2017-I-03_grupos.pdf

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Lista de Exerc´ıcios - 03
1. Seja G um grupo c´ıclico de ordem 24. Se G =< a >,
encontre o gerador de < a15 > ∩ < a14 >.
2. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e g, h ∈ G.
Mostre que |gH| = |hH|.
3. Seja Q o corpo dos nu´meros naturais. Considere os
grupos (Q,+) e (Q∗, ·) e liste os elementos de < 12 >
em cada um dos dois grupos.
4. Prove que em qualquer grupo um elemento e seu in-
verso teˆm a mesma ordem.
5. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e g, h ∈ G.
Mostre que Hg = Hh se, e so´ se, gh−1 ∈ H.
6. Mostre que se G e´ um grupo e H e K sa˜o subgrupos
de G, enta˜o H ∩K e´ um subgrupo de G.
7. Mostre que um grupo c´ıclico e´ abeliano e que todo
grupo de ordem prima, e´ c´ıclico.
8. Seja G um grupo, o centro Z(G) de G e´ o subconjunto
de G formado pelos elementos que comutam com todos
os elementos de G, isto e´:
Z(G) = {g ∈ G; g ∗ h = h ∗ g∀h ∈ G}
(a) Mostre que o centro de S3 e´ {1}.
(b) Prove que o centro de G e´ um subgrupo comutativo
de G.
9. Mostre que o grupo de menor ordem que na˜o e´ abeliano
e´ S3, isto e´, mostre que todo grupo de ordem menor
que 6 e´ abeliano.
1
10. Seja H = {a + bi|a, b ∈ R, ab ≥ 0}, verifique se H e´
um subgrupo de (C,+).
11. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e g, h ∈ G.
Mostre que |gH| = |hH|.
12. Considere o grupo com a seguinte tabela de multi-
plicac¸a˜o:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 1 8 7 6 5 4 3
3 3 4 5 6 7 8 1 2
4 4 3 2 1 8 7 6 5
5 5 6 7 8 1 2 3 4
6 6 5 4 3 2 1 8 7
7 7 8 1 2 3 4 5 6
8 8 7 6 5 4 3 2 1
(a) Encontre o centro deste grupo.
(b) Encontre a ordem de cada elemento deste grupo.
(c) Encontre um subgrupo de ordem 4 em que todo
elemento tem ordem 2.
13. Sejam G um grupo e a, b ∈ G tais que a13 = b13 e
a5 = b5. Mostre que a = b.
14. Prove que em qualquer grupo um elemento e seu in-
verso teˆm a mesma ordem.
15. Considere as matrizesA =
[
0 −1
1 0
]
, B =
[
0 1
−1 −1
]
e C =
[
1 2
0 1
]
de SL(2,R), o grupo das matrizes reais
de determinante 1. Calcule a ordem de A, de B e de
C.
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