Apostila PO - UFMG

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Universidade Federal de Minas Gerais 
Faculdade de Ciências Econômicas 
Departamento de Ciências Administrativas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Ana Lúcia Miranda Lopes, Dra. Eng. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2014 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
4 
SUMÁRIO 
 
1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional......................................................................................... 5 
1. 2. Aplicações da Pesquisa Operacional ......................................................................................... 7 
2 Programação Linear: modelagem ......................................................................................... 8 
2.1. Introdução ................................................................................................................................ 8 
2.2. Construção de um Modelo de Programação Linear .................................................................... 8 
2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão ............................................................................... 8 
2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; ....................................................................... 10 
2.2.4. Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. ................................................................ 11 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 24 
ESTUDOS DE CASO .......................................................................................................................... 35 
ANEXO 3: Como utilizar o Solver/Excel para resolver problemas de programação linear (PL) . 37 
3. . Resolução de um Modelo de Programação Linear: Solução Gráfica .................................. 43 
3.1 Introdução ............................................................................................................................... 43 
3.2. Resolvendo um Modelo Linear através do Método Gráfico ...................................................... 45 
3.2.1. Construindo o gráfico representativo das restrições .............................................................. 45 
3.2.2. Obtendo a Solução Ótima ...................................................................................................... 49 
3.3. Programas Lineares Inviáveis .................................................................................................. 52 
3.4 Programas Lineares Ilimitados ................................................................................................. 53 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 55 
4. Programação Linear: Interpretando os Resultados ............................................................ 57 
4.1. Forma Padrão ......................................................................................................................... 57 
4.1.1. Convertendo uma desigualdade em uma igualdade............................................................... 58 
4.1.1. Convertendo uma função objetivo para maximização............................................................ 60 
4.2. Interpretando os resultados .................................................................................................... 60 
4.2.1. Relatório de Resposta............................................................................................................ 61 
4.2.2. Relatório de sensibilidade I .................................................................................................... 63 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 69 
5. Programação Linear Inteira e Binária ................................................................................ 77 
5.1. Programação Linear Inteira e Binária ....................................................................................... 77 
5.2. Programação Linear Inteira Mista (PLIM) ................................................................................. 81 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 82 
 
 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
5 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Devo investir meu excedente de caixa em fundos cambiais, poupança, ações, ou outros? 
Como devo balançar meu investimento para obter o maior retorno possível a um risco aceitável? 
 
Quanto devo produzir dos produtos A, B e C para obter um lucro máximo, satisfazendo as 
restrições de horas-homem, matéria prima e capacidade das máquinas? 
 
Dada a produção de determinado produto em várias fábricas. Quanto de produto devo mandar de 
cada fábrica para cada ponto de varejo de modo a minimizar meu custo de transporte? 
 
Dada uma série de possibilidades de localização para determinada fábrica e um conjunto de 
restrições, qual local devo escolher? 
 
 
Se você estivesse diante de um dos problemas listados acima. Como resolveria? 
Estes são problemas do dia a dia das organizações e que, muitas vezes, são resolvidos com base na 
intuição e experiência de seus administradores. 
Nesta disciplina veremos como a ciência denominada Pesquisa Operacional pode contribuir para 
ajudar as empresas em tomadas de decisão como estas. 
 
 
 
1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional 
 
A pesquisa operacional (Operations Research ou Management Science) teve seu surgimento durante 
a 2a. guerra mundial. Guerras, na maior parte das vezes, traz junto consigo a necessidade de conviver-se 
com toda sorte de carência de recursos. Foi por esta razão que os militares ingleses (British Air Force) 
formaram o primeiro grupo para o estudo das melhores condições de aproveitamento dos recursos 
disponíveis. Este grupo estudou a aplicação de métodos quantitativos com o objetivo de melhorar a 
eficiência das forças de guerra da armada inglesa. Foi então denominado de grupo de Operations 
Research (pesquisa operacional) e vem daí, então, o nome da ciência tão amplamente utilizada hoje em 
dia. Naquele momento o grupo de PO iniciou a trabalhar em problemas relacionados ao abastecimento 
das tropas, táticas de defesa e ataque aéreo e marítimo. A principal aplicação daquela época que se tem 
notícia foi na área de detecção de aviões inimigos através de radar. Dizem, hoje, que esta foi a grande 
arma dos britânicos que levou-os a vencer a batalha aérea na Grã-Bretanha. 
Logo após a criação do grupo de PO inglês, e como não poderia deixar de ser, os americanos 
formaram um grupo semelhante. 
Depois da 2a. guerra mundial os cientistas e administradores de empresas vislumbraram a 
possibilidade de aplicação das técnicas de PO utilizadas na guerra para a resolução de problemas dentro 
das empresas. Modelos foram pesquisados e desenvolvidos para a resolução de problemas nas áreas de 
planejamento da produção, planejamento agrícola, transporte de mercadorias, “scheduling” de refinarias 
de petróleo, entre outros. 
 
O que é Pesquisa Operacional? 
 
A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo 
como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção, 
planejamento ou operação de sistemas para atingir seus objetivos. Através de desenvolvimentos de base 
quantitativa, a Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade 
nos processos de tomada de decisão sem descuidar, no entanto, dos elementos subjetivos e de 
enquadramentoorganizacional que caracterizam os problemas. 
(http://www.sobrapo.org.br). 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
6 
É, portanto, uma ciência aplicada formada por um conjunto de técnicas quantitativas que tem como 
objetivo a determinação da melhor maneira de aproveitamento de recursos, por vezes, escassos. É 
particularmente pertinente em problemas complexos cujo alcance dos objetivos enfrentam restrições tais 
como: técnicas, econômica, temporal, de mão de obra, de demanda, etc. 
Aliado ao uso dos métodos quantitativos tem-se o uso de softwares eficientes para a resolução dos 
problemas decisórios (LINDO, What´s Best, Solver do Excel, etc...). 
Com a disseminação dos computadores observada nas últimas décadas tem-se podido trabalhar com 
grandes volumes de dados sobre as atividades das empresas tornando a representação do problema 
decisório cada vez mais próxima da realidade e fazendo com se observe o uso da PO em um grande 
número de empresas. 
Com a globalização a utilização eficiente dos recursos disponíveis é vital para as empresas. Utilizar-
se tudo o que se tem disponível, através da ciência, experiência, etc.. para a melhoria da eficiência da 
empresa é de extrema relevância para a sobrevivência das mesmas em um mercado cada vez mais 
competitivo e pode significar a manutenção desta no mercado ou não. 
A utilização de métodos quantitativos para resolução de problemas decisórios envolve, 
normalmente, muitas pessoas dentro da organização. Todos os aspectos relevantes do problema 
precisam ser identificados e mapeados. 
O processo da aplicação das técnicas de pesquisa operacional envolve uma seqüência de passos 
que podem ser ilustrados na figura que segue: 
Figura 01 – Seqüência de Desenvolvimento de um Modelo de PO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Implementação dos 
Resultados 
 
 
Definição do 
Problema 
Levantamento 
dos dados 
necessários 
Desenvolvimento 
do Modelo 
Matemático 
Desenvolvimento 
da Solução do 
Modelo 
o 
Testando a 
solução 
Análise dos Resultados e 
análise de sensibilidade 
Formulação 
Interpretação 
Solução 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
7 
1. 2. Aplicações da Pesquisa Operacional 
 
As técnicas de PO são aplicadas a uma ampla variedade de problemas decisórios que vão desde a 
determinação de tempo em filas de um banco até filas de aviões em aeroportos. Problemas de estoques, 
planejamento da produção, mistura de componentes, formulação de ração a custo mínimo, redes de 
transporte, alocação de pessoas, problemas de redes de comunicação, programação de tarefas são 
também exemplos de aplicações de PO. 
Organizações como: IBM, HP, Microsoft, Gessy Lever, Nestlé, etc.. são exemplos de multinacionais 
que vem utilizando técnicas de PO em seus gerenciamentos. 
A nível nacional tem-se informação da aplicação de técnicas de pesquisa operacional em empresas 
tais como: Petrobrás, Sadia, AçoMinas, Unibanco, Bradesco, Brahma, Cosipa. Eletrobrás, entre outras. 
 
1.1. Divisões da PO 
 
A pesquisa operacional compreende um conjunto relativamente grande de técnicas que podem ser 
utilizadas para resolução de problemas decisórios. As principais são: 
 
Algoritmos Genéticos 
Análise Muticritério de Apoio à Decisão 
Cadeias de Markov 
Data Envelopment Analysis 
Grafos 
Modelos de Estoques 
Modelos de Previsão 
Programação Dinâmica 
Programação Linear 
Programação Não-Linear 
Redes Neurais 
Simulação 
Teoria da Decisão 
Teoria das Filas 
Teria dos Jogos 
 
 
Na área de Negócios os casos de utilização da Pesquisa Operacional têm se concentrado nas 
técnicas de programação linear e simulação. Pelo menos 70% das aplicações envolvem estas duas 
áreas. 
 
 
 
8 
2 Programação Linear: modelagem 
 
 
 
2.1. Introdução 
 
 Programação linear é uma técnica de otimização utilizada para resolução de problemas 
decisórios que podem ser representados por meio de equações lineares. 
 A otimização ajuda a encontrar a resposta que produz o melhor resultado para a empresa, ou 
seja, aquela que conduz ao maior lucro, menor custo, por exemplo. 
 Estes modelos lineares são representados por meio de uma função objetivo e um conjunto de 
restrições, como segue: 
 
Modelo Geral: 
 
Otimizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn 
 
sujeito a 
 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn <, =, ou > b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn <, =, ou > b2 
......................................................................................... 
 
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn <, =, ou > bm 
 
x1, x2, x3, ... Xn >=0 
 
 
Onde: 
Z = Função Objetivo 
cj = coeficientes da função objetivo 
xj = variáveis de decisão 
aj = coeficientes técnicos 
bi = constantes do lado direito da equação (RHS) 
 
 
2.2. Construção de um Modelo de Programação Linear 
 
A construção de um modelo de programação linear pode ser dividida em 4 fases, são elas: 
 
Fase 1: Definição das variáveis de decisão; 
Fase 2: Identificação dos dados do problema; 
Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo; 
Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. 
 
 
2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão 
 Para melhor mostrar como deve ser realizada esta e as demais fases vamos trabalhar sob um 
exemplo de planejamento da produção. 
 
 
 
9 
Exemplo 2.1. Só Bicicletas (SB) é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas. 
A empresa acaba de lançar 2 novos modelos de bicicletas infantis ( 1 para menino e 1 para menina) que 
está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for 
produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada 
modelo sejam produzidos. O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de $50 e da 
bicicleta masculina é de $30. A empresa conta para a produção destes dois novos modelos com 200 
trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A 
empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha 8 horas por dia. O modelo feminino 
necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de 
montagem. O modelo masculino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e 
de 1 hora no departamento de montagem. Formule um modelo que informe à SB o plano de produção 
diário que maximiza seu lucro. 
 
Para que as variáveis de decisão possam ser determinadas pode-se iniciar perguntando: 
 
� Quais itens afetam o custo ou lucro do problema? 
� Quais itens estão livres para escolher e/ou tem algum controle sobre? 
� Quais decisões você tem que tomar? 
� Quais valores, uma vez determinados constituem a solução do problema? 
 
Uma vez respondidas estas perguntas ter-se-á definido as variáveis de decisão do problema. 
Estas devem ser representadas através de um nome simbólico que pode ser uma letra ou um conjunto 
de letras(nunca um número) e que auxilia no entendimento do significado da variável. 
 
� Dê um nome simbólico para a variável 
 
No exemplo 2.1 o que se quer determinar? O que se tem algum controle sobre? 
Se quer determinar o número de bicicletas femininas e masculinas produzir por dia pela empresa, 
então: 
 
Qf = o número de bicicletas femininas produzir diariamente 
Qm = o número de bicicletas masculinas produzir diariamente 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
Variável de Decisão: 
Representação através de um símbolo ou letra 
daquilo que se quer determinar e que se tem algum 
controle. 
 
 
10
2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; 
 
 Uma vezidentificadas as variáveis que representam aquilo que se deseja conhecer em um 
modelo decisório pode se passar para a fase de identificação dos dados do problema. Estes dados são 
aqueles necessários para a modelagem completa do problema. Todos os dados devem ser levantados e, 
quando estes podem ser obtidos com certeza estamos diante de um problema chamado de 
determinístico enquanto que problemas estocásticos envolvem dados incertos. 
No problema de planejamento de produção do exemplo 2.1 tem-se que cada bicicleta no modelo 
feminino necessita de 4 horas de mão de obra para sua fabricação e de 2 horas de mão de obra para sua 
montagem. Estes dados assim como os dados relativos ao modelo masculino devem estar representados 
no modelo. A disponibilidade de mão de obra em cada departamento de fabricação e montagem também 
farão parte do modelo. 
Em um problema de planejamento da produção sabe-se que o ponto crítico é não poder gastar 
mais recurso do que a empresa dispõe. Tem-se então que chegar aos valores de disponibilidade de cada 
recurso. 
Para chegar-se à mão de obra disponível deve-se calcular: 
 
Mão de obra disponível no departamento de fabricação: 
 
MOF= 200 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 200 x 3 x 8 = 4800 horas. 
 
Mão de obra disponível no departamento de montagem: 
 
MOM= 100 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 100 x 3 x 8 = 2400 horas. 
 
Para auxiliar no processo de modelagem do problema pode se construir uma tabela que resume 
todos os dados disponíveis no problema como segue: 
 
 
Quadro 2.1 – Tabela de Dados Exemplo 2.1 
 
Variáveis Unidade Dados Iniciais Dados Solicitados 
B.Fem. B.Masc. 
Número de bicicletas 
produzir 
No. Qf Qm Qf>=2
50 
Qm>=250 
Lucro Unitário $/unid. 50 30 - 
Mão de Obra no Depto. de 
Fabricação 
horas/ 
unid. 
4 4 <=4800 horas 
Mão de Obra no Depto. de 
Montagem 
horas/ 
Unid. 
2 1 <=2400 horas 
Lucro Unitário $ 50 30 
Lucro Total $ Maximizar 
 
 
 
 
11
2.2.3. Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo 
 
Depois de determinadas as variáveis de decisão e os dados do problema pode-se passar à fase 
de construção do modelo: Este modelo matemático representa a situação da empresa que tem um 
objetivo e que para alcançá-lo terá de enfrentar algumas restrições. Este modelo será formado, então, 
por uma função objetivo e algumas restrições. 
A função objetivo pode ser entendida como a representação formal do objetivo da organização 
expresso na forma matemática em termos de dados e variáveis de decisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, qual é o objetivo da empresa (exemplo 2.1)? 
Pode-se concluir que o objetivo da empresa SB é obter o maior lucro possível. Para obtê-lo ela 
deve encontrar os valores de Qf e Qm que a conduzam a este lucro. Estes valores além de levar ao 
melhor lucro possível devem respeitar as restrições que a empresa enfrenta quanto à mão de obra 
disponível e demanda por bicicletas, oque será posteriormente representado pelas restrições. 
Para a construção da função objetivo tem-se, pela tabela 01, que o lucro unitário obtido na 
produção e venda dos modelos femininos é de $30 e dos modelos masculinos é de $50 e que a empresa 
deseja maximizar o lucro total. Isto pode ser representado da seguinte forma: 
 
 LT = 30Qf + 50Qm 
 
Onde: 
LT é o lucro total obtido na produção dos dois modelos; 
Qf e Qm são as variáveis de decisão e, portanto, incógnitas do problema. 
 
Utilizando a função de lucro total acima tem-se como função objetivo: 
 
Max LT) 30Qf + 50Qm 
 
 Temos então o objetivo da SB representado matematicamente (modelado). 
 
 
2.2.4. Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. 
 
A última fase do processo de modelagem de um processo decisório é a identificação das 
restrições. 
Normalmente o alcance do objetivo de uma organização está sujeito à algumas limitações. Estas 
limitações podem ser: 
� limitações físicas: capacidade máxima de produção das máquinas ou fábrica, quantidade de matéria 
prima existente ou possível de se obter, mão de obra disponíveis, etc; 
� limitações externas: demanda dos produtos produzidos, imposições do mercado; 
� Imposições do administrador, do governo, das associações envolvidas: o administrador pode ter se 
comprometido a fornecer uma certa quantia de determinado produto para um cliente antigo; a 
sociedade de proteção ao ambiente impõe que somente uma determinada quantia de um produto 
seja produzida devido aos danos que sua produção causa ao ambiente, etc; 
� Relações entre as variáveis: um determinado produto deve ser produzido duas vezes mais do que 
outro, por exemplo; 
� Restrições lógicas nas variáveis: limites nas variáveis. 
Função objetivo: 
 é o objetivo do problema descrito em termos de 
variáveis de decisão e dados. 
 
 
12
 
A declaração no modelo de todas as limitações ou imposições necessárias para o alcance do objetivo 
é de vital importância para a obtenção de um resultado que realmente represente o problema real da 
empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo 2.1, lembremos que a empresa deseja saber quanto produzir de cada modelo para 
maximizar seu lucro. Quais são suas limitações? A principal é a mão de obra existente nos 
departamentos de fabricação e montagem que não é ilimitada. 
Lembremos que a mão de obra consumida em cada departamento deve ser menor ou igual à 
mão de obra disponível. Mas como representar? 
 
 
CONSUMO <= DISPONÍVEL 
 
 
Consumo de M.O. no departamento de fabricação <= M.O. disponível no departamento de 
fabricação 
 
Consumo de M.O. no departamento de montagen <= M.O. disponível no departamento de 
fabricação 
 
 Para representar as relações acima primeiramente temos que construir a equação que 
representa o consumo de cada departamento, como segue: 
 
Consumo de Mão de obra no departamento de fabricação: 
 
1) Consumo de M.O (bic. fem.) =mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta fem. * 
quantidade de bicicletas femininas produzidas (Qf) 
 
2) Consumo de M.O. (bic.masc.) = mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta masc. * 
quantidade de bicicletas masculinas produzidas (Qm) 
 
E o consumo total de mão de obra no departamento de fabricação será: 
 
Consumo Total de M.O. no departamento de fabricação = Consumo na produção de bic. femininas 
+ consumo na produção de bicicletas masculinas (1+2) 
 
 
Agora se temos: 
 
Disponibilidade no depto. de fabricação = 4800 horas 
 
E se consumo tem que ser menor ou igual à disponibilidade (consumo <=disponibilidade) tem-se a 1a. 
restrição: 
Restrição: 
É a representação matemática de restrições e/ou 
limitações da empresa ou limitações nos valores das 
variáveis. 
 
 
13
 
 
 
Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 
 
 
O mesmo pode ser feito para a restrição que irá representar o consumo e disponibilidade de 
horas de mão de obra no departamento de montagem, como segue: 
 
 
Consumo < = disponibilidade 
 
De onde tem-se: 
Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400 
 
 
Prontas as restrições físicas pergunta-se: existe alguma outra limitação ou imposição? 
Sim, o departamento de marketing aconselha que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam 
produzidas. Agora, então, temos que forçar que as variáveis de decisão assumam valores iguais ou 
maiores que 250. Como representar? 
 
 
 
 Restrição 3) Qf >= 250 
 Restrição 4) Qm > = 250 
 
 
 O resultado será: 
 
Max LT = 30Qf + 50Qm 
 
 s.a. 
 
Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 
Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400 
 Restrição 3) Qf >= 250 
 Restrição 4) Qm > = 250 
 
Desta maneira o modelo está pronto. Precisamosainda resolve-lo para chegar às quantidades 
de bicicletas femininas e masculinas que conduzem a empresa ao lucro máximo. Isto aprenderemos nos 
próximos 2 capítulos. 
 
 
Exemplo 2.2: Uma escola pública procura uma dieta especial que forneça as quantidades mínimas 
diárias das vitaminas A, B e C (45 miligramas de vitamina A, 64 miligramas de vitamina B e 45 miligramas 
de vitamina C) a seus alunos ao menor custo possível. Conclui que poderia alcançar seu objetivo 
incluindo no lanche das crianças laranjas e maçãs. Em uma pesquisa nos atacadistas consegue um 
custo de $0.45 por kg de laranja. Este fornece 3 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 
15 miligramas de vitamina C segundo a nutricionista da escola. Cada quilo de maçã custa $0.55 e 
fornece 15 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 9 miligramas de vitamina C. A meta da 
escola é determinar quantos Kg de cada fruta devem ser utilizadas diariamente de modo a minimizar o 
custo total. Formule o problema. 
 
 
 
 
14
 
Fase 1) definição das variáveis de decisão 
 
Para a definição das variáveis de decisão devemos nos perguntar o que a empresa, neste 
caso uma escola pública, deseja obter como resposta? O que ela precisa saber? 
 Para o problema acima a resposta à estas perguntas está bem clara: a escola deseja saber 
quantos quilos de laranjas e quantos quilos de maçãs devem ser utilizadas diariamente no lanche das 
crianças. 
 
Como representar estas variáveis? 
 
 
Ql = quantidade (kg) de laranjas utilizar diariamente no lanche da escola 
Qm = Quantidade (Kg) de maçãs utilizar diariamente no lanche da escola 
 
 
Lendo o problema entende-se que esta dieta deve ser tal que forneça uma quantidade mínima de 
vitaminas A, B,C às crianças. Estas são então as imposições que irão, mais tarde ser transformadas em 
restrições do problema de programação linear. 
Com base nos dados informados pode-se montar a tabela abaixo que irá auxiliar na construção do 
modelo. A tabela resume todas as informações necessárias. 
 
 
Quadro 2.2 – Tabelas de Dados 2.2 
Variáveis Unidade Dados Iniciais Dados 
solicitados Laranjas Maçãs 
Quantidades 
de fruta no 
lanche 
Kg Ql Qm Ql>=0 
Qm>=0 
Custo $/kg 0,45 0,55 Minimizar 
Quantidade 
de vitamina A 
Miligramas 3 15 >= 45mg 
Quantidade 
de vitamina B 
Miligramas 8 8 >= 64 mg 
Quantidade 
de vitamina 
C 
Miligramas 15 9 >= 45 mg 
 
Com base nos dados da tabela constrói-se a função objetivo que buscará os valores para Ql e Qm 
que minimizam o custo total. As restrições irão impor alguns limites nos valores destas variáveis. Limites 
estes que devem ser a representação matemática de: 
1) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina A 
2) a dieta deve fornecer pelo menos 64 miligramas de vitamina B 
3) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina C 
O modelo então será: 
 
Minimizar Custo total) 0,45Ql + 0,55Qm 
 
s.a. 
 
Vitamina A) 3Ql + 15Qm > = 45 
Vitamina B) 8Ql + 8Qm > = 64 
Vitamina C) 15Ql + 9Qm > = 45 
Restrição lógica 1) Ql >=0 
 Restrição lógica 2) Qm > = 0 
 
 
15
 
 
 
Uma outra importante aplicação de programação linear é na área de transportes. Na maioria dos 
casos de utilização de P.Linear nesta área trabalha-se com o objetivo de minimizar o custo total de 
transporte através da escolha do melhor caminho a seguir ou através da definição das quantidades de 
mercadoria que deverão ser transportadas de cada ponto de produção/distribuição até cada ponto de 
recebimento. 
Um problema clássico de transportes tem as seguintes características: 
 
Certo material deve ser transportado do ponto de produção/distribuição (origem) para o ponto de 
recebimento (destino); 
A quantidade total disponível nas origens é igual ou menor que as necessidades dos destinos; 
Existe uma demanda ou capacidade máxima de armazenagem associada a cada ponto de destino; 
Existe um custo associado à distribuição/transporte da mercadoria de cada origem para cada destino; 
O custo total de distribuição/transporte deve ser minimizado. 
 
Este tipo de problema pode ser representado matematicamente (modelado) e resolvido como um 
problema de Programação Linear. Um exemplo deste tipo de modelagem é mostrado abaixo: 
 
Exemplo 2.3 A empresa Natural tem 3 engarrafadoras de água mineral que abastecem diretamente 4 
supermercados. No mês passado entregou 5400 caixas de água para estes supermercados. O transporte 
é feito por um terceirizado e o seu custo no mês passado foi de R$24.600,00. Isto representa quase 55% 
do faturamento da Natural. Devido à participação muito elevada do custo de transporte no custo total da 
empresa sua equipe de consultores foi chamada. A Natural quer saber se existe uma maneira de gastar 
menos com transporte aumentando, então, o lucro da empresa. Observe que a hipótese de baixar os 
preços cobrados pela terceirizada já foi tentada pelo administrador sem resultado e que esta empresa 
transportadora é ainda a de menor custo para a Natural. Sua equipe, então, concluiu que a única maneira 
de baixar o custo total com transporte é repensando o plano de transporte observando, é claro, as 
demandas de cada supermercado e capacidades das unidades engarrafadoras (Quadro 4.3). Os dados 
relativos aos custos de transporte são os descritos abaixo. Com base nestes dados formule um novo 
plano de transporte para o próximo mês que leve ao custo mínimo possível. 
 
Quadro 2.3 – Custos de Transporte (R$/caixa) 
Depósito/ 
Engarrafadora 
S1 
 
S2 
 
S3 
 
S4 Capac 
em 
cx/mês 
EA R$ 5,00 R$ 3,00 R$ 2,00 R$ 6,00 1700 
EB R$ 4,00 R$ 7,00 R$ 8,00 R$ 10,00 2000 
EC R$6,00 R$ 5,00 R$ 3,00 R$8,00 1700 
Demanda mês 
passado 
1700 1000 1500 1200 - 
 
 
 Para a construção de um modelo de transportes a elaboração de um grafo que resume todos os 
dados do problema é de grande importância, como pode ser observado abaixo: 
 
 
 
 
16
 
Representação Gráfica do Exemplo 2.3 
 
 
 
 
Disponibilidades Demandas 
(Caixas/mês) (Caixas/mês) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total: 5400 caixas 5400 caixas 
 
 
 
 Dado o grafo acima pode-se iniciar a construção do modelo matemático que melhor representa o 
problema. 
No modelo mais simples de transportes, como o descrito acima, deve-se modelar a situação de 
maneira a obter quanto deverá ser transportado de produto ou insumo de cada região produtora para 
cada região consumidora resultando, portanto, nas seguintes variáveis de decisão: 
 
 
Definindo as Variáveis de Decisão: 
 
XA1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 1; 
XA2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 2; 
XA3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 3; 
XA4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 4; 
XB1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 1; 
XB2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 2; 
XB3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 3; 
XB4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 4; 
XC1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 1; 
XC2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 2; 
XC3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 3; 
XC4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado4. 
 
Ou, de maneira mais geral: 
 
Xij = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora i( i=A,B,C) para o supermercado j 
(j=1,2,3,4). 
 
 
1 
$8 
EB 
S2 
S3 
S4 
EA S1 
EC 
1700 
2000 
1700 1700 
1000 
1500 
1200 
$5 
$3 
$2 
$6 
$4 $7 
$10 
$6 $5 
$3 $8 
 
 
17
O segundo passo será criar a função objetivo que representará matematicamente o custo total de 
transporte da empresa. Isto envolverá a obtenção do custo unitário do transporte do produto ou insumo 
de cada região produtora para cada região consumidora (Quadro 4.3). 
 Esta função objetivo será a soma dos custos de transportar cada caixa de cada engarrafadora até 
cada supermercado. 
 
Modelando a Função Objetivo 
 
 
Minimizar Custo Total de Transporte = Custo de transportar caixas da engarrafadora A para os 
supermercados 1,2,3,4 + custo de transportar caixas da engarrafadora B para os supermercados 1,2,3,4 
+ custo de transportar caixas da engarrafadora C para os supermercados 1,2,3,4 
 
Ou seja: 
 
Min Custo = 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 
 
 
Com a função objetivo pronta o próximo passo seria modelar matematicamente as restrições do 
problema de transportes. Mas, quais as restrições que esta empresa enfrenta no seu dia a dia? 
 Duas coisas devem estar claras neste tipo de modelo: 
 
1o) Não pode sair mais produto ou mercadoria de cada unidade produtora (origem) do que a mesma tem 
disponível ou pode produzir (restrições de produção): SAÍDAS <= ou = DISPONIBILIDADE NA ORIGEM 
 
2o) Não se deve receber menos no ponto de destino do que foi solicitado (restrições de demanda): 
ENTRADAS >.= ou = DEMANDAS NO PONTO DE DESTINO 
 
 
Modelando as Restrições: 
 
Restrições de Produção: 
 
ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 
ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 
ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 
 
Restrições de Demanda: 
 
DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 
DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 
DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 
DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 
 
Restrições Lógicas: 
 
XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0 
 
 
 
18
Modelo Final: 
 
Min Custo ) 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 
s.a. 
 
ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 
ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 
ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 
DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 
DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 
DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 
DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 
XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0 
 
Importante: As igualdades definidas nas restrições de produção e nas restrições de demanda 
somente foram possíveis porque a soma do que se tinha disponível nas engarrafadoras (5400 
caixas) é exatamente igual à soma das demandas dos supermercados (5400 caixas). Em casos 
que não se tem a produção = demanda ou capacidade do depósito não se pode trabalhar com 
igualdades e sim com < = ou > =. 
 
 
 
Exemplo 2.4 A empresa SOGRÃOS (SG) compra grãos (arroz, feijão, etc.) em 3 regiões produtoras 
localizadas no interior de Santa Catarina e os deposita em três centros de distribuição (CD1,CD2,CD3) 
para posterior comercialização. Esta compra e entrega aos centros de distribuição tem um custo elevado 
para a SG e é realizada por uma empresa terceirizada. O Quadro abaixo mostra os custos de transporte 
praticados por esta terceirizada (R$/ton transportada). A empresa precisa definir para a terceirizada a 
cada semana quantas toneladas de grãos esta deve transportar de cada região produtora para cada CD 
cujas capacidades de armazenagem são CD1 = 150 ton. , CD2 = 380 ton. e CD3 = 420 toneladas de 
grãos. É bastante claro que esta definição deve ser a que proporciona à empresa o menor custo total de 
transporte. Formule o modelo sabendo que as região produtoras A, B e C entregam à empresa no 
máximo 310, 500 e 200 toneladas de grãos a cada semana, respectivamente. 
 
Quadro 2.4. Custo de Transporte em R$/toneladas transportadas 
Regiões de 
Produção/ 
CDs 
 
CD1 
 
CD2 
 
CD3 
A 7 12 14 
B 8 11 13 
C 6 10 9 
 
 Para a construção de um modelo de transportes pode-se iniciar pelo grafo que representa este 
problema, como segue: 
 
 
 
19
Representação Gráfica do Exemplo 2.4 
 
 
Disponibilidades Capacidades dos CDs 
(ton/semana) (ton/semana) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total: 1010 ton. 950 ton. 
 
Definindo as variáveis de decisão: 
 
QA1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 1 
QA2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 2 
QA3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 3 
QB1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 1 
QB2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 2 
QB3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 3 
QC1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 1 
QC2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 2 
QC3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 3 
 
Ou: 
 
Qij =Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora i (i=A,B,C) para o centro de 
distribuição j (1,2,3) 
 
 
 
Modelando a Função Objetivo: 
 
O objetivo da empresa SG é o de obter o menor custo possível com o transporte de grãos das três 
regiões produtoras para os três CDs. Tem-se, então: 
 
Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 
 
 
Modelando as restrições: 
 
 As restrições que representam o problema do exemplo acima devem obedecer as seguintes 
regras: 
 
1o) Não pode sair mais produto (toneladas de grãos) das regiões produtoras do que elas tem disponível; 
 
2o) Os centros de distribuição devem receber (toneladas de grãos) tudo que lhes é possível armazenar. 
RPB 
CD2 
CD3 
RPA CD1 
RPC 
200 
500 
310 150 
380 
420 
$7 
$12 
$14 
$8 $11 
$13 
$6 $10 
$9 
 
 
20
 
Então: 
 
Restrições de produção: 
 
CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 
CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 
CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 
 
Restrições de capacidade de armazenagem: 
 
CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 
CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 
CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 
 
Restrições Lógicas: 
 
QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 
 
 
Modelo Final: 
 
 
Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 
s.a. 
CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 
CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 
CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 
CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 
CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 
CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 
QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 
 
 Baseado nos exemplos acima é possível construir um modelo genérico que pode ser aplicado a 
qualquer problema de transporte de mercadorias de seus pontos de origem até seus pontos de destino. 
Este modelo será: 
 
 
 m n 
Min Σ Σ cij xij 
 i=1 j=1 
 
s.a. 
 
 n 
Σ xij = si para i = 1, ...,m 
 j=1 
 
 m 
Σ xij = dj para j = 1,...,n 
i = 1 
 
xij >= 0 
 
onde: 
cij = custo de distribuição ou transporte de produto entre a origem i e o destino j; 
xij = total a ser distribuído de i para j 
 
 
21
si= total produzido ou disponível; 
dj = total a ser armazenado ou demanda de cada local. 
 
 
Exemplo 2.5. (adaptado de Mathur e Sollow, 1997) A agência do Banco Bradesco situada na Trindade 
requer de 8 a 15 funcionários para atendimento ao público, dependendo do horário do dia. Esta agência 
trabalha com funcionários de tempo integral em turno de 8 horas consecutivas e recebendo $15 por hora 
trabalhada. Estes funcionários iniciam às 8 horas da manhã. Tem também alguns estagiários com turno 
de 4 horas por dia podendo iniciar às 8 horas, 10 horas ou 12horas. Estes recebem $8 por hora. O 
Sindicato dos Bancários estabelece que ao menos 60% dos caixas sejam funcionários em tempo integral. 
Como gerente de recursos humanos faça uma recomendação do número de funcionários em tempo 
integral e número de estagiários em tempo parcial o banco necessita para minimizar o custo total diário e 
que atenda aos requerimentos mínimos de funcionários em cada horário estabelecidos na tabela abaixo: 
 
Quadro 2.5 – Número Mínimo de Funcionários em cada período 
Período Número Mínimo de Funcionários 
 8 - 10 horas 8 
10 – 12 horas 10 
12 – 14 horas 15 
14 – 16 horas 12 
 
 
Solução: 
 
Obviamente estamos diante de um modelo de Programação inteira pois não se pode ter 0,8 ou 
4,3 funcionários. 
 
Variáveis de Decisão: 
 
 
Como deseja-se conhecer o número de funcionários em tempo integral e parcial que o banco 
deve dispor nesta agência teremos como variáveis de decisão as seguintes: 
 
I = número de funcionários em tempo integral 
P = número de estagiários em tempo parcial 
 
Porém, devemos lembrar que os estagiários por trabalharem somente 4 horas por dia tem 
diferentes horários de entrada e, por conseguinte, diferentes turnos de trabalho. Para que o modelo 
retorne quantos estagiários devem trabalhar em cada turno a variável de decisão P deve ser dividida em 
três, uma para cada turno de trabalho. Temos então: 
 
Variáveis de Decisão: 
 
I = número de funcionários em tempo integral 
P8 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 8 horas; 
P10 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 10 horas; 
P12 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 12 horas; 
 
 
Função Objetivo: 
 
A função objetivo deve minimizar o custo total da Agência bancária, ou seja: 
 
Custo Total Diário = custo com funcionários em tempo integral + custo com estagiários que iniciam às 8 
horas + custo com estagiários que iniciam às 10 horas + custo com estagiários iniciam às 12 horas 
 
 
 
22
A função objetivo será, portanto: 
 
Min Custo) 120F + 32P8 + 32P10 + 32P12 
 
Aonde: 120 vem de $15 por hora vezes o número de horas trabalhadas por dia (8) e 32 vem de 4 horas 
vezes $8. 
 
Restrições: 
 
 O último passo será o de modelar as restrições que deverão obedecer os seguintes 
requerimentos: 
 
a) número mínimos de funcionários/estagiários em cada turno (tabela 1) 
b) imposição do sindicato de que ao menos 60% dos trabalhadores do banco sejam funcionários em 
tempo integral. 
 
 
 
Para o item a) graficamente tem-se: 
 
 
 
Tempo integral (I) 
 
Tempo parcial com 
Início às 8 horas (P8) 
 
Tempo parcial com 
Início às 10 horas (P10) 
 
Tempo parcial com 
Início às 12 horas (P12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Através do diagrama acima pode-se observar os intervalos para os quais teremos que construir 
restrições para que a solução obedeça as necessidades do banco em termos de número mínimo de 
funcionários em cada período. 
Por exemplo: segundo a tabela acima no período de 8 às 10 o banco necessita de no mínimo 8 
funcionários. Olhando o diagrama tem-se que neste período somente os funcionários de tempo integral 
(I) e os estagiários de tempo parcial que iniciam seu turno às 8 horas estão presentes. Escreve-se, então: 
 
I + P8 >= 8 
 
No segundo turno (10-12h) o banco necessita de 10 funcionários. Observando-se o diagrama 
acima tem-se que estão presentes os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 8 
horas (P8) e os estagiários que iniciam às 10 horas (P10). Tem-se então: 
 
I + P8 + P10 > = 10 
 
8 h 12 h 14 h 10 h 16 h 
 
 
23
Das 12 às 14 horas o banco necessita de pelo menos 15 funcionários. Neste horário podem estar 
presentes, segundo o diagrama, os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 10 
horas (P10) e os estagiários que iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: 
 
I + P10 + P12 > = 15 
 
 
Das 14 às 16 horas o banco necessita de pelo menos 12 funcionários. Neste horário podem estar 
presentes, segundo o diagrama somente os funcionários de tempo integral (I),e os estagiários que 
iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: 
 
I + P12 > = 12 
 
 
 
Prontas as restrições que representam o número mínimo de funcionários/estagiários em cada 
período tem-se ainda que construir as restrições relativas à imposição do sindicato. Lembrem que o 
sindicato exige que ao menos 60% do total dos bancários sejam funcionários em tempo integral (I). Isto 
vale para qualquer horário em que o banco estiver em funcionamento. Tem-se, então, que obedecer esta 
imposição durante os quatro períodos. 
Usando as variáveis de decisão anteriormente definidas tem-se: 
 
I > = 0.6(I+P8) ou 0.4I – 0.6P8 > =0 
I > = 0.6 (I + P8 + P10) ou 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 > = 0 
I > = 0.6 (I + P10 + P12) ou 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 > = 0 
I > = 0.6 (I + P12) ou 0.4I – 0.6P12 > = 0 
 
 
Adicionando-se as restrições lógicas que impõem que as variáveis somente assumem valores 
positivos e inteiros tem-se: 
 
Modelo Final: 
 
Min Custo) 120I + 32P8 + 32P10 + 32P12 
s.a. 
Min8-10) I + P8 >= 8 
Min 10-12) I + P8 + P10 > = 10 
Min 12-14) I + P10 + P12 > = 15 
Min 12-14) I + P12 > = 12 
Prop8-10) 0.4I – 0.6P8 > =0 
Prop10-12) 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 > = 0 
Prop 12-14) 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 > = 0 
Prop 14-16) 0.4I – 0.6P12 > = 0 
 I, P8, P10, P12 >= 0 e inteiros 
 
 
 
 
24
Atividade de Fixação 
Unidade 04 
 
 
1. Suponha que uma empresa tenha selecionado cinco propostas de investimentos cujas características essenciais 
são: 
 
 
 
 
Se as propostas forem independentes e os recursos limitados em R$ 1.000,00 em quais projetos a empresa deveria 
investir de maneira a maximizar o valor presente líquido total? 
 
2. A microempresa SOLID COMPUTER (SC) monta 4 tipos de microcomputadores (A,B,C,D). O 
computador A dá à empresa um lucro de R$ 150,00 enquanto os computadores B,C e D tem lucros 
de R$ 190,00, R$ 180,00 e R$ 200,00, respectivamente. O micro A necessita de 0,9h/unidade de 
mão de obra enquanto que B, C e D necessitam 1,2h/unid., 1,0h/unid. e 1,3h/unid. de mão-de-obra. A 
empresa precisa de um espaço de estocagem para cada tipo de microcomputador assim estimado: 
0,7 m3/unid, 1,0 m3/unid, 1,2 m3/unid. e 0,9 m3/unid. para os microcomputadores do tipos A,B,C e D, 
respectivamente. O consumo em R$ com matéria prima varia com o tipo de microcomputador. O tipo 
A consome, por semana, R$ 1.200,00/unid., o tipo B consome R$ 1.000,00/unid. o tipo C consome 
R$ 900,00/unid e o tipo D R$ 1.300,00/unid. As disponibilidades destes recursos são: 300 h de 
trabalho por semana, 260 m3 de galpão para estocagem e R$ 400.000,00 para aquisição de matéria 
prima por semana. A SC deseja saber quantos microcomputadores de cada tipo deve montar por 
semana de maneira a maximizar seu lucro. Monte o modelo. 
 
3. MTV Companhia produz três tipos de tubos: A,B e C, que vende, respectivamente por $ 10,00, 
$12,00 e $9,00 por metro. Para produzir cada metro do tubo do tipo A são requeridos 0,5 minutos de 
tempo de processamento em um tipo particular de máquina. Cadametro do tubo tipo B precisa 0,45 
minutos e cada metro do tubo do tipo C precisa de 0,6 minutos. Após a produção cada metro de tubo, 
independente do tipo, requer 1 kg de material de moldagem. O custo total é estimado em $3,00, 
$4,00, e $4,00 por metro dos tubos dos tipos A,B e C, respectivamente. 
Para a próxima semana, a empresa recebeu um pedido grande de 2000 metros do tubo do tipo A, 
4000 metros do tubo do tipo B, e 5000 metros do tubo do tipo C. Como somente 40 horas de tempo 
de máquina estão disponíveis esta semana e 5500 kg de material de moldagem estão em inventário, 
o departamento de produção não estará apto a satisfazer estas demandas, as quais requerem um 
total de 97 horas de tempo de máquina e 11.000 kg de material de moldagem. Este alto nível de 
demanda não é esperado continuar. Antes do que expandir a capacidade de produção, o 
administrador da MTV está considerando comprar alguns destes tubos de fornecedores no Japão a 
um custo de $6 por metro do tubo tipo A, $6 por metro do tubo tipo B e $7 por metro do tubo do tipo 
C. Estes vários dados estão resumidos na tabela que segue. Como administrador do departamento 
de produção, você foi solicitado a fazer recomendações de quanto comprar de cada tipo de tubo do 
Japão e quanto produzir de modo a satisfazer as demandas e maximizar o lucro da empresa. 
Formule o modelo. 
Tubos Preço de 
venda ($/m) 
Demanda 
(m) 
Tempo de 
Máquina 
Material de 
Moldagem 
Custo de 
Produção 
Custo de 
Compra 
100.000100.000100.000100.000 
 
 
105.000105.000105.000105.000 
 
200.000200.000200.000200.000 
 
 
220.000220.000220.000220.000 
 
400.000400.000400.000400.000 
 
 
460.000460.000460.000460.000 
 
300.000300.000300.000300.000 
 
 
360.000360.000360.000360.000 
 
500.000500.000500.000500.000 
 
 
650.000650.000650.000650.000 
 
Valor do Valor do Valor do Valor do Investimento NecessárioInvestimento NecessárioInvestimento NecessárioInvestimento Necessário 
 
Valor Presente dos BenefíciosValor Presente dos BenefíciosValor Presente dos BenefíciosValor Presente dos Benefícios 
 Econômicos EsperadosEconômicos EsperadosEconômicos EsperadosEconômicos Esperados 
 
EEEE 
($)($)($)($) 
DDDD 
($)($)($)($) 
CCCC 
($)($)($)($) 
BBBB 
($)($)($)($) 
AAAA 
($)($)($)($) 
ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS: 
 
 
25
(min/m) (kg/m) ($/m) ($/m) 
Tipo A 10 2000 0.50 1 3 6 
Tipo B 12 4000 0.45 1 4 6 
Tipo C 9 5000 0.60 1 4 7 
 
 
 
3. O departamento de Nutrição do Hospital Celso Ramos prepara 30 menus de jantares, um para cada 
dia do mês. Uma refeição consiste de espagheti, frango, batatas assadas, espinafre e torta de maçã. 
Como diretor do departamento de nutrição você determinou que esta refeição deve fornecer 63000 
miligramas (mg) de proteina, 10 mg de ferro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina e 50 mg de vitamina 
C. Cada 100 gramas destes alimentos fornece a quantia de cada nutriente e gordura indicados na 
tabela que segue. 
 
Nutrientes (mg/100 g) 
 Proteina Ferro Niacina Tiamina Vitamina C Gordura 
Espagheti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000 
Frango 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000 
Batatas assadas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900 
Espinafre 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300 
Torta de Maçã 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300 
 
Para evitar muito alimento de um tipo, não mais do que 300 gramas de espagheti, 300 gramas de 
frango, 200 gramas de batatas assadas, 100 gramas de espinafre e 100 gramas de torta de maçã 
devem ser incluídas na refeição. Como diretor do departamento de nutrição você deve determinar a 
composição da refeição que satisfaça os requerimentos nutricionais e fornece uma refeição com a 
mínima quantidade de gordura. Formule o modelo. 
 
4. Uma pessoa deseja investir R$ 100.000,00 em ações de empresas brasileiras. Em uma primeira 
análise, baseada em indicadores fundamentalistas do tipo preço/lucro da ação, preço/valor 
patrimonial, rentabilidade do patrimônio líquido, rentabilidade do ativo e liquidez geral, selecionou as 
cinco ações constantes da tabela abaixo. A coluna que informa o Beta da ação significa o quanto a 
mesma variou em um determinado período (1 mês) em comparação ao índice Bovespa, ou seja, um 
Beta de 1 significa que a ação acompanhou a variação do Ibovespa. Os valores de CAPM abaixo 
indicam o retorno esperado de cada ação para o período de 1 mês. Dadas estas informações o 
investidor deseja que você formule um modelo que indique a ele o quanto (R$) investir em cada 
empresa de maneira a maximizar o retorno esperado enquanto obtém um beta ponderado de 120000 
(beta da ação * quantia investida em cada empresa). O investidor não deseja colocar mais do que R$ 
50.000,00 na ação da empresa Klabin e deseja também investir pelo menos R$ 20.000,00 na 
empresa Sid Tubarão, devido ao alto risco do negócio. Monte o modelo. 
. 
 
Ação Código Beta CAPM (%) 
Telemig Celular Part 
PN 
TMCP4 -0,13 -0,1 
Sid Tubarão PN CSTB4 3,83 12,76 
Souza Cruz ON CRUZ3 0,67 2,57 
Bradespar PN BRAP4 1,00 3,62 
Klabin PN KLBN4 - 0,47 -1,11 
 
5. Um agricultor pode produzir bois para abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano requer 
a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 ha de pastagens e que exige 1 hora de trabalho por 
dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa 
sessenta hectares de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros 
de oito mil reais por boi e de vinte e um mil reais por tonelada de lã produzidos. Seus recursos 
 
 
26
produtivos são limitados a quinhentos hectares de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam 
no trabalho, dispõe de vinte e quatro horas de trabalho diárias. O produtor desejaria seguir um plano 
que maximizasse seus lucros totais. Formule o modelo. 
 
6. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os 
próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. 
A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, 
$25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Sabe-se que a capacidade 
de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 120 motores, que já existem 50 motores em 
estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 por motor. Determine o programa de 
produção que minimiza o custo total de produção e armazenagem. 
 
7. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os 
próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. 
A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, 
$25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Utilizando horas extras a 
empresa consegue produzir um adicional de 30 motores por mês ao custo unitário de $25 em janeiro, 
$27 em fevereiro, $30 em março e $32 em abril. Finalmente a empresa pode subcontratar a produção 
em qualquer quantidade de motores ao custo unitário de $30 em janeiro e fevereiro e $35 em março 
e abril. Sabe-se também que a capacidade de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 
120 motores, que já existem 50 motores em estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 
por motor. Determine o programa de produção que minimiza o custo total de produção e 
armazenagem. 
 
 
8. Uma microempresa situada em Joinville produz diariamente três modelos de abrigos de moleton: 
luxo, padrão e infantil. Para produzir um abrigo tipo luxo é preciso utilizar 0,22 h de corte, 0,35h de 
costura e 2,1m2 de tecido. O lucro do abrigo luxo éde R$ 18,00. Para produzir um abrigo do tipo 
padrão é preciso utilizar 0,16h de corte, 0,32h de costura e 2,3 m2 de tecido. O lucro por abrigo é de 
R$ 14,00. Para produzir o abrigo infantil é preciso de 0,22h de corte, 0,30h de costura e 1,5m2 de 
tecido. O lucro por abrigo infantil é de R$ 13,00. Sabe-se que a microempresa dispõe, atualmente, de 
12 funcionários no setor de corte e 15 funcionários no setor de costura, todos trabalhando 8 horas por 
dia. Dispõe também de 300 m2 de tecido. Formule um modelo que indique ao dono da microempresa 
quantas unidades de cada abrigo devem ser produzidas para maximizar o lucro total. 
 
9. Uma serralheria produz três tipos de telas metálicas: A,B e C. Para produzir 1 m2 de tela tipo A são 
necessários 20m de arame, 1 hora de solda e 1,2 horas de montagem. O lucro é de R$ 13,00/m2 de 
tela A. Para produzir um m2 de tela tipo B são necessários 26 m de arame, 1,2 horas de solda e 1,7 
horas de montagem. O lucro é de R$ 15,00/m2 de tela B. Para produzir 1 m2 de tela tipo C são 
necessários 15 m de arame, 0,9 horas de solda e 1,0 horas de montagem. O lucro é de R$ 10,00/m2 
de tela C. A empresa dispõe de 200 m de arame, 80h de solda e 96 h de montagem para cada dia 
de trabalho. Formule o problema decisório de estabelecer um plano de produção diário que maximize 
o lucro da empresa. 
 
10. Uma metalúrgica compra ferro velho de três fornecedores diferentes: A,B e C. Cada carga do 
fornecedor A contém 2,0 ton de ferro, 2,0 ton. de alumínio e 1,3 ton. de cobre. O custo da carga é de 
R$ 400,00. Cada carga do fornecedor B contém 1,3 ton de ferro, 2,4 ton. de alumínio e 1,9 ton. de 
cobre. O custo da carga é de R$ 580,00. Cada carga do fornecedor C contém 0,6 ton de ferro, 3,5 
ton. de alumínio e 0,9 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 390,00. A metalurgia precisa adquirir, 
para a próxima semana, pelo menos 25 toneladas de cada um dos metais citados (ferro, alumínio e 
cobre). Quantas cargas devem ser adquiridas de cada fornecedor para minimizar o custo de 
aquisição dos metais? 
 
11. A Petrobrás pode comprar dois tipos de óleo cru: óleo leve a um custo de $25 por barril e um óleo 
pesado a um custo de $ 22 por barril. Cada barril de óleo cru, quando refinado, produz três tipos de 
 
 
27
produtos: gasolina, óleo diesel e querosene. A seguinte tabela indica as quantidades em barris de 
gasolina, óleo diesel e querosene produzidas por cada barril de cada tipo de óleo cru. 
 
 Gasolina Óleo Diesel Querosene 
Óleo Leve 0.45 0.18 0.30 
Óleo Pesado 0.35 0.36 0.20 
 
A refinaria tem contratado a entrega de 1.260.000 barris de gasolina, 900.000 barris de óleo diesel e 
300.000 barris de querosene. Como administrador de produção, formule um modelo para determinar 
a quantia de cada tipo de óleo cru comprar que minimize o custo total ao mesmo tempo que satisfaz 
a demanda. 
 
12. Uma microempresa do setor de alimentos tem uma sobra de caixa de R$ 500.000,00 em 
determinado mês e decide investir esta quantia em fundos de investimento da corretora Hedging & 
Griffo. Escolheu o Fundo Verde e o Fundo Ouro para realizar este investimento. Consultando o site 
da corretora anotou que o fundo verde rendeu cerca de 50% no último ano e que o fundo ouro rendeu 
cerca de 39%. Sabe que o fundo verde tem boa parte de seus ativos aplicados em câmbio e, 
portanto, o risco de qualquer quantia investida neste fundo é grande. Já o fundo ouro investe em 
ativos bastante diversificados resultando em um risco menor para o aplicador. A empresa quer aplicar 
nos dois fundos e decide que o investimento no fundo verde não deve ultrapassar 65% do total 
investido. Devido ao risco elevado do fundo verde a empresa decide, também, que o total investido 
no fundo ouro deve ser de pelo menos 2 vezes o total investido no fundo verde. Formule o modelo 
que indique à microempresa quanto investir em cada fundo para maximizar o retorno esperado. 
 
13. (adaptado de Ramalhete, 2000) Uma agroindústria pretende determinar as quantidades de cada tipo 
de ração que devem ser dadas diariamente a cada animal de maneira a conseguir formar uma ração 
balanceada em termos de carbohidratos, vitaminas e proteínas a um custo mínimo. 
Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, as quantidades mínimas diárias de ingredientes 
nutritivos básicos a fornecer a cada animal, bem como as quantidades destes existentes em cada 
tipo de ração (g/kg) constam no quadro abaixo.: 
 
Ingredientes nutritivos Ração A Ração B Quantidade Mínima 
Requerida(gramas) 
Carbohidratos(g/kg) 20 50 200 
Vitaminas(g/kg) 50 10 150 
Proteínas(g/kg) 30 30 210 
Custo ($/kg) 10 5 
 
Formule o modelo de programação linear. 
 
14. A empresa “Produtos da Fazenda” tem duas máquinas diferentes para processar leite bruto em leite 
light, manteiga e queijo. A quantia de tempo requerida em cada máquina para produzir cada unidade 
do produto resultante e os lucros líquidos são apresentados na seguinte tabela: 
 Leite Light 
(litros) 
Manteiga 
(kg) 
Queijo 
(kg) 
Máquina 1 
Máquina 2 
0.2 min/litro 
0.3 min/litro 
0.5 min/kg 
0.7 min/kg 
1.5 min/kg 
1.2 min/kg 
Lucro líquido $ 0.22/litro $ 0.38/kg $ 0.72/kg 
Assumindo que 8 horas por dia são disponíveis em cada máquina, como administrador do 
departamento de produção, formule um modelo para determinar o plano de produção diário que 
maximize o lucro líquido da empresa e produza um mínimo de 300 litros de leite light, 200 kg de 
manteiga e 100 kg de queijo. 
 
 
 
28
15. A empresa “Carrega Óleo”, situada perto do Rio de Janeiro, fornece gasolina para seus 
distribuidores por caminhão. Tendo fechado recentemente um contrato para começar a fornecer 
800.000 litros de gasolina por mês para distribuidores em São Paulo necessita criar um frota para 
atender esta demanda. A companhia tem $500.000 disponível para criar esta frota consistindo de três 
tipos diferentes de caminhões. A capacidade, custo de operação e número máximo de viagens para 
cada tipo de caminhão são dados na tabela abaixo: 
Tipo de 
Caminhão 
Capacidade 
(litros) 
Custo 
Compra($) 
Custo por 
viagem ($) 
No. máximo de 
viagens por mês 
 
1 
2 
3 
 
6.000 
3.000 
2.000 
50.000 
40.000 
25.000 
800 
650 
500 
20 
25 
30 
O gerente desta empresa não quer comprar mais do que 10 caminhões para sua frota assim como 
gostaria de assegurar que ao menos 3 caminhões do tipo 3 sejam comprados (eles são necessários 
para rotas de viagens curtas e demanda baixa). Finalmente, o empresário não quer mais do que 
metade da sua frota formada de caminhões do tipo 1. Como administrador de operações formule um 
modelo para determinar a composição da frota que minimiza o custo mensal de operação enquanto 
satisfaz a demanda, ficando dentro do orçamento e satisfazendo os outros requerimentos da 
companhia. 
 
16. A empresa “Produtos da Fazenda” tem 50 hectares de terra para plantar qualquer quantia de milho, 
soja, alface, algodão e brócolis. A seguinte tabela apresenta as informações relevantes com relação 
à produção, custo de plantio, preço de venda e os requerimentos de água por cada colheita: 
Colheita Produção 
(kg/ha) 
Custo 
($/kg) 
Preço de 
Venda ($/kg) 
Requerimentos de 
Água (litros/Kg) 
 
Milho 
Soja 
Alface 
Algodão 
Brócolis 
640 
500 
400 
300 
350 
1.00 
0.50 
0.40 
0.25 
0.60 
1.70 
1.30 
1.00 
1.00 
1.30 
8.75 
5.00 
2.25 
4.25 
3.50 
Para a próxima estação existem 100.000 litros de água disponível e a companhia tem contratado 
vender ao menos 5120 kg de milho. Formule o programa linear para determinar o planejamento ótimo 
de plantio para a empresa. Use o número de hectares de cada plantio como variável de decisão e 
monte um modelo cujo objetivo é de maximizar o lucro da empresa. 
 
17. Reformule o modelo linear do exercício anteriorutilizando como variáveis de decisão o número de 
quilogramas de cada plantio. 
 
18. Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme 
mostra a tabela 1 abaixo. Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia 
precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas 
quantidades, conforme mostra a tabela 2. Os custos de transporte são os definidos na tabela 3. 
Construa um modelo que minimize o custo de transporte do exportador. 
 
Tabela 1. Estoques de Café em cada Porto 
Porto Quantidade (t) 
Paranaguá 120 
Santos 100 
Rio de Janeiro 100 
Vitória 100 
 
 
 
29
Tabela 2. Quantidade de Café Necessária em cada Armazém no Exterior 
Porto Quantidade(t) 
Nova York 100 
Hamburgo 80 
Le Havre 90 
Bordeux 150 
 
 
Tabela 3. Custos de Transporte ($) 
Porto de Destino Nova York Hamburgo LE Havre Bordeux 
Porto de Origem 
Paranaguá 70 30 20 25 
Santos 50 40 10 25 
Rio de Janeiro 30 20 40 80 
Vitória 55 20 40 80 
 
19. Um intermediário abastece três feirantes que operam em cidades diferentes (A, B e C) com ovos que 
adquire em quatro granjeiros localizados em cidades diferentes (I,II,III e IV). Os preços pagos pelo 
intermediário para os granjeiros não tem diferença entre si, do mesmo modo quanto aos preços que 
os feirantes lhe pagam. O intermediário só consegue algum lucro fazendo com que o seu custo de 
transporte seja o menor possível. O quadro abaixo dá o custo de transporte entre os granjeiros e os 
feirantes, em R$/dúzia de ovos. O quadro também mostra as quantidades de ovos que cada granjeiro 
pode fornecer na próxima semana e as encomendas de ovos dos feirantes: 
 
 
Granja \ Feirante A B C Oferta (dz) 
I 0,35 0,27 0,33 1700 
II 0,37 0,25 0,38 1100 
III 0,41 0,32 0,38 2000 
IV 0,36 0,22 0,39 2000 
Encomendas (dz) 1250 1550 2300 **** 
 
Formule o problema de atender as encomendas a partir das ofertas de modo a minimizar o custo. 
Não esqueça de explicar o significado das suas variáveis ! 
 
20. Uma empresa tem três fábricas que distribuem sua produção para quatro depósitos. 
• A capacidade da fábrica 1 é de 2.2 mil unidades de produto por semana, produção esta que é 
obtida a um custo médio de $53 mil por mil unidades. 
• A capacidade da fábrica 2 é de 3,4 mil unidades de produto por semana, produção esta que é 
obtida a um custo médio de $68 mil por mil unidades. 
• A capacidade da fábrica 3 é de 1,8 mil unidades de produto por semana, a um custo médio de 
$84 mil por mil unidades de produto. 
A gerência central tem os seguintes pedidos de entrega de produto nos diversos depósitos para a 
próxima semana: (a) o depósito 1 solicitou um total de 0,85 mil unidades; (b) o depósito 2 solicitou um 
total de 0,75 mil unidades; (c) o depósito 3 solicitou um total de 1,34 mil unidades; (d) o depósito 4 
solicitou um total de 1,60 mil unidades. 
Os custos de transporte entre as diversas fábricas e depósitos é como segue (em $ mil/mil unidades 
de produto): 
Depósitos - > 
Fábricas ! 
1 2 3 4 
1 26 30 54 43 
2 45 35 30 52 
 
 
30
3 53 32 41 20 
O problema da gerência é estabelecer a produção e a distribuição da próxima semana de modo a 
minimizar o custo total de atender às solicitações dos depósitos. (obs.: supõe-se que a produção da 
semana pode ser toda entregue aos depósitos na mesma semana) 
Variável de decisão sugerida:xij = quantidade produzida na fábrica i que é destinada ao depósito j 
(em 1000 unidades) 
 
21. Um fabricante de artigos de plástico possui em estoque 1200 caixas de envólucros transparentes em 
uma de suas fábricas e 1000 caixas em uma segunda fábrica. O fabricante recebeu pedidos deste 
produto proveniente de três diferentes varejistas nas quantidades de 1000, 700 e 500 caixas, 
respectivamente. Os custos unitários de expedição (em centavos por caixa) desde as fábricas até os 
varejistas são os seguintes: 
 Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 
Fábrica 1 
Fábrica 2 
14 
13 
13 
13 
11 
12 
Determine o programa de expedição que atenda todas as demandas a partir do estoque disponível, a 
um custo mínimo. 
 
 
22. MTI é uma empresa que fabrica e exporta equipamentos de raio X de alta resolução utilizados em 
hospitais. Esta empresa conta, atualmente, com três fábricas no Brasil que exportam para quatro 
centros consumidores situados na Japão, Coréia do Sul, Nova Zelândia e Austrália. As fábricas 
brasileiras situadas no Ceará, São Paulo e Rio Grande do Sul tem capacidade de produzir até 100, 
200 e 150 máquinas por ano, respectivamente. Para o próximo ano os consumidores no Japão 
emitiram um pedido de 120 máquinas enquanto que os consumidores da Coréia do Sul necessitam 
de 80. Aqueles situados na Nova Zelândia precisam receber 70 máquinas enquanto os consumidores 
situados na Austrália emitiram um pedido de 110 máquinas. O sistema de transporte da empresa 
conta com centros de distribuição (CDs) intermediários cuja utilização reduz o custo total com o 
transporte destas máquinas até os centros consumidores. Desta forma, as máquinas produzidas no 
Ceará e São Paulo podem ser enviadas a centros de distribuição (CDs) situados na Hungria e África. 
Aquelas máquinas produzidas no Rio Grande do Sul podem ser enviadas somente para o centro de 
distribuição situado na África. Estes centros de distribuição não entregam diretamente a mercadoria 
aos consumidores pois repassam tudo que receberam para outros CDs situados em pontos mais 
estratégicos (Filipinas e Fiji). Os CDs não armazenam máquinas em estoque e devem, então, 
transportar exatamente o número de máquinas que receberam. Consumidores na Coréia do Sul e 
Nova Zelândia podem receber máquinas vindas tanto das Filipinas quanto de Fiji. Entretanto, devido 
a tratados internacionais os consumidores no Japão só podem receber máquinas vindas das Filipinas 
enquanto que os consumidores Australianos só podem receber máquinas vindas de Fiji. Os custos de 
transporte das máquinas de cada fábrica até os CDs e de cada CD até os centros consumidores 
estão relacionados nas tabelas abaixo. Como administrador de distribuição da empresa você foi 
incumbido de montar um plano de transporte que forneça à MTI o menor custo de transporte. Modele 
o problema. 
 
Tabela 1 – Custos com transporte ($/máquina) das fábricas até os Centros de Distribuição (CDs) 
 Centros de Distribuição 
 Hungria África 
Ceará 200 400 
São Paulo 300 400 
Rio grande do Sul - 500 
 
Tabela 2 – Custos de Transporte ($/máquina) entre os Centros de Distribuição (CDs) 
 Filipinas Fiji 
Hungria 800 600 
África 700 400 
 
 
 
31
Tabela 3 – Custos de Transporte dos CDs até os Centros Consumidores 
 Centros Consumidores 
CDs Japão Coréia do Sul Nova Zelândia Austrália 
Filipinas 700 600 800 - 
Fiji - 700 500 600 
 
 
23. Uma empresa dispõe de três fábricas, localizadas nas regiões A,B e C. As fábricas A e B produzem 
circuitos impressos para calculadoras, enquanto que a fábrica C produz visores de cristal líquido 
para o mesmo fim. A montagem das calculadoras pode ser feita nas fábricas B e C. Uma 
calculadora requer 2 circuitos e 1 visor. 
A fábrica A pode produzir no máximo 200 circuitos por dia. 
A fábrica B pode produzir até 150 circuitos por dia. Entretanto cada calculadora montada nesta 
fábrica reduz sua capacidade de produção de circuitos de 1,3 unidades/dia. 
A fábrica C pode produzir até 180 visores/dia. Todavia, cada calculadora que for montada nesta 
fábrica reduz aquela capacidade em 0,8 unidades/dia. 
O objetivo da empresa é maximizar a produção diária de calculadoras. 
 
24. Uma fábrica de derivados de petróleo pode utilizar diversos processos. Uma unidade do processo 1 
é definida pela utilização de 2 m3 de matéria-prima A e 0,3 toneladas de matéria-prima B, gerando 
como produto 0,13t de produto P. O lucropor unidade do processo 1 é de $300,00. 
Uma unidade do processo 2 é definida pela utilização de 1 m3 de matéria-prima A, 0,6 ton. de 
matéria-prima B e 0,2 ton. de matéria-prima C, gerando como produto 0,1 ton. de produto P e 0,7 
ton. de produto Z. O lucro por unidade do processo 2 é de $400,00. 
Uma unidade do processo 3 é definida pela utilização de 3 m3 de matéria-prima A, 0,5 ton. de 
matéria-prima C, gerando como produto 0,4 ton. de produto P, 0,15 ton. de produto Y e 0,05 ton. de 
produto Z. O lucro por unidade do processo 3 é de $250,00. 
Para o mês seguinte a fábrica dispõe de 1700 m3 de matéria-prima A, 450 ton. de matéria-prima B e 
380 ton. de matéria-prima C. Por outro lado, devido a contratos já realizados, a fábrica deverá 
produzir pelo menos 150 ton. de cada produto (P,Y e Z). Toda quantidade produzida em excesso 
dos contratos pode ser comercializada sem dificuldades pela fábrica. O objetivo da gerência é 
maximizar lucros. (variáveis de decisão sugeridas: Xj: unidades do processo j a realizar no mês 
seguinte). 
 
25. Uma firma que produz televisores tem duas fábricas (localizadas nas cidades A e B) nas quais são 
produzidos tubos de imagem e duas outras fábricas (localizadas nas cidades C e D) nas quais são 
produzidos chassis e realizadas as montagens dos televisores. Cada televisor é composto de um 
tubo e um chassi. 
A fábrica A pode produzir no máximo 900 tubos por mês a um custo médio de $ 2 mil por tubo. 
A fábrica B pode produzir um máximo de 1200 tubos por mês a um custo médio de $ 1,8 mil. 
A fábrica C dispõe de 2500 horas por mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi 
requer 1,2 horas de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,6 horas de trabalho. O custo de 
produção de um chassi na fábrica C é de 5,6 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,9 mil. 
A fábrica D dispõe de 1800 horas/mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi 
requer 1,0 h de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,7 horas de trabalho. O custo de 
produção de um chassi na fábrica é $5,9 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,8 mil. 
Os custo de transporte de tubos de imagem, em $ mil/tubo são como segue: 
 
De/Para C D 
A 0,34 0,41 
B 0,26 0,37 
 
O custo de transporte de um chassi de C para D (ou vice-versa) é $0,23. 
Após a montagem os aparelhos são levados para venda nos locais E e F. A cada um destes locais 
devem ser destinados 800 unidades no próximo mês. Os custos de transporte dos locais de 
montagem aos locais de venda, em $ mil/aparelho, são como segue: 
 
 
32
 
De/para E F 
C 0,60 0,50 
D 0,90 0,70 
 
 
O problema consiste em cumprir os compromissos de venda ao menor custo de produção e 
transporte possível. Variáveis de decisão são sugeridas abaixo. 
 
QTij = quantidade de tubos produzidos em i e transportados para j(i=A,B;j=C,D) 
QCij = quantidade de chassis produzidos em i e transportados para j(i=C,D;j=C,D) 
QMik= quantidade de aparelhos montados em i e transportados para k(i=C,D;k=E,F) 
 
26. (Lanzer, 1988) (problema de transporte com transbordo) Uma firma distribuidora de motores 
elétricos tem depósitos localizados em diversas cidades de um certo estado. Numa certa semana a 
gerência verifica que em alguns depósitos existe excesso de estoque de motores, enquanto que em 
outros depósitos existe falta de produto para as entregas previstas. A situação é como segue: 
 
Depósito Excesso de Estoques 
(unidades) 
Falta de Estoques 
(unidades) 
1 - 25 
2 42 - 
3 - 33 
4 56 - 
5 - 29 
 
 
O diagrama a seguir retrata os custos de transporte, em $ por motor, entre as diversas cidades de 
interesse: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe, por exemplo, que é possível realizar transporte da cidade 2 para a cidade 5 diretamente ou 
passando pela cidade 4 ou pelas cidades 1 e 3 (entre outras alternativas). 
O problema é suprir os depósitos 1,3 e 5 com as quantidades requeridas a partir dos estoques em 
excesso existentes nos depósitos 2 e 4 ao menor custo de transporte possível. 
Variáveis de decisão sugeridas para formulação: 
Xij = número de motores transportados da cidade i para a cidade j(em unidades) 
 
27. (Lanzer, 1988) Uma central telefônica tem os seguintes requerimentos mínimos de telefonistas em 
dias normais de trabalho para manter um padrão razoável de atendimento aos usuários: 
 
Período Hora do Dia No. Mínimo de telefonistas 
1 0:00 – 4:00 28 
2 4:00 – 8:00 35 
3 8:00 – 12:00 129 
4 12:00 – 16:00 151 
1 
4 2 
3 
5 
14 
6 
14 
5 
21 
39 
8 
 
 
33
5 16:00 – 20:00 116 
6 20:00 – 00:00 73 
 
 
Cada telefonista tem um turno de 8 horas de trabalho consecutivas. O salário varia de acordo com a 
hora de início do turno de trabalho: 
Hora de início do turno Salário ($/mês) 
0:00 890,00 
4:00 780,00 
8:00 510,00 
12:00 510,00 
16:00 680,00 
20:00 810,00 
 
A central telefônica deseja saber quantas telefonistas contratar de modo a manter o padrão desejado 
de atendimento ao menor custo possível. 
Variáveis de decisão sugeridas para formulação: 
Xt: no. de telefonistas que iniciem o turno no período t. 
 
28. (Lanzer, 1988 apud Robicheck et alli, 1965) A gerência financeira de uma loja de departamentos 
deve planejar suas decisões para os próximos meses. As previsões do Departamento de 
Contabilidade quanto às variáveis de interesse para o problema são as seguintes (em $ mil): 
 
 
Variáveis/Meses Set. Out. Nov. Dez.. Jan Fev. 
Realizável a Curto 
Prazo* 
10 9 12 48 23 20 
Pagamento de 
Fornecedores** 
12 18 20 17 13 10 
Déficit de Capital de 
Giro 
5 - 6 9 - - 
Superávit de Capital 
de Giro 
- 3 - - 10 11 
* balanço no início do mês 
** supondo pagamentos em dia 
 
O problema da gerência é financiar os déficits previstos de capital de giro ao menor volume de juros 
possível. Três alternativas de financiamento podem ser utilizadas (em conjunto ou separadamente): 
a) atrasar o pagamento dos fornecedores: ao atrasar o pagamento devido aos seus fornecedores no 
mês t, a loja sua necessidade de capital de giro no mesmo mês; todavia o pagamento deve ser 
realizado no mês seguinte com um acréscimo de 3%; além disto é política da loja limitar o uso 
desta alternativa a, no máximo, 15% do total devido a cada mês; 
b) tomar empréstimos bancários mensais com base no realizável a curto prazo: no início de 
qualquer mês t o banco se dispõe a emprestar até 30% do realizável a curto prazo do m~es; o 
empréstimo deve ser pago no mês t + 1, com juro de 4%; e 
c) empréstimo de 180 dias: no início de setembro a loja pode tomar um empréstimo de até $10 mil 
para ser integralmente pago com um juro de 32%. 
Por outro lado, no inicio de qualquer mês a loja pode investir eventuais excessos de capital de giro 
previstos para o mês em operações financeiras de 30 dias, recebendo então um juro de 2%. 
Variáveis de decisão sugeridas para formulação: 
At: volume de pagamentos de fornecedores devido no mês t (em $ mil) que é colocado em atrado 
(em $ mil); 
Bt: empréstimo de curto prazo tomado no início do mês t (em $ mil); 
C: empréstimo tomado no inicio de setembro para pagamento em fevereiro (em $ mil); 
It: investimento financeiro realizado pela loja no início do mês t ( em $ mil). 
 
 
34
 
Obs.: supõe-se que no mês de fevereiro a loja pretenda não atrasar qualquer pagamento, nem fazer 
empréstimo ou investir no mercado financeiro. 
 
29. (Corrar e Theófilo, 2004, modificado) Na qualidade de assessor de investimentos da Fundabanc, 
uma fundação de empregados de determinado banco, você foi chamado para estudar a melhor 
forma de aplicar os recursos disponíveis. A necessidade de limitar os riscos da empresa conduz a 
três tipos de aplicações: ações preferenciais, ações de companhias de utilidade pública e títulos da 
dívida pública.Na composição da carteira devem ser levadas em conta, as restrições impostas pela 
legislação e normas vigentes descritas abaixo. Dado que a empresa tem disponível R$ 100.000,00 
formule um modelo que indique à Fundabanc quanto deve ser aplicado em cada investimento de 
maneira a maximizar o retorno esperado ao mesmo tempo que obedece as restrições impostas 
abaixo. As taxas de retorno esperadas, em %, estão descritas na tabela abaixo. 
 
Investimento Símbolo Taxa de retorno esperada (%) 
Ações da Comgas COMG 4,3 
Ações da Cesp CESP 3,7 
Ações da Eletropaulo ELP 1,8 
Ações da Nestlé NES 2,8 
Títulos públicos federais TPF 1,5 
Títulos públicos municipais TPM 2,4 
 
Imposições: 
• os títulos públicos (federais e municipais) não podem representar, juntos, menos do que R$ 
30.000 dos investimentos; 
• as ações preferenciais da Nestlé estão limitadas a R$ 25.000,00 dos investimentos; 
• as ações de companhias de utilidade pública devem contabilizar pelo menos R$ 30.000 dos 
investimentos. 
 
30. (Corrar e Theófilo, 2004) A transportes ótimos é responsável pela distribuição de produtos de uma 
indústria de refrigerantes que possui duas fábricas e três depósitos. A administração da distribuidora 
está empenhada em reduzir ao mínimo possível os custos de transporte dos produtos das fábricas 
para os depósitos. Visando à modelagem deste problema como um problema de programação linear 
o controller da fábrica reuniu os dados constantes das tabelas abaixo e que correspondem aos 
custos de transporte de cada fábrica até cada depósito. Formule o modelo que indique à 
administração da distribuidora quanto transportar de cada fábrica para cada depósito de maneira a 
minimizar o custo de transporte. 
 
 Depósitos Ofertas (cx) 
 
Fábricas 
 1 2 3 
1 $450 $580 $380 2500 
2 $630 $720 $410 1200 
Demandas 
(cx) 
- 950 1550 2000 
 
 
 
31. (Lachtermacher) A LCL Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de 
investimento para diversos clientes, baseados em títulos diversos. Um de seus clientes exige que: 
 
• não mais do que 25% do total aplicado deve ser investido em um único investimento; 
• um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que dez 
anos; 
• o total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido. 
 
 
 
35
A tabela abaixo mostra os dados dos títulos selecionados. Determine qual percentual do total deve ser aplicado 
em cada tipo de título de maneira a maximizar o retorno anual. 
 
 Retorno anual Anos para 
vencimento 
Risco 
Título 1 8,7% 15 1 – Muito Baixo 
Título 2 9,5% 12 3 – Regular 
Título 3 12% 8 4 – Alto 
Título 4 9% 7 2 – Baixo 
Título 5 13% 11 4 – Alto 
Título 6 20% 5 5 – Muito Alto 
 
 
ESTUDOS DE CASO 
 
 
CASO 1: O Problema de Entrega da Companhia de Petróleo PetroMundi 
 
Você, Sra. Tina Lopez, gerente de produção da Companhia de Petróleo PetroMundi recebeu um 
chamado do Sr. Pedro Fonseca, Vice-Presidente de Produção, o qual precisa mandar ao menos 1,5 
milhões de barris de óleo para a refinaria de Lubnor, situada em Mucuripe/Fortaleza(refinaria 1), 1,6 
milhões de barris de óleo para a refinaria de Rlam situada em Salvador(refinaria 2) e 1,4 milhões de 
barris de óleo para a refinaria de Reduc situada no Rio de Janeiro(refinaria 3) para o próximo trimestre. 
Você disse a ele que iria desenvolver um, plano de custo mínimo para transportar o óleo por navios-
tanques do porto do Terminal de Rio Grande e via oleoduto da empresa situada em Tramandaí/RS. 
Fazendo algumas ligações a estes dois locais você ficou sabendo que existe uma disponibilidade de até 
3,5 milhões de barris de óleo no porto de Rio Grande e até 1,2 milhões de barris em Tramandaí. Para 
transportar o óleo do Rio Grande até as refinarias você pode alugar três tipos de navios-tanques A,B,C, 
cada um com uma capacidade de 1,6 milhões de barris. Em discussão com o Sr. Yudo Conti do 
departamento de contabilidade da empresa você ficou sabendo que o custo de transportar óleo através 
de navios-tanques consistia de um custo com seguro contra derramamento e um custo fixo de aluguel. O 
custo do seguro é de $0,25/barris/1000 km viajado (taxa básica) mais uma sobretaxa que depende da 
idade do navio. O Sr. Yuki Conti montou então para você a seguinte tabela: 
 
Tabela 1 – Custos Fixos e Variáveis do Aluguel de Navios Tanque 
Navio-Tanque Taxa Básica 
($/barris/1000km) 
Sobretaxa 
($/barris/1000km) 
Custo Fixo 
($) 
A 0,25 0,00 200000 
B 0,25 0,1250 100000 
C 0,25 0,0625 150000 
 
Ele também forneceu as distâncias aproximadas do porto no Rio Grande para cada uma das refinarias e 
o custo total de bombear um barril de óleo de Tramandaí até as refinarias. 
 
Tabela 2 – Distâncias entre Refinarias e Porto e Custos de Transporte 
 Distância do porto de Rio 
Grande (Km) 
Custo para Transportar por 
oleoduto de Tramandaí 
($/barris) 
Refinaria 1 2500 1,40 
Refinaria 2 2000 1,25 
Refinaria 3 1800 1,20 
 
Como Gerente do Departamento de Produção, formule um modelo para determinar um plano de custo 
mínimo que atenda todas as necessidades de óleo das refinarias. Mantenha em mente que você pode 
 
 
36
determinar qual, se algum, navio-tanque usar e a quais refinarias mandá-los, mas um navio-tanque não 
pode ir a mais de uma refinaria. 
 
 
 
CASO 2 – O Problema de Produção da Companhia Produtora de Aço ASA 
 
ASA é uma grande empresa que produz cinco tipos diferentes de placas de ferro em suas oito fábricas. 
Em um recente encontro de planejamento estratégico, o CEO da empresa decidiu alocar os orçamentos 
para cada uma das oito fábricas de acordo com a tabela 3 abaixo. Estes orçamentos foram baseados em 
parte pelas demandas fixas mostradas na tabela 4 fornecida pelo departamento de vendas para os cinco 
tipos diferentes de placas de ferro. Como Vice-Presidente de Produção, você Sr(a) ...... tem sido 
solicitado a determinar um plano de produção para cada uma das oito fábricas. 
Preparando tal plano você solicitou a seu colaborador, Sr. Dietz, que obtenha os custos de produção de 
cada um das cinco placas de ferro nas oito fábricas existentes. 
 
Tabela 3 – Orçamento Designado a Cada Fábrica ($1.000) 
Fábrica 1 2 3 4 5 6 7 8 
Orçamento 900 1050 950 1050 1000 1600 950 1050 
 
Tabela 4 – Demanda por cada Tipo de Placa de Ferro (ton) 
Tipo de Placa 1 2 3 4 5 
Demanda 450 800 500 650 180 
 
Na sua próxima reunião com o Sr. Dietz ele trouxe os dados de custo mostrados na Tabela 5 abaixo. Ele 
também mostrou que a ASA tem a possibilidade de comprar estas placas de três fornecedores externos 
nas quantidades e preços mostrados na Tabela 6. Sr. Dietz lembrou que obrigações contratuais 
requerem que se um fornecedor em particular é escolhido a ASA deverá comprar toda sua 
disponibilidade dos cinco tipos de placas de ferro aos preços indicados. Você pode, é claro, decidir 
comprar de nenhum, um, dois ou dos três fornecedores. Quando você passou esta informação ao CEO 
da empresa Sr. Carlos Marques, o mesmo aprovou esta transação com fornecedores externos desde 
que esta compra baixasse os custos totais e informou a você que os custos de comprar destes 
fornecedores não deveriam afetar o orçamento previamente designado a cada fábrica. 
Como Administrador de Produção, formule um modelo para determinar um plano de produção para cada 
uma das oito fábricas e de quais fornecedores, se algum, comprar placas de ferro para minimizar o custo 
total enquanto satisfaz as demandas e não ultrapassa o orçamento destinado a cada fábrica. 
 
Tabela 5 – Custos de Produzir 1 tonelada de cada tipo de Placa de Ferro i na Fábrica j ($1.000) 
 Fábrica 
Tipo de 
Placa 
1 2 3 4 5 6 7 8 
1 5 3 4 3 3 4 6 4 
2 3 4 6 2 5 3 5 4 
3 7 6 5 8 4 3 4 5 
4 6 6 6 5 3 5 5 4 
5 8 98 7 10 9 8 6 
 
Tabela 6 – Custo por Tonelada e Quantia de Cada Placa Disponível em Cada Fornecedor 
 Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 
Tipo de Placa Custo* Quantia** Custo* Quantia** Custo* Quantia** 
1 5 40 4 10 5 20 
2 5 20 8 80 6 40 
3 5 30 6 50 6 10 
4 3 40 4 20 5 10 
5 5 20 3 10 4 50 
* Custo ($1.000) de comprar 1 tonelada de cada placa i do fornecedor; ** Se um fornecedor for utilizado, tudo de suas quantias 
disponíveis do cinco tipos de placas de ferro devem ser compradas ao custo indicado. 
 
 
37
 
 
ANEXO 3: Como utilizar o Solver/Excel para resolver problemas de 
programação linear (PL) 
 
Recordando o exercício abaixo: 
 
Fashion Bikes Inc. (FBI) acaba de lançar 2 tipos de bicicletas infantis (1 para menino e 1 para menina) 
que está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso é tanto que tudo que ela conseguir 
produzir será vendido gerando um lucro para empresa de $30 nas bicicletas para meninos e $50 nas 
bicicletas para meninas. O departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada 
tipo sejam produzidas por dia. Uma bicicleta de menino requer 4 horas no departamento de fabricação e 
1 hora no departamento de montagem. Uma bicicleta de menina requer 4 horas no departamento de 
fabricação e 2 horas no departamento de montagem. Atualmente FBI emprega 200 trabalhadores no 
departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A empresa trabalha 
com 3 turnos de 8 horas (hora extra não é permitida). De acordo com os dados acima indique ao dono da 
FBI quantas bicicletas para meninos e quantas bicicletas para meninas devem ser produzidas por dia 
para obter o máximo lucro possível assim como o lucro total diário desta produção. 
 
 
Modelando este problema como um problema de programação linear teremos: 
 
Max Lucro) 50xf + 30xm 
s.t. 
Restr. de fabric) 4xf + 4xm < = 4800 
Restr. de mont) 2xf + xm < = 2400 
Impos. Marketing bici fem) xf >= 250 
Impos. Marketing bici masc) xm >= 250 
 
 
 
Para resolvermos este modelo no excel, primeiro deveremos colocá-lo, no software, em forma de planilha 
conforme a figura 1 abaixo, aonde: 
 
nas coluna A e B teremos os cabeçalhos, ou seja, o nome das restrições. 
 
nas colunas de C até G teremos as informações do modelo. Devemos informar em C e D quais são as 
constantes que, no modelo, estão multiplicando as variáveis xf e xm. 
 
Na coluna E deveremos colocar, para cada restrição a fórmula, ou seja, a função, que a representa. Por 
exemplo: 
 
Na célula E7 teremos a função que representa o consumo de mão de obra no departamento de 
fabricação, ou seja: 4xf + 4xm. Como no excel uma função é informada através do endereço das células 
teremos a constante 4 substituída pelo endereço em que ela se encontra C7, a variável xf substituída 
Constante=4 
Variável = xm 
 
 
38
pelo endereço C5, a outra constante 4 pelo endereço D7 e a variável xm por D5. 
Teremos, então 
=C7*C5 + D7 * D5 
 
Para a restrição de montagem, que está uma linha abaixo teremos: 
= C8*C5 + D8 * D5 
 
A mesma coisa deve ser feita para as demais restrições, assim como para a função objetivo. 
 
A célula E6 deverá conter a representação da função objetivo (50xf + 30xm). Recorrendo novamente ao 
artifício do endereço das células e teremos: 
 
=C6*C5 + D6*D5 
 
Note que tanto as restrições quanto a função objetivo estarão sempre se referindo aos endereços C5 e 
D5 as quais deverão conter as quantidades de xf e xm. 
 
Depois de construídas todas as funções na coluna “totais” deveremos informar, para cada restrição, se a 
mesma é <=, =, ou >= na coluna F. 
 
Na coluna G teremos ainda os valores dos lados direitos de cada restrição (RHS). 
 
Com o modelo pronto, é só chamar o Solver através de Ferramentas/Solver, conforme figura 2. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Ativando o solver 
 
 
39
Figura 3 – Definindo célula de destino 
 
 
Após o solver ser ativado a janela da figura 3, acima, se abrirá. Nesta estaremos informando o modelo 
que queremos resolver. 
. 
Passos a serem seguidos: 
 
1o) Definir célula de destino: a célula de destino será sempre a que contém a função que representa a 
minha função objetivo, ou seja, E6; 
 
2o) Informar se o modelo é de maximização ou minimização clicando no lugar correspondente; 
 
3o) Informar as células variáveis, conforme figura 4 abaixo.: estas serão aquelas que estamos buscando, 
ou seja, os valores de xf e xm(células C5 a D5), 
 
4o) adicionar as restrições do modelo clicando no botão Adicionar que abrirá a janela da figura 5; 
 
5o) na janela da figura 5 tem-se: referência de célula (valores em verde nas colunas) = ou >= ou <= 
restrição (valores em rosa na coluna). Nesta janela iremos informar cada restrição, por exemplo: 
 
Para a restrição de mão de obra no departamento de fabricação iremos informar que a solução 
encontrada deve respeitar a seguinte imposição: o valor que está em E7 (consumo de mão de obra neste 
departamento. ) deve ser <= ao valor que está em G7 (máximo de horas de mão de obra disponível). 
 
6o) depois que introduzirmos todas as restrições voltamos à janela inicial e clicamos em Opções. Desta 
maneira a janela da figura 6 se abrirá e clicaremos em: presumir modelo linear e presumir não 
negativos. 
 
7o) Depois de todos estes passos executados poderemos resolver o modelo. 
 
 
 
40
Figura 4 – Informando as células variáveis 
 
 
 
 
Figura 5 – Adicionando as restrições 
 
 
 
41
Figura 6 – Escolha de opções do Solver 
 
 
 
42
Figura 7 – Modelo pronto para execução do Solver 
 
 
 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
43
 
3. . Resolução de um Modelo de Programação Linear: Solução Gráfica 
 
 
 
 
 
3.1 Introdução 
 
 Na unidade anterior foi abordado o método de construção de um modelo linear. Vários modelos 
foram construídos e resolvidos com a utilização do software EXCEL. 
 Nesta unidade, entretanto, iremos abordar a resolução de modelos de programação linear 
através do método gráfico. Salienta-se que, através do método gráfico, somente modelos lineares de 
duas variáveis podem ser representados. 
 Mas porque devemos aprender o método gráfico se existem softwares que chegam à solução 
do problema com eficiência? 
 Bem, o método gráfico é importante para melhorar o entendimento do modelo linear. Através 
dele pode-se enxergar o que está acontecendo quando uma restrição está sendo adicionada ao 
modelo e como se chega à definição dos valores das variáveis. 
 Vamos lá? 
 Iniciando através de um exemplo tem-se: 
 
Exemplo 3.1 A empresa SEMPRE PERFUMADA (SP) é uma microempresa do ramo de perfumaria 
com sede em Palhoça/SC. Trabalha na mistura de componentes importados para produção de vários 
tipos de perfumes. Dois perfumes masculinos são os carros chefe da empresa. Um é bastante suave 
e o outro mais forte e duradouro. A produção dos perfumes se dá em dois setores: o de mistura e o 
de embalagem. No setor de mistura 5 funcionários trabalham em tempo integral (40h/semana) e 2 em 
tempo parcial (15h/sem.) misturando os componentes importados de acordo com as dosagens pré-
determinadas. No setor de embalagens 6 funcionários de tempo integral (40h/semana) e um 
funcionário parcialmente licenciado (10 h/semana) trabalham na colocação dos perfumes já prontos 
em seus respectivos frascos e nas respectivas caixas que serão transportadas para o depósito para 
posterior entrega nos pontos de varejo. O dono da empresa pensa que pode trabalhar com mais 
eficiência e, com isto, alcançar um lucro semanal maior se alterar as quantidades produzidas de seus 
dois produtos. Para resolver este problemalevantou os dados constantes na tabela abaixo que 
estabelecem o número de horas que cada litro de produto necessita nos setores de mistura e de 
embalagem. 
 
Tabela 3.1. Requerimentos (horas/litro) nos respectivos setores de produção 
 Perfume 1 Perfume 2 
Setor de Mistura 2 1 
Setor de Embalagens 1 2 
 
 
 A empresa tem trabalhado com estoques altos de matéria prima sendo, portanto, o único 
recurso limitante a mão de obra disponível. Porém, sabe que não deve produzir mais do que 120 
litros do perfume 2 pois, sendo este um perfume mais forte, a procura é baixa. A margem de lucro 
calculada para o produto 1 é de $3 por litro e do produto 2 é de $5 por litro. Como administrador da 
empresa você necessita determinar quanto de cada tipo de perfume deve ser produzido por semana 
para maximizar o lucro da SP. 
 
 
 
 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
44
Utilizando o processo de formulação desenvolvido na unidade anterior tem-se: 
 
Passo 1: Definição das Variáveis de Decisão 
 
X1 = número de litros do perfume 1 produzir por semana 
X2 = número de litros do perfume 2 produzir por semana 
 
 
Passo 2: Identificação dos dados do problema 
 
Variáveis Símbolos Unida
de 
Dados Iniciais Solicitado 
Perfume 
1 
Perfume 
2 
Perfume 
1 
Perfume 
2 
 
Número de litros de 
perfume 
X1 X2 litros - - 
Consumo de M.Obra no 
setor de mistura 
- - Horas 2 1 <= 230 horas 
Consumo de M.Obra no 
setor de embalagem 
- - horas 1 2 <= 250 horas 
Lucro Unitário - - $ 3 5 - 
Solicitado >=0 >=0 
<= 120 
- - - - 
Lucro Total LT $ Maximizar 
 
 
Passo 3. Identificação e Modelagem da Função Objetivo 
 
 
Max LT) 3x1 + 5x2 
 
 
Passo 4. Identificação e Modelagem das Restrições 
 
 
MOMist) 2x1 + x2 < = 230 
MOEmb) x1 + 2x2 < = 250 
DemX2) x2 < = 120 
 
 
Modelo Final: 
 
Max LT) 3x1 + 5x2 
s.a. 
 
R1) 2x1 + x2 < = 230 
R2) x1 + 2x2 < = 250 
R3) x2 < = 120 
R4) x1 > = 0 
R5) x2 > = 0 
 
 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
45
3.2. Resolvendo um Modelo Linear através do Método Gráfico 
 
A resolução de um modelo linear através do método gráfico inicia-se com o traçado dos dois 
eixos representativos de um gráfico bi-dimensional. 
Para o exemplo 3.1 anterior estes eixos estarão representando as quantias (em litros) dos 
perfumes 1 e 2 (x1 e x2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Sistema de eixos para o exemplo 3.1 
 
 
 
3.2.1. Construindo o gráfico representativo das restrições 
 
 Normalmente se inicia a construção do gráfico representativo de um modelo linear traçando as 
restrições do problema. 
 A representar estas restrições estaremos trabalhando na busca de valores viáveis para cada 
restrição. Estes serão todos os valores que satisfazem aquela restrição em particular. 
 Aqueles valores que não satisfazem a restrição são chamados de valores inviáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o exemplo 3.1 pode-se representar primeiramente as restrições 4 e 5. Estas fazem com que 
as variáveis de decisão x1 e x2 assumam somente valores positivos conforme pode ser observado 
na figura 02 abaixo. 
 
 
Valores Viáveis: 
São os valores para as variáveis de decisão que 
satisfazem a restrição. 
X1 
X2 
1o Quadrante 
2o Quadrante 
4o Quadrante 
3o Quadrante 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
46
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 02. Área viável segundo as restrições 4 e 5 do Exemplo 3.1 
 
 
Os valores viáveis, portanto, serão aqueles situados no primeiro quadrante do sistema de eixos. 
Excluem-se os quadrantes 2, 3 e 4 pois estes conduzem à valores negativos para as variáveis de 
decisão. 
Neste momento, todos os valores situados no 1o. quadrante do sistema de eixos são 
considerados viáveis. Porém faltam ainda duas restrições a ser representadas. Vamos, portanto, à 
representação gráfica da restrição 1. 
 
R1) 2x1 + x2 < = 230 
 
Para podermos encontrar a região viável, ou seja, a região que contenha valores para as 
variáveis que obedecem às restrições 4, 5 e 1 primeiramente devemos transformar a desigualdade 
da restrição 1 em uma igualdade. O resultado será a reta 2x1 + x2 = 230 que deverá ser 
representada conforme figura 03 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 03 – Região viável baseada nas restrições 1, 4 e 5 
 
X1 
X2 
R4 
R5
X1 
X2 
100 200 300 
100 
200 
300 
R1 
R5 
R4 
A B 
C 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
47
Note que, ao traçar a reta representativa da restrição 1 estaremos restringindo ainda mais nosso 
espaço de soluções viáveis. Como a restrição 1 é uma desigualdade e não uma igualdade todos os 
valores situados sobre e abaixo da reta representativa da restrição serão valores viáveis. Quando 
temos uma restrição de igualdade somente os valores situado sobre a reta serão valores viáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A região viável, neste momento, está restrita ao conjunto de valores situados no triângulo de 
vértice ABC acima. 
Porém falta ainda representar as restrições 2 e 3 do modelo. 
Para representar as duas restrições deve se proceder da mesma maneira que para a restrição 1 
acima. Primeiro transforma-se a desigualdade em igualdade. Traça-se a reta e busca-se o conjunto 
de valores viáveis para aquela restrição. Observe que: 
 
Em uma restrição tipo <= os valores viáveis estarão sempre sobre e abaixo da reta que representa a 
restrição. 
Em uma restrição tipo >= os valores viáveis estarão sempre sobre e acima da reta que representa a 
restrição. 
 
 
As figuras 04 e 05 são as representações gráficas do modelo do Exemplo 5.1 quando a restrição 
02 é adicionada (Figura 04) e quando a restrição 03 é adicionada (Figura 05). 
 
 
 
R2) x1 + 2x2 < = 250 
R3) x2 < = 120 
 
 
 
Note que ao acrescentar a restrição 2 (Figura 04) o espaço que contém as soluções viáveis para 
o modelo de P.L. deixa de ser o triângulo acima e transforma-se em um polígono de vértices ABCD. 
A região situada dentro e sobre o polígono é chamada de região viável e esta contém valores para as 
variáveis x1 e x2 que obedecem as restrições 1,2,4 e 5. Todos os pontos (x1 e x2) situados dentro 
deste polígono são soluções viáveis para o modelo. 
A Figura 5 mostra como fica a região viável para o modelo do exemplo 5.1 quando a restrição 3 
é acrescida ao gráfico. A região viável agora é formada pelo polígono de vértices ABCDE. Observe 
que o espaço que contém a região viável vai ficando cada vez menor à medida que mais uma 
restrição é acrescentada. Isto é bastante evidente pois a busca de valores para x1 e x2 que 
satisfaçam as restrições vai ficando cada vez mais difícil ao adicionarmos mais uma restrição. 
 
 
 
 
Região Viável: 
É aquela região que reúne um conjunto de valores 
viáveis para as variáveis de decisão que satisfazem 
todas as restrições do modelo de Programação 
Linear. 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
48
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 04 – Região Viável segundo as restrições 1,2,4 e 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 05 – Região Viáveldo Exemplo 3.1 para todo o conjunto de restrições 
 
 
 A figura 05 acima estabelece, então, a região viável do modelo de programação linear. Dentro 
da área formada pelo polígono de vértices ABCDE que representa as restrições 1,2,3,4 e 5 tem-se o 
R1 
X1 
X2 
100 200 300 
100 
200 
300 
R1 
R2 
R4 
R5 
A B 
C 
D 
X1 
X2 
100 200 300 
100 
200 
300 
R2 
R4 
R5 
R3 
B A 
C 
D E 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
49
conjunto de soluções viáveis do problema. As soluções viáveis serão todas aquelas que satisfazem, 
ao mesmo tempo, todas as restrições do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3.2.2. Obtendo a Solução Ótima 
 
 Através da Figura 05 acima pode se observar que existe um conjunto grande de soluções 
possíveis (viáveis) formado por todos os pontos dentro e sobre o polígono de vértices ABCDE. Porém 
a solução ótima de um modelo de Programação Linear é aquela que ao mesmo que satisfaz todas as 
restrições conduz ao melhor valor da função objetivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Existem duas maneiras de chegar-se à solução ótima de um P.L. através da abordagem gráfica 
A primeira e, na maior parte das vezes, a mais fácil é a que está baseada no seguinte teorema: 
 
Teorema 1. Se um Programa Linear é viável e o conjunto de todas as suas restrições resultam 
em um polígono convexo então a solução ótima se dará em um dos vértices deste polígono. 
 
 Observando a Figura 05 acima vê-se que o conjunto de restrições está representado por um 
polígono convexo e, portanto, pode-se fazer uso do teorema 1 para encontrar a solução ótima. O primeiro 
passo será o de relacionar todas as coordenadas dos pontos que definem os vértices do polígono 
ABCDE, conforme tabela abaixo. 
 O passo seguinte será o de calcular o valor da função objetivo em cada ponto, e ver qual ponto 
nos fornece o melhor valor para a função objetivo. 
 
 
 
 
 
Se o objetivo da empresa é o que segue: 
 
Função Objetivo: Max LT) 3x1 + 5x2 
 
Então pode-se chegar à tabela: 
 
Solução Ótima: 
 
É aquela solução na qual as variáveis de decisão são 
valores viáveis e que conduz ao melhor valor da 
Função Objetivo. 
Solução Viável: 
 
Uma solução na qual as variáveis de decisão 
assumem valores viáveis. 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
50
 
Tabela 3.2. Coordenadas dos Vértices do P.L. do Exemplo 5.1 e Valores na Função Objetivo 
Ponto X1 X2 Valor da F.Objetivo 
(F.O. = 3x1 +5x2) 
A 0 0 0 
B 115 0 345 
C 70 90 660 
D 10 120 630 
E 0 120 600 
 
 
 
 A solução que produz o maior valor da função objetivo será a solução constante do ponto C 
(Lucro Total = $660). 
 Mas, como encontrar as coordenadas dos pontos? Através dos métodos de resolução de 
sistemas de equações lineares. 
 
 Para exemplificar vamos pegar o ponto B. Ele está localizado entre a intersecção da reta da 
restrição 1 e a reta da restrição 5. Se as equações das retas são: 
 
 
2x1 + x2 = 230 
x2 = 0 
 
Se x2 = 0 então substituindo este valor na 1a. equação tem-se: 2x1 = 230 → x1 = 115 e x2 = 0 
 
Para encontrar o ponto C procede-se da mesma maneira. Este ponto será a intersecção das 
retas das restrições 1 e 2. 
 
 2x1 + x2 = 230 
 x1 + 2x2 = 250 
 
 O ponto D será a intersecção entre as retas das restrições 2 e 3: 
 
 x1 + 2x2 = 250 
 x2 = 120 
 
 O ponto E será a intersecção entre as retas das restrições 3 e 4 o que já resulta diretamente nos 
valores de x1 = 0 e x2 = 120. 
 
 Uma outra maneira de obter-se graficamente o resultado de um modelo de P.L. é através do 
traçado da reta que representa a função objetivo. Como a função objetivo é uma função aberta e no caso 
do exemplo 3. 1 uma função aberta na direção da maximização ela não será uma reta fixa no sistema de 
eixos como é o caso das restrições. Será uma reta que se moverá na direção da maximização. 
 Mas, como traçar a F.Objetivo? 
 Bem, primeiro deve-se tomar um ponto dentro da região viável (x1,x2) 
 
 Por exemplo: x1 = 50 e x2 = 60 (50,60) 
 
 Ao estabelecer-se o valor deve-se substituir os mesmo na função objetivo e calcular o resultado: 
 
F.O. = 3x1 + 5x2 
 
Se x1 = 50 e x2 = 60 temos: 3* 50 + 5* 60 = 450 
 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
51
 Logo após retorna-se à função objetivo original (3x1 + 5x2) e traça-se a reta que representa a 
F.O. naquele ponto: 
 
3x1 + 5x2 = 450 
 
Para traçarmos esta reta toma-se dois pontos (x1 = 0 e x2 = 90) e (x2=0 e x1 = 150) 
 
 O resultado será o mostrado na Figura 06 que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 06 – Representação Gráfica do Exemplo 3.1: Busca da Solução Ótima (Passo 1) 
 
 
 
 Após traçar a reta que representa a função objetivo naquele ponto procede-se a busca da 
melhoria do valor da função objetivo movendo-se a reta da F.Objetivo para a direita até que ela esteja 
praticamente saindo do polígono. O último ponto que esta reta toca antes de sair do polígono será a 
solução ótima. Observe na Figura 07 abaixo que o último ponto que a reta toca será o ponto C 
confirmando então este ponto como solução ótima do modelo de Programação Linear do exemplo 03. 
 
 
B 
C 
D 
X1 
R5 
X2 
100 200 300 
100 
200 
300 
R1 
R2 
R4 
R3 
E 
A 
3x1 + 5x2 = 450 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
52
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 07 – Representação Gráfica do Exemplo 3.1: Busca da Solução Ótima (Passo 2) 
 
 
 
3.3. Programas Lineares Inviáveis 
 
Na seção anterior trabalhou-se sobre um programa linear para o qual pôde-se obter uma solução 
ótima única. Porém, apesar de ser o caso mais comum, muitas vezes depara-se com outros tipos de 
programas lineares como é o caso de um programa linear inviável. 
Um programa linear é inviável quando não existem valores para as variáveis de decisão que 
satisfaçam todas as restrições simultaneamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Normalmente um programa linear vem a ser inviável por erros no momento da modelagem ou por 
imposições do administrador impossíveis de serem obedecidas no modelo. 
Para exemplificar tomamos novamente o Exemplo 3.1 mas pensemos em uma situação em que o 
administrador da empresa solicitasse a você que modificasse o modelo pois a demanda do perfume 2 
teve um salto grande e ele precisa para a próxima produzi mais do que 150 litros deste produto por 
semana. O modelo modificado ficaria: 
 
 Max LT) 3x1 + 5x2 
 s.a. 
 
 R1) 2x1 + x2 < = 230 
 R2) x1 + 2x2 < = 250 
 R3) x2 > = 150 
 R4) x1 > = 0 
 
 
A representação gráfica deste novo modelo seria a da Figura 08: 
D 
100 
3x1 + 5x2 = 450 
R4 
X2 
100 200 300 
200 
300 
R1 
R2 
R3 
E 
C 
A 
B 
3x1 + 5x2 = 660 
Programa Linear Inviável: 
 
É um programa linear no qual não existem valores 
para as variáveis de decisão que satisfaçam todas as 
restrições. 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
53
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 08 – Programa Linear Inviável 
 
 
 Note, através da Figura acima que não existem valores possíveis para x1 e x2 que satisfaçam 
todas as restrições. Para satisfazer a restrição 1 somente valores sobre e abaixo da reta que representa 
a restrição são aceitos. Para a restrição 2 vale o mesmo. Porém quando olharmosa região de valores 
viáveis para a restrição 3 pode se observar que os valores acima da reta da R3 são viáveis para esta 
restrição porém não obedecem a restrição 2. Não existe portanto um único valor que possa satisfazer 
todas as 4 restrições do modelo. 
 Se olharmos mais atentamente para o modelo poderemos ver que o programa é inviável porque 
não existe recurso no setor de embalagem para produzir a quantia de 150 litros do perfume 2. 
 
 
3.4 Programas Lineares Ilimitados 
 
Um outro caso é o de programas lineares ilimitados. Neste tipo de programa não existe uma solução 
única pois o conjunto de restrições não forma um polígono fechado estando aberto na direção da 
maximização ou minimização. 
Para observarmos o que ocorre neste caso suponhamos que o modelo do exemplo anterior tenha 
sido erroneamente construído com as desigualdades das restrições 1 e 2 trocadas de < para >. O modelo 
ficaria como abaixo e a Figura 9 estaria representando graficamente este modelo: 
 
Max LT) 3x1 + 5x2 
s.a. 
 
R1) 2x1 + x2 > = 230 
R2) x1 + 2x2 > = 250 
R3) x2 < = 120 
R4) x1 > = 0 
R5) x2 > = 0 
 
 
X1 
X2 
100 200 300 
100 
200 
300 
R1 
R2 
R4 
R3 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
54
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 09 – Programa Linear Ilimitado 
 
 
 Na figura acima a região formada, neste novo modelo, será a definida pelos vértices ABC. A 
região está portanto aberta não formando mais um polígono fechado. Com o objetivo é de maximização a 
reta da F.Objetivo será levada para a direita infinintamente não encontrando então uma solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X2 
100 200 300 
100 
200 
300 
R1 
R2 
R3 
A 
B 
C 
Programa Linear Ilimitado: 
 
É um programa linear no qual a função objetivo pode 
ser melhorada infinitamente. 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
55
Atividade de Fixação 
 
 
1. Uma marcenaria situada em Florianópolis produz mesas e cadeiras de baixo custo. O processo de 
produção das mesas e cadeiras é similar e requer um certo número de horas de trabalho no setor de 
carpintaria e um certo número de horas de trabalho no setor de pintura. Cada mesa necessita de 4 
horas de trabalho no setor de carpintaria para ficar pronta para pintura e 2 horas de trabalho de 
pintura. Cada cadeira requer 3 horas na carpintaria e 1 hora na pintura. Durante o atual período de 
produção estão disponíveis 240 horas de trabalho no setor de carpintaria e 100 horas de trabalho no 
setor de pintura. O departamento de marketing está confiante de que pode vender todas as mesas 
que puderem ser fabricadas. Entretanto, devido a um estoque existente de cadeiras, o departamento 
não recomenda que sejam fabricadas mais do que 60 novas cadeiras. Cada mesa vendida tem uma 
margem de contribuição para o lucro de $7, e cada nova cadeira vendida resulta em uma margem de 
$5. Modele o problema que indique à empresa quantas cadeiras e quantas mesas produzir por 
semana de modo a maximizar o lucro. Resolva graficamente. 
 
2. Uma importadora situada em Santa Catarina está planejando expandir seu negócio até o Rio Grande 
do Sul. Para fazer isto a empresa necessita saber quantos depósitos de cada tamanho deverá 
construir para armazenar suas mercadorias. Seu objetivo e restrições são como segue: 
 
Maximizar lucro mensal) 50X + 20Y 
s.a. 
orçamento de marketing disponível) 20X + 40Y < = 400 
No. de m2 requerido) 100X + 50Y < = 800 
Máximo de depósitos pequenos) X < = 60 
 X >=0 
Y >=0 
 
Onde: X = número de depósitos pequenos a construir e Y = no. de depósitos grandes a construir. 
Resolva graficamente este problema. 
 
3. Encontre as soluções dos programas lineares abaixo: 
 
a) Maximizar lucro) x + y 
s.a. 
 2x + y <=100 
 x + 2Y <=100 
 x, y > = 0 
 
 
b) Maximizar lucro) 3x + 2y 
s.a. 
 2x + y <=150 
 2x + 3Y <=300 
 x, y > = 0 
 
 
c) Maximizar lucro) 4x + 6y 
s.a. 
 x + 2y <= 8 
 6x + 4y <=24 
 x, y > = 0 
 
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica 
 
56
d) Maximizar –x1 + 2X2 
s.a. 
 6x1 –2X2 <=3 
 -2x1 + 3x2 <=6 
 x1 + x2 <= 3 
 x1, x2 >=0 
 
 
e) Maximizar -4x1 + 8x2 
s.a. 
 6x1 – 2x2 <=3 
 -2x1 + 3x2 <=6 
 2x1 + 3x2 <=24 
 x1,x2 >=0 
 
 
f) Minimizar x1 + x2 
s.a. 
 3x1 – 5x2 >=30 
 3x1 + 2x2 <=9 
 x1, x2 >=0 
 
 
g) Minimizar custo) x + 2y 
s.a. 
 x + 3y >=90 
 8x + 2Y >=160 
 3x + 2y > = 120 
 y < = 70 
 x, y > = 0 
 
h) Minimizar 12x1 -2x2 
s.a. 
 5x1 – 4x2 <=14 (a) 
 x1 - 4x2 <=-2 (b) 
 2x1 + x2 >= 5 (c) 
 6x1 – x2 >= 3 (d) 
 x1, x2 >=0 (e) e (f) 
 
 
 
Respostas: 
 
1) X = 8; Y=0; F.O. = $400 
3a) X = 33,33; Y = 33,33; F.O. = 66,67 
3b) X = 37,5; Y = 75; F.O. = 262,5 
3c) X = 2; Y = 3; F.O. = 26 
3d) X = 0,6; Y = 2,4; F.O. = 2,4 
3e) X = 1,5; Y = 3; F.O. = 1,8 
3f) Inviável 
3g) X = 25,71; Y = 21,43; F.O. = 68,57 
3h) inviável. 
 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
57
 
 
4. Programação Linear: Interpretando os Resultados 
 
 
 
Até a unidade anterior você aprendeu como construir modelos de programação linear que 
representassem um problema decisório de uma determinada empresa. Em especial problemas de 
planejamento da produção e problemas de transporte foram abordados. 
Você também aprendeu a resolver problemas de programação linear através da abordagem 
gráfica. Porém, esta abordagem só pode ser utilizada quando temos um modelo de duas variáveis e um 
número não muito grande de restrições. Para problemas maiores, com mais de duas variáveis e um 
número grande de restrições nada mais fácil do que utilizar o computador através dos softwares hoje 
existentes tais como: Solver do Excel e LINDO. Mas, como estes softwares resolvem os problemas de 
programação linear? Através de um eficiente algoritmo chamado SIMPLEX. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui nesta unidade você não irá aprender todos os passos que o SIMPLEX executa para 
alcançar a solução ótima. O foco está na interpretação dos resultados que o computador nos dá. E na 
análise a fundo de todas as informações contidas no relatório do EXCEL. 
 A interpretação dos resultados que os softwares fornecem é de grande importância para o 
administrador. De nada adianta saber modelar perfeitamente um problema decisório de uma empresa se 
não souber extrair do relatório todas as informações nele disponíveis. 
 Nesta unidade estaremos trabalhando especificamente com o relatório do EXCEL, porém, as 
interpretações aqui estudadas são também aplicadas a qualquer outro software de programação linear 
 Iniciaremos esta unidade com o estudo da transformação de um modelo qualquer de 
programação linear na sua forma padrão. Este processo é utilizado pelos algoritmos de resolução de 
modelos de P.L. e seu entendimento conduz a uma melhor compreensão das informações existentes nos 
relatórios dos pacotes computacionais. 
 
 
4.1. Forma Padrão 
 
 Como vimos até aqui os modelos de programação linear podem ser de vários tipos. A função 
objetivo pode ser de maximização ou minimização, as restrições podem ser de igualdade (=) ou 
desigualdade (<= ou >=), as variáveis podem assumir valores negativos ou positivos (até aqui nossas 
variáveis só assumiam valores positivos mas existem casos, como problemas de localização, por 
exemplo, em que as variáveis assumem valores negativos). 
 A forma padrão é uma forma particular de modelo de programação linear na qual a função 
objetivoé de maximização, todas as restrições são igualdades, o lado direito (RHS) é positivo e todas as 
variáveis são não-negativas (positivas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMPLEX é 
um método algébrico para resolver qualquer problema de 
programação linear em um número finito de passos. 
Na forma padrão as seguintes condições devem ser satisfeitas: 
 
1) A função objetivo é de maximização; 
 
2) Todos os RHS das restrições devem ser não-negativos; 
 
3) Todas as restrições são igualdades; 
 
4) Todas as variáveis são não-negativas. 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
58
 
 
 
 
Se um modelo não estiver nesta forma deve-se transformá-lo. 
Para ilustrar o procedimento envolvido voltemos ao exemplo modelado na 2a. unidade. 
 
 
Exemplo 4.1. Só Bicicletas (SB) é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas. 
A empresa acaba de lançar 2 novos modelos de bicicletas infantis ( 1 para menino e 1 para menina) que 
está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for 
produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada 
modelo sejam produzidos. O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de $50 e da 
bicicleta masculina é de $30. A empresa conta para a produção destes dois novos modelos com 200 
trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A 
empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha 8 horas por dia. O modelo feminino 
necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de 
montagem. O modelo masculino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e 
de 2 horas no departamento de montagem. Formule um modelo que informe à SB o plano de produção 
diário que maximiza seu lucro. 
 
 
Lembre-se que as variáveis de decisão definidas foram: 
 
Xf = o número de bicicletas femininas produzir diariamente 
Xm = o número de bicicletas masculinas produzir diariamente 
 
 
 
Max LT ) 50Xf + 30Xm 
 
 s.a. 
 
MOFabric) 4Xf + 4Xm <=4800 
MOMont ) 2Xf + Xm <=2400 
 DemFem) Xf >= 250 
 Dem Masc) Xm > = 250 
 
 
 
 Observando o modelo acima conclui-se que sua função objetivo é de maximização, as variáveis 
são positivas, os valores dos RHS são positivos porém as restrições são todas de desigualdades. Estas 
deveremos transformar em igualdades para chegarmos à forma padrão. 
 
4.1.1. Convertendo uma desigualdade em uma igualdade 
 
MOFabric) 4Xf + 4Xm <=4800 
 
 A restrição acima é utilizada para indicar que não mais do que 4800 horas podem ser utilizadas 
pelo departamento de fabricação na produção de bicicletas femininas e masculinas. Mas, como 
transformar este restrição em um igualdade? 
 Através da inclusão, no modelo, de uma variável de folga (s) da seguinte maneira: 
 
MOFabric) 4Xf + 4Xm +s1 = 4800 
 
RHS: Lado direito da 
desigualdade 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
59
 
 
A variável s1 no modelo acima significa a quantidade do recurso (mão de obra no departamento 
de fabricação) não utilizado no plano ótimo. Quando esta variável assumir o valor zero este valor 
significará que todo o recurso está sendo utilizado. 
 
Por exemplo: 
� se s1 = 0 o consumo de m.obra no departamento de fabricação será de 4800h na solução 
ótima. 
� Se s1=1200, o consumo de m. obra no departamento de fabricação será de 4800-1200 = 
3600 horas na solução ótima. 
 
O mesmo procedimento deve ser aplicado à 2a. restrição. 
 
MOMont ) 2Xf + Xm <=2400 
 
 Ou seja: 
 
MOMont ) 2Xf + Xm + s2 = 2400 
 
Sendo que s2 significa o número de horas não utilizadas, no plano ótimo,. no departamento de 
montagem. 
A 3a. e 4a. restrição ficará um pouco diferente pois, por serem restrições tipo >=, as variáveis de 
folga não serão subtraídas e sim somadas ao RHS. 
 
DemFem) Xf >= 250 
 Dem Masc) Xm >= 250 
 
Forma Padrão: 
 
DemFem) Xf - s3 = 250 
 Dem Masc) Xm -s4 = 250 
 
 A variável de folga s3 significa o excedente de bicicletas femininas que deverá ser produzido, na 
solução ótima, além do mínimo solicitado (250). 
 A variável de folga s4 tem o mesmo significado e será, então, o excedente de bicicletas 
masculinas que deverá ser produzido, na solução ótima, além do mínimo solicitado (250). 
 Com as restrições transformadas em igualdades, a função objetivo sendo uma função de 
maximização, as variáveis sendo não negativas e os valores do RHS positivos o modelo na forma padrão 
está pronto e será: 
 
 
Max LT ) 50Xf + 30Xm 
 
 s.a. 
MOFabric) 4Xf + 4Xm = 4800 – s1 
MOMont ) 2Xf + Xm = 2400 – s2 
DemFem) Xf = 250 + s3 
 Dem Masc) Xm = 250 + s4 
 
 Mas, em que, a forma padrão irá auxiliar-nos na interpretação dos relatórios dos pacotes 
computacionais? 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
60
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.1. Convertendo uma função objetivo para maximização 
 
 
 Quando temos uma função objetivo do tipo: 
 
Minimizar x + 2y 
 
Sabemos que, pela 1ª. regra descrita anteriormente a mesma deve ser transformada em F. O . de 
maximização. Como faremos? 
Simples, devemos multiplicar a equação que representa a função objetivo por (-1) e assim 
estaremos transformando-a de maneira a obedecer a 1a. regra. 
A resposta fica a seguinte: 
 
Mazimizar –x –2y 
 
4.2. Interpretando os resultados 
 
 Para que possamos entender o relatório que os pacotes computacionais, mais especificamente o 
Excel, nos fornecem vamos continuar trabalhando com o Exemplo 6.1 acima. 
Colocando o modelo, em sua forma original( sem as variáveis de folga) , no Excel e 
resolvendo teremos um relatório de resultados, um relatório de sensibilidade e um relatório de limites. 
Importante: estes relatórios só serão criados quando clicarmos nas opções: 
Relatório/resposta e sensibilidade, no momento em que ativamos o solver, conforme mostrado 
abaixo. 
 
Variável de Folga 
 
É uma variável não negativa que é somada ao lado esquerdo 
de uma restrição tipo <= para obter-se uma restrição de 
igualdade. 
Significa o quanto faltou, na solução ótima, para que o limite 
máximo imposto pelo <= seja alcançado. 
 
Variável Excedente 
 
É uma variável não negativa que é subtraída ao lado 
esquerdo de uma restrição tipo >= para obter-se uma 
restrição de igualdade. 
Significa o quanto o limite mínimo imposto pelo >= foi 
ultrapassado. 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
61
 
 
 
 
 
4.2.1. Relatório de Resposta 
 
 Os dados relativos aos valores das variáveis de decisão e função objetivo na solução ótima e as 
folgas ou excedentes de cada restrição são mostrados no relatório de resposta do EXCEL, como segue: 
 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
62
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o Exemplo 4.1 tem-se, então, que para a empresa obter um lucro diário de $55.000,00 
(valor da função objetivo) ela deve produzir diariamente 950 bicicletas femininas e 250 bicicletas 
masculinas (valor da variável na solução ótima). 
 
 Também no relatório de resposta tem-se a informação a respeito das variáveis de folga de cada 
restrição, denominado pelo excel de transigência, já discutido no item 6.1 desta unidade 
Quando tem-se uma restrição tipo <= chama-se o valor da transigência de folga e este valor 
significará o quanto do recurso deixou de ser utilizado na solução ótima. 
Quando tem-se uma restrição tipo >= chama-se o valor da transigênciade excedente e este 
valor significará o quanto, na solução ótima o limite mínimo imposto pelo >= foi ultrapassado. 
 
Observe, pelo relatório do EXCEL, que as transigências (folgas ou excedentes) do exemplo 6.1 
são: 
 
Restr. de fabricação =s1 = 0 
Restr. de montagem =s2 = 250 
Impos. Marketing bici fem = s3 = 700 
Impos. Marketing bici masc = s4 = 0 
 
Explicando melhor as folgas ou excedentes: 
 
Se para a restrição relativa ao consumo de mão de obra no departamento de fabricação tem-se: 
 
Restr de Fabric) 4Xf + 4Xm + s1 = 4800 
 
e obtendo-se, na solução ótima, o valor de s1 = 0 para a folga, saberemos que todo este 
recurso foi utilizado. Ou seja, na solução ótima foram gastas as 4800 horas de mão obra disponíveis 
neste departamento. 
VALOR DA FUNÇÃO 
OBJETIVO 
VALOR DAS 
VARIÁVEIS 
VALOR DAS VARIÁVEIS DE 
FOLGA 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
63
 
 
 
 Para a restrição relativa ao consumo de mão de obra no departamento de montagem tem-se: 
 
Restr. de Mont ) 2Xf + Xm + s2 = 2400 
 
 Um valor de folga s2= 250 significa que 250 horas deste recurso não foram consumidas na 
solução ótima, ou seja, sobraram. Se a empresa tinha disponível 2400 horas neste departamento foram 
realmente consumidas 2400 – 250 = 2150 horas. 
 Para a 3a. restrição que impunha um limite mínimo na produção de bicicletas femininas de 250 
unidades tem-se: 
 
Impos. Marketing bici fem) Xf - s3 = 250 
 
 Um valor de 700 para a variável s3 significa que o limite de 250 foi ultrapassado (excedente) em 
700 unidades, ou seja, na solução ótima devem ser produzidas 250 + 700 bicicletas femininas. 
 Para a 4a. restrição que impunha um limite mínimo na produção de bicicletas masculinas de 250 
unidades tem-se: 
 
 Impos. Marketing bici masc) Xm - s4 = 250 
 
 Um valor de zero para s4 significa que o limite mínimo de produção de 250 bicicletas masculinas 
foi mantido na solução ótima. 
 
 
4.2.2. Relatório de sensibilidade I 
 
 No relatório de sensibilidade do exemplo 4.1, reproduzido abaixo, tem-se informação sobre o 
valor final de cada variável, cada restrição bem como os custos reduzidos e o preço sombra de cada 
restrição. 
 
 
 
 
 
 
 
CUSTO REDUZIDO 
PREÇO DUAL OU 
PREÇO SOMBRA 
CUSTO REDUZIDO 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
64
 
 
 
 
 
Como pode ser observado acima cada variável apresenta um custo reduzido de zero. Este valor 
indica que o resultado para o valor da função objetivo não cairá em nada (zero) se for acrescentada uma 
unidade no valor da variável, ou seja: se Xf for de 951 e não 950 o valor da F.O. não cairá dos 
$55.000,00 atuais. O mesmo acontece com Xm pois esta variável também apresenta um custo reduzido 
igual a zero, ou seja: se Xm for igual a 251 ao invés de 250 o valor da FO permanece inalterado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ainda com relação ao relatório de sensibilidade I tem-se um preço sombra associado à cada 
restrição. 
 Esta parte do relatório é de grande relevância para o administrador da empresa pois fornece 
informações econômicas importantes, a respeito dos recursos da empresa, que podem ser utilizados no 
processo de tomada de decisão. 
 
Em um modelo de programação linear (P.L.) existe sempre uma variável associada a cada 
restrição que nos informa a taxa de mudança no valor da função objetivo por unidade de acréscimo no 
valor do lado direito de cada restrição (RHS). Isto é, mudanças nos valores do RHS conduzem a um 
maior ou menor valor da função objetivo e na maior parte das vezes alteram a solução ótima. Esta 
variável é chamada de preço sombra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mas, com relação ao Exemplo 6.1 o que significam aqueles preços sombra informados? 
 
Para a 1a. restrição relativa ao consumo de mão de obra no departamento de fabricação o preço 
sombra é de $12,5. Esta restrição fixava o consumo de mão de obra neste departamento em 4800 horas 
no máximo. Lembre-se que este recurso foi todo consumido na solução ótima pois apresentou folga zero 
(s1 = 0). Um ML de $12,5 para este recurso significa que para cada hora a mais de mão obra que a 
empresa puder obter para este departamento o valor da função objetivo ($55000) será acrescido em 
Custo Reduzido 
 
É um número associado a cada variável na solução ótima 
que significa o quanto piora o valor da função objetivo 
para cada unidade que o administrador impor a mais no 
valor da variável. 
 
IMP: a solução ótima é dada pelo algoritmo e qualquer 
alteração nesta solução ótima implicará em perdas no 
valor da função objetivo. 
Preço Sombra ou Preço Dual 
 
Está associado à folga ou excedente de cada restrição e 
significa o quanto melhora o valor da função objetivo por 
unidade de acréscimo no valor do RHS. 
 
***o valor deste preço sombra só é válido dentro do 
 intervalo de sensibilidade*** 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
65
 
 
$12,5. Isto é, se a empresa puder dispor de mais 100 horas de mão de obra neste departamento o valor 
de seu lucro passará de $55.000,00 para $55.000 + 100* 12,5 = $56.250,00. 
 
Para a 2a . restrição um preço sombra informado de zero. Por quê? Lembre que a folga deste 
recurso é de 250 horas. Fica claro que se já existem 250 horas sobrando deste recurso em nada irá 
acrescentar o valor da minha F.Objetivo se o administrador puder contratar 1 hora a mais neste 
departamento. 
 
Para a 3a. restrição tem-se um preço sombra de zero. Lembre que esta não é mais uma restrição 
de recurso e sim de demanda (xf >=250). Este preço significa que 1 unidade de acréscimo no valor do 
RHS desta restrição não irá aumentar e nem diminuir o valor da função objetivo. 
 
Observe no relatório acima que para 4a. restrição tem-se um preço sombra de $-20. Voltando à 
definição de preço sombra ou preço dual tem-se que 1 unidade de acréscimo na 4a. restrição (xm>=250) 
irá ocasionar um aumento de $-20 no valor do lucro da empresa, isto é, irá diminuir o lucro. Por exemplo, 
se o empresário exigir que o mínimo de bicicletas masculinas produzidas pela empresa seja aumentado 
para 300 unidades O que irá acontecer? O lucro irá passar de $55.000,00 para $55.000 + (-20*100) = 
$53.000,00. 
 
Resumindo para você: 
 
 
P/ variações no RHS dentro do intervalo de estabilidade do preço dual pode-se calcular o novo valor da 
função objetivo da seguinte maneira: 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
66
 
 
 
Modelos de Maximização: 
 
Novo valor da F.O. = Valor original da F.O. + (preço sombra * variação do RHS) 
 
Onde: 
 
Variação do RHS = Novo valor do RHS – RHS original 
 
Modelos de Minimização: 
 
 
Novo valor da F.O. = Valor original da F.O. - (preço sombra * variação do RHS) 
 
 
 
Porém, é importante observar que o valor dos preços sombra só serão válidos dentro de um certo 
intervalo de estabilidade explicitado ao lado do mesmo no relatório de sensibilidade. Este intervalo será 
formado da seguinte maneira: 
 
Intervalo de variação do RHS = [RHS atual – permissível decréscimo); (RHS atual + permissível 
acréscimo)] 
 
 
 
 
Por exemplo, o valor de $12,5 para o preço sombra da restrição Restr. De Fabric) só é válido 
dentro do intervalo especificado ao seu lado. 
 
Ou seja, para a 1a. restrição o valor de $12,5 é válido dentro do intervalo: 
[4800 – 2800; 4800 + 500] = [2000; 5300]. 
 
Este intervalo diz que, para qualquer alteração no valor do RHS em que este não baixe de 2000 e 
não seja maior do que 5300 o valor de $12,5 pode ser utilizado para estimar o valor da função objetivo. 
 
 E para o preço sombra da2a. restrição, qual será o intervalo de estabilidade? 
 
Intervalo de variação do RHS para a 2a. restrição = [(2400 – 250); (2400 + infinito)] 
 
Intervalo de variação do RHS para a 2a. restrição = [2150; infinito) 
 
 Este intervalo mostra que um preço sombra=0 para a 2a. restrição vale se modificações no valor 
do RHS desta restrição não conduzirem a um valor abaixo de 2150 horas e que este recurso pode ser 
aumentado até o infinito que nada acrescentará no lucro da empresa. 
 
Intervalo de variação do RHS para a 3a. restrição = [(250 – infinito); (250 + 700)] 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
67
 
 
 
Intervalo de variação do RHS para a 3a. restrição = (- infinito; 950)] 
 
Intervalo de variação do RHS para a 4a. restrição = [(250 – 250); (250 + 700)] 
 
Intervalo de variação do RHS para a 4a. restrição = [0; 950] 
 
 
 Salienta-se que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Imagine agora que o dono da Só Bicicletas (SB) recebe um relatório indicando que o lucro do 
modelo de bicicletas femininas caiu para $42,00 pois a mesma utiliza algumas peças importadas que 
tiveram seu preço elevado com a subida do dólar ocasionando assim um acréscimo no custo unitário da 
bicicleta. Este empresário pergunta a você o que fazer? Será que o plano de produção diário 
estabelecido pelo modelo de P.L. continuará o mesmo? Teremos que rodar o modelo novamente fazendo 
assim a alteração no coeficiente de Xm da função objetivo? 
 
 Talvez não precise rodar o modelo novamente pois o EXCEL traz esta informação também em 
seu relatório de sensibilidade. Este é um dado importante para o administrador e talvez o mais 
importante depois da solução ótima. A parte do relatório que mostra esta informação é: 
 
 
 Para a construção dos intervalos em que os coeficientes da função objetivo podem variar sem 
alterar a solução ótima procede-se da mesma maneira que fizemos anteriormente para variações do 
RHS, ou seja: 
 
Intervalo de variação do coeficiente da F.O. = 
[(coef. objetivo – permissível decréscimo; coef. objetivo + permissível acréscimo)] 
 
IMPORTANTE: 
 
Qualquer alteração nos valores dos RHS de qualquer 
uma das restrições pode ocasionar mudanças na 
solução ótima. 
A única coisa que se pode saber é como ficará o valor 
da função objetivo se esta alteração estiver dentro do 
intervalo de estabilidade. 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
68
 
 
Para o Exemplo 4.1 tem-se que somente alterações no coeficiente de Xm dentro do intervalo 
abaixo não conduzem à uma nova solução ótima ou novo plano de produção para a Só Bicicletas. 
 
Intervalo de variação do coef. de Xf = [(50-20; 50+ infinito)] = [30; + infinito] 
 
Este intervalo mostra, portanto, que se o lucro unitário do modelo de bicicletas femininas cair até 
$30 nenhuma alteração no plano de produção ótimo (produzir 950 bicicletas modelo feminino e 250 do 
modelo masculino) irá ocorrer. Tem-se também que acréscimos neste lucro até o infinito mantém, 
também, o plano de produção original. 
 
Para o modelo masculino o intervalo será: 
 
Intervalo de variação do coef. de Xm = [(30- infinito); (30+20)] = (-infinito;50] 
 
 Tem-se então que o lucro unitário pode cair quanto quiser que esta mudança não ocasionará um 
novo plano de produção ótimo. Observa-se também que se o lucro unitário deste modelo subir para além 
de $50 um novo plano de produção será estabelecido. 
 
 Objetivamente falando esta parte do relatório indicará ao administrador a sensibilidade da 
solução ótima a mudanças ocasionadas nos valores dos coeficientes da função objetivo. 
 
 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
69
 
 
Atividade de Fixação 
 
 
 
1. Converta o modelo linear do exercício 1, atividade de fixação 1 para a forma padrão. Explique o 
significado dos coeficientes. 
2. A microempresa SOLID COMPUTER (SC) monta 4 tipos de microcomputadores (A,B,C,D). O 
computador A dá à empresa um lucro de R$ 150,00 enquanto os computadores B,C e D tem lucros 
de R$ 190,00, R$ 180,00 e R$ 200,00, respectivamente. O micro A necessita de 0,9h/unidade de 
mão de obra enquanto que B, C e D necessitam 1,2h/unid., 1,0h/unid. e 1,3h/unid. de mão-de-obra. A 
empresa precisa de um espaço de estocagem para cada tipo de microcomputador assim estimado: 
0,7 m3/unid, 1,0 m3/unid, 1,2 m3/unid. e 0,9 m3/unid. para os microcomputadores do tipos A,B,C e D, 
respectivamente. O consumo em R$ com matéria prima varia com o tipo de microcomputador. O tipo 
A consome, por semana, R$ 1.200,00/unid., o tipo B consome R$ 1.000,00/unid. o tipo C consome 
R$ 900,00/unid e o tipo D R$ 1.300,00/unid. As disponibilidades destes recursos são: 300 h de 
trabalho por semana, 260 m3 de galpão para estocagem e R$ 400.000,00 para aquisição de matéria 
prima por semana. A SC deseja saber quantos microcomputadores de cada tipo deve montar por 
semana de maneira a maximizar seu lucro. Pede-se: 
 
a) Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. 
b) Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. 
c) Qual o plano de produção que maximiza o lucro da Solid Computer ? 
d) Qual é o lucro máximo que a Solid Computer pode conseguir? 
e) A capacidade de estocagem da empresa é um recurso limitante no plano de produção ótimo? 
f) A empresa dispõe de R$ 400.000,00 para compra de matéria prima. Quanto ela precisa utilizar no 
plano ótimo? 
g) Se você, como administrador, tivesse duas alternativas excludentes: contratar mais mão de obra 
ou alugar um espaço maior para a estocagem. Por qual das duas você decidiria? Por quê? 
h) Se um comprador antigo faz uma encomenda de 10 microcomputadores do tipo B, encomenda 
esta irrecusável pois a Solid Computer correria o risco de perder o comprador, quanto deverá ser 
o lucro da empresa? Qual deve ser o lucro de B para compensar as perdas? 
i) A empresa do lado mais ou menos sentiu que a SC está precisando de capacidade de 
estocagem. A vizinha oferece um de seus galpões (30 m3) para alugar a um preço de R$ 
1.500,00. Como administrador da Solid Computer qual seria a sua decisão? Alugar ou não? 
j) Se houver uma diminuição de 10% no lucro do microcomputador tipo A o que acontecerá com o a 
solução ótima? E com o lucro? Se for preciso rode o programa de novo. 
k) E se a diminuição do lucro do micro A for de só 4%? 
l) Se houver um aumento de 10% no lucro do microcomputador tipo B o que acontecerá com a 
solução ótima? Se for preciso rode o programa de novo. 
m) O que acontecerá se a empresa conseguir contratar 10h a mais de mão de obra? 
n) E se um galpão da empresa for ocupado com outro tipo de material e diminuir em 30 m3 a 
capacidade de estocagem da empresa? 
 
3. A empresa SEMPRE PERFUMADA (SP) é uma microempresa do ramo de perfumaria com sede 
em Palhoça/SC. Trabalha na mistura de componentes importados para produção de vários tipos 
de perfumes. Dois perfumes masculinos são os carros chefe da empresa. Um é bastante suave e 
o outro mais forte e duradouro. A produção dos perfumes se dá em dois setores: o de mistura e o 
de embalagem. No setor de mistura 5 funcionários trabalham em tempo integral (40h/semana) e 
2 em tempo parcial (15h/sem.) misturando os componentes importados de acordo com as 
dosagens pré-determinadas. No setor de embalagens 6 funcionários de tempo integral 
(40h/semana) e um funcionário parcialmente licenciado (10 h/semana) trabalham na colocação 
dos perfumes já prontos em seus respectivos frascos e nas respectivas caixas que serão 
transportadas para o depósito para posterior entrega nos pontos de varejo. O dono da empresa 
pensa que pode trabalhar com mais eficiência e, com isto, alcançar um lucro semanal maior se 
4. Programação Linear: interpretando os resultados70
 
 
alterar as quantidades produzidas de seus dois produtos. Para resolver este problema levantou 
os dados constantes na tabela abaixo que estabelecem o número de horas que cada litro de 
produto necessita nos setores de mistura e de embalagem. 
 
 
 
Tabela 1. Requerimentos (horas/litro) nos respectivos setores de produção 
 Perfume 1 Perfume 2 
Setor de Mistura 2 1 
Setor de Embalagens 1 2 
 
 A empresa tem trabalhado com estoques altos de matéria prima sendo, portanto, o único recurso 
limitante a mão de obra disponível. Porém, sabe que não deve produzir mais do que 120 litros do 
perfume 2 pois, sendo este um perfume mais forte, a procura é baixa. A margem de lucro calculada para 
o produto 1 é de $3 por litro e do produto 2 é de $5 por litro. Como administrador da empresa você 
necessita determinar quanto de cada tipo de perfume deve ser produzido por semana para maximizar o 
lucro da SP. 
Pergunta-se também: 
a) Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. 
b) Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. 
c) Qual é o plano de produção semanal ótimo para a empresa? 
d) Qual será o lucro da empresa se este plano de produção for implementado? 
e) Devido à recente competição entre a SP e outras empresas o administrador decidiu diminuir o 
preço de venda do perfume 1 levando então a uma margem de lucro de R$ 2,75 por litro. Qual 
será o impacto desta decisão no plano de produção anteriormente estimado? 
f) Qual será o impacto no lucro da empresa? 
g) O que acontece à margem de lucro da empresa se os dois empregados em tempo parcial do 
departamento de mistura resolverem trabalhar 10 horas por semana ao invés de 15h? 
h) O que acontece ao lucro da empresa se um dos empregados de tempo parcial(15h) do 
departamento de mistura se torna tempo integral (40h) e o outro é demitido? 
i) O que acontece para o lucro semanal quando um trabalhador em tempo integral é contratado no 
departamento de embalagens? 
 
4) MTV Companhia produz três tipos de tubos: A,B e C, que vende, respectivamente por $ 10,00, 
$12,00 e $9,00 por metro. Para produzir cada metro do tubo do tipo A são requeridos 0,5 minutos de 
tempo de processamento em um tipo particular de máquina. Cada metro do tubo tipo B precisa 0,45 
minutos e cada metro do tubo do tipo C precisa de 0,6 minutos. Após a produção cada metro de tubo, 
independente do tipo requer 1 kg de material de moldagem. O custo total é estimado em $3,00, 
$4,00, e $4,00 por metro dos tubos dos tipos A,B e C, respectivamente. 
Para a próxima semana, a empresa recebeu um pedido grande de 2000 metros do tubo do tipo A, 
4000 metros do tubo do tipo B, e 5000 metros do tubo do tipo C. Como somente 40 horas de tempo 
de máquina estão disponíveis esta semana e 5500 kg de material de moldagem estão em inventário, 
o departamento de produção não estará apto a satisfazer estas demandas, as quais requerem um 
total de 97 horas de tempo de máquina e 11.000 kg de material de moldagem. Este alto nível de 
demanda não é esperado continuar. Antes do que expandir a capacidade de produção, o 
administrador da MTV está considerando comprar alguns destes tubos de fornecedores no Japão a 
um custo de $6 por metro do tubo tipo A, $6 por metro do tubo tipo B e $7 por metro do tubo do tipo 
C. Estes vários dados estão resumidos na tabela que segue. Como administrador do departamento 
de produção, você foi solicitado a fazer recomendações de quanto comprar de cada tipo de tubo do 
Japão e quanto produzir de modo a satisfazer as demandas e maximizar o lucro da empresa. 
Formule o modelo e faça a recomendação. 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
71
 
 
Tubos Preço de 
venda ($/m) 
Demanda 
(m) 
Tempo de 
Máquina 
(min/m) 
Material de 
Moldagem 
(kg/m) 
Custo de 
Produção 
($/m) 
Custo de 
Compra 
($/m) 
Tipo A 10 2000 0.50 1 3 6 
Tipo B 12 4000 0.45 1 4 6 
Tipo C 9 5000 0.60 1 4 7 
 
 
5) Utilize o relatório do exercício anterior para responder as seguintes questões: 
a) Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. 
b) Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. 
c) Qual é o plano ótimo de produção/compra do japão? 
d) Qual das duas restrições de recursos é limitante? 
e) Se você pudesse obter mais material de moldagem ou mais horas de tempo de máquina (não os 
dois) qual dos dois você escolheria? 
f) A companhia japonesa recentemente aumentou o preço que cobra do tubo tipo C de $7,00 para 
$8,00 por metro. Como o plano de produção atual pode mudar? Explique. Se for necessário rode 
o programa de novo com o modelo modificado. 
g) A companhia quer aumentar seus lucros para $57.500,00. Quantas horas de tempo de máquina 
são necessários para executar este objetivo? Explique. Se for necessário rode o programa de 
novo com o modelo modificado. 
h) A companhia poderia vender seu material de moldagem com um lucro de $32 por kg. Quanto ela 
deveria vender? Explique. 
 
6. O departamento de Nutrição do Hospital Celso Ramos prepara 30 menus de jantares, um para cada 
dia do mês. Uma refeição consiste de espagheti, frango, batatas assadas, espinafre e torta de maçã. 
Como diretor do departamento de nutrição você determinou que esta refeição deve fornecer 63000 
miligramas (mg) de proteina, 10 mg de ferro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina e 50 mg de vitamina 
C. Cada 100 gramas destes alimentos fornece a quantia de cada nutriente e gordura indicados na 
tabela que segue. 
 
Nutrientes (g/100 mg) 
 Proteina Ferro Niacina Tiamina Vitamina C Gordura 
Espagheti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000 
Frango 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000 
Batatas assadas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900 
Espinafre 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300 
Torta de Maçã 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300 
 
Para evitar muito alimento de um tipo, não mais do que 300 gramas de espagheti, 300 gramas de 
frango, 200 gramas de batatas assadas, 100 gramas de espinafre e 100 gramas de torta de maçã 
devem ser incluídas na refeição. Como diretor do departamento de nutrição você deve determinar a 
composição da refeição que satisfaça os requerimentos nutricionais e fornece uma refeição com a 
mínima quantidade de gordura. Formule o modelo. 
 
7. Utilize o relatório do exercício anterior para responder as seguintes questões: 
a) Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. 
b) Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. 
c) Qual é a refeição ótima? Qual é quantidade de gordura contida nesta refeição? 
d) A refeição ótima excede os requerimentos mínimos para qual dos seguintes nutrientes: proteína, 
ferro, niacina, tiamina e vitamina C? Explique. 
e) Encontre o peso total da refeição ótima. 
f) Foi recentemente descoberto que cada 100 g de torta de maçã contém somente 13300 mg de 
gordura. Como poderia ser a refeição ótima modificada? Explique. 
g) Quanta gordura adicional teria a refeição ótima se 51 mg de vitamina C são requeridas ao invés 
de 50. Explique. 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
72
 
 
h) Por quanto os requerimentos de proteína podem ser aumentados de maneira que a quantidade 
de gordura da refeição ótima permaneça em 54800 mg. Explique. 
 
 
Exercício 02– Modelo e Relatórios do Solver 
 
 QA QB QC QD 
 263,1579 0 63,15789 0 
LUCRO) 150 190 180 200 50842,11 
M.OBRA) 0,9 1,2 1 1,3 300 < 300 
ESTOCAGEM) 0,7 1 1,2 0,9 260 < 260 
MPRIMA) 1200 1000 900 1300 372631,6 < 400000 
 
Microsoft Excel 10.0 Relatório de resposta 
 
 
Célula de destino (Máx) 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $F$3 LUCRO) 0 50842,10526 
 
Células ajustáveis 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $B$2 QA 0 263,1578947 
 $C$2 QB 0 0 
 $D$2 QC 0 63,15789474 
 $E$2QD 0 0 
 
Restrições 
 
Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência 
 $F$4 M.OBRA) 300 $F$4<=$H$4 Agrupar 0 
 $F$5 ESTOCAGEM) 260 $F$5<=$H$5 Agrupar 0 
 $F$6 MPRIMA) 372631,5789 $F$6<=$H$6 Sem agrupar 27368,42105 
 
Microsoft Excel 10.0 Relatório de sensibilidade 
 
Planilha: [Pasta1]Plan1 
 
Relatório criado: 24/9/2003 18:18:20 
 
 
Células ajustáveis 
 
 Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível 
 
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo 
 $B$2 QA 263,1578947 0 150 12 7,575757576 
 $C$2 QB 0 -12,10526316 190 12,10526316 1E+30 
 $D$2 QC 63,15789474 0 180 50 13,33333333 
 $E$2 QD 0 -13,15789474 200 13,15789474 1E+30 
 
Restrições 
 
 Final Sombra Restrição Permissível Permissível 
 
Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo 
 $F$4 M.OBRA) 300 142,1052632 300 12,83950617 83,33333333 
 $F$5 ESTOCAGEM) 260 31,57894737 260 100 26,66666667 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
73
 
 
 $F$6 MPRIMA) 372631,5789 0 400000 1E+30 27368,42105 
 
 
Exercício 03 – Relatórios do Solver 
 
 x1 x2 
V.Dec.) 70 90 
F.O) 3 5 660 
MOMist) 2 1 230 < 230 
MOEmb) 1 2 250 < 250 
Demx2) 0 1 90 < 120 
 
 
Microsoft Excel 9.0 Relatório de resposta 
 
 
Célula de destino (Máx) 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $D$3 F.O) 0 660 
 
 
Células ajustáveis 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $B$2 V.Dec.) x1 0 70 
 $C$2 V.Dec.) x2 0 90 
 
Restrições 
 
Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência 
 $D$4 MOMist) 230$D$4<=$F$4 Agrupar 0 
 $D$5 MOEmb) 250$D$5<=$F$5 Agrupar 0 
 $D$6 Demx2) 90$D$6<=$F$6 Sem agrupar 30 
 
 
Microsoft Excel 9.0 Relatório de sensibilidade 
 
Planilha: [Pasta1]Plan1 
 
Relatório criado: 17/09/03 18:40:02 
 
 
 
Células ajustáveis 
 
 Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível 
 
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo 
 $B$2 V.Dec.) x1 70 0 3 7 0,5
 $C$2 V.Dec.) x2 90 0 5 1 3,5
 
Restrições 
 
 Final Sombra Restrição Permissível Permissível 
 
Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo 
 $D$4 MOMist) 230 0,333333333 230 270 90
 $D$5 MOEmb) 250 2,333333333 250 45 135
 $D$6 Demx2) 90 0 120 1E+30 30
 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
74
 
 
 
 
 
Exercício 04 – Relatórios do Solver 
 
 QAP QBP QCP QAJ QBJ QCJ 
 2000 0 2333,333 0 4000 2666,667 
LUCRO) 7 8 5 4 6 2 55000 
Tempo Máquina) 0,5 0,45 0,6 0 0 0 2400 < 2400 
Material Moldagem) 1 1 1 0 0 0 4333,333 < 5500 
Demanda A) 1 0 0 1 0 0 2000 = 2000 
Demanda B) 0 1 0 0 1 0 4000 = 4000 
Demanda C) 0 0 1 0 0 1 5000 = 5000 
Relatório de Resposta 
Célula de destino (Máx) 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $H$4 Tempo Máquina) 0 2400 
Células ajustáveis 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $B$2 QAP 0 2000 
 $C$2 QBP 0 0 
 $D$2 QCP 0 2333,333333 
 $E$2 QAJ 0 0 
 $F$2 QBJ 0 4000 
 $G$2 QCJ 0 2666,666667 
Restrições 
 
Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência 
 $H$4 Tempo Máquina) 2400 $H$4<=$J$4 Agrupar 0 
 $H$5 Material Moldagem) 4333,333333 $H$5<=$J$5 Sem agrupar 1166,666667 
 $H$6 Demanda A) 2000 $H$6=$J$6 Sem agrupar 0 
 $H$7 Demanda B) 4000 $H$7=$J$7 Sem agrupar 0 
 $H$8 Demanda C) 5000 $H$8=$J$8 Sem agrupar 0 
 
Relatório de Sensibilidade 
 Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível 
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo 
$B$2 QAP 2000 0 0,5 1E+30 0 
$C$2 QBP 0 0 0,45 0 1E+30 
$D$2 QCP 2333,333333 0 0,6 0 0 
$E$2 QAJ 0 0 0 0 1E+30 
$F$2 QBJ 4000 0 0 1E+30 0 
$G$2 QCJ 2666,666667 0 0 0 0 
 Final Sombra Restrição Permissível Permissível 
Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo 
$H$4 Tempo Máquina) 2400 1 2400 700 1400 
$H$5 Material Moldagem) 4333,333333 0 5500 1E+30 1166,666667 
$H$6 Demanda A) 2000 0 2000 2800 2000 
$H$7 Demanda B) 4000 0 4000 1E+30 4000 
$H$8 Demanda C) 5000 0 5000 1E+30 2666,666667 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
75
 
 
Exercício 06 – Relatórios do Solver 
 SPAG FRAN BAT SPIN TM 
 3,00 2,83 2,00 1,00 0,67 
MIN Gordura) 5000 5000 7900 300 14300 54800 
Proteina) 5000 29300 5300 3000 4000 114283,3 > 63000 
Ferro) 1,1 1,8 0,5 2,2 1,2 12,4 > 10 
Niacina) 1,4 5,4 0,9 0,5 0,6 22,2 > 15 
Tiamina) 0,18 0,06 0,06 0,07 0,15 1 > 1 
Vitamina C) 0 0 10 28 3 50 > 50 
Lim Espagueti) 1 0 0 0 0 3 < 3 
Lim Frango) 0 1 0 0 0 2,833333 < 3 
Lim Batata) 0 0 1 0 0 2 < 2 
Limite Espinafre) 0 0 0 1 0 1 < 1 
Limite Torta) 0 0 0 0 1 0,666667 < 1 
 
 
Relatório de Resposta 
 
Célula de destino (Mín) 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $G$3 MIN Gordura) 60400 54800 
 
Células ajustáveis 
 
Célula Nome Valor original Valor final 
 
 $B$2 SPAG 3,00 3,00 
 $C$2 FRAN 3,00 2,83 
 $D$2 BAT 2,00 2,00 
 $E$2 SPIN 1,00 1,00 
 $F$2 TM 1,00 0,67 
 
Restrições 
 
Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência 
 $G$4 Proteina) 114283,3333 $G$4>=$I$4 Sem agrupar 51283,33333 
 $G$5 Ferro) 12,4 $G$5>=$I$5 Sem agrupar 2,4 
 $G$6 Niacina) 22,2 $G$6>=$I$6 Sem agrupar 7,2 
 $G$7 Tiamina) 1 $G$7>=$I$7 Agrupar 0 
 $G$8 Vitamina C) 50 $G$8>=$I$8 Agrupar 0 
 $G$9 Lim Espagueti) 3 $G$9<=$I$9 Agrupar 0 
 $G$10 Lim Frango) 2,833333333 $G$10<=$I$10 Sem agrupar 0,166666667 
 $G$11 Lim Batata) 2 $G$11<=$I$11 Agrupar 0 
 $G$12 Limite Espinafre) 1 $G$12<=$I$12 Agrupar 0 
 $G$13 Limite Torta) 0,666666667 $G$13<=$I$13 Sem agrupar 0,333333333 
 
4. Programação Linear: interpretando os resultados 
 
76
 
 
Relatório de Sensibilidade 
 
 
Células ajustáveis 
 
 Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível 
 
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo 
 $B$2 SPAG 3,00 0,00 5000 10000 1E+30 
 $C$2 FRAN 2,83 0,00 5000 422,7272727 3333,333333 
 $D$2 BAT 2,00 0,00 7900 3100 1E+30 
 $E$2 SPIN 1,00 0,00 300 22333,33333 1E+30 
 $F$2 TM 0,67 0,00 14300 1E+30 930 
 
Restrições 
 
 Final Sombra Restrição Permissível Permissível 
 
Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo 
 $G$4 Proteina) 114283,3333 0 63000 51283,33333 1E+30 
 $G$5 Ferro) 12,4 0 10 2,4 1E+30 
 $G$6 Niacina) 22,2 0 15 7,2 1E+30 
 $G$7 Tiamina) 1 83333,33333 1 0,01 0,08 
 $G$8 Vitamina C) 50 600 50 1 0,2 
 $G$9 Lim Espagueti) 3 -10000 3 0,486486486 0,055555556 
 $G$10 Lim Frango) 2,833333333 0 3 1E+30 0,166666667 
 $G$11 Lim Batata) 2 -3100 2 0,022727273 0,1 
 $G$12 Limite Espinafre) 1 -22333,33333 1 0,007518797 0,035714286 
 $G$13 Limite Torta) 0,666666667 0 1 1E+30 0,333333333 
 
 
 
77
 
 
5. Programação Linear Inteira e Binária 
 
 
 Até aqui estivemos trabalhando com problemas de programação matemática que resultavam em 
modelos lineares. Estes modelos lineares produziam, na maior parte das vezes, valores contínuos para 
as variáveis, isto é, resultados quebrados tais como: produzir 2,5 litros do solvente 1 e 4,2 litros do 
solvente 2. Em alguns casos estes resultados são válidos e podem ser implementados, em outros não. 
Por exemplo: a solução de produzir 60,5 carros do modelo 1 e produzir 43,8 carros do modelo 2 não 
pode ser implementada diretamente pois não se tem como produzir 60,5 carros e sim 60 ou 61. A 
primeira idéia que surge é a de arredondar os valores. Mas aí vem a questão: arredondar para cima ou 
para baixo? 
Bem, quanto existe a necessidade de que a resposta do nosso modelo (solução ótima) assuma 
somente valores inteiros o melhor é trabalhar com um modelo de Programação LinearInteira ou 
Programação Linear Inteira Mista. 
No modelo de Programação Linear Inteira impõe-se, através de restrições nos valores das 
variáveis, que as mesmas só assumam valores inteiros. 
Já no modelo de Programação Linear Inteira Mista podemos ter algumas variáveis inteiras e 
outras contínuas. 
Então, resumindo para você: 
 
♦ Programação Linear Inteira (PLI) são modelos do tipo: 
� Função objetivo linear; 
� Todas as restrições são lineares; 
� As variáveis são positivas; 
� Todas as variáveis são inteiras. 
♦ Programação Linear Inteira Mista (PLIM) são modelos do tipo: 
� Função objetivo linear; 
� Todas as restrições são lineares; 
� As variáveis são positivas; 
� Algumas variáveis são inteiras e outras contínuas. 
 
 
 
5.1. Programação Linear Inteira e Binária 
 
O caso mais interessante que se pode encontrar sobre Programação Linear Inteira é uma 
situação especial aonde as variáveis devem assumir somente valores inteiros sendo que estes valores 
ainda estão restritos a zero (0) ou um(1). Este é um modelo de Programação Linear Inteira Binária. 
Este é o caso típico de modelos que procuram responder a perguntas do tipo SIM/NÃO. 
 
Modelos do tipo: 
 
COMPRA/NÃO COMPRA 
INVESTE NO PROJETO i/ NÃO INVESTE NO PROJETO i 
COMPRA OU ALUGA O IMÓVEL i/ NÃO COMPRA OU NÃO ALUGA O IMÓVEL i 
ESCOLHE A LOCALIZAÇÃO i/ NÃO ESCOLHE A LOCALIZAÇÃO i 
 
Estes serão sempre modelos de programação inteira e binária. 
 
♦Programação Linear Inteira Binária (BIN) são modelos do tipo: 
�Função objetivo linear; 
�Todas as restrições são lineares; 
�As variáveis são positivas; 
�Todas ou algumas variáveis são inteiras e binárias (só assumem valores 0 ou 1) 
 
 
 
78
 
 
 
Estes modelos de programação binária tem aplicações na área financeira com problemas de 
seleção de alternativas de investimento, seleção de projetos, etc. 
Pode-se, também, modelar com variáveis binárias problemas de localização em que se deseja 
saber qual (is) a(s) melhor (es) localização (ões) para uma determinada fábrica, posto de saúde, hospital, 
zonas eleitorais, por exemplo. 
Problemas de escolha do melhor caminho a ser utilizado também devem ser modelados com 
variáveis binárias. 
Neste caso a descrição das variáveis binárias que serão utilizadas no modelo segue a seguinte 
estrutura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.1 No início do mês de julho, o gerente de investimento do Banco Finanças tem os seguintes 
pedidos de financiamento para projetos industriais. 
 
Pedidos de Financiamento do Banco Finanças no mês de Julho/2002 
Projeto A B C D E F 
R$ lucro previsto 5500 7800 4000 6500 8700 3300 
RS necessidade de 
capital ano 1 
400 1800 200 550 900 750 
RS necessidade de 
capital ano 2 
1000 200 1000 650 1200 900 
RS necessidade de 
capital ano 3 
400 900 700 1750 1100 200 
Grau de Risco 1 4 2 5 6 3 
 
Para investir nestes projetos o Banco dispõe de R$ 3200,00 no ano 1, R$ 2800,00 no ano 2 e R$ 
2850,00 no ano 3. Há uma regra de não investir em mais do que dois projetos com grau de risco 4 ou 
acima. Os projetos A e F são mutuamente exclusivos, isto é, se um for escolhido o outro não pode 
sê-lo (entretanto ambos podem ser recusados). Por outro lado, o projeto C só pode ser escolhido se 
o projeto E também o for (entretanto, o projeto E pode ser escolhido para financiamento ao mesmo 
tempo que o projeto C é recusado). Dentro destas condições, quais os projetos deverão ser 
escolhidos para financiamento com o objetivo de maximizar o lucro previsto nos investimentos? 
 
Solução: 





= etc seguido, aceito, o,selecionadser deve i etc caminho, o,localizaçã projeto, o 1,
etc seguido, aceito, o,selecionadser deve não i etc caminho, o,localizaçã projeto, o ,0
se
se
Yi
Modelos cuja resposta deve ser 
 SIM/NÃO 
são modelos de 
Programação Linear inteira Binária 
 
 
79
 
 
 
Inicialmente devemos nos fazer as seguintes perguntas: 
 
Qual é o objetivo do Banco Finanças? ---------FUNÇÃO OBJETIVO 
 
Maximizar o lucro previsto com os investimentos. 
 
Oque ele precisa decidir? 
Quais são os itens que estão sobre o seu controle? ------- VARIÁVEIS DE DECISÃO 
 
O banco precisa decidir em quais projetos irá investir. 
 
Quais são as restrições existentes? ----------RESTRIÇÕES 
 
a) restrições de disponibilidade em caixa para investimento: 
 Disponibilidade do Ano 1= $3.200,00 
 Disponibilidade do Ano 2= $2.800,00 
 Disponibilidade do Ano 3= $2.850,00 
b) não investir em mais de dois projetos com grau de risco 4 ou superior 
c) os bancos A e F são mutuamente exclusivos 
d) o projeto C só pode ser escolhido se o projeto E também for. 
 
 
Após realizado este conjunto de perguntas que conduzem a um resumo do problema podemos decidir 
quais serão as variáveis de decisão do problema. 
 
Em b) respondemos que o banco precisa decidir em quais projetos ele irá investir. A resposta a esta 
pergunta será: Investir no projeto A, SIM OU NÃO? Investir no projeto B, SIM OU NÃO? Investir no 
Projeto C, SIM OU NÃO? e assim por diante. 
 
Baseados nestas respostas concluimos que estamos diante de um caso de Programação Binária aonde a 
variável de decisão irá assumir o valor de 1 se a resposta for SIM e o valor de 0 se a resposta for NÃO. 
 
Variáveis de Decisão: 
 
 Pi = 0, se o projeto i (i=A,B,C,D,E, F) não deve ser aceito 
 = 1, se o projeto i (i=A,B,C,D,E, F) deve ser aceito 
 
Função Objetivo: 
 
Foi expicitado anteriormente que o objetivo da empresa é o de maximizar o lucro previsto nesta 
transação. 
 
A F.O. será então a soma dos lucros obtidos com os diversos projetos, ou melhor, com aqueles que 
forem selecionados para investimento. 
 
Max Lucro) lucro com o projeto A + lucro com o projeto B + lucro com o projeto C + lucro com o projeto D 
+ lucro com o projeto E + lucro com o projeto F 
 
Temos como dado do problema que os lucros previstos são de $5500, $7800, $4000, $6500, $8700, 
$3300 para os projetos A,B,C,D,E e F, respectivamente. 
 
Teremos então como Função Objetivo deste banco: 
 
Max Lucro) 5500PA + 7800PB + 4000PC + 6500PD + 8700PE + 3300PF 
 
 
 
80
 
 
Restrições: 
 
A primeira limitação ou restrição definida acima foi: 
 
a) restrições de disponibilidade em caixa para investimento: 
 Disponibilidade do Ano 1= $3.200,00 
 Disponibilidade do Ano 2= $2.800,00 
 Disponibilidade do Ano 3= $2.850,00 
Sabemos então que o banco não pode gastar mais do que tem em caixa em cada ano, ou seja: 
 
GASTOS < = INVESTIMENTOS 
Teremos então: 
 
ANO 1) 400PA + 1800PB + 200PC + 550PD + 900PE + 750PF < = 3200 
ANO 2) 1000PA + 200PB + 1000PC + 650PD +1200PE + 900PF < = 2800 
ANO 3) 400PA + 900PB + 700PC + 1750PD + 1100PE + 200PF < = 2850 
 
A próxima restrição que é, na realidade, uma imposição do administrador será: 
 
b) não investir em mais de dois projetos com grau de risco 4 ou superior 
 
Sabemos que somente os projetos B, D e E tem grau de risco igual ou acima de 4, teremos 
então: 
 
Risco) PB + PD + PF < = 2 
 
como os valores das variáveis são binários, com esta restrição força-se que pelo menos uma variável 
assuma o valor de 0 (se todos os projetos fossem escolhidos teríamos PB=1, PD=1 e PF =1, cuja soma 
seria 3 o que não obedeçe a restrição. 
 
Ainda temos a imposição: 
 
c) os bancos A e F são mutuamente exclusivos 
 
O banco impõe, então, que se o projeto A for aceito o projeto E deve ser rejeitado e vice versa. Teremos 
então: 
 
IMPAF) PA + PF =1 
 
Com esta restrição força-se uma das variáveis a assumir o valor de zero (0). 
 
Temos também: 
 
d) o projeto C só pode ser escolhido se o projeto E também for, ou seja: 
 
PE > = PC 
 
PE – PC > = 081
 
 
O modelo final será: 
 
Max Lucro) 5500PA + 7800PB + 4000PC + 6500PD + 8700PE + 3300PF 
 
s.a. 
 
ANO 1) 400PA + 1800PB + 200PC + 550PD + 900PE + 750PF <=3200 
ANO 2) 1000PA + 200PB + 1000PC + 650PD +1200PE + 900PF <= 2800 
ANO 3) 400PA + 900PB + 700PC + 1750PD + 1100PE + 200PF <= 2850 
 Risco) PB + PD + PF <= 2 
 IMPAF) PA + PF = 1 
 IMPEC) – PC + PE > = 0 
 PA < = 1 
 PB < = 1 
 PC < = 1 
 PD < =1 
 PE < = 1 
 PF < = 1 
 PA, PB, PC, PD, PE, PF > = 0 e inteiro 
 
 
 
5.2. Programação Linear Inteira Mista (PLIM) 
 
Já no modelo de Programação Linear Inteira Mista podemos ter algumas variáveis contínuas, outras 
inteiras e até mesmo algumas variáveis binárias 
 
 
♦Programação Linear Inteira Mista (PLIM) são modelos do tipo: 
�Função objetivo linear; 
�Todas as restrições são lineares; 
�As variáveis são positivas; 
�Algumas variáveis são inteiras (binárias ou não) e outras contínuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82
 
 
Atividade de Fixação 
 
 
1. (traduzido e adaptado de Mathur e Sollow, 1997) A empresa Cosmic Computer (CCC) acaba de 
terminar pesquisas no sentido de produzir um novo tipo de computador mais potente e ergonômico 
que os atuais. Acreditando na CCC e querendo antecipar-se à corrida por estes novos modelos 
alguns compradores já anteciparam suas encomendas. Estas encomendas são de 1700 
computadores para um comprador situado em São Paulo, 1000 computadores para um comprador 
situado no Rio de Janeiro, 1500 para Porto Alegre e 1200 para Brasília. Para atender a estas 
demandas a CCC está considerando construir fábricas em São Bernardo, Cachoeirinha, Rio das 
Urnas e Santo Inácio. As capacidades de produção e custos fixos projetados para estas fábricas são 
dados na tabela 2. O custo de transportar cada computador de cada fábrica para cada comprador 
estão descritos na Tabela 2. Como administrador da CCC você foi chamado para fazer uma 
recomendação sobre quais fábricas devem ser abertas para minimizar o custo total com transporte e 
com os custos fixos. 
 
Tabela 1 – Capacidades das Fábricas e Custos Fixos 
Localização Capacidade Mensal Custos Fixos Mensais ($) 
São Bernardo 1700 70000 
Cachoeirinha 2000 70000 
Rio das Urnas 1700 65000 
Santo Inácio 2000 70000 
 
 
Tabela 2 – Custo de Transportes ($/computador) das Fábricas para os Compradores 
 
Fábricas/ 
Compradores 
São Paulo Rio de Janeiro Porto Alegre Brasília 
São Bernardo 5 3 2 6 
Cachoeirinha 4 7 8 10 
Rio das Urnas 6 5 3 8 
Santo Inácio 9 8 6 5 
 
 
2. Uma empresa do mercado de produtos de higiene e saúde está querendo fazer uma grande 
campanha publicitária utilizando diferentes mídias (TV, rádio. Internet, etc...) para o lançamento de 
determinado produto. Para tanto chamou 6 empresas que trabalham com propaganda e marketing e 
encomendou orçamentos para uma campanha publicitária que atingisse os consumidores das 
classes A, B e C. As empresas chamadas deveriam apresentar um projeto de campanha indicando 
os custos de sua realização e o número de consumidores por dia alcançados pela campanha. Estes 
projetos estão resumidos no quadro abaixo. A empresa contratante impõe como limite de gastos com 
a campanha o valor de $ 700.000,00 por mês, sendo que mais de uma empresa pode ser contratada, 
dentro deste limite de orçamento. A empresa contratante deseja trabalhar com no máximo 3 
empresas e quer que ao menos 20.000 consumidores da classe A, 35.000 da classe B e 40.000 
consumidores da classe C sejam atingidos com a campanha. Modele o problema indicando à 
empresa quais projetos devem ser escolhidos para que a campanha tenha um custo mínimo 
possível. 
 
Tabela 3 - Projetos Apresentados para a Campanha Publicitária 
Projeto/Cons./dia Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3 Projeto 4 Projeto 5 Projeto 6 
A(Cons./Dia) 23000 33000 14000 25000 18000 17000 
B(Cons./Dia) 52000 27000 38000 47000 32000 36000 
C(Cons./Dia) 35000 18000 75000 66000 41000 29000 
Custo($/mês) 570.000 380.000 275.000 634.000 510.000 415.000 
 
 
 
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3. Analisando melhor os projetos a empresa contratante (do problema anterior) resolveu que não 
contrataria simultaneamente os projetos 1 e 4 pois os mesmos utilizam as mesmas mídias. Ao 
contrário dos projetos 1 e 4 os projetos 2 e 6 utilizam diferentes mídias que são complementares. A 
empresa impõe, então, que estes dois projetos devem ser aceitos ou recusados juntos, isto é, se um 
for aceito o outro também deve ser e se um for recusado o outro também deve ser. Modele o 
problema. 
 
4.(Seleção de Alternativas de Investimento) Determinado banco de investimentos tem que decidir em que 
projetos investirá a partir do próximo trimestre. Seis projetos são apresentados cujos fluxos de caixa 
de investimentos/recebimentos são os apresentados na tabela abaixo. Os valores presentes dos 
fluxos de caixa são os seguintes: Projeto A: $290.000,00; Projeto B: $175.000,00; Projeto C: 
$350.000,00; Projeto D: $95.000,00; Projeto E: $60.000,00; Projeto F: $155.000,00. O banco tem 
disponível para investimento os seguintes valores por trimestre: 1o. trimestre: $ 430.000,00; 2o. 
trimestre: $ 350.000,00; 3o. trimestre: $200.000,00; 4o. trimestre: 200.000,00; 5o. trimestre: 
200.000,00; 6o. trimestre: 200.000,00. Além destes valores o banco ainda tem a possibilidade de 
tomar um empréstimo externo de $ 150.000,00 no 1o. trimestre, pelo qual deverá desembolsar $ 
350.000,00 no início do 5o. trimestre, resultando em um valor presente de $ (130.000,00). Formule 
um modelo que indique quais os projetos o banco deverá financiar obedecendo a regra do Banco 
Central de que não apresente resultados negativos ao longo do trimestre. Seu objetivo é o de 
maximizar o valor presente total. 
 
 
Tabela 4 - Fluxo de Caixa dos Projetos ($1.000,00) 
Trimestres/ 
Clientes 
A B C D E F 
1 (200) (110) (150) (80) (35) (30) 
2 (250) (30) (150) (35) (35) (180) 
3 (300) (50) (70) (15) (8) 20 
4 50 70 (250) (10) 12 150 
5 130 90 190 (40) 25 50 
6 180 130 280 100 35 30 
 
 
 
5.(Localização Geográfica) Uma empresa que produz determinado produto deseja implantar lojas de 
serviço autorizado que atendam a todas as regiões consumidores de uma cidade X com 2 milhões de 
habitantes. Um estudo mostrou que a cidade poderia ser dividida em 11 regiões. A empresa estipula 
que o padrão de qualidade requerido é aquele em que o ponto não esteja localizado a mais de 20 
min de ônibus para mais de 80% das pessoas que moram naquela região consumidora. Um corretor, 
chamado pela empresa, apresenta, então, 8 propostas de imóveis disponíveis para alugar com seus 
respectivos valores de aluguel (tabela abaixo). A empresa faz um estudo e traça o perfil de cada 
imóvel com relação ao padrão de qualidade estabelecido. Na tabela abaixo o X indica que aquele 
ponto atende à condição de qualidade imposta pela empresa para aquela região consumidora. Esta 
empresa deseja saber quais imóveis deverá alugar de maneira a minimizar o valor total gasto em 
aluguel e prover um nível de serviço adequado a todas as regiões consumidoras (RC). 
 
 
 
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Tabela 5 - Quadro Demonstrativo dos Imóveis/Condições de Qualidade Disponíveis para 
Aluguel em cada região Consumidora 
↓RC\ 
Pontos→ 
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
A X X X 
B X X X 
C X X 
D X X X 
E X X X X 
F X X X 
G X X X 
H X X X 
I X X X 
J X X X X 
L X X X 
Aluguel 
(US$) 
11001050 950 850 900 650 750 980 
 
6.Reformule o modelo anterior para o seguinte objetivo: a empresa deseja implantar o menor número 
possível de lojas autorizadas. 
 
 
7. (Designação ou Atribuição) Uma empresa que trabalha com vendas de produtos de valor bastante 
elevado tem, no momento, o problema de designar o vendedor mais adequado para tentar realizar 
uma venda para 4 clientes. Para isto dispõe de 4 vendedores. Dado um estudo do perfil de cada 
cliente e de cada vendedor tem-se a tabela abaixo que mostra as probabilidades de sucesso na 
venda de cada vendedor para cada cliente. Como Chefe do Setor de Vendas encontre a designação 
mais adequada da sua força de vendedores para maximizar a soma total das probabilidades de 
sucesso nas vendas (cada vendedor deverá visitar somente 1 cliente e cada cliente deverá receber a 
visita de somente um vendedor). 
 
 
Tabela 6 - Probabilidades de Sucesso na Venda 
Vendedores/Clientes 1 2 3 4 
A 90 90 90 30 
B 90 30 70 70 
C 70 30 70 30 
D 70 90 90 90 
 
 
8.A empresa High-Tech de investimentos está considerando investir até $1.000.000,00 em uma ou mais 
propostas que ela recebeu de vários empreendedores. Cada proposta foi analisada chegando-se a 
seis propostas de mais interesse da empresa devido ao retorno esperado compensar o risco do 
empreendimento. O investimento necessário, o fator de risco e a taxa de retorno esperado de cada 
projeto constam da tabela abaixo. Os diretores da empresa acordaram que o risco total, adicionando 
os fatores de risco dos projetos escolhidos, não deveria ser superior a 3.0. Decidiram também que 
até dois projetos podem ter um fator de risco superior a 0.6. Como gerente de investimentos você foi 
questionado sobre quais projetos a empresa deveria financiar. A meta da empresa é alcançar o maior 
retorno esperado sobre o capital investido. 
 
 
 
85
 
 
Tabela 7 – Dados relativos aos Possíveis Projetos de Investimento da Empresa High-Tech 
 
Projetos Capital Necessário($) Risco Retorno 
P1 100.000,00 0.50 0.20 
P2 200.000,00 0.40 0.15 
P3 170.000,00 0.70 0.30 
P4 250.000,00 0.65 0.25 
P5 400.000,00 0.45 0.17 
P6 250.000,00 0.75 0.40 
 
 
 
 
86
 
 
Bibliografia 
 
 
 
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COLIN, Emerson. Pesquisa Operacional: 170 aplicaçoes em estratégia, finanças, logística, produção e 
marketing. Ed. LTC, 2007. 
CORRAR, L.J.; Theófilo, C.R. Pesquisa Operacional para Decisão em Contabilidade e Administração. Ed. 
Atlas, 2004. 
FAVERO, L.F., BELFIORE, P. Pesquisa Operacional para Cursos de Administração, Contabilidade e 
Economia. São Paulo: Campus, 2012. 
HILLIER, F., Lieberman, G. Introduçao a Pesquisa Operacional. São Paulo: McGrawHill, 2006. 
JENSEN, P.A., ard, J.F. Operations Research Models and Methods. John Willey and Sons, 2003. 
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Prentice Hall Brasil, 2009 
LOPES, A.L. M., VEIGA, A.M.G. Introdução à Pesquisa Operacional. Palhoça : UNISUL Virtual, 2ª. edição, 
2008. 
MATHUR, K.; SOLOW, D. Management Science. The Art of Decision Making. Prentice Hall, 1994. 
MOREIRA, Daniel A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São Paulo: Thomson Learning, 2007. 
PINTO, Kleber C. R. Aprendendo a Decidir com a Pesquisa Operacional. Ed. Edufu, 2008. 
PRADO, Darci. Programaçao Linear. Belo Horizonte; MG: Editora Desenvolvimento Gerencial, 1999. 
RENDER, B.; STAIR, R.M.; BALAKRISHMANN, N. Managerial Decision Modeling with Spreadsheets. 
Prentice Hall, 2003.