Exercicios Semana 2

•
Engenharias

Enya Santos
27/03/2018
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Cálculo / Exercícios da Semana 2 / Aulas 5 a 8 1
cálculo
ExErcícios da sEmana 2 
Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
ExErcício 1 / VídEo-aula 5 
1. Seja a função 
Problemas e Exercicios da Semana 2
Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
.
a.	Mostre que 
Problemas e Exercicios da Semana 2
Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
.
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Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
b.	Seja 
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Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
. Mostre, pela definição de limite, 
que 
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1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
.
2. Mostre, pela definição, que 
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1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
.
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1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
3. Mostre, pela definição, que:
a. 
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1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
b. 
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Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) limx→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
4. Mostre, pela definição, que 
Problemas e Exercicios da Semana 2
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1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
.
Cálculo / Exercícios da Semana 2 / Aulas 5 a 8 2
ExErcício 2 / VídEo-aula 6
1. Mostre, pela definição, que:
a. 
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Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
1
b. 
Problemas e Exercicios da Semana 2
Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 5
1. Seja a função f(x) = cos
(
1
x
)
.
(a) Mostre que ∄ lim
x→0
f(x).
Sugestão: Se lim
x→a
f(x) = L existe, então para qualquer sequên-
cia xn → a, implica f(xn) → L, isto é, se lim
n→∞
xn = a, então
lim
n→∞
f(xn) = L, e L é único!
(b) Seja g(x) = xf(x) = x cos
(
1
x
)
. Mostre, pela deﬁnição de limite,
que lim
x→0
g(x) = 0
2. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→0±
cscx = ±∞.
Sugestão: Se x ∈ (0, pi
2
)
, vale que 0 < sin x < x.
3. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→0+
√
x = 0.
(b) lim
x→1
√
x = 1
4. Mostre, pela deﬁnição, que lim
x→+∞
x−1
x+1
= 1
2 Video-Aula 6
1. Mostre, pela deﬁnição, que
(a) lim
x→+∞
√
x = +∞.
(b) lim
x→0+
1√
x
= +∞
12. Calcule os limites:
a. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
b. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
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1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
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1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
3. Calcule os limites:
a. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
b. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função:
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) limx→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
ExErcício 3 / VídEo-aula 7
1. Calcule o limite 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
Cálculo / Exercícios da Semana 2 / Aulas 5 a 8 3
2. Calcule o limite 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
3. Calcule os seguintes limites
a. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
b. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
4. Calcule os seguintes limites
a. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
b. 
2. Calcule os limites
(a) lim
x→1
sin
√
3(1−x2)√
1−x2
(b) lim
x→−∞
arctan
(
ln√1− x)
Sugestão: Use uma mudança de variável conveniente em cada exercício.
3. Calcule os limites
(a) lim
x→1
ln
(
x3−1
x−1
)
(b) lim
x→+∞
arctan (x2 − x4)
4. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) =
√
4x2+1
x+1
3 Video-aula 7
1. Calcule o limite lim
x→+∞
ln
(√
x2 + 1
) 1
x
Sugestão: Use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0 e o Teorema da Comparação.
2. Calcule o limite lim
x→1−
sin2(sin
√
1−x2)√
1−x2
Sugestão: Use o Teorema da Comparação (Confronto).
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0
sinx(1−cosx)
2x2
(b) lim
x→0
sin ax
sin bx
4. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→4
(
1+x
5
) 1
x−4
(b) lim
x→+∞
(
x
1+x
)x
2
ExErcício 4 / VídEo-aula 8
1. 
a. Por que 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com váriosnúmeros e precisões diferentes.
3
 
?
b. Por que 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 
?
2. 
a. Calcule o limite 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 
b. Encontre o limite de sequência
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 
3. Calcule 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 
Cálculo / Exercícios da Semana 2 / Aulas 5 a 8 4
4. Seja 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 e defina 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 
 (fórmula recursiva). 
Assim temos a sequência:
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
a. Mostre que 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 
b. Se você pegar uma calculadora científica e tomar um número M > 
1 e apertar a tecla de 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
3
 várias vezes, você vai notar que a sequên-
cia de números converge para 1. Dentro de uma precisãode 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
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, 
quantos toques, aproximadamente, você terá que fazer na tecla 
4 Video-aula 8
1. (a) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
sinx ?
(b) Por que ̸ ∃ lim
x→∞
1
sinx = limx→∞ csc x?
2. (a) Calcule o limite lim
n→∞
n2 cosn
n2+1
(b) Encontre o limite da sequência(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
3. Calcule lim
n→∞
n
√
3n + 5n
4. Seja x1 > 1 e deﬁna xn+1 = √xn (fórmula recursiva). Assim temos a
sequência (
x1,
√
x1,
√√
x1, . . .
)
(a) Mostre que lim
n→∞
xn = 1
(b) Se voce pegar uma calculadora cientíﬁca e tomar um número
M > 1 e apertar a tecla de √x várias vezes, voce vai notar que a
sequência de números converge para 1.Dentro de uma precisão de
ϵ = 10−2, quantos toques, aproximadamente, voce terá que fazer
na tecla √x para obter 1, com a precisão dada? Comprove o seu
resultado com vários números e precisões diferentes.
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para obter 1, com a precisão dada? Comprove seu resultado com vários 
números e precisões diferentes.