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FUNDAMENTOS DA ALGEBRA
AULA 08 – Subanéis e Anel de Integridade
Subanéis
Vamos começar esta aula conhecendo a definição de subanéis. Veja
Seja (A, +, ·) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, ·) é um subanel de A se ele for um anel com as operações do anel A, isto é, se:
1) S for fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, x + y ∈ S e xy ∈ S, ∀x, y, ∈ S.
2) (S, +, .) também for um anel.
Atente-se para algumas observações sobre os subanéis:
I – Todo anel possui pelo menos dois subanéis que são chamados de subanéis triviais. São eles o {0} e o próprio anel A. Note que o subanel {0} não possui unidade, pois 1 ∉ {0}. O subanel A possui unidade, visto que 1 ∈ A.
II-Como desejamos encontrar novos exemplos de anéis, vamos trabalhar com os chamados subanéis não triviais.
Verificação dos subanéis
De acordo com a definição que vimos de subanéis , para (S, + , .) ser um anel , teremos que observar se os seis axiomas de anel são verificados no conjuntos. No entanto , essa verificação é trabalhosa!
Para minimizarmos esse trabalho, vamos apresentar uma proposição que será muito útil para determinarmos se um subconjunto é um subanel de um anel dado. Veja:
Proposição 1 : 
Seja (A, +, .) um anel e S um sub conjunto não vazio de A . Dizemos que (S, + ,. ) é um subanel de um anel A se , e somente se ,x,y ϵ S, 
1) x-y ϵ S
2)xy ϵ S	
Propriedade Associativa para a multiplicação
Agora, vamos verificar os axiomas de anel para a multiplicação. Observe:
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈𝐴, tem-se (𝑥⋅𝑦)⋅𝑧=𝑥⋅(𝑦⋅𝑧).
 A associatividade da multiplicação em S é herdada da associatividade de A.
Nesse contexto, valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição em A.
𝑥 ⋅ (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 ⋅ 𝑦) + (𝑥 ⋅ 𝑧),  ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴  𝑒 (𝑥 + 𝑦) ⋅ 𝑧 = (𝑥 ⋅ 𝑧) + (𝑦 ⋅ 𝑧),  ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴
Verificamos também que: ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴. Assim, é válido em A, a.1 = a.
Se A for um anel comutativo, então, S também será comutativo. Isso significa que a comutatividade de S é herdada de A. Se o anel A não for comutativo, então, S também não será comutativo. Portanto, fica provada a proposição.
Exemplos clássicos de subanéis
Veja alguns exemplos clássicos de subanéis:
Conjuntos numéricos
a) (𝛧,+,⋅) é um subanel de (𝑄,+,⋅), (ℜ,+,⋅) e
(𝐶,+,⋅) 
b) (ℜ,+,⋅) é um subanel de (𝐶,+,⋅) 
c) (𝑄,+,⋅) é um subanel de (ℜ,+,⋅) e (𝐶,+,⋅)
d) (𝛧,+,⋅) é um subanel com unidade de (𝑄,+,⋅)
e) (𝑄,+,⋅) é um subanel com unidade de (ℜ,+,⋅)
Conjuntos das matrizes
a) (Mn(Z),+, . ) é subanel de (Mn(Q), +, .), (Mn(R),+,.) e ( Mn(C), +, .)
b) (Mn(R),+,.) é subanel de ( Mn(C), +, .)
c) (Mn(Q), +, .)é subanel de (Mn(R),+,.) e ( Mn(C), +, .)
Subanel Unitário
Um subanel também pode ser unitário. Veja:
Seja A um anel unitário e S um subanel de A. O subanel S pode ter ou não unidade, mas, caso tenha, a unidade pode ser ou não igual à do anel A. Quando possuem a mesma unidade, dizemos que o subanel é um subanel unitário do anel.
Podemos definir um subanel unitário da seguinte maneira:
Seja (A, +, .) um anel unitário. Dizemos que o subanel (S,+, .) é subanel unitário do anel A se sua unidade for igual à unidade de A, isto é, 1S = 1A.
Para entender melhor a definição de subanel unitário, observe os exemplos a seguir:
1 – Z é um subanel unitário de Q.
2 - Q é um subanel unitário de R.
3 -Z é um subanel unitário de Z[√p].
4 -Z[√p] é um subanel unitário de Q[√p].
Anel de Integridade e Divisores de um Anel
A partir de agora vamos conhecer o anel de integridade e os divisores de um anel. Vamos começar definindo “divisor de um anel” e, por último, falaremos no “anel de integridade”, também conhecido como “domínio de integridade”. 
Para determinar o que é o divisor de um anel, trouxemos duas definições, veja:
01-Um elemento x do anel (A, +, .) é chamado divisor de zero quando x ≠ 0 e existe um elemento y em A, y ≠ 0, tal que xy = 0 ou yx = 0.
02-Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero.
Atenção ! 
0A é o zero do anel.
Exemplos de divisores de um Anel
Para entender melhor a definição de divisores de um anel, observe os exemplos a seguir:
I – Seja o anel Z6. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3.Note que 2 ≠ 0 , e 3 ≠ 0 . Portanto , 2,e 3 são divisores próprios de zero.
II – Seja o anel Z6. Considerando os elementos 3 e 4 em Z6 ,3 ≠ 0 e 4 ≠ 0 , também observamos que o produto 3.4 = 12 = 0 . Portanto , o anel Z6 admite 3 divisores de zero : 2,3 e 4. 
III – Seja o anel Z7. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3.Note que 2 ≠ 0 , e 3 ≠ 0 .O produto 2.3 = 6≠ 0 . Portanto, o anel Z7 não possui divisores próprios de zero.
Divisores de zero no anel Zm
Seja a um elemento de Zm. Podemos dizer que a é um divisor de zero, se o mdc(a,m) ≠ 1 . Para entender melhor essa definição , vamos analisar o exemplo a seguir :
EXEMPLO: Seja o anel Z54.
Para analisar esse exemplo, precisamos responder às seguintes perguntas:
	35 é divisor de zero no anel Z54?
Neste caso, basta verificarmos o mdc entre 35 e 54. Se ele for igual a 1, então, 35 não é divisor de zero no anel Z54, se for diferente de zero, então, ele é divisor de zero nesse anel. Vejamos:
mdc(35,54) = 1, portanto, 35 não é divisor de zero no anel Z54.
	36 é divisor de zero no anel Z54?
Mdc(36,54)=18 ≠1, portanto , 36 é divisor de zero no anel Z54. Então , dizemos que existem um elemento no anel dado que, multiplicado por 36, vai dar zero. vejamos : 36.3 = 108 = 0 ( lembramos que 108 divivido por 54 deixa resto 0 no anel Z54 )
SAIBA MAIS Caso um determinado elemento não seja divisor de zero, como vimos anteriormente, significa que o elemento z é um elemento simetrizável. Proposição 2 Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de zero, então, B é, também, um anel sem divisores de zero.
Número primo em um anel
Um número primo em um anel pode ser definido da seguinte maneira: Um número a de um anel é chamado de primo se possui quatro divisores. Veja um exemplo:
EXEMPLONo anel dos inteiros, o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -1, 2 e -2. O número 1 não é primo, pois seus divisores são 1 e -1. O número 6 não é primo, pois seus divisores são 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.
Anel de Integridade ou Domínio
Um anel A é dito anel de integridade ou domínio se ele é comutativo com unidade, não possui divisores de zero e ∀x, y ∈ A, xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0. Podemos também usar a contrapositiva: ∀x, y ∈ A, x ≠ 0 e y ≠ 0 ⇒ xy ≠ 0 Da definição dada, segue que todo domínio é um anel. Veja alguns exemplos:
	Exemplo 1
O anel Z7 é um anel de integridade, pois , como já foi visto , ele não possui divisores próprios de zeros. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo,2 e 3 . 
2 ≠0 e 3 ≠ 0 e 2.3= 6 ≠0
	Exemplo 2
O anel Z8 não é um anel de integridade, pois possui divisores de zero. Veja: Considerando dois elementos desse anel , por exemplo, 2 e 4.
 2 ≠ 0 e 4 ≠ 0 e 2.4=8≠ 0 .
Assim , 2 e 4 são divisores de zero em Z8 
	Exemplo 3
Em geral, Zm é anel de integridade se, e somente se, m for primo.
Podemos, ainda, definir o anel de integridade da seguinte maneira:
Seja A um anel de integridade. Um subanel B em A é um subdomínio de A quando B é subanel unitário e anel de integridade.
Veja alguns exemplos:
EXEMPLO - • Z é um subdomínio de Q. • Q é um subdomínio de R.
Resultado sobre os anéis de integridade
Para finalizar, veja agora alguns resultados sobre os anéis de integridade:
	PROPOSIÇÃO 01
	PROPOSIÇÃO 02
	PROPOSIÇÃO 03
	As condições abaixo são equivalentes :
1-Zm é o domínio de integridade.
2 – n é um numero primo . 
Isso significa que 1 implica 2.
	Sejam A um domínio e B um sub anel de A . São equivalentes:
1- B é subdomínio de A;
2- B tem unidade.
Isso significa que 1 implica 2.
	Corresponde à Lei do cancelamento. Veja:
Seja A um domínio. Se ab = ac com a ≠ 0, então, b = c.
Atividade 
 1 - Marque a única alternativa correta sobre os subanéis.
O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈Z}. ( certa )
(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.).
O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6.
(Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.).
O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z.
 2 - A definição de divisores de um anel diz que: seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição, marque a alternativa correta.
O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
O anel das matrizes (Mn(A), +, .) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
2 e 4 não são divisores de zero em Z8.
2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6. ( certa)
3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15.
3 - O anel Z6 admite quantos divisores de zero?
r- 3 
4 - Determine todos os divisores de zero do anel Z15.
R - 3, 5, 9, 10 e 12
5 - Considere as seguintes afirmações:
(I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
R - somente as afirmativas I e IV são verdadeira
6 - Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova de que a intersecção de B e C é subanel de A:
R - Por hipótese, temos que B e C são subanéis de A. Suponhamos x e y dois elementos que pertencem à interseção B ∩ C. Como x,y ∈ B, temos que x+y ∈ B e x.y ∈ B. O mesmo ocorre com C. Temos que x,y ∈ C, assim, x+y ∈ C e x.y ∈ C. Portanto, x+y ∈ B ∩ C e x.y ∈ B ∩ C. Podemos concluir que B ∩ C é Subanel.
Caderno de exercícios
01 - Sejam R e S subanéis de um anel (A,+,.). Prove que 𝑅∩𝑆 também é um subanel de A.
02 - Verifique se C= {a/2n / a,n ϵ Z , n≠0} é um subanel dos conjuntos dos racionais.
03 -Verifique se os seguintes subconjuntos são subanéis do anel (Q,+, .):
a) S = {𝑥 ∈ 𝑄 / 𝑥 ∉ 𝑍}
b) S = 3Z
c) S = Q – Z
d) S = {-1, 0, 1}
04 -Verifique se S é subanel de M2(R). S= {[]} / x,y ϵ R}.
05 - O centro do anel A é o conjunto Z(A) = {𝑥∈𝐴∕𝑥 𝑎=𝑎𝑥, ∀𝑎∈𝐴 }. Verifique que Z(A) é subanel de A.
06 - Mostre que, se A é um anel de integridade e x é um elemento de A tal que x2 =1, então, x = 1 ou x = -1.
07 - Considere o anel comutativo com unidade 
(Q, □, ∆), onde 
x □ y = x + y - 1
x ∆ y = x + y - xy
Verifique se (Q, □, ∆) é um anel de integridade.
Explore +
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes artigos:
Conflitos de Aprendizagem na Disciplina de Álgebra Abstrata. Disponível aqui.
Introdução à Teoria de Anéis. Disponível aqui.
Divisibilidade em domínios de integridade. Disponível aqui.