Limites e derivadas usando o Graphmatica

Prévia do material em texto

Limites e derivadas
Introdução da noção de limites e 
derivadas no uso da matemática 
e algumas explicações sobre 
algumas propriedades.
Limite: Primeiro contato
 O limite é uma maneira de estudarmos nossa função próxima de um 
determinado ponto.
 Notação básica de um limite qualquer:
 Lê-se: Limite de “f” de “x” é igual a “b” quando “x” tende a “a” 
 Quanto mais próximo meu ponto estiver do “a” no eixo x, mais 
próximo ele se aproximará do “b” no eixo y.
  
Limite: Primeiro contato
 Notação:
 Noção intuitiva:
 
x y=x+1
1 2
1,5 2,5
1,8 2,8
1,9 2,9
1,99 2,99
1,999 2,999
x y=x+1
3 4
2,5 3,5
2,3 3,3
2,1 3,1
2,01 3,01
2,001 3,001
Exercício
 Calcule:   
Exercício
 Calcule: 
= 3
  
Exercício
 Calcule:   
Exercício
 Calcule: 
= 9
  
Exercício
 Calcule:   
Exercício
 Calcule: 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
=
  
Exercício
 Calcule: 
= 
==
  
Exercício
 Calcule: 
= 
==
  
Exercício
 Calcule: 
= 
===
  
Exercício
 Calcule: 
= 
===4
  
Exercício
 Calcule:   
Exercício
 Calcule: 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
= 
  
Exercício
 Calcule: 
= 
= 
  
Exercício
 Calcule:   
Exercício
 Calcule:   
Exercício
 Calcule: 
 = Não existe
  
Exercício
 Calcule: 
 = Não existe
 = +
  
Exercício
 Calcule: 
 = Não existe
 = +
  
+
Exercício
 Calcule: 
 = Não existe
 = +
 = -
  
+
Exercício
 Calcule: 
 = Não existe
 = +
 = -
  
+-
DERIVADAS SOB O PONTO DE VISTA 
GEOMÉTRICO
 Vários são os fenômenos do mundo real que 
podem ser descritos analisando-se a taxa que uma 
quantidade varia à medida que outra quantidade 
varia. A ferramenta matemática que utilizamos 
para o estudo destas interações é a derivada e o 
objetivo deste trabalho é abordá-la do ponto de 
vista geométrico uma vez que estes fenômenos de 
variação estão intimamente relacionados ao 
processo de determinar a reta tangente a uma 
curva através do cálculo infinitesimal.
O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
 Inclinação da reta secante a curva:
Seja Q um ponto qualquer 
pertencente à curva y=f(x). 
O coeficiente angular da 
reta secante a curva 
passado por P e Q é dado 
por:
 A medida que o ponto Q se aproxima do ponto P 
ao longo da curva y=f(x), qual o comportamento 
angular das retas secantes?
Definição de reta tangente a uma curva
A reta tangente a curva y=f(x) no ponto P (x0, f(x0)) é:
(i) a reta que passa pelo ponto P e tem inclinação 
 ,se o limite existir;
(ii) A reta x= x0, se 
OBS1: este limite define a derivada de f no ponto P (x0, 
f(x0)) e representa o coeficiente angular da reta 
tangente à curva neste ponto;
OBS2: observe que ao calcularmos este limite obtemos 
uma nova função que associa cada valor de x0 ao 
coeficiente angular da reta tangente à curva que passa 
por este ponto
Definição de derivada
Dizemos que uma função f(a,b)IR é derivável em um ponto 
x0 є(a,b) se existir o limite .
O limite f’(x0) chama-se derivada de f no ponto x0.
Fazendo x= , chegamos a outra definição equivalente
da função derivada , observando que 
quando 0, x x0.
 Atividade 1
Ao calcularmos limites três situações básicas podem ocorrer:
 ou o limite existe e é um numero real; ou o limite pode não
 existir; ou a função tende à . A atividade a seguir intenta
 ilustrar qual o comportamento da reta tangente a curva em
 cada um destes casos. Vamos plotar o gráfico das seguintes 
funções no Graphmatica:
1) f(x)=x2 
2) f(x)=|x|
3) f(x)=x2+2 se x≤0; 1-x se x≥0
4) f(x)=x1/3 
5) f(x)=1/(x-2)2
 Comentários da atividade 1
 Não há que se falar em reta tangente à curvas justo nos 
valores em que ela é descontínua. Vale lembrar que uma 
função é contínua num ponto a de seu domínio se satisfaz 
3 condições: f(a) existe; o limite de f(x) quando xa 
existe; o valor deste limite é igual a f(a). Infringir qualquer 
destas três condições implica em descontinuidade;
 Como vimos derivada é um limite e quando consideramos 
os limites laterais definimos o que chamamos de derivadas 
a esquerda e a direita. Assim como existe limite de uma 
função em um ponto se, e somente se, os limites laterais 
forem iguais, uma função f é derivável em um ponto se, e 
somente se, as derivadas laterais forem iguais; 
 Note que no exemplo 2 ilustramos uma função contínua, mas 
que não é derivável em um ponto (função com bico). Vejamos o 
que ocorreu algebricamente:
Para x>0 segue que
portanto f(x)=|x| é diferenciável para todo x>0.
Para x<0 segue que
portanto f(x)=|x| é diferenciável para todo x<0.
Para x=0 temos que avaliar a existência de f’(0) calculando os 
limites laterais...
Como os limites são distintos, concluímos que f’(0) não 
existe, contudo f é continua em 0, pois .
Como f’(0) não existe, a função encontrar derivada do 
graphmatica não retorna um gráfico para derivada de 
f(x)=|x| cuja fórmula é dada pela expressão f’(x)=1 se 
x>0; -1 se x<0 ilustrada abaixo:
 
 Pelo que investigamos até o momento observamos que se 
f for diferenciável em a, então f é contínua em a, mas a 
recíproca não é verdadeira como nos mostra o exemplo 2;
 O exemplo 4 nos mostra o caso em que a reta x=0 é 
tangente vertical à curva,pois função é contínua em x=0 e
 A continuidade e a diferenciabilidade desencadeiam 2 
tipos distintos de suavidade em funções: a primeira nos 
remete a idéia intuitiva de desenhar o gráfico da função 
de uma só vez sem retirar a caneta do papel; a segunda 
nos traz a idéia intuitiva de que o que foi desenhado não 
possui pontas ou bicos.
TEOREMA DE ROLLE
 Seja f uma função tal que:
(i) f é contínua no intervalo fechado [a,b];
(ii) f é diferenciável no intervalo aberto (a,b);
(iii) f(a)=f(b);
então existe ao menos um número cє(a,b) tal que f’(c)=0.
 Atividade 2
Definição: um número c pertencente ao domínio de uma 
função f é denominado número ou ponto crítico de f se 
f’(c)=o ou se f’(c) não existir.
Considere as funções listadas abaixo e utilize as 
ferramentas de desenhar tangente e encontrar pontos 
críticos para explorar as propriedades do teorema de 
Rolle:
1) f(x)=4x3 -3x
2) f(x)=x4 -2x2
TEOREMA DO VALOR MÉDIO (LAGRANGE)
 Seja f uma função tal que :
(i) f é contínua no intervalo fechado [a,b];
(ii) f é diferenciável no intervalo aberto (a,b);
 então existe pelo menos um número cє(a,b) tal que
 Atividade 3
considere a função f(x)=4x3 -3x. Encontre todas as 
tangentes ao gráfico de f paralelas à reta y=x utilizando as 
ferramentas do graphmatica.
	Slide 1
	Limite: Primeiro contato
	Limite: Primeiro contato
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	ExercícioExercício
	Exercício
	DERIVADAS SOB O PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO
	O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	TEOREMA DE ROLLE
	Slide 45
	TEOREMA DO VALOR MÉDIO (LAGRANGE)
	Slide 47