conteudo interativo aula4

Prévia do material em texto

●Fundamentos da álgebra
Aula 4 – Subgrupo Normal e Grupo Quociente
-Classes Laterais 
 Vamos iniciar esta aula conhecendo a definição de Classes Laterais. Veja:
Seja (𝐺,∗) um grupo de ordem finita, e seja (𝐻,∗) um subgrupo de G, dado um elemento 𝑎∈𝐺, definimos:
• 𝑎∗𝐻={𝑥=𝑎∗ℎ, ℎ∈𝐻} , classe lateral à esquerda, módulo H;
• 𝐻∗𝑎={𝑥=ℎ∗𝑎, ℎ∈𝐻}, classe lateral à direita, módulo H.
ATENÇÃO!
• Se o grupo for comutativo, teremos 𝑎∗𝐻=𝐻∗𝑎;
• Se G for um grupo aditivo, então, poderemos representar as classes do seguinte modo:
Classe lateral à esquerda, módulo 𝐻: 𝑎+𝐻={𝑎+h/h∈𝐻} 
Classe lateral à direita, módulo 𝐻: 𝐻+𝑎={h+𝑎/h∈𝐻};
• Sendo G um grupo multiplicativo, é comum denotarmos as classes laterais por aH ou Ha no lugar de 𝑎.𝐻 ou 𝐻.𝑎;
• Se e for o elemento neutro do grupo G, então, poderemos escrever e𝐻 = 𝐻;
• Podemos denotar o conjunto das classes laterais à esquerda de H por G/𝐻 e à direita de 𝐻 por 𝐻/G. Veja que podemos definir G/𝐻 e 𝐻/G como quocientes de grupos, que, mais à frente, transformaremos em grupos.
Veja, a seguir, alguns exemplos de como determinar as classes laterais. Lembre-se que, se o enunciado sinalizar que o grupo é comutativo, poderemos calcular as classes laterais à esquerda ou à direita. Em nosso estudo, vamos calcular à esquerda.
Exemplo 1
Considere (Z6,+) um grupo comutativo e H = {0, 3} subgrupo de (Z6,+). 
As classes laterais, módulo H, à esquerda, serão:
0 + H = {0 + 0, 0 + 3} = {0,3} = H + 0
1 + H = {1 + 0, 1 + 3} = {1,4} = H+ 1
2 + H = {2 + 0, 2 + 3} = {2,5} = H + 2
3 + H = {3 + 0, 3 + 3} = {3,0} = H + 3
4 + H = {4 + 0, 4 + 3} = {4,1} = H + 4
5 + H = {5 + 0, 5 + 3} = {5,2} = H + 5
Note que as classes laterais distintas, à esquerda de H, são: 0 + H, 1 + H e 2 + H.
Portanto, o conjunto das classes laterais à esquerda de H será: 
G/H = Z6/H = {0 + H, 1 + H, 2 + H} = {H, 1 + H, 2 + H}
Exemplo 2
Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. 
As classes laterais, módulo H, à esquerda, serão:
1.H = {1.1,1.(-1)} = {1, -1} = H.1 
(-1).H = {(-1).1,(-1).(-1)} = {-1,1} = H.(-1)
i.H = {i.1,i.(-1)} = {i, - i} = H.i
(-i).H = {(-i).1, (-i).(-1)} = {-i, i} = H.(-i)
Note que as classes laterais distintas, à esquerda de H, são: 1.H e i.H, portanto, o conjunto das classes laterais à esquerda de H será: G/H = {H, iH}.
Exemplo 3
Seja (Z,+) um grupo, e o subgrupo H = 4Z = {4 n/n∈Z} dos múltiplos de 4. Determine as classes laterais à esquerda de H.
Já vimos, em estudos anteriores, que qualquer inteiro dividido por 4 só poderá deixar resto 0, 1, 2 ou 3. Assim, teremos:
0 + H = H + 0 = H
1 + H = {1+h/h∈H}={1+4 n/n∈Z} 
2 + H = {2+h/h∈H}={2+4 n/n∈Z} 
3 + H = {3+h/h∈H}={3+4 n/n∈Z} 
Portanto, o conjunto das classes laterais à esquerda de H = 4Z em Z será: 
G/H = {H, 1+H, 2+H, 3+H} ou Z/4Z = {4Z, 1+4Z, 2+4Z, 3+4Z}.
 
Proposições sobre as Classes Laterais
Agora, vamos analisar algumas proposições importantes sobre as classes laterais:
PROPOSIÇÃO 01
A união de todas as classes laterais, módulo H, é igual a G.
PROPOSIÇÃO 02
A união de todas as classes laterais, módulo H, é igual a G.
PROPOSIÇÃO 03
Se aH e bH são duas classes laterais, módulo H, genéricas, então, aH = bH ou aH ∩ bH = Ø.
PROPOSIÇÃO 04
As classes laterais de a, à esquerda de H e à direita de H têm a mesma cardinalidade.
Atenção !
Na proposição 4, quando se diz:
“As classes laterais de a, à esquerda de H e à direita de H têm a mesma cardinalidade.”
Significa que toda classe lateral aH tem a mesma quantidade de elementos que H, isto é, existe uma função bijetora de H em aH. Em outras palavras, podemos dizer que |aH|= |H| e |Ha|=|H|, assim, |aH|=|Ha|.
Para visualizar uma demonstração de cada proposição, clique no botão ao lado: PDF
TEOREMA DE LAGRANGE
A partir da definição de Classes Laterais, podemos enunciar o Teorema de Lagrange.
Com o Teorema de Lagrange, fica fácil identificar os subgrupos de G, já que ele reduz, consideravelmente, o número de subconjuntos de G.
Veja um exemplo:
Se o grupo G possui 6 elementos, o número de subconjuntos será 26 = 64. Note que podemos considerar os subconjuntos com 1, 2, 3 e 6 elementos, que são os divisores de 6. Destes podemos considerar apenas os subconjuntos com 2 e 3 elementos, visto que os subconjuntos com 1 e 6 elementos já são subgrupos triviais.
Agora veja a definição do Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então, a o(G) = (G:H).o(H) ou |G| = |G/H|.|H|,
ou seja, = 
Vamos fazer uma prova desse Teorema:
Suponhamos que (G:H) = r, e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então, a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH = G (pela proposição 1). Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes, e como o número de elementos de cada classe é o(H) (pela proposição 4), temos, então, que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo, (G:H).o(H) = o(G) ou |G| = |G/H|.|H|.
Para visualizar alguns exemplos, clique no botão ao lado: PDF
COROLÁRIOS DO TEOREMA DE LAGRANGE
Existem algumas proposições importantes sobre o Teorema de Lagrange, vamos analisá-las:
COROLÁRIO 1
Seja 𝐺 um grupo finito. Se 𝑎∈𝐺 𝑒 𝐻=[𝑎], 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑜(𝑎)|𝑜(𝐺). Esse corolário nos diz que, se 𝐺 é um grupo finito, e a é um elemento de 𝐺, então, a ordem de a divide a ordem de 𝐺.
COROLÁRIO 2
Seja 𝐺 um grupo finito. Se 𝑎∈𝐺 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎𝑜(𝐺) =𝑒𝐺.
COROLÁRIO 3
Se 𝐺 é um grupo de ordem prima, então, 𝐺 é cíclico.
COROLÁRIO 4
Se 𝐺 é um grupo finito e a 𝑜(𝐺) ≤ 5, então, 𝐺 é abeliano.
COROLÁRIO 5
Pequeno Teorema de Fermat Sejam p um número primo e 𝑎 um elemento de Z, tal que a não divide p (𝑎 não é múltiplo de p), então, 𝑎 é congruente com 1 módulo p, isto é, 𝑎𝑝−1≡1 (mod𝑝), ∀𝑎∈(𝑍−𝑝𝑍).
Para saber mais sobre os Corolários do Teorema de Lagrange, clique no botão ao lado: PDF
SUBGRUPOS NORMAIS
Após conhecer o Teorema de Lagrange, vamos conhecer a definição de subgrupos normais. Veremos, mais adiante, que, a partir deles, poderemos construir os grupos quocientes.
“Seja G um grupo, e seja H um subgrupo de G. Diz-se que H é um subgrupo normal de G ou que o subgrupo H é normal em G se, e somente se, aH = Ha para todo elemento a em G. Nesse caso, podemos dizer que H é um subgrupo normal de G e é denotado por H⊲G ou H𝛥G . Usamos mais a primeira notação.”
Também podemos apresentar o subgrupo normal a partir da definição de um subconjunto aHa-1 de G por aHa-1 ={aha-1∕ℎ∈𝐻}.
Essa definição nos leva à proposição 5, que apresenta critérios para verificarmos a existência de subgrupos normais.
Para conhecer essa proposição, bem como as proposições 6 e 7, clique no botão ao lado: PDF
GRUPOS QUOCIENTES
Com base no conceito de subgrupos normais, vamos, agora, construir um grupo chamado de grupo quociente. Para isso, observe o Teorema abaixo:
Se H é um subgrupo normal de G, então, G/H, com a operação de multiplicação, é um grupo. Lembre-se que chamamos G/H o conjunto de todas as classes laterais à esquerda ou à direita de H em G.
Podemos, agora, definir grupos quocientes. Veja:
Seja G um grupo e H um subgrupo de G tal que aH = Ha, ∀𝑎∈G. Então G/H é um grupo. Esse grupo será chamado de grupo quociente com respeito a H.
PROPRIEDADES DOS GRUPOS QUOCIENTES
Levando em conta, ainda, a definição que vimos de grupos quocientes, observe a operação abaixo:
𝐺∕𝐻={𝑎 𝐻∕𝑎∈𝐺}
Podemos observar que (G/H,.) é um grupo com essa operação, pois através dele pode-se verificar as propriedades abaixo:
PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐺,
(𝑎𝐻)[(𝑏𝐻)(𝑐𝐻)]=(𝑎𝐻)[(𝑏𝑐)𝐻]=𝑎(𝑏𝑐)𝐻=(𝑎𝑏)𝑐𝐻=[(𝑎𝑏)𝐻](𝑐𝐻)=[(𝑎𝐻)(𝑏𝐻)](𝑐𝐻). ) 
Assim, verificamos a propriedadeassociativa.
EXISTÊNCIA DO ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎∈𝐺, (𝑒𝐻)(𝑎𝐻)=(𝑒𝑎)𝐻=𝑎𝐻 𝑒 (𝑎𝐻)(𝑒𝐻)=(𝑎𝑒)𝐻=𝑎𝐻
Assim, temos eH = H como sendo o elemento neutro de G/N.
EXISTÊNCIA DO ELEMENTO INVERSO
∀𝑎∈𝐺, (𝑎𝐻)(𝑎−1 𝐻)=(𝑎𝑎′)𝐻=𝑒𝐻 𝑒 (𝑎−1 𝐻)(𝑎𝐻)=(𝑎′𝑎)𝐻=𝑒𝐻 
Assim, temos que o elemento inverso de 𝑎𝐻 é o elemento 𝑎-1N.
ATENÇÃO !
Se G for um grupo finito, então, pelo Teorema de Lagrange, podemos observar que:
𝑜(𝐺∕𝑁)=(𝐺:𝑁)= .
Essas propriedades nos levam à proposição 8, para visualizá-la, clique no botão ao lado: PDF
Atividades Proposta
01- Determine todos os subgrupos de (Z6, +).
Resposta : {0},{0,2,4},{0,3} e Z6
02- Seja H = [a] um subgrupo de G = GL2(R), em que a = , e seja x = . Calcule as classes laterais xH.
Resposta:{ x, xa,xa2,xa3}
03-Considere (Z6,+) um grupo comutativo e H = {0, 2, 4} subgrupo de (Z6,+) . Determine o número de classes laterais distintas que podemos encontrar à esquerda (ou à direita) de H.
Resposta: 2
04- Seja o grupo (Z4,+) e o subgrupo H = {0,2}. Determine o grupo quociente Z4/H.
Resposta:{H,1 +H}
05-Determine todos os subgrupos de (Z6,+).
Resposta: {0}, {0,2,4}, {0,3} e Z6
 06-Seja o grupo G = {1,i,-1,-i} e o subgrupo H = {1,-1}. Determine o grupo quociente G/H.
Resposta: {H,iH}
* CADERNO DE EXERCÍCIOS 
01- Considere (Z6,+) um grupo comutativo e H = {0, 2, 4} subgrupo de (Z6,+). Determine o conjunto das classes laterais à esquerda de H.
02- Seja G = {A ∈ Mn(R); A é inversível} e o subgrupo H = { A ∈ G; detA= 1}. Mostre que H é um subgrupo normal de G.
03- Considere o grupo G = (Z10, +). Verifique se o subconjunto H= {0,2,4} de G é um subgrupo de G.
04- Seja H = {0,8} um subconjunto de G = (Z10, +). Verifique se H é subgrupo de G.
05- Seja H = {1, 2, 4, 6, 8} um subconjunto de G = (Z10, +). Verifique se H é subgrupo de G.
06- Seja H = [a] um subgrupo de G = GL2(R), em que a =, e seja x = . Verifique se H é subgrupo normal de G.
07- Sejam G = (Z12, +) e H = {0,4,8} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo quociente (G/H, +), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de 1 + H e 2 + H.
Gabarito pdf