05 - Resolução de Sistemas Lineares

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05
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES - 3
MÉTODOS ITERATIVOS
A idéia central dos métodos iterativos é generalizar o método do ponto fixo utilizado na busca de raízes de uma equação.
Seja o sistema linear Ax = b; onde
A: matriz dos coeficientes , nxn
x: vetor das variáveis, nx1
b: vetor dos termos constantes, nx1
Este sistema é convertido, de alguma forma, num sistema do tipo x = Cx + g onde C é a matriz nxn e g um vetor nx1.
É então proposto o esquema iterativo:
Partimos de x(0) (vetor aproximação inicial) e então construímos consecutivamente os vetores:
, (1ª aproximação),
, (2ª aproximação), etc....
De um modo geral, a aproximação 
 é calculada pela fórmula 
, ou seja, 
, k = 0, 1, ...
Testes de Parada
O processo iterativo é repetido até que o vetor x(k) esteja suficientemente próximo do vetor x(k – 1).
Medimos a distância entre x(k) e x(k – 1) por
Assim, dada uma precisão (, o vetor x(k) será escolhido como
, solução aproximada da solução exata, se d(k) < (.
Podemos também efetuar o teste do erro relativo:
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI
A forma como o método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear Ax = b em x = Cx + g é o seguinte:
Tomamos o sistema original:
e supondo aii ( 0, i = 1, ..., n, isolamos o vetor x mediante a separação pela diagonal, assim:
Desta forma, temos x = Cx + g, onde
 e 
O método de Gauss-Jacobi consiste em, dado x(0), aproximação inicial, obter x(1), ..., x(k).... através da relação recursiva x(k+1) = Cx(k) + g:
EXEMPLO: Resolva o sistema linear:
pelo método de Gauss-Jacobi com 
 e ( = 0,05
O processo iterativo é
Na forma matricial x(k+1) = Cx(k) + g temos:
 e 
Assim ( k = 0)
ou 
Calculando dr(1), temos:
 ( 
para k = 1:
 ( 
para k = 2:
 ( 
Então, a solução 
 do sistema linear acima, com erro menor 0,05, obtida pelo método de Gauss-Jacobi, é
Critério de Convergência (Critério das Linhas)
Teorema: Seja o sistema linear Ax = b e seja
Se 
, então o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência {x(k)} convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial, x(0).
EXEMPLO: Analisando a matriz do sistema linear do exemplo anterior,
, temos
; 
; 
então 
, donde, pelo critério das linhas, temos garantia de convergência para o método de Gauss-Jacobi.
EXEMPLO: Para o sistema linear
o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência que converge para a solução exata 
. No entanto, o critério das linhas não é satisfeito, visto que (1 = 1/1 = 1. Isto mostra que a condição do teorema é apenas suficiente.
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DEMONSTRAÇÃO:
 ( 
Estimativa inicial 
	
	
	
	
	
 
	
	
	
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EXEMPLO: A matriz A do sistema linear 
não satisfaz o critério das linhas pois 
Contudo, se permutarmos a primeira equação com a segunda, temos o sistema linear
que é equivalente ao sistema original e a matriz
deste novo sistema satisfaz o critério das linhas.
Assim, é conveniente aplicarmos o método de Gauss-Jacobi a esta nova disposição do sistema, pois desta forma a convergência está assegurada.
EXEMPLO: Resolva o sistema linear com o método de Gauss-Jacobi
	 com 
 e ( = 0,0001
Resposta: 
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