Lista de Exercícios # 1 Algebra Vetorial

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Vetor: Grandeza matemática descrita por uma magnitude (módulo), direção e sentido
Representação geométrica
geometricamente por qualquer segmento de reta o
possua módulo, direção e sentido. Ex: Figura ao lado que representa 
o vetor A
r
. 
Operação com vetores com base no método do paralelograma
Operação Soma e Subtração:
Dados os vetores A
r
e B
r
; para cada vetor os seu equivalente negativo 
com mesma magnitude e direção e sentido
Operação Soma de Vetores:
Vetores: (BBAD
rrrr
−−=−=
Módulo do Vetor Soma e Diferença: 
Lista de Exercícios # 0 
 
Resumo: 
Álgebra Vetorial 
Grandeza matemática descrita por uma magnitude (módulo), direção e sentido
Representação geométrica: um vetor pode ser representado 
geometricamente por qualquer segmento de reta orientado que 
sentido. Ex: Figura ao lado que representa 
com base no método do paralelograma: 
Operação Soma e Subtração: 
; para cada vetor os seu equivalente negativo 
a magnitude e direção e sentido contrários. 
Operação Soma de Vetores: ABBAS
rrrrr
+=+= (Figura abaixo) 
 
 
 
� 
 
Operação Subtração de 
)A
r
− (Figura abaixo) 
 
 
 
� 
 
 
Módulo do Vetor Soma e Diferença: 
Grandeza matemática descrita por uma magnitude (módulo), direção e sentido. 
; para cada vetor os seu equivalente negativo )( A
r
− e )( B
r
− , 
Usando o teorema de Pitágoras e a Lei dos Cossenos, 
Temos: 
2
22
BABAS
rrrrr
++=+=
22
BABAD
rrrrr
−+=−=
 
Vetor unitário ou versor: um vetor cujo 
Ex: ˆ,ˆ,ˆ
A
A
A
D
D
D
S
S
S r
r
r
r
r
r
===
Operação com vetores com base no método algébrico:
Componentes de um vetor
um sistema de coordenadas.
Sistema de Coordenadas Retangulares: Sistema 
formado pela trinca de vetores unitários
perpendiculares, os quais são vetores formados a partir dos 
segmentos de retas x, y e z como mostrados na Figura ao lado.
 
 
Para um vetor A
r
 que localiza um ponto 
são definidas como sua projeção em cada um dos eixos coordenados através dos 
ângulos diretores ( γβα ,, ) 
Assim define-se cosAAx
r
=
escrito em termo de suas coordenadas como 
,(ˆˆˆ xzyx AzAyAxAA =++=
r
Módulo de um vetor em termo de suas coordenadas: usando o teorema de 
Pitágoras, temos que: dado um vetor 
2222
2
; xz AAdAdA xyxy +=+=
r
Usando o teorema de Pitágoras e a Lei dos Cossenos, 
θcos2 BA
rr
⋅ 
θcos2 BA
rr
⋅ 
: um vetor cujo módulo vela a unidade. 
,...,
ˆ
ˆ, etc
B
B
B r= 
Operação com vetores com base no método algébrico: 
Componentes de um vetor: as componentes de um vetor são definidas
um sistema de coordenadas. 
Coordenadas Retangulares: Sistema tridimensional 
tores unitários )ˆ,ˆ,ˆ( zyx mutuamente 
perpendiculares, os quais são vetores formados a partir dos 
como mostrados na Figura ao lado. 
que localiza um ponto PA no espaço tridimensional, suas componentes 
são definidas como sua projeção em cada um dos eixos coordenados através dos 
) do vetor A
r
. 
γβα coscos,cos AAeAA zy
rr
== e o vetor 
escrito em termo de suas coordenadas como 
), zy AA 
Módulo de um vetor em termo de suas coordenadas: usando o teorema de 
que: dado um vetor A
r
 seu módulo A
r
 é: 
2222
zyxy AAAAA ++=⇒
r
 
são definidas com base em 
no espaço tridimensional, suas componentes 
são definidas como sua projeção em cada um dos eixos coordenados através dos 
e o vetor A
r
 é 
escrito em termo de suas coordenadas como 
Módulo de um vetor em termo de suas coordenadas: usando o teorema de 
Soma e Adição de Vetores: Do ponto de vista algébrico, a operação de soma e subtração 
de vetores é definida em termos da soma ou subtração de suas componentes: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zBAxBAxBAzByBxBzAyAxABA zzyyxxzyxzyx ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ±+±+±=++±++=±
rr
 
Operação de Multiplicação entre Vetores: 
Sejam os vetores A
r
 e B
r
(Figura ao lado). Podemos medir duas 
grandezas matemática que envolve multiplicação entre eles, a 
saber: a projeção do vetor A
r
 sobre o vetor B
r
 que é igual a 
projeção do vetor B
r
 sobre o vetor A
r
 e a área do paralelogramo 
( pA ) formada por eles, ou seja: 
θcosBAABprojBAproj
rrrrrr
=→≡→ e θθ senBAAsenBhhAA pp
rrrr
=⇒== ; 
Produto Escalar: 
O produto escalar entre os vetores A
r
 e B
r
 ( )BA
rr
• é definido a partir da projeção entre 
eles, ou seja, ( ) θcosBABA
rrrr
=• . Em temos das componentes dos vetores envolvidos, a 
quantidade θcosBA
rr
pode ser expressa com base no módulo do vetor subtração. Assim 
temos: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) θcos2
ˆˆˆˆ
222222
BABABABABAD
zBAxBAxBABAD
zzyyxx
zzyyxx
rrrrr
rrr
−+=−+−+−=⇒
−+−+−=−=
. 
Assim ( ) ( ) ( ) zzyyxxzyxzyx BABABABAzByBxBzAyAxABA ++==++•++=• θcosˆˆˆˆˆˆ
rrrr
 
Portanto, 
( ) ( ) ( ) zzyyxxzyxzyx BABABAzByBxBzAyAxABA ++=++•++=• ˆˆˆˆˆˆ
rr
 
Assim, temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ;1ˆˆˆˆˆˆ =•=•=•=•=•=• xzzyyxzzyyxx 
Produto Vetorial: 
O produto Vetorial entre os vetores A
r
 e B
r
 ( )BA
rr
⊗ é definido a partir da área do 
paralelogramo formada por eles, ou seja, θsenBAAp
rr
= . Em temo das componentes 
dos vetores temos que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θθθθ 222222 cos1; −==== sensenBAsenBAAp
rrrr
 
Usando o a definição do produto escalar, temos 
( ) ( ) ( ) ( )2222 BABAsenBAAp
rrrrrr
•−=== θ . 
Assim, 
( ) ( ) ( )222 xyyxxzzxyzzyp BABABABABABABAA −+−+−⊗=
rr
 
Com base na definição de módulo de um vetor temos: 
( ) ( ) ( )zBABAyBABAxBABABAA xyyxxzzxyzzyp ˆˆˆ −+−−−=⊗=
rrr
 
O vetor BA
rr
⊗ é perpendicular tanto ao vetor A
r
 quanto a B
r
(Figura ao lado). Isto significa que: 
0ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ
=⊗=⊗=⊗
=⊗=⊗=⊗
zzyyxx
yxzxzyzyx
 
Produto Vetorial também pode ser expresso em coordenadas 
retangulares como: 
( ) ( ) ( )
zyx
zyxxyyxxzzxyzzyp
BBB
AAA
zyx
zBABAyBABAxBABABAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ ≡−+−−−=⊗=
rrr
 
Produto Escalar Triplo: 
Dados os vetores A
r
, B
r
 e C
r
 temos o produto escalar triplo: 
( ) ( )
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBACBA =⊗•=•⊗
rrrrrr
 
O produto escalar triplo define o volume do 
paralelepípedo (Figura) 
 
 
 
 
 
Álgebra dos Operadores Vetoriais 
 
EXERCÍCIOS 
 
Ex#1: Dados os vetores A
r
, o qual localiza o ponto AP e B
r
 que localiza o ponto BP no 
sistema de coordenadas cartesiano (Figura ao lado). Se os vetores BeA
rr
 são descritos 
segundo as suas componentes tais quais: 
)2,3,1(231 −≡−+= zyxA )
))r
e 
)7,3,5(735 −≡++−= zyxB )
))r
; 
Calcule: 
(a) O vetor Soma BAS
rrr
+= ; 
(b) O vetor Diferença BAD
rrr
−= ; 
(c) As magnitudes dos vetores: 
DeSBA
rrrr
,, ; 
(d) Os cossenos diretores dos vetores 
DeSBA
rrrr
,, . 
(e) O ângulo θ entre as direções dos vetores BeA
rr
. 
(f) Mostres que: 
SBA
θβα sinsinsin
== , onde θβα e, (Figura acima) são os 
ângulos entre as direções dos vetores BeS
rr
, AeS
rr
, BeA
rr
, respectivamente. 
(g) Calcule os Ângulos φβα e,, ; onde φ é o ângulos entre as direções dos vetores 
DeS
rr
 
GABARITO: 
c) Vetor 
14
)2,3,1(231
=
−≡−+=
A
zyxA
r
)))r
14
2
cos,
14
3
cos,
14
1
cos
−
=== γβα 
Vetor 
83
)7,3,5(735
=
−≡++−=
B
zyxB
r
)))r
 
83
7
cos,
83
3
cos,
83
5
cos ==
−
= γβα 
Vetor )5,6,4(−=S
r
;
77
9
cos,
77
9
cos,
77
4
cos
−
==
−
= γβα 
Vetor )9,0,6( −=D
r
;
117
9
cos,
117
0
cos,
117
6
cos
−
=== γβα 
e) 10−=•BA
rr
;
8314
10
cos10cos−
=⇒−==• φφBABA
rrrr
 
g) 57=•DS
rr
;
117178
57
cos57cos =⇒==• φφDSDS
rrrr
 
 
 
Ex#2: Dado o prisma segundo a Figura ao lado: 
(a) Escreva os vetores das diagonais dos planos xy ( xyd
r
), yz ( yzd
r
), zx ( zxd
r
) 
e da diagonal principal ( D
r
). Como função dos parâmetros de rede a,b e 
c? 
GABARITO: 
zcybxaDzcxadzcybdybxad zxyzxy ˆˆˆ;ˆˆ;ˆˆ;ˆˆ ++=+=+=+=
rrrr
 
(b) Calcule o produto escalar entre os vetores xyd
r
 e D
r
. 
GABARITO: 
222222 ;; caDdcbDdbaDd zxyzxy +=•+=•+=•
rrrrrr
 
(c) Calcule os ângulos α, β e γ entre os vetores: ( D
r
 e xyd
r
), ( D
r
 e yzd
r
), e ( D
r
 e zxd
r
); 
sabendo que b=2a e c=5a. 
GABARITO: 
30
26
cos;
30
29
cos;
6
1
cos === γβα 
Ex#3: Mostre que os vetores zyxA ˆ3ˆ4ˆ1 ++=
r
 e zyxB ˆ4ˆ2ˆ4 −+=
r
 são perpendiculares. 
GABARITO: 
BABABA
rrrrrr
⊥∴=⇒==•
2
cos0
π
φφ 
Ex#4: Demonstre que os vetores zyxA ˆ1ˆ1ˆ2 +−=
r
 zyxB ˆ5ˆ3ˆ1 −−=
r
 e zyxC ˆ4ˆ4ˆ3 −−=
r
 
são os vetores diretores de um triângulo reto. 
GABARITO: 
BABABA
rrrrrr
⊥∴=⇒==•
2
cos0
π
φφ 
Ex#5: Se zAyAxAA zyx ˆˆˆ 000 ++=
r
 é um vetor constante e zzyyxxr ˆˆˆ ++=
r
 é o vetor 
posição que parte da origem e localiza o ponto P=(x,y,z) nos sistema de coordenadas 
retangulares; mostre que: 
(a) 0)( =⋅− AAr
rrr
 é a equação de um plano do tipo 0=+++ dczbyax ,onde 
2
000 ,, AdeAcAbAa zyx −==== , o módulo do vetor A
r
. 
(b) 0)( =⋅− rAr
rrr
 é a equação de uma esfera centrada no ponto 





2
,
2
,
2
000 zyx AAA
 e 
raio 
4
2A
, onde A é o módulo do vetor A
r
. 
Ex#6: Mostre que o vetor R que localiza um ponto na borda da 
circunferência interna (raio b) ao disco de raio a (a > b) na Figura 
ao lado é escrito como:
baondeybaxbsenaR >−+−= ;ˆ)cos(ˆ)( φφφ
r
.