MECÂNICA_DOS_FLUIDOS_-_Capitulo_05_-_1a_Parte I

Prévia do material em texto

12/10/2012
1
MECÂNICA DOS FLUIDOSMECÂNICA DOS FLUIDOSMECÂNICA DOS FLUIDOSMECÂNICA DOS FLUIDOS
CAPÍTULO 05 CAPÍTULO 05 CAPÍTULO 05 CAPÍTULO 05 ---- ANÁLISE COM VOLUME ANÁLISE COM VOLUME ANÁLISE COM VOLUME ANÁLISE COM VOLUME 
DE CONTROLE FINITODE CONTROLE FINITODE CONTROLE FINITODE CONTROLE FINITO–––– PARTE 1PARTE 1PARTE 1PARTE 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSUNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSUNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSUNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINASENGENHARIA CIVIL E DE MINASENGENHARIA CIVIL E DE MINASENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Profs. Eliane Justino Profs. Eliane Justino Profs. Eliane Justino Profs. Eliane Justino 
INTRODUÇÃO
Muitos problemas de mecânica dos fluidos podem ser resolvidos a partir
da análise do comportamento do material contido numa região finita
(volumevolumevolumevolume dededede controlecontrolecontrolecontrole).
ExemploExemploExemploExemplo::::
• Calcular a força necessária para ancorar uma turbina a jato numa
bancada de teste.
• Tempo necessário para encher um grande tanque de armazenamento
de líquido.
• Estimar a potência necessária para transferir uma certa quantidade de
água por unidade de tempo de um recipiente para outro que
normalmente apresentam elevações diferente, sistema de
funcionamento de uma bomba hidráulica.
12/10/2012
2
INTRODUÇÃO
A base do método de solução é formado por alguns princípios básicos da
FísicaFísicaFísicaFísica::::
• Conservação da massa;
• A segunda Lei de Newton;
• A primeira e a Segunda lei da Termodinâmica.
As equações adequadas para a análise de volumes de controle são
derivadas a partir das Equações que representam as Leis Básicas da
Física aplicadas a SistemaSistemaSistemaSistema, mas os problemasproblemasproblemasproblemas dededede mecânicamecânicamecânicamecânica dosdosdosdos fluidosfluidosfluidosfluidos éééé
menosmenosmenosmenos complicadacomplicadacomplicadacomplicada sesesese utilizarmosutilizarmosutilizarmosutilizarmos osososos volumesvolumesvolumesvolumes dededede controlecontrolecontrolecontrole....
Admitindo-se que as variáveis dos escoamentos estão uniformemente
distribuídas nas seções de alimentação e descarga dos volume de
controle, ou seja, o escoamento é unidimensional.
5.1 CONSERVAÇÃO DA MASSA – EQUAÇÃO DA 
CONTINUIDADE
Um sistema é definido como uma quantidade fixa e identificável de
material. Assim, o princípio de conservação da massa para um sistema
pode ser estabelecido por:
Taxa de variação temporal da massa do sistema = OTaxa de variação temporal da massa do sistema = OTaxa de variação temporal da massa do sistema = OTaxa de variação temporal da massa do sistema = O
Ou
Sendo a massa do sistema, Msis, pode ser representada por:
5.1.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
(5.2)(5.2)(5.2)(5.2)
(5.1)(5.1)(5.1)(5.1)
12/10/2012
3
A integração cobre todo o volume do sistema
(a)(a)(a)(a) (b)(b)(b)(b) (c)(c)(c)(c)
(a) Sistema e volume de controle no instante tttt –––– δδδδtttt
(b) Sistema e volume de controle no instante tttt, condição coincidente
entre sistema e volume de controle.
(c) Sistema e volume de controle no instante tttt ++++ δδδδtttt
5.1.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Volume de ControleVolume de ControleVolume de ControleVolume de Controle
O teorema de Transporte de Reynolds ao caso ilustrado, resulta em:
Ou
Quando o regimeregimeregimeregime dodododo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento éééé permanentepermanentepermanentepermanente, todas as propriedades
no campo de escoamento (i.e, a propriedade em qualquer ponto – por
exemplo, a massa específica) permanecem constantes ao longo do
tempo assim, a taxa de variação temporal da massa contida no volume
de controle é nula.
5.1.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Taxa de variação Taxa de variação Taxa de variação Taxa de variação 
temporal da massa do temporal da massa do temporal da massa do temporal da massa do 
sistema coincidentesistema coincidentesistema coincidentesistema coincidente
Taxa de variação Taxa de variação Taxa de variação Taxa de variação 
temporal da massa temporal da massa temporal da massa temporal da massa 
contida no volume contida no volume contida no volume contida no volume 
coincidente coincidente coincidente coincidente 
==== ++++
Vazão líquida da Vazão líquida da Vazão líquida da Vazão líquida da 
massa através da massa através da massa através da massa através da 
superfície de controlesuperfície de controlesuperfície de controlesuperfície de controle
(5.3)(5.3)(5.3)(5.3)
12/10/2012
4
O termo �
Obtêm-se a vazãovazãovazãovazão líquidalíquidalíquidalíquida da massa no volume de controle somando
todas as contribuições diferenciais que existem na superfície
de controle, ou seja:
5.1.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
� Vazão em volume através da área dAdAdAdA
representa o produto do componente do vetor velocidade
perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular aaaa umaumaumauma pequenapequenapequenapequena porçãoporçãoporçãoporção dadadada superfíciesuperfíciesuperfíciesuperfície dededede
controlecontrolecontrolecontrole eeee aaaa áreaáreaáreaárea diferencialdiferencialdiferencialdiferencial dAdAdAdA.
� Vazão em massa através da área dAdAdAdA
� Positivo quando o escoamento é para fora do volume de controle
� Negativo para escoamentos que alimentam o volume de controle
� Vazão em massa de saída
� Vazão em massa de entrada
(5.4)(5.4)(5.4)(5.4)
A expressão para a conservação da massa num volume de controle
também é conhecida como a EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dadadada ContinuidadeContinuidadeContinuidadeContinuidade.
Assim a Equação da Conservação da Massa Adequada a VolumeVolumeVolumeVolume dededede
ControleControleControleControle fixofixofixofixo eeee nãonãonãonão dededede deformávedeformávedeformávedeformável, para escoamento não permanente é
expressa por:
Significa que a soma da taxa de variação temporal da massa no volume
de controle com a vazão líquida de massa na superfície de controle tem
que ser nula para que a massa seja conservada.
Outra expressão utilizada para avaliação da vazão em massa, , numa
superfície de controle que apresenta área AAAA, é:
5.1.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
ρρρρ – massa específica do fluido
QQQQ – vazão em volume (m3 /s)
VVVV – é o componente do vetorvetorvetorvetor velocidadevelocidadevelocidadevelocidade
perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular aaaa áreaáreaáreaárea AAAA....(5.6)(5.6)(5.6)(5.6)
(5.5)(5.5)(5.5)(5.5)
12/10/2012
5
Logo:
Considerando que haja uma distribuição uniforme da massa específica
do fluido em cada seção de escoamento compressíveis e permitindo que
as variações de massa específica ocorram apenas de uma seção para
outra.
O valor da velocidade que deve ser utilizado é o médio do componente do
vetor velocidade normal a área que estamos analisando. O valor médio,
é definido por:
5.1.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
(5.7)(5.7)(5.7)(5.7)
Se o perfil de velocidade do escoamento é uniforme na seção transversal que
apresenta área AAAA (escoamento unidimensional), tem-se:
AAAA barrabarrabarrabarra nosnosnosnos indicaindicaindicaindica quequequeque devemosdevemosdevemosdevemos utilizarutilizarutilizarutilizar oooo valorvalorvalorvalor médiomédiomédiomédio dadadada velocidadevelocidadevelocidadevelocidade quandoquandoquandoquando aaaa
distribuiçãodistribuiçãodistribuiçãodistribuição dededede velocidadevelocidadevelocidadevelocidade nananana seçãoseçãoseçãoseção transversaltransversaltransversaltransversal nãonãonãonão éééé uniformeuniformeuniformeuniforme....
5.1.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
(5.8)(5.8)(5.8)(5.8)
12/10/2012
6
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....1111 ---- págpágpágpág....187187187187
Água do mar escoa em regime permanente no bocal cônico mostrado na Figuraabaixo. O bocal está instalado numa mangueira e esta é alimentada por uma
bomba hidráulica. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a
velocidade da seção de descarga do bocal seja igual a 20 m/s?
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Nós desejamos determinar a vazão em
volume da bomba que alimenta a
mangueira, que por sua vez, alimenta o
bocal.
Nós temos informações do escoamento
na seção de descarga do bocal e com ela
nós podemos determinar a vazão em
massa na seção de descarga.
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....1111 ---- págpágpágpág....187187187187
Deste modo, nós podemos determinar as vazões no volume de controle tracejado
apresentado na Figura abaixo. Este volume de controle contém, em qualquer
instante, a água do mar que está contida na mangueira e no bocal.
Note que o termo de referente à taxa de variação temporal da massa no volume de
controle é nulo porque o regime do escoamento é permanente.
Aplicando a Equação de volume de
controle,
É nulo (regime é É nulo (regime é É nulo (regime é É nulo (regime é 
permanentepermanentepermanentepermanente
(1)(1)(1)(1)
12/10/2012
7
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....1111 ---- págpágpágpág....187187187187
A integral da superfície da Eq. 1 envolve as vazões em massa na seção de
descarga da bomba, seção (1) e a vazão em massa na descarga do bocal, seção
(2), ou seja
De modo que
Como a vazão em massa é igual ao produto da massa específica do fluido pela
vazão em volume, temos
Nós vamos admitir que o escoamento é incompressível (pois o escoamento é de
líquido a baixa velocidade). Assim.
(2)(2)(2)(2)
(3)(3)(3)(3)
(4)(4)(4)(4)
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....1111 ---- págpágpágpág....187187187187
Combinando as Eq. 3 e 4,
Assim, a vazão em volume da bomba (tambémtambémtambémtambém conhecidaconhecidaconhecidaconhecida comocomocomocomo capacidadecapacidadecapacidadecapacidade dadadada
bombabombabombabomba) é igual a vazão em volume na seção de descarga do bocal.
Se, por simplicidade, nós admitirmos que o escoamento é unidimensional na
seção de descarga do bocal, a combinação das equações 5, 5.6 e 5.8 fornece:
(5)(5)(5)(5)
12/10/2012
8
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....2222 -------- págpágpágpág.... 188188188188
A Figura abaixo mostra um escoamento de ar num trecho longo e reto de uma
tubulação que apresenta diâmetro interno igual a 102 mm. O ar escoa em regime
permanente e as distribuições de temperatura e pressão são uniformes em todas
as seções transversais do escoamento. Calcule a velocidade média do ar na seção
(1) sabendo que a velocidade media do ar (distribuição não uniforme de
velocidade) na seção (2) é de 300 m/s.
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....2222 -------- págpágpágpág.... 188188188188
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
A velocidade média do escoamento em qualquer seção pode ser calculada com a
Eq. 5.7, ou seja, é igual a vazão em massa dividida pelo produto da massa
específica do fluido na seção com a área da seção de escoamento. Nós vamos
relacionar os escoamentos na seção (1) e (2) com o volume de controle mostrado
na Figura anterior.
Aplicando a Eq. 5.5 neste volume de controle,
É nulo (regime é 
permanente
12/10/2012
9
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....2222 -------- págpágpágpág.... 188188188188
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Note que o termo referente a taxa de variação temporal da massa no volume de
controle é nulo, porque o regime do escoamento é permanente. A integral da
superfície desta equação envolve as vazões em massa nas seções (1) e (2).
Aplicando a Eq. 5.4, tem-se:
Combinando as Eqs. 1, 5.6 e 5.7,
Visto que AAAA1111 ==== AAAA2222, tem-se
(1)(1)(1)(1)
(2)(2)(2)(2)
(3)(3)(3)(3)
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....2222 -------- págpágpágpág.... 188188188188
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
O ar, nas faixas de temperatura e pressão deste problema, pode ser modelado
como um gás perfeito. A equação de estado para um gás perfeito é:
Combinando as Eqs. 3 e 4,
Nós vimos, neste exemplo, que a equação da conservação da massa (equação da
continuidade, Eq. 5.5) é válida tanto para escoamentos compressíveis quanto
incompressíveis e que é possível trabalhar com perfis de velocidade não uniformes
se utilizarmos o conceito de velocidade média.
(4)(4)(4)(4)
12/10/2012
10
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....3333 ---- págpágpágpág.... 189189189189
O desumidificador mostrado na figura abaixo é alimentado com 320 kg/h de ar
úmido (uma mistura de ar seco com vapor d’água). A vazão em massa de água
líquida retirada do equipamento é 7,3 kg/h. Determine a vazão em massa de ar
úmido na seção de descarga do desumidificador – seção (2).
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....3333 -------- págpágpágpág.... 189189189189
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
A incógnita do problema, a vazão em massa na seção (2), é função das vazões em
massa nas seções (1) e (3) para o volume de controle mostrado na Figura anterior.
Note que o volume de controle contém uma mistura de ar e vapor de d’água e o
condensado (água líquida) no desumidificador.
O volume de controle não engloba o ventilador, o motor e a serpentina de
refrigeração.
Nós vamos admitir que o regime de escoamento no equipamento é o permanente
mesmo sabendo que o escoamento na região próxima do ventilador não é
permanente (ele é periódico).
Desde modo, as vazões em volume nas seções (1), (2) e (3) serão constantes e a
taxa de variação temporal da massa contida no volume de controle, em média,
pode ser considerada nula.
12/10/2012
11
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....3333 -------- págpágpágpág.... 189189189189
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Aplicando as Eqs. 5.4 e 5.5 ao volume de controle mostrado na figura resulta em:
Ou
Note que a Eq. 5.5 pode ser utilizada em volumes de controle que apresentam
várias seções de alimentação e descarga.
A mesma resposta seria obtida se utilizássemos um outro volume de controle. Por
exemplo, se nós escolhêssemos um volume de controle que também englobasse a
serpentina de refrigeração, a equação da continuidade ficaria da seguinte forma:
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....3333 -------- págpágpágpág.... 189189189189
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Onde: e são as vazões em massa de fluido refrigerante nas seções de
alimentação e descarga da serpentina de refrigeração. Como o equipamento opera
em regime permanente, estas vazões em massa são iguais e, assim, a Eq. 1
fornece um resultando igual aquele obtido com o volume de controle original.
12/10/2012
12
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....4444 –––– pagpagpagpag.... 190190190190
A Figura abaixo mostra o desenvolvimento de um escoamento laminar de água num
tubo reto (raio R). O perfil de velocidade na seção (1) é uniforme com velocidade UUUU
paralela ao eixo do tubo. O perfil de velocidade na seção (2) é axissimétrico,
parabólico, com velocidade nula na parede do tubo e velocidade máxima, uuuumaxmaxmaxmax, na
linha de centro do tubo. Qual é a relação que existe entre UUUU e uuuumaxmaxmaxmax? Qual é a relação
que existe entre a velocidade média na seção (2),
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....4444 ---- pagpagpagpag.... 190190190190
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Aplicando a Eq. 5.5 no volume de controle mostrado nafigura resulta em
Avaliando as integrais de superfície nas seções (1) e (2), temos
Os componentes dos vetores velocidade na seção (2), VVVV, são perpendiculares a seção
e serão denotados por uuuu2222. Já o elemento diferencial da área, dAdAdAdA2222, é igual a 2222πrdrrdrrdrrdr.
Aplicando estes resultados na Eq. (1),
(1)(1)(1)(1)
(2)(2)(2)(2)
12/10/2012
13
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....4444 ---- pagpagpagpag.... 190190190190
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Nós vamos admitir que o escoamento é incompressível, ou seja, ρ1 = ρ2. Aplicando o
perfil parabólico de velocidade da seção (2) na integral da Eq. (2).
Integrando,
ou
(3)(3)(3)(3)
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....4444 ---- pagpagpagpag.... 190190190190
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Como o escoamento é incompressível, a Eq. 5.8 mostra que UUUU é a velocidade média
em todas as seções transversais do tubo. Assim, a velocidade média na seção (2),
VVVV2222, é igual a metade da velocidade máxima, ou seja,
12/10/2012
14
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....5555 ---- pagpagpagpag.... 191191191191
A banheira retangular mostrada na Figura abaixo está sendo enchida com água
fornecida por uma torneira. A vazão em volume na torneira é constante e igual a
2,0 m3 /s. Determine a taxa de variação temporal da profundidade da água na
banheira, ∂h/ ∂t, em m/min.
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....5555 ---- pagpagpagpag.... 191191191191
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Nós utilizaremos o volume de controle indeformável indicado na Figura anterior. Este
volume de controle contém, em qualquer instante, a água acumulada na banheira, a
água do jato descarregado pela torneira e ar. A aplicação das Eqs. 5.4 e 5.5 a este
volume de controle resulta em
Note que, isoladamente, a taxa de variação temporal da massa de ar e a de água não
são nulas. Entretanto, a massa de ar precisa ser conservada, ou seja, a taxa de
variação temporal da massa de ar no volume de controle precisa ser igual ao fluxo de
massa que sai do volume de controle.
12/10/2012
15
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....5555 ---- pagpagpagpag.... 191191191191
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Para simplificar o exemplo nós vamos admitir que não ocorre vaporização de água no
volume de controle. Aplicando as Eqs. 5.4 e 5.5 para o ar contido no volume de
controle, temos:
Aplicando as mesmas equações a água contida no volume de controle,
A taxa de variação temporal da água no volume de controle pode ser calculada do
seguinte modo:
(1)(1)(1)(1)
(2)(2)(2)(2)
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ExemploExemploExemploExemplo 5555....5555 ---- pagpagpagpag.... 191191191191
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Onde AAAAjjjj é a área da seção transversal do jato d’água. Combinando as Eqs. 1 e 2
Assim,
Se AAAAjjjj << 0000,,,,9999 m²m²m²m² nós podemos concluir que:
12/10/2012
16
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
ESCOAMENTOESCOAMENTOESCOAMENTOESCOAMENTO TRANSITÓRIOTRANSITÓRIOTRANSITÓRIOTRANSITÓRIO CÍCLICOCÍCLICOCÍCLICOCÍCLICO
O exemplo anterior trata-se de um escoamento transitório cíclico
Quando o escoamento é transitório, a taxa de variação instantânea da massa contida
no volume não é necessariamente nula e pode ser uma variável importante.
Muitos escoamentos transitórios cíclicos podem ser considerados como permanente
em média.
• Se �
• Se �
A quantidade de massa contida no volume
de controle aumenta.
A quantidade de massa contida no volume
de controle diminui.
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
No escoamentoescoamentoescoamentoescoamento uniformementeuniformementeuniformementeuniformemente distribuído numa seção de escoamento localizada na
superfície de controle (escoamento unidimensional), tem-se:
VVVV – módulo uniforme da componente vetor velocidade de normal a área da seção de
escoamento.
No EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento nãonãonãonão uniformeuniformeuniformeuniforme
Se o volume de controle só apresenta uma seção de alimentação (1) e outra de
descarga (2),
Além disso se o escoamento for incompressível, tem-se:
12/10/2012
17
5.1.2 EXEMPLO DE VOLUME FIXO E INDEFORMÁVEL 
Se o regime dos escoamentos associados a um volume de controle que apresenta
várias seções de entrada (alimentação) e saída (descarga) é o permanente:
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
Analisa problemas utilizando um volume de controle indeformável solidário a um
referencial móvel.
ExemplosExemplosExemplosExemplos::::
• Escoamentos em Turbinas de avião
• Escoamentos em chaminés de navios
• Escoamentos em tanques de combustível de automóvel em movimento
Nós mostramos na seção 4.4.6 que a velocidade do fluido em relação ao volume de
controle móvel (velocidade relativa) é uma variável importante na análise de
escoamentos em volumes de controle móveis, onde:
WWWW – velocidade relativa, que é a velocidade do fluido vista por um observador
solidário ao volume de controle.
VVVVvcvcvcvc – velocidade do volume de controle que é a velocidade do volume de controle
detectada por um observador solidário a um sistema de coordenadas fixo.
VVVV – velocidade absoluta do fluido, que é a velocidade do fluido detectado por um
observador imóvel solidário ao sistema de coordenadas fixo.
12/10/2012
18
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
Estas velocidades estão relacionadas pela seguinte equação vetorial:
Equação do Teorema de Transporte de Reynolds:
Mantendo a conservação da massa, tem-se:
5.165.165.165.16
5.155.155.155.15
5.145.145.145.14
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....6666 –––– págpágpágpág.... 193193193193
O avião esboçado na Figura abaixo voa a 971 km/h. A área da seção frontal de
alimentação de ar da turbina é igual a 0,8 m² e o ar, neste local, apresenta massa
específica igual a 0,736 kg/m³. Um observador solidário ao solo detecta que a
velocidade dos gases de exaustão é igual a 1050 km/h. A área da seção transversal
de exaustão da turbina é 0,585 m² e a massa específica destes gases é
0,515 kg/m³. Estime a vazão em massa de combustível utilizada nesta turbina.
12/10/2012
19
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
Exemplo 5.6 - pág. 193
Solução:
Utilizando um volume de controle que se move solidário ao avião e que engloba
toda a turbina (figura anterior). A aplicação da Eq. 5.16 a este volume de controle
resulta em
O primeiro termo da equação é nulo porque nós vamos considerar que o
regime do escoamento em relação ao volume de controle móvel é, em
média, permanente. Nós podemos avaliar a integral de superfície da Eq. 1 se
admitirmos que o escoamento é unidimensional. Deste modo,
(1)(1)(1)(1)
(2)(2)(2)(2)
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....6666 ---- págpágpágpág.... 193193193193
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Nós vamos considerar que a velocidade de admissão de ar em relação ao volume de
controle móvel, WWWW1111, é igual a velocidade do avião (971 km/h). A velocidade dos gases
de exaustão em relação ao volume de controle móvel, WWWW2222, também precisa ser
avaliada.
Como o observador fixo detectou que a velocidade dos gases de exaustão da turbina
é igual a 1050 km/h, a velocidade destes gases em relação ao volume de controle
móvel é dada por:
Aplicando a Eq. 2
12/10/2012
20
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....6666 ---- págpágpágpág.... 193193193193
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Note que a vazão em massa de combustível foi calculada pela diferença de dois
valores bastantegrandes e muito próximos.
Assim, é necessário conhecer com precisão os valores de WWWW2222 e WWWW1111 para que seja
possível obter um valor razoável para
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....7777 ---- págpágpágpág.... 195195195195
A vazão de água no irrigador rotativo de jardim mostrado na figura abaixo é de
1000ml/s. Se a área da seção de descarga de cada um dos bocais do irrigador é
igual a 30 mm², determine a velocidade da água que deixa o irrigador em relação ao
bocal se (a) a cabeça do irrigador está imóvel, (b) a cabeça do irrigador apresenta
rotação de 600 rpm, (c) a cabeça do irrigador acelera de 0 a 600 rpm.
12/10/2012
21
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....7777 ---- págpágpágpág.... 195195195195
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
Nós vamos utilizar o volume de controle indicado na figura (ele contém toda a água
localizada na cabeça do dispositivo).
Este volume de controle é indeformável e é solidário a cabeça do irrigador. A
Aplicação da Eq. 5.16 neste volume de controle – válida para os três casos descritos
na formulação do problema – resulta em:
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....7777 ---- págpágpágpág.... 195195195195
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
O primeiro termo da equação é nulo porque o regime de escoamento é o permanente
– tanto para o caso (a) quanto para os casos (b) e (c) – para um observador solidário
à cabeça do dispositivo.
De outro lado, a cabeça do irrigador está sempre cheia de água e, deste modo, a taxa
de variação da massa de água contida na cabeça do irrigador é nula. Assim.
Ou
Como
Segue que
12/10/2012
22
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....7777 ---- págpágpágpág.... 195195195195
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução::::
O valor de WWWW2222 independe da velocidade angular da cabeça do irrigador e representa a
velocidade média da água descarregada nos bocais em relação ao bocal (esta
conclusão é válida para os casos (a), (b) e (c)).
A velocidade da água descarregada em relação a um observador estacionário (i.e.,
VVVV2222) variará com a velocidade angular da cabeça do irrigador porque:
Onde U é a velocidade do bocal em relação ao observador estacionário
(igual ao produto da velocidade angular da cabeça do irrigador pelo raio da
cabeça do dispositivo).
O valor da velocidade do volume de 
controle é negativo porque, este 
volume gira em sentido contrário do 
fluido descarregado.
A convenção do produto escalar continua a mesma quando nós trabalhamos com
volumes de controle móveis e indeformáveis.
Note que a taxa de variação da massa no volume de controle é nula quando o
escoamento no volume de controle móvel é em regime permanente, ou
permanente em média, eeee quequequeque devemosdevemosdevemosdevemos utilizarutilizarutilizarutilizar asasasas velocidadesvelocidadesvelocidadesvelocidades vistasvistasvistasvistas porporporpor umumumum
observadorobservadorobservadorobservador solidáriosolidáriosolidáriosolidário aoaoaoao volumevolumevolumevolume dededede controlecontrolecontrolecontrole (velocidades(velocidades(velocidades(velocidades relativas)relativas)relativas)relativas) nananana equaçãoequaçãoequaçãoequação dadadada
continuidadecontinuidadecontinuidadecontinuidade....
As velocidades absoluta e relativa estão relacionadas por uma equação vetorial
(Eq. 5.14) que envolve a velocidade do volume de controle.
5.1.3 VOLUME DE CONTROLE INDEFORMÁVEL E MÓVEL
12/10/2012
23
Utilização de um volume de controle deformável pode simplificar, algumas vezes,
a solução de um problema.
Como o tamanho de um volume de controle deformável varia, a superfície de
controle se movimenta.
Considerando o Teorema de Reynolds:
A taxa de variação da massa contida no volume de controle normalmente não é
nula, ou seja,
E precisa ser calculada cuidadosamente porque a fronteira do volume de controle
varia com o tempo.
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
(5.17)(5.17)(5.17)(5.17)
Já o termo:
Precisa ser calculado com a velocidade do escoamento em relação a superfície
de controle, WWWW.
Como o volume de controle é deformável, a velocidade da superfície de controle
não é necessariamente uniforme e precisa ser determinada cuidadosamente.
Assim para um volume de controle deformável ,
Onde:
Vvc – é a velocidade do volume de controle detectada por um observador fixo.
W – velocidade relativa, velocidadevelocidadevelocidadevelocidade detectadadetectadadetectadadetectada porporporpor umumumum observadorobservadorobservadorobservador solidáriosolidáriosolidáriosolidário aoaoaoao
volumevolumevolumevolume dededede controlecontrolecontrolecontrole. deve ser determinada cuidadosamente.
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
12/10/2012
24
ExemploExemploExemploExemplo 5555....8888 ---- págpágpágpág.... 196196196196
A figura abaixo mostra o esquema de uma seringa utilizada para vacinar bois. A
área da seção transversal do êmbolo é de 500 mm². Qual deve ser a velocidade
do êmbolo para que a vazão de líquido na agulha seja igual a 300 cm³/minuto?
Admita que ocorre um vazamento de líquido entre o êmbolo e a seringa com a
vazão igual a 10% daquela na agulha.
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
ExemploExemploExemploExemplo 5555....8888 ---- págpágpágpág.... 196196196196
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução:::: O volume de controle escolhido para resolver este problema está
indicado na Figura anterior. A seção (1) do volume de controle se movimenta com
o êmbolo.
A área da seção (1), AAAA1111, vai ser considerada igual a área da seção transversal do
êmbolo, AAAApppp. Esta consideração não é verdadeira devido a presença de vazamento
entre o êmbolo e a seringa.
Entretanto, normalmente, esta diferença é pequena e assim,
O líquido também deixa a seringa pela seção (2) que apresenta área da seção
transversal igual a AAAA2222. Aplicando a Eq. 5.17 neste volume de controle resulta em
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
(1)(1)(1)(1)
(2)(2)(2)(2)
12/10/2012
25
ExemploExemploExemploExemplo 5555....8888 ---- págpágpágpág.... 196196196196
Mesmo que Qvaz e o escoamento na seção (2) sejam permanentes, a taxa de
variação temporal da massa de líquido no volume de controle não é nula,
porque o volume de controle está ficando cada vez menor. A massa de
líquido contido no volume de controle é dada por,
Onde l é o comprimento variável do volume de controle, como mostra a
figura, e ϑ
 ϑ ϑ ϑagulha é o volume interno da agulha. Derivando a Eq. 3, obtemos:
Note que
Onde: VVVVpppp – velocidade do êmbolo
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
(3)(3)(3)(3)
(4)(4)(4)(4)
(5)(5)(5)(5)
ExemploExemploExemploExemplo 5555....8888 ---- págpágpágpág.... 196196196196
Combinando as Eqs. 2, 4 e 5
Lembrando que:
Pode-se reescrever a Eq. 6 do seguinte modo:
Isolando o termo VVVVpppp,
Como QQQQvvvvazazazaz ==== 0000,,,,1111 QQQQ2222 ,
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
(6)(6)(6)(6)
(7)(7)(7)(7)
(8)(8)(8)(8)
(9)(9)(9)(9)
12/10/2012
26
ExemploExemploExemploExemplo 5555....9999 ---- págpágpágpág.... 197197197197
Resolva o Exemplo 5.5 utilizando um volume de controle deformável que só
contém a água acumulada na banheira.
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução:::: A Eq. 5.17 aplicada a este volume de controle deformável resulta em
O primeiro termo da Eq. 1 pode ser avaliado do seguinte modo
O segundo termo da Eq. 1 é igual a
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL
(1)(1)(1)(1)
(2)(2)(2)(2)
(3)(3)(3)(3)
ExemploExemploExemploExemplo 5555....9999 ---- págpágpágpág.... 197197197197
Onde AAAAjjjj é a área da seção transversal do jato descarregado pela torneira e VjVjVjVj é a
velocidade da água no jato.
Combinando as Eqs. 1, 2 e 3, obtemos:
Se AjAjAjAj <<<<<<<< 0000,,,,9999 m²m²m²m²,
5.1.4 VOLUMEDE CONTROLE DEFORMÁVEL
12/10/2012
27
ExemploExemploExemploExemplo 5555....9999 ---- págpágpágpág.... 197197197197
Nós mostramos que é razoavelmente fácil aplicar o princípio de conservação da
massa ao conteúdo do volume de controle.
A escolha apropriada de um tipo de volume de controle (fixou ou indeformável,
móvel e indeformável ou deformável) pode tornar mais simples o processo de
solução de um problema.
Normalmente, é interessante localizar a superfície de controle perpendicular ao
escoamento (nas regiões onde existe escoamento).
5.1.4 VOLUME DE CONTROLE DEFORMÁVEL