11 - Equações Diferenciais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 1
Uma solução de uma equação diferencial ordinária é uma função da variável independente que satisfaça a equação. Assim,
i) 
 tem y(x) = aex, a ( ( como solução
ii) u´´´ = 0 é satisfeita para u(x) = p2(x), onde p2(x) é qualquer polinômio de grau 2.
Uma equação diferencial possui uma família de soluções e não apenas uma. A figura a seguir mostra uma família de soluções para 
 e de 
.
Como uma equação diferencial não possui solução única, para individualizar uma solução temos que impor condições suplementares. Em geral, uma equação de ordem m requer m condições adicionais a fimde ter uma única solução.
Se, dada uma equação de ordem m, a função, assim como suas derivadas até ordem m –1, são especificadas em um mesmo ponto, então temos um problema de valor inicial, PVI.
Se, em problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias de ordem m, m ( 2, as m condições fornecidas para busca de solução única não são todas dadas num mesmo ponto, então temos um problema de valor de contorno, PVC.
Os métodos que estudaremos a seguir se baseiam em:
dado o problema: 
construímos x1, x2, ..., xn igualmente espaçados, ou seja, h = xi+1 – xi, i = 0, 1, ..., e calculamos as aproximações yi ( y(xi) nestes pontos, usando informações anteriores.
Se, para calcular yj usamos apenas yj-1 teremos um método de passo simples. Porém, se usarmos mais valores, teremos um método de passo múltiplo.
MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
Método de Euler
Um método numérico que podemos aplicar à solução aproximada de um problema do tipo y´ = f(x, y), y(x0) = y0, é o método de Euler, que consiste em: como conhecemos x0 e y0 = y(x0), sabemos calcular y´(x0) = f(x0, y0). Assim, a reta que passa por (x0, y0) com coeficiente angular y´(x0), r0(x) é conhecida:
Escolhido 
, 
,
ou seja, 
O raciocínio é repetido com (x1, y1) e y2 = y1 + hf(x1, y1) e assim, sucessivamente, o método de Euler nos fornece:
, k = 0, 1, 2, ...
Graficamente:
Métodos de Série deTaylor
A expansão em Série de Taylor de uma função y(x) em torno de x = xn é dada por:
 (x entre xn e x
Assim,
Se yn(j) representa a aproximação para a j–ésima derivada da função y(x) em xn: y(j)(xn) e h =xn+1 – xn, teremos:
e o erro de truncamento é dado por:
Observamos que, se y(x) tem derivada de ordem (k+1) contínua num intervalo fechado I que contém os pontos sobre os quais estamos fazendo a discretização, então existe 
; assim teremos um majorante para o erro de truncamento, pois
Um método numérico é dito de ordem p se existe uma constante C tal que 
 onde C pode depender das derivadas da função que define a equação diferencial.
Portanto, os métodos de série de Taylor são de ordem k.
Para aplicar o método de Taylor de ordem k:
temos que calcular 
, 
, ..., 
Agora,
 Então
 em uma notação simplificada
Assim, por exemplo, o método de série de Taylor de 2ª ordem é
 n = 0, 1, ... (A)
Analogamente,
, em notação simplificada
Assim, 
A terceira derivada já mostra a dificuldade nos cálculos.
Consideremos o método da Série de Taylor de ordem k = 1, ou seja,
 onde 
Conforme vemos, este é o método de Euler; concluímos que o método de Euler é um método de Série de Taylor de ordem 1.
EXEMPLO: Dado o problema y´ = y, y(0) = 1. Trabalhando com quatro casas decimais, use o método de Euler para aproximar y(0,04) com ( ( 5x10-4.
Solução: Neste caso podemos verificar que a solução analítica é y(x) = ex.
O erro é dado por: 
fazendo 
teremos 
Como queremos trabalhar com pontos igualmente espaçados, podemos usar h = 0,02, pois queremos y(x) para x = 0,04.
Assim,
			x0 = 0 e y(x0) = y(0) = y0 = 1
			x1 = 0,02
			x2 = 0,04
( y(0,04) = 1,0404
EXEMPLO: Calcule y(2,1) usando a Série de Taylor de 2ª ordem para o problema
Solução:
Como não temos condições de calcular M2, não há como definir o erro cometido.
a2 > a1
a2
y(x)
x
a3
a1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
a1
a3
x
y(x)
a2
a2 > a1
r0(x)
ex
P1
x0 = 0
y0 = 1
x1 = x0 + h
y(x1) ( y1
x
y
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