Lista de Exercicios Vibrações

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FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ 
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA 
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT 
VIBRAÇÃO 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 
 
UNIDADE III - Vibração excitada harmonicamente 
(10 h/a) 
 
03.01 - Introdução; 
03.02 - Equação do Movimento; 
03.03 - Resposta de um sistema não amortecido a uma força harmônica; 
03.04 - Resposta de um sistema amortecido a movimento harmônico de base; 
03.05 - Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo; 
03.06 - Vibração forçada com amortecimento Coulomb; 
03.07 - Vibração forçada com amortecimento por histerese; 
03.08 - Análise de estabilidade. 
 
1-) Um motor que pesa 200 kg é suportado por quatro molas, cada uma tendo 
uma constante de 150 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a um 
peso de 30 g localizado a 15 cm do eixo de rotação. Sabendo que o motor é 
restringido a mover-se verticalmente, determine: (a) a rotação em rpm na qual 
ocorrerá ressonância, (b) a amplitude da vibração do motor a uma rotação de 
1.200 rpm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-) [ENADE ADAPTADO] Em um ensaio de resposta em frequência de uma 
suspensão veicular, foi realizada uma varredura em frequência, tendo sido o 
sistema excitado com uma força do tipo F = Fo.cos(ωt). Para cada frequência 
com que se excitou a estrutura, mediu-se o deslocamento x(ω), resultando no 
gráfico de resposta de frequência mostrado a seguir. 
 
 
Modelando a suspensão como um sistema massa-mola de um grau de liberdade, 
a equação matemática para a resposta em frequência é 
 
 
 
em que k, c e m são os parâmetros que caracterizam a estrutura, a saber, 
constante elástica, amortecimento e massa, respectivamente. Analisando-se o 
gráfico e usando a equação da resposta em frequência, é possível identificar o 
valor da frequência de ressonância da estrutura (ωn) e calcular os parâmetros k, 
c, e m. 
 
Nessa situação, responda: 
 
a-) qual o valor da frequência natural? 
 
b-) se k = 5 000 N/m; m = 34,72 kg, qual o valor do coeficiente de amortecimento. 
3-) 
 
 
O desenvolvimento de modelos matemáticos é de fundamental importância para 
a análise dinâmica das máquinas. O sistema vibratório amortecido mostrado na 
figura acima apresenta coeficiente de rigidez k, coeficiente de amortecimento c, 
massa m e representa um sistema de um grau de liberdade que apresentará 
movimento vertical a partir de sua linha de equilíbrio estático, com coordenada 
generalizada x (t). O movimento acontecerá por meio de um desbalanceamento 
rotativo (m˳ ∙ h), sendo m˳ a massa desbalanceada e h a distância de m˳ ao 
centro de rotação. Observa-se que a massa m do sistema inclui o desequilíbrio 
m˳. O sistema apresenta frequência de excitação de 600 rpm. Dados: m = 10 kg, 
k = 120 N/m, c = 50 N∙s/m, (m˳ ∙ h) = 0,01 kg∙m. 
Ache a equação de movimento diferencial e a frequência natural do sistema, em 
rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-) O motor elétrico na figura abaixo está apoiado sobre 4 molas, cada uma com 
rigidez de 200 N/m. Considerando o rotor não balanceado, de modo que seu 
efeito seja equivalente a uma massa de 4 kg localizada a 60 mm do eixo de 
rotação, determine a amplitude de vibração para o rotor girando a 
 
10 rad/s. 
O fator de amortecimento é c/cc=0,15. Considere a massa do motor 30 kg. 
 
5-) Uma bomba alternativa, pesando 70 kg, está montada no meio de uma placa 
de aço de espessura igual a 0,0127 m, largura igual a 0,508 m, e comprimento 
igual a 2,54 m, engastada ao longo de dois lados, como mostra a figura abaixo. 
Durante a operação da bomba, a placa está sujeita a uma força harmônica F(t) 
= 220 cos 62,8t N. Encontrar a amplitude de vibração da placa. 
 
Dados: 
E=2,068.1011 N/m2 
6-) A figura abaixo mostra um modelo simples de um veículo que pode vibrar na 
direção vertical quando trafega por uma estrada irregular. O veículo tem uma 
massa de 1200 kg. O sistema de suspensão tem uma constante de mola de 400 
kN/m e um fator de amortecimento de 0,5. Se a velocidade do veículo é 100 
km/h, determinar a amplitude de deslocamento do mesmo. A superfície da 
estrada varia senoidalmente com uma amplitude de 0,05 m e um comprimento 
de 6 m. 
 
7-) O diagrama esquemático de uma turbina de água tipo Francis está mostrado 
na Figura abaixo, na qual a água flui de A para as lâminas B e caem no conduto 
C. O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kg.mm. 
A folga radial entre o rotor e o estator é 5 mm. A turbina opera na faixa de 
velocidades entre 600 e 6000 rpm. O eixo de aço que suporta o rotor pode ser 
assumido como engastado nos mancais (livre para girar). Determinar o diâmetro 
do eixo de forma que o rotor não entre em contato com o estator em todas as 
velocidades de operação da turbina. Assumir que o amortecimento é pequeno. 
Assumir também que o limite de segurança é de 
20%
 sobre a velocidade de 
rotação. 
 
Dados: 
E=2,068.1011 N/m2 
Link Mostrando Aplicação da Turbina Francis para Geração de Energia: 
https://www.youtube.com/watch?v=JD4VkzHk6rk 
3-) Redução da Vibração em Assentos de Helicópteros 
O assento de um helicóptero, com piloto, pesa 1.000 N e tem deflexão estática 
conhecida de 10 mm sob o próprio. A vibração do rotor representa um movimento 
harmônico com 4 Hz de frequência e 0,2 mm de amplitude. 
 
Determine: 
 
a-) a massa do assento (Nota: assento + piloto) 
1000
101,9368
9,81
P
m kg
g
  
 
 
b-) a constante de rigidez k do assento 
51000 10 /
0,01
P
k N m

  
 
 
c-) a frequência em rad/s no assento 
410
31,3209
101,9368
x
k
rad s
m
   
 
 
d-) a frequência 
nf
 em Hertz no assento 
31,3209
4,9849
2. 2.
x
xf Hz

   
 
 
e-) a razão entre as frequências de vibração do assento em relação a frequência 
de vibração transmitida do rotor 
4,9894
1,2462
4
x
y
r


  
 
 
f-) a amplitude de vibração sentida pelo piloto (ou seja, representa o blobo de 
massa m da modelagem do movimento de base) 
Usando a eq. (9), X=0,3616mm 
 
g-) a velocidade sentida pelo piloto em relação ao assento. 
2 . . 2 .4,9849.0,3616 11,32 /xV f X mm s    
 
h-) a aceleração sentida pelo piloto em relação ao assento. 
   
2 2 22 . . 2 .4,9849 .0,3616 354,7326 /xa f X mm s    
 
i-) de acordo com o nomograma, haverá conforto para o piloto? 
Não, pois o padrao aceito é 0,1 a 1 mm/s (velocidade) e 0,01 m/s2 (aceleração), 
conforme visto no nomograma de vibração. 
 
Anexo – Nomograma da Vibração 
 
Frequência (Hz) 
 
 
GABARITO 
1-) a-) 
523n f rpm  
 b-) x= - 0,028 mm 
2-) 52,08 N.s/m 
3-) 
 
4-) 10,7 mm 
5-) X=3,33.10-3 m 
Observação. Use: 
 
 
6-) 
0,043X m
 
7-) d=0,44 m (rotação maior) ; d=0,113 m (rotação menor) 
Observação. Use: