se, e somente se, a = ~;
(e) q ~ [Pr,P2,P3].
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QI0. Considere as funções fi : lR -+ lR, i= 1,2, ... ,6, definidas por:
fI(x) = 1, h(x) = cosx, h(x) = senx - cosx,
I f4(X) = sen(2x), fs(x) = 2senx, f6(X) = cos(2x),
para todo x E lR. Seja V o espaço vetorial de todas .as funções f : lR -+ ]R.
A dimensão do subespaço [fI, Jz, h, 14, fs, 16] de V é igual a:
li
(a) 4; S
(b) 6;@5;
(d) 2;
(e) 3.
Ql1. Considere os subespaços 81 e 82 de M2(lR) definidos por:
SI ~ { (~ ~) E M, (R) , b+ 2c + 3d ~ O},
S, ~ { (fi ~) a, p E R}
Assinale a alternativa correta:
(a) dim(81 + 82) = 3 e dim(81 n 82) = 1;
(b) dim(81 + 82) = 2 e dim(81 n 82) = 2;
(c) 81 + 82 == M2(lR) e dim(81 n 82) = 2;
(d) dim(81 + 82) = 3 e dim(81 n 82) = 2;
@ 81 + 82 = M2(lR) e dim(81 n82) = 1.
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2. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações:
(I) se A é um conjunto de geradores de V e se U E V não pertence a A,
então o conjunto A U {u} é linearmente dependente;
JI) se V tem dimensão finita e igual a n, então todo subconjunto de V
com n elementos é linearmente independente;
Hl) se A = {UI, ... , up} e B = {VI, ... , vq} são subconjuntos linearmente
independentes de V tais que [UI,' .. , upJ n [VI, ... , vqJ = {O},então o
conjunto A UB é linearmente independente.
inale a alternativa correta:
todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (I) e (Il} são necessariamente verdadeiras;
apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
apenas as afirmações (lI) e (III) são necessariamente verdadeiras.
3. Considere o subespaço S de JR4 definido por:
= [(1,-2, 1,3), (2,1, -1, -2), (O,-5,3,8), (-1, -3, 2,4), (5,O,-1, -l)J.
ta base para S é:
I {(I, -2, 1,3), (2, 1,-1, -2), (5,O,-1, -I)};
t {(I, -2,1,3), (2, 1, -1, -2), (-1, -3, 2,4)};
I {(I, -2, 1,3), (2, 1, -1, -2), (O,-5,3,8), (-1, -3,2,4)};
I {(2, 1, -1, -2), (O,-5,3,8), (5,O,-1, -I)};
I {(2, 1,-1, -2), (O,-5, 3,8), (-1, -3,2,4), (5,O,-1, -I)}.
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IV
~14. Sejam V um espaço vetorial e S um subespaço de V. Considere as
eguintes afirmações:
V (1) se V tem dimensão finita, então toda base de S está contida numa
base de V;= (II) dados Ul, ,uk E V, se todo elemento de S é combinação linear dos
vetares Ul, , Uk, então S é o subespaço gerado por {Ul, ... , Uk};
- (lII) se q é o número de elementos de um conjunto de geradores de V e p é
o número de elementos de um subconjunto linearmente independente
de V, então p ::; q.
\ssinale a alternativa correta:
:a) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
@) apenas as afirmações (1) e (IIl) são necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmações (1) e (II) são necessariamente verdadeiras;
:d) apenas as afirmações (II) e (lII) são necessariamente verdadeiras;
Ke) apenas a afirmação (lII) é necessariamente verdadeira.
~15. Sejam a, b E lR e considere o subconjunto A de P2(lR) definido por:
A = {I + ax, b+ x + x2, 2+ 2x + 2ax2}.
remos que A é linearmente independente se, e somente se:
(a) a =rf O e b =rf O;
(b) a+b=rfa2;
(c) a =rf O oub =rf O;
@ a2b + 1 =rf 2a;
(e) ab + 1 =rf 2a.
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~ a.2. b - 2 ~ +- ( 1O ~ a2 b +I 1- '2tA..
.16. Considere as seguintes afirmações: ~
'/ (1) para qualquer A E Mn (lR), vale que {X E M~(lR) : AX = X A} é
um subespaço de Mn(JR)j
(II) se A = {Ul,"', uq} é um subconjunto linearmente dependente de
um espaço vetorial, então todo elemento de A é combinação linear
dos outros elementos de Aj
(lU) dados um espaço vetorial V, vetares distintos UI, U2, u3 E V e um
escalar a E IR,se o conjunto {Ul, U2, U3} é linearmente independente,
I então o conjunto {Ul, U2 + aUl, U3} também é linearmente indepen-
dente.
ssinale a alternativa correta:
;) apenas as afirmações (1) e (II1) são verdadeiras;
b) apenas a afirmação (II) é verdadeira;
c) todas as afirmações são verdadeiras;
:i) apenas a afirmação (lII) é verdadeira;
e) apenas a afirmação (1) é verdadeira.
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