10 - Integração Numérica

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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Existem casos onde o valor de uma função f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não conhecemos a expressão analítica de f(x) não temos condição de calcular 
.
Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] é através de métodos numéricos.
A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Assim, o problema fica resolvido pela integração de polinômios.
Regra dos Trapézios
Se usamos a fórmula de Lagrange para expressar um polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
DEMONSTRAÇÃO:
Dados os pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)), n = 1
 (*)
			
em (*): 	
como x0 = 0 e x1 = h		
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Assim, 
, que é a área de um trapézio de altura h = x1 – x0 e bases f(x0) e f(x1).
Regra dos Trapézios Repetida
Como podemos ver graficamente, se o intervalo de integração é grande, a fórmula dos Trapézios nos fornece resultados que pouco tem a ver com o valor da integral exata.
O que podemos fazer neste caso é uma subdivisão do intervalo e aplicar a regra dos Trapézios repetidas vezes. Chamando xi os pontos de subdivisão de [a, b], xi tais que xi+1 – xi = h, i =0, 1, ..., m – 1 teremos
Assim,
e
Por definição, o erro resultante ao se aplicar a regra dos Trapézios Repetida é dado por:
 onde ( ( [a, b]
Sendo f´´(x) contínua em [a, b] então existe 
.
Assim, 
ou, lembrando que 
, 
EXEMPLO: Seja 
a) Calcule uma aproximação para I usando 10 subdivisões. Estime o erro cometido.
b) Qual o número mínimo de subdivisões para que o erro seja inferior a 10-3?
Solução:
a) Para 10 subintervalos teremos
h = 0,1; m = 10; x0 = 0, x1 = 0,1, x2 = 0,2, ..., x10 = 1
logo 
para f(x) = ex ( f´(x) = ex ( f´´(x) = ex 
no intervalo [a, b] temos 
 ( 
e 
b) Queremos ter
 ( 
 ( h < 0,0664
como 
 m ( 16
Regra 1/3 de Simpson
Novamente podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio de grau 2. Seja p2(x) o polinômio que interpola f(x) nos pontos x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b:
Assim,
Estas integrais podem ser resolvidas, por exemplo, usando a mudança das variáveis x – x0 = zh. Assim dx = hdz e
x = x0 + zh; então
x – x1 = x0 + zh – (x0 + h) = (z – 1)h e
x – x2 = x0 + zh – (x0 + 2h) = (z – 2)h
e, para x = x0 ; z = 0 x = x1 ; z = 1 x = x2 ; z = 2
Com esta mudança,
Resolvendo as integrais obtemos a regra 1/3 de Simpson:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
DEMONSTRAÇÃO:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Apliquemos a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [x0, xm]. Vamos supor que x0, x1, ..., xm são pontos igualmente espaçados, h = xi+1 – xi, e m é par (isto é condição necessária pois cada parábola utilizará três pontos consecutivos).
Em cada par de subintervalos, temos
 
 k =1, ..., 
Então,
Assim,
Na regra 1/3 de Simpson o erro é dado por:
 onde ( ( [a, b]
Definindo 
 temos
 ou , usando 
,
EXEMPLO: Seja 
a) Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com m = 10. Estime o erro cometido.
b) Para que valor de m teríamos erro inferior a 10-3?
Solução:
a) m = 10 h = 1/10 = 0,1
f(x) = ex ( fI(x) = ex ( fII(x) = ex ( fIII(x) = ex ( fIV(x) = ex
no intervalo [0, 1] temos 
 ( 
( 
b) Queremos ter
 ( 
 ( h < 0,50728
como 
 m ( 2
EXERCÍCIOS:
1) Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Determine com quantas divisões de intervalo, no mínimo, podemos esperar obter erros menores que 10-5.
a) 
 b) 
 c) 
 2) Calcule o valor aproximado de 
 com ( < 10-4, usando:
Trapézios
Simpson 
 
Integral Dupla
Para se obter o valor de uma integral dupla podemos aplicar sucessivamente as fórmulas de integral mostradas anteriormente.
Seja
Chamando	
				
 de G(x)
pode-se escrever:
				
Para se resolver esta integral simples, pode-se usar qualquer uma das fórmulas anteriormente vistas.
Para ilustrar o desenvolvimento, vamos utilizar a regra de Simpson.
Lembrando que:
				
 (i = 0, 1, 2, ..., n)
Para o cálculo dos n+1 valores de G(xi) pode ser utilizado qualquer método visto anteriormente.
Exemplo: Calcule o valor da integral dupla a seguir:
Chamando 
 tem-se 
Aplicando Simpson e dividindo em 4 subintervalos, temos:
 (*)
Para o cálculo de 
 para 
, onde i = 1, 2, 3, 4, utilizaremos Simpson com m = 2.
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Levando estes valores de G(xi) em (*) temos:
I = 1,00027
f(x1)
f(x0)
a = x0
p1(x)
f(x)
b = x1
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