12 - Equações Diferenciais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 2
MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
A idéia básicas destes métodos é aproveitar as qualidades dos métodos de Série de Taylor e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f(x, y).
Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se caracterizam pelas três propriedades:
a) são de passo um
b) não exigem o cálculo de qualquer derivada de f(x, y); pagam, por isso, o preço de calcular f(x, y) em vários pontos.
c) após expandir f(x, y) por Taylor para função de duas variáveis em torno de (xn, yn) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de Série de Taylor da mesma ordem.
Métodos de Runge-Kutta de 1º Ordem – Método de Euler
Já vimos que o método de Euler é um método de Série de Taylor de 1ª ordem:
, n = 0, 1, 2, ...
Então 
, n = 0, 1, 2, ... e o método de Euler satisfaz as três propriedades que o caracterizam como um método de Runge-Kutta de ordem 1.
Métodos de Runge-Kutta de 2ª Ordem
Veremos inicialmente o método de Heun, ou método de Euler aperfeiçoado. Este método consiste em fazer mudanças no método de Euler para assim conseguir um método de ordem mais elevada.
Dada a aproximação 
, supomos a situação em que a curva desenhada com linha cheia seja a solução y(x) da nossa equação.
Por 
 traçamos a reta L1 cujo coeficiente angular é 
, ou seja, 
Assim, dado o passo h, 
 do método de Euler, que chamamos aqui de 
. Seja 
. Por P agora, traçamos a reta L2, cujo coeficiente angular é 
:
A reta pontilhada L0 passa por P e tem por inclinação a média das inclinações das retas L1 e L2, ou seja, sua inclinação é 
A reta L passa por 
 e é paralela à L0, donde:
O valor fornecido para 
 pelo método de Euler Aperfeiçoado é 
, ou seja
 
 n = 0, 1, 2, ... (B)
Observamos que este método é de passo um e só trabalha com cálculos de f(x, y), não envolvendo suas derivadas. Assim, para verificarmos que ele realmente é um método de Runge-Kutta de 2ª ordem, falta verificar se sua fórmula concorda com a do método de Série de Taylor de 2ª ordem em h:
 (A) (Ap. 11)
com 
No método de Euler Aperfeiçoado temos de trabalhar com 
. Desenvolvendo 
 por Série de Taylor em torno de 
, temos :
OBS: Desenvolvo B e comparo com A:
com ( entre x e xn e ( entre y e yn.
Assim,
 
Então o método de Euler Aperfeiçoado fica
Esta fórmula concorda com a do método de Série de Taylor até os termos de ordem h2, provando assim ser um método de Runge-Kutta de 2ª ordem.
MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE ORDENS SUPERIORES
De forma análoga pode-se construir métodos de 3ª e 4ª ordem.
Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem
onde		
Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem
onde		
Os métodos de Runge-Kutta, apesar de serem auto-iniciáveis (pois são de passo um) e não trabalharem com derivadas de f(x, y), apresentam a desvantagem de não haver uma estimativa para o erro, o que inclusive poderia ajudar na escolha do passo h.
EXEMPLO 1: Dado: 
Encontrar y(2,1) pelo método de Euler com:
a) h =0,1		Resp. y(2,1) = 2
b) h = 0,05		Resp. y(2,1) = y2 = 2,0012195
c) h = 0,025		Resp. y(2,1) = y4 = 2,0018072
EXEMPLO 2: Dado: 
Estimar y(1) com h = 1, h = 0,5, h = 0,25 e h = 0,1 usando:
a) Método de Euler
b) Método de Euler Aperfeiçoado (Runge-Kutta de 2ª Ordem)
c) Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem, com h = 1
		Respostas:	a) h = 1	y(1) = y1 = 1040
				 h = 0,5	y(1) = y2 = 1040,4
				 h = 0,25	y(1) = y4 = 1040,604
				 h = 0,1	y(1) = y10 = 1040,7277
				b) h = 1	y(1) = y1 = 1040,8
				 h = 0,5	y(1) = y2 = 1040,808
				 h = 0,25	y(1) = y4 = 1040,8101
				 h = 0,1	y(1) = y10 = 1040,8107
				c) h = 1	y(1) = y1 = 1040,8107
EXEMPLO 3: Dado: 
Obtenha y(1) e e y(2) usando o método de Runge-Kutta de 4ª Ordem, com
a) h = 0,125	Resp. y(1) = y8 = 17,99973	y(2) = y16 = 62,99930
b) h = 0,2	Resp. y(1) = y5 = 17,99837	y(2) = y10 = 62,99577
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