Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
0 Variável Complexa Números Complexos: Primeiro Contato: Resolva as seguintes equações do segundo grau: 1) 0322 xx 2) 0442 xx 3) 0222 xx 4) 012 xx 1) Imersão de IR em ℂ Consideremos o subconjunto R’ de ℂ formado pelos pares ordenados cujo segundo termo é zero: R’ = 0/),( bCba Pertencem, por exemplo, a R’ os pares (0, 0), (1, 0), (a, 0), (b, 0), (a+b, 0), (a.b,0) Consideremos agora a aplicação f, de IR em R’, que leva cada R'0) (x, par ao IRx . IR R’ a (a, 0) b (b, 0) a+b (a+b, 0) a.b (a.b, 0) )0,( ': xx RIRf Primeiramente notemos que f é bijetora, pois: 1) Todo par R'0) (x, é o correspondente, segundo IR xde f, (ou seja, f é sobrejetora); 1 2) Dados ,x' xcomIR, x'e IRx os seus correspondentes (x, 0) R’ e (x’, 0) R’ são distintos, de acordo com a definição de pares ordenados (ou seja, f é injetora). Em segundo lugar, notemos que f conserva as operações de adição e multiplicação, pois: 1) a soma a + b, com a IR,b e IR está associado o par (a + b, 0), que é a soma dos pares (a, 0) e (b, 0), correspondente de a e b, respectivamente: f(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b) 2) ao produto ab, com a IRb e IR , está associado o par (ab, 0), que é o produto dos pares (a, 0) e (b, 0), correspondentes de a e b, respectivamente: f(ab) = (ab, 0) = (ab – 0.0, a.0 + 0.b) = (a, 0) . (b, 0) = f(a) . f(b) Devido ao fato de existir uma aplicação bijetora ': RIRf que conserva as operações de adição e multiplicação, dizemos que IR e R’ são isomorfos. Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0) leva a resultados análogos aos obtidos operando com x. Isto justifica a igualdade: IR x0), (x,x que usaremos daqui por diante. Aceita esta igualdade, temos em particular que 0 = (0, 0), 1 = (1, 0) e IR = R’. Assim, o corpo IR dos números reais passa a ser considerado subconjunto do corpo ℂ dos números complexos: CIR 2) Unidade Imaginária Chamamos unidade imaginária e indicamos por i o número complexo (0, 1). Notemos que: i2 = i.i = (0, 1). (0, 1) = (0.0 -1.1, 0.1+1.0) = (-1, 0) = -1 isto é, a propriedade básica da unidade imaginária é: i2 = -1 2 Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, temos também: i3 = i2.i = (-1).i = -i i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1 Mais geralmente, para todo INn , temos: i4n = 1, i4n+1= i, i4n+2= -1, i4n+3= -i cuja demonstração fica como exercício. Dado um número complexo qualquer z = (x, y), temos: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y.0 – 0.1, y.1 + 0.0) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = (x, 0) + (y, 0). i Isto é: z = x + y.i Assim, todo número complexo z = (x, y) pode ser escrito sob a forma z = x + y i, chamada forma algébrica. O número real x é chamado parte real de z e o número real y é chamado parte imaginária de z. Em símbolos indica-se: x = Re(z) e y= Im(z) Chama-se real todo número complexo cuja parte imaginária é nula. Chama-se imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a imaginária não. Assim: z = x + 0i = x é real z = 0 + yi = yi ( y 0) é imaginário puro. A forma algébrica (x + yi) é muito mais prática que o par ordenado (x, y) na representação dos números complexos, uma vez que ela facilita as operações. Vejamos como ficam as definições de igualdades, adição e multiplicação de complexos, usando a forma algébrica: 3 Igualdade: a + bi = c + di a = c e b = d, isto é, dois números complexos são iguais se, e somente se, têm partes reais iguais e partes imaginárias iguais. Adição: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, isto é, a soma de dois números complexos é um complexo cuja parte real é a soma das partes reais das parcelas e cuja parte imaginária é a soma das partes imaginárias das parcelas. Multiplicação: (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i, isto é, o produto de dois números complexos é o resultado do desenvolvimento de (a + bi)(c + di), aplicando a propriedade distributiva e levando em conta que i2= -1. Exemplo: Dados z1 = 1 + i, z2= 1 – i e z3 = 3 + 2i, calcular: a) 21 zz b) 32 zz c) 21.zz d) 31.zz 1ª Lista de Exercícios 1. Efetue as seguintes operações indicadas: a) (6 + 7i). (1 + i) b) (5 + 4i).(1 - i)+(2 + i).i c) (1 + 2i)2 - (3 + 4i) 2. Efetue: a) (3 + 2i) + (2 - 5i) b) (5 - 2i) – (2 + 8i) 4 c) (1 + i) – (1 - i) - 2i d) (6 + 7i) – (4 + 2i) + (1 - 10i) 3. Efetue: a) (2 - 3i).(1 + 5i) b) (1 + 2i). (2 + i) c) (4 - 3i). (5 - i) .(1 + i) d) (7 + 2i). (7 - 2i) 4. Se u= 4 + 3i e v = 5 - 2i, calcule u.v. 5. Calcule: a)(3+2i)2 b)(5 – i)2 c)(1+i)3 6. Se f(z) = z2 – z + 1, calcule f(1 - i). 7. Dado f(z) = z4 + iz3 - (1 + 2i).z2 + 3z + 1 + 3i, calcule o valor de f no ponto z = 1 + i. 8. Prove que (1+i)2 = 2i e coloque na forma algébrica o número 96 8280 )1()1( i ii z 9. Calcule as seguintes potências de i: a) i76 b) i110 c) i97 d) i503 10. Prove que (1 - i)2 = -2i e calcule (1 - i)96 + (1 - i)97. 11. Determine IRy e IRx para que se tenha: a) 2 + 3yi = x + 9i 5 b) (x + yi) (3 + 4i) = 7 + 26i c) (x + yi)2 = 4i 12. Determine IRy e IRx para que se tenha: a) 3 + 5ix = y - 15i b) (x + yi) (2 + 3i) = 1 + 8i c) (3 + yi) + (x - 2i) = 7 - 5i d) (x + yi)2 = 2i e) (2 – x + 3y) + 2yi = 0 f) (3 - i) (x + yi) = 20 3) Conjugado Chama-se conjugado do complexo z = x + yi ao complexo z= x – yi, isto é: z = x +yi z = x – yi Exemplos: 1) z = 2 + 5i iz 52 2) z = 3 - 4 i iz 43 3) z = -1 -3i iz 31 4) z = -7 + 2i iz 27 É imediato notar que o complexo conjugado de z é z: )(z = y.i) -(x = x + yi = z Por esse motivo dizemos que z e z são números complexos conjugados (um é conjugado do outro). Propriedades do conjugado Para todo :temos ,Cz 6 I) z + z = 2. Re(z) II) z - z = 2.Im(z).i III) IRzzz IV) 2121z zzz V) 2121 ..z zzz Uso do conjugado na divisão A divisão de números complexos se torna simples com o uso do conjugado complexo, veja: z z =(a + bi) (a – bi) = a2 – b2i2 = a2 + b2 Dados z1 = a + bi 0 e z2 = c + di, temos: 1 2 z z = i ba cbda ba dbca biabia biadic bia dic 2222))(( ))(( Isto é, para calcular 1 2 z z basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: i i 1 23 7 2ª Lista de Exercícios 1. Coloque na forma algébrica os seguintes números: a) i 2 b) i2 3 c) i i 3 21 d) i i 34 9 2. Coloque na forma a + bi os seguintes números complexos: a) i 1 b) i1 1 c) i i 2 43 d) i i 1 1 e) 3718 1311 .2 ii ii f) i i 3 31 g) 301316 351723 iii iiii h) 2)1( 1 i i 3. Qual o conjugado de i i 2 31 ? 4.Determine o conjugado de i i1 ? 8 5. Determine x ( IRx ) de modo que o número xi xi z 21 2 seja imaginário puro. 6. Determine a ( IRa ) de modo que o número ai i z 2 21 seja real. 7. Determine Cz tal que ziz 2 . 8. Sejam dados os números complexos z = x + iy e 2 3 2 1 iu , sendo z o conjugado de z, calcule as partes real e imaginária do número complexo zuz .1 .
Compartilhar