Anéis em Álgebra I

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Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Álgebra I - GAN 00155
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Análise
Niterói, 2018
Álgebra I -
GAN 00155
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Anéis
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Sumário
1 Anéis
2 Definições
3 Exemplos
4 Subanel
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1 Anéis
2 Definições
3 Exemplos
4 Subanel
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Sumário
1 Anéis
2 Definições
3 Exemplos
4 Subanel
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1 Anéis
2 Definições
3 Exemplos
4 Subanel
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Subanel
Anéis
Definição
Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Definição
Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Anéis
Definição
Seja A 6= ∅.
Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Definição
Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Definição
Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Definição
Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Definição
Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel,
se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Definição
Seja A 6= ∅. Em A, definimos duas operações chamadas
“soma +"e “produto . ", ou seja
+ : A× A→ A, (a, b) 7→ a + b
. : A× A→ A, (a, b) 7→ a.b
Dizemos que (A, +, . ) é um anel, se verifica as seguintes 6
propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ A.
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y +x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Definição
1 (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma)
2 Existe 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a (Elemento neutro
da soma)
3 Se x ∈ A, existe y ∈ A, tal que x + y = y + x = 0
(Existência do inverso aditivo)
4 a + b = b + a, (comutatividade da soma)
5 ( a . b) . c = a . (b . c) (associatividade do produto)
6 a . (b + c) = a . b + a . c, (a + b) . c = a . c + b . c
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Observações
Observação
1.- O elemento neutro (zero) da soma é único.
2.- O inverso aditivo é único. É denotado por - a.
3.- Podemos definir a subtração ou diferença por
a− b = a + (−b).
4.- a.0 = 0, ∀a ∈ A.
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Observações
Observação
1.- O elemento neutro (zero) da soma é único.
2.- O inverso aditivo é único. É denotado por - a.
3.- Podemos definir a subtração ou diferença por
a− b = a + (−b).
4.- a.0 = 0, ∀a ∈ A.
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Observações
Observação
1.- O elemento neutro (zero) da soma é único.
2.- O inverso aditivo é único. É denotado por - a.
3.- Podemos definir a subtração ou diferença por
a− b = a + (−b).
4.- a.0 = 0, ∀a ∈ A.
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Observações
Observação
1.- O elemento neutro (zero) da soma é único.
2.- O inverso aditivo é único. É denotado por - a.
3.- Podemos definir a subtração ou diferença por
a− b = a + (−b).
4.- a.0 = 0, ∀a ∈ A.
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Observações
Observação
1.- O elemento neutro (zero) da soma é único.
2.- O inverso aditivo é único. É denotado por - a.
3.- Podemos definir a subtração ou diferença por
a− b = a + (−b).
4.- a.0 = 0, ∀a ∈ A.
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Observações
Observação
1.- O elemento neutro (zero) da soma é único.
2.- O inverso aditivo é único. É denotado por - a.
3.- Podemos definir a subtração ou diferença por
a− b = a + (−b).
4.- a.0 = 0, ∀a ∈ A.
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Observações
Observação
1.- O elemento neutro (zero) da soma é único.
2.- O inverso aditivo é único. É denotado por - a.
3.- Podemos definir a subtração ou diferença por
a− b = a + (−b).
4.- a.0 = 0, ∀a ∈ A.
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Definição
Definição
Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
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Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
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Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0,
tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
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Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A,
dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
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Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
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Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
Definição
Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
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Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Definição
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Se no anel A, existe o elemento 1 ∈ A, 1 6= 0, tal que
x .1 = 1.x = x , ∀x ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com
unidade 1.
Observação
1.- O elemento 1 ∈ A é único.
2.- - a = (- 1) . a, ∀a ∈ A.
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Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se x .y = y .x , ∀x , y ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel
commutativo.
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Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se x .y = y .x , ∀x , y ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel
commutativo.
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Definição
Definição
Se x .y = y .x , ∀x , y ∈ A,
dizemos que (A, +, .) é um anel
commutativo.
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Definição
Definição
Se x .y = y .x , ∀x , y ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel
commutativo.
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Definição
Definição
Se x .y = y .x , ∀x , y ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel
commutativo.
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Definições
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Definição
Definição
Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0, dizemos que (A, +, .)
é um anel sem divisores de zero.
Observação
A condição, equivale, se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Definição
Definição
Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0, dizemos que (A, +, .)
é um anel sem divisores de zero.
Observação
A condição, equivale, se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Definição
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Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0,
dizemos que (A, +, .)
é um anel sem divisores de zero.
Observação
A condição, equivale, se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Definição
Definição
Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0, dizemos que (A, +, .)
é um anel semdivisores de zero.
Observação
A condição, equivale, se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Definição
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Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0, dizemos que (A, +, .)
é um anel sem divisores de zero.
Observação
A condição, equivale, se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Definição
Definição
Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0, dizemos que (A, +, .)
é um anel sem divisores de zero.
Observação
A condição, equivale,
se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Definição
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Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0, dizemos que (A, +, .)
é um anel sem divisores de zero.
Observação
A condição, equivale, se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Definição
Definição
Se x .y = 0 implica que x = 0 ou y = 0, dizemos que (A, +, .)
é um anel sem divisores de zero.
Observação
A condição, equivale, se x 6= 0 e y 6= 0, então x .y 6= 0.
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel comutativo, com unidade sem
divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um domínio de
integridade.
Observação (Lei de cancelamento)
Se A é um domínio, então se a . x = a. y e a 6= 0, temos que
x = y.
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel comutativo, com unidade sem
divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um domínio de
integridade.
Observação (Lei de cancelamento)
Se A é um domínio, então se a . x = a. y e a 6= 0, temos que
x = y.
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel comutativo, com unidade sem
divisores de zero,
dizemos que (A, +, .) é um domínio de
integridade.
Observação (Lei de cancelamento)
Se A é um domínio, então se a . x = a. y e a 6= 0, temos que
x = y.
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Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel comutativo, com unidade sem
divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um domínio de
integridade.
Observação (Lei de cancelamento)
Se A é um domínio, então se a . x = a. y e a 6= 0, temos que
x = y.
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Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel comutativo, com unidade sem
divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um domínio de
integridade.
Observação (Lei de cancelamento)
Se A é um domínio,
então se a . x = a. y e a 6= 0, temos que
x = y.
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Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel comutativo, com unidade sem
divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um domínio de
integridade.
Observação (Lei de cancelamento)
Se A é um domínio, então se a . x = a. y e a 6= 0, temos que
x = y.
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Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel comutativo, com unidade sem
divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um domínio de
integridade.
Observação (Lei de cancelamento)
Se A é um domínio, então se a . x = a. y e a 6= 0, temos que
x = y.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que, para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1, dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que, para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1, dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que,
para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1, dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que, para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1,
dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que, para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1, dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que, para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1, dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que, para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1, dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se A é um domínio de integridade tal que, para cada
x ∈ A, x 6= 0, existe y ∈ A, tal que x . y = y . x = 1, dizemos
que (A, +, .) é um corpo.
Observação
O inverso é único.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Z, n.Z, Zn, Q, R, C, Z
[√
2
]
, Q
[√
2
]
.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Z, n.Z, Zn, Q, R, C, Z
[√
2
]
, Q
[√
2
]
.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Z, n.Z, Zn, Q, R, C, Z
[√
2
]
, Q
[√
2
]
.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Z, n.Z, Zn, Q, R, C, Z
[√
2
]
, Q
[√
2
]
.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Z, n.Z, Zn, Q, R, C, Z
[√
2
]
, Q
[√
2
]
.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
F(I) = {f : I → R, f é uma função}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
F(I) = {f : I → R, f é uma função}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
F(I) = {f : I → R, f é uma função}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
F(I) = {f : I → R, f é uma função}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
F(I) = {f : I → R, f é uma função}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Mnxn(R) =
{
A =
[
aij
]
, aij ∈ R
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
ExemplosSubanel
Exemplo
Mnxn(R) =
{
A =
[
aij
]
, aij ∈ R
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Mnxn(R) =
{
A =
[
aij
]
, aij ∈ R
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Mnxn(R) =
{
A =
[
aij
]
, aij ∈ R
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplo
Mnxn(R) =
{
A =
[
aij
]
, aij ∈ R
}
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel e B 6= ∅, B ⊂ A, é um subanel de A,
se B é um anel com as operações de A.
Definição
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K é um
subcorpo de L, se K é um corpo com as operações de L.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel e B 6= ∅, B ⊂ A, é um subanel de A,
se B é um anel com as operações de A.
Definição
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K é um
subcorpo de L, se K é um corpo com as operações de L.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel e B 6= ∅, B ⊂ A, é um subanel de A,
se B é um anel com as operações de A.
Definição
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K é um
subcorpo de L, se K é um corpo com as operações de L.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel e B 6= ∅, B ⊂ A, é um subanel de A,
se B é um anel com as operações de A.
Definição
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K é um
subcorpo de L, se K é um corpo com as operações de L.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel e B 6= ∅, B ⊂ A, é um subanel de A,
se B é um anel com as operações de A.
Definição
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L.
Dizemos que K é um
subcorpo de L, se K é um corpo com as operações de L.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel e B 6= ∅, B ⊂ A, é um subanel de A,
se B é um anel com as operações de A.
Definição
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K é um
subcorpo de L, se K é um corpo com as operações de L.
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Definição
Definição
Se (A, +, . ) é um anel e B 6= ∅, B ⊂ A, é um subanel de A,
se B é um anel com as operações de A.
Definição
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K é um
subcorpo de L, se K é um corpo com as operações de L.
Álgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
Álgebra I -
GAN 00155
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
Álgebra I -
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
Álgebra I -
GAN 00155
Ricardo
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subanéis
nZ é subanel de Z.
Z
[√
2
]
é subanel de R.
Z [i] é subanel de C.
M2x2(Z) é subanel de M2x2(R).
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Ricardo
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Anéis
Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subcorpos
Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
Álgebra I -
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Ricardo
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Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subcorpos
Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Ricardo
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Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subcorpos
Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Ricardo
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Definições
Exemplos
Subanel
Exemplos de subcorpos
Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Exemplos
Subanel
Exemplos de subcorpos
Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Subanel
Exemplos de subcorpos
Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Subanel
Exemplos de subcorpos
Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Q é subcorpo de R.
R é subcorpo de C.
Q é subcorpo de Q
[√
2
]
.
Q
[√
2
]
é subcorpo de R.
Q(i) é subcorpo de C.
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Exemplos
Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Exemplos
Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Exemplos
Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A,
é um subanel
de A, se esomente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Exemplos
Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Subanel
Proposição
Proposição
Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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Subanel
Proposição
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Um subconjunto não vazio B de um anel A, é um subanel
de A, se e somente se:
1 Se a, b ∈ B, então a + b ∈ B.
2 Se a, b ∈ B, então a.b ∈ B.
3 0A ∈ B.
4 Se b ∈ B, então −b ∈ B.
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