13 - Equações Diferenciais

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13
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 3
MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
Os métodos de passo múltiplo usam informações sobre a solução em mais de um ponto. Vamos supor que conhecemos aproximações para y(x) em 
, 
, ..., 
 e que 
, i = 0, 1, ..., n. Os métodos de passo múltiplo descritos a seguir são conhecidos como métodos de Adams-Bashforth. A idéia é integrar a ED 
 de 
 até 
:
Deste forma:
a) Métodos Explícitos
Os métodos explícitos são obtidos quando trabalhamos com 
, 
, ..., 
 para aproximar a integral. Aproximamos 
 pelo polinômio de grau m, pm(x) que interpola 
 em 
, 
, ..., 
 e então
Se, por exemplo, esolhermos m = 3, a função 
 será aproximada pelo polinômio p3(x) que a interpola nos pontos 
, 
, 
, 
, chamando 
, j = 0, 1, 2, 3, teremos:
onde, para 
Fazendo a mudança de variáveis 
, temos dx = hdS e x = hS + xn. Então, 
; 
; 
; 
donde teremos:
Assim,
Assim, o método de passo múltiplo
é
 (1)
que é um método de passo múltiplo explícito pois, para o cálculo de 
 usaremos 
, 
, 
 e 
.
Observamos que, neste caso, precisamos de quatro valores para iniciar o método.
b) Métodos Implícitos
Os métodos implícitos são obtidos quando trabalhamos com 
, 
, ..., 
. 
O método análogo ao que vimos no item (a) é quando trabalhamos com quatro pontos; portanto, m = 2 e vamos usar 
, 
, 
, 
 da mesma forma como fizemos anteriormente:
onde
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Fazendo a mudança 
, obtemos, de maneira análoga,
Assim,
Donde
 (2)
que é um método de passo múltiplo implícito pois, no cálculo de 
 aparece 
, ou seja, a fórmula não é explícita para 
; ele aparece em 
 no segundo membro.
EXEMPLO: Seja o PVI
 ( f(x, y) = 0,04y
usando o método explícito aproxime y(2), com h = 0,2.
Solução:
A solução exata é 
, com isto temos 
, 
, 
 e 
. A partir de 
 usamos
	xn
	yn
	fn = f(xn, yn)
	x0 = 0,0
	1000
	40
	x1 = 0,2
	1008,03209
	40,32128
	x2 = 0,4
	1016,12869
	40,64515
	x3 = 0,6
	1024,29032
	40,97161
	x4 = 0,8
	1032,51750
	41,30070
	x5 = 1,0
	1040,81077
	41,63243
	x6 = 1,2
	1049,17065
	41,96683
	x7 = 1,4
	1057,59768
	42,30391
	x8 = 1,6
	1066,09239
	42,64370
	x9 = 1,8
	1074,65534
	42,98621
	x10 = 2,0
	1083,28512
	43,33140
MÉTODOS DE PREVISÃO-CORREÇÃO
As fórmulas deduzidas anteriormente por interpolação de 
 em 
 e pontos anteriores são conhecidas como fórmulas do tipo abertas.
Já as fórmulas em que também usamos 
 para construir o polinômio de interpolação de 
 são conhecidas como fórmulas fechadas.
A fórmula implícita que deduzimos é 
 e, a menos que 
 seja uma função linear, em geral não seremos capazes de resolver a expressão acima para
.
O que fazemos então é tentar obter 
 da seguinte forma iterativa:
a) Por meio de um método explícito encontramos uma primeira aproximação 
 para 
b) Calculamos então, para 
, o valor 
c) Com o valor de 
 obtido em (b) encontramos uma próxima aproximação para 
, 
, usando agora o método implícito que escolhemos
d) Voltamos para (b), onde agora calculamos, para 
, 
 e assim vamos repetindo o processo até que as duas aproximações sucessivas sejam tais que 
 onde ( é a precisão desejada
Suponhamos que para achar 
 para a fórmula implícita (2) que deduzimos, desejamos usar o método de Adams-Bashforth (1):
Quando usamos um par de fórmulas como o par acima, a fórmula explícita, tipo aberta, é chamada um previsor e a fórmula implícita, tipo fechada, é chamada um corretor.
A fórmula implícita que descrevemos é conhecida como a fórmula de Adams-Moulton de 4ª ordem.
O par previsor-corretor, dado por Adams-Bashforth e Adams-Moulton, pode ser sintetizado no algoritmo a seguir: 
ALGORITMO: Método Previsor-Corretor de Adams-Moulton
Seja o PVI
dado ( > 0, e, determinados, de alguma forma, 
, 
 e 
, para n = 3, 4, 5, ..., N, faça:
a) calcule 
, por
 			
b) calcule 
c) para k = 1, 2, ..., calcule
 			
d) continue as iterações até atingir um número máximo de iterações ou até que
Observamos que N é o número de nós que precisamos; por exemplo, se num PVI temos y(0) e queremos y(1), com h = 0,1, então N = 10.
EXEMPLO: Seja o PVI
Calcule y(1,5), com ( = 10-4 e h = 0,1.
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