md_aula9_2014_1

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3.3 – Arranjos com repetição 
 
 Vimos que o número de arranjos simples de m elementos tomados p 
a p é dado por 
 
1)p2)...(m1)(mm(mA pm, +−−−= . 
 
Caso as repetições sejam permitidas, o número total de maneiras de retirar 
p dos m elementos , distintos ou não, levando-se em conta a ordem, é igual a 
 
p
pm, m(AR) = . 
 
 
Observação 
 
O primeiro elemento pode ser retirado de m maneiras, o segundo também 
de m maneiras, e assim sucessivamente. 
 
 
 
Exemplo 3.14 
 
 Qual o total de placas de carro que podem ser construídas constando de 7 
símbolos, sendo os três primeiros constituídos por letras e os 4 últimos por 
dígitos? 
 
Solução 
 
175760000)10(26)((AR)(AR)n 4310,426,3 =⋅=⋅= . 
 
 
 
3.3 – Permutações circulares 
 
 Desejamos contar o número de maneiras possíveis de se ordenar n 
objetos distintos em torno de um círculo. 
 Consideremos 3 objetos a , b e c dispostos em torno de um círculo (Fig. 
3.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 abc acb 
 
Figura 3.1: Permutações de 3 objetos em torno de um circulo. 
 
 
A Fig. 3.1 mostra as duas maneiras possíveis de colocarmos os três 
elementos em torno do círculo. 
 
 
 
Observação 
 
 Duas configurações são idênticas quando uma pode ser obtida a partir da 
outra por uma rotação simples. 
 
 
 Consideremos todas as permutações simples dos elementos a , b e c e 
coloquemos em torno do círculo (Fig. 3.2). 
 
 
 
Figura 3.2: Permutações de 3 objetos em torno de um circulo. 
 
 
 Podemos ver que existem apenas duas permutações circulares de 3 
objetos; as outras quatro configurações podem ser obtidas de abc e acb através 
de rotações. Assim, existem 3! permutações de 3 objetos e 2 permutações 
circulares. Temos então que 
. 
2
3
!3
= 
 
No caso de 4 objetos, existem apenas 6 permutações circulares (Fig. 3.3), pois 
 
6
4
!4
=
 . 
 
 
 
 
 
Figura 3.2: Permutações de 4 objetos, dispostos em torno de um circulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 O número de permutações circulares de n objetos é igual a 
 
1)!(n
n
n!(PC)n −== . 
 
 
 
Exemplo 3.15 
 
 De quantas maneiras 8 crianças podem dar as mãos para brincar de roda? 
 
Solução 
 
50407!)!18((PC)n 8 ==−== . 
 
 
 
Exemplo 3.16 
 
 Se Pedro e Ana são duas das oito crianças do exemplo anterior, de quantas 
maneiras elas podem brincar ficando Ana e Pedro sempre lado a lado? 
 
Solução 
 
 Nesse caso temos que considerar a duas crianças como uma única pessoa, 
o que nos fornece a permutação circular com 7n = . Além disso, como eles 
podem estar lado a lado de duas maneiras diferentes, devemos multiplicar o 
resultado por 2. Assim, temos que 
 
1440!62)!17(2(PC)2n 7 =⋅=−⋅=⋅= . 
 
 
 
 
3.3 – Coeficientes binomiais 
 
 
 Chamamos binômio qualquer expressão da forma ba + . Temos que 
 
∑
=
−
=+
n
0i
inii
n
n baCb)(a . 
 
Nesta expansão, temos um termo distinto para cada i variando de 0 a n . 
 
Como 
 
nn a)(bb)(a +=+ , 
 
podemos escrever que 
 
∑
=
−
=+
n
0i
inii
n
n abCa)(b . 
 
Na expansão nb)(a + , denotamos o “i-ésimo mais um” termo por 
 
inii
n1i baCT
−
+ = . 
 
 
 
Exemplo 3.17 
 
 Calcular o quarto termo da expansão de 8x)(1+ . 
 
Solução 
 
 Temos aqui 8n x,b 1,a === e 41i =+ . Logo 3i = e 
 
53833
8134 x56x1CTT ===
−
+ . 
 
 
Segue abaixo a expansão de nb)(a + para alguns valores de n . 
 
 
 
 
1b)(a 0 =+ 
bab)(a 1 +=+ 
222 b2abab)(a ++=+ 
32233 b3abb3aab)(a +++=+ 
4322344 b4abb6ab4aab)(a ++++=+ 
543223455 b5abb10ab10ab5aab)(a +++++=+ 
65423324566 b6abb15ab20ab15ab6aab)(a ++++++=+ 
 
 Chamamos triângulo de Pascal ao triângulo formado pelos coeficientes das 
expansões acima, isto é, 
 
 1 6 15 20 15 6 1
1 5 10 10 5 1
1 4 6 4 1
1 3 3 1
1 2 1
1 1
1