Construção do número

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Construção do número 
27 de fevereiro de 2010 by Solange Moll 
Retirado do site http://www.psicosol.com/construcao-do-numero/ em 26/08/2011 
 
Compreender o significado dos conceitos matemáticos e como eles são construídos 
pode ajudar o professor a compreender as dificuldades encontradas por alguns alunos na 
aprendizagem matemática e a elaborar propostas pedagógicas adequadas à superação 
dessas dificuldades. 
Este texto apresenta uma síntese do livro A Criança e o Número de Constance Kamii. 
Kamii fundamentada na teoria de Piaget, em seu livro apresenta de uma maneira bem 
simples e abrangente como se processa a construção do número na criança. 
Piaget compreendeu dois tipos de conhecimento: o conhecimento físico e o lógico-
matemático. 
A cor e o peso de uma bola é um exemplo de propriedade física, que estão na realidade 
externa do objeto e podem ser observados. A percepção de que esta bola cairá se 
soltarmos ao ar é um exemplo de conhecimento físico. 
Já se nós mostrarmos duas bolas com cores diferentes à uma criança, ao notar esta 
diferença (de cores) ela estará demonstrando um exemplo de conhecimento lógico-
matemático. Esta diferença é uma relação criada mentalmente e só pode ser feita por 
cada indivíduo. 
A construção do conhecimento lógico-matemático é alcançado, por uma criança, com a 
coordenação das relações simples que a mesma tenha anteriormente criado entre os 
objetos, pois a fonte do conhecimento lógico-matemático é interna ao indivíduo. Ao 
contrário do conhecimento físico que é parcialmente externa ao indivíduo. 
Segundo Kamii (1990, p. 17) “ para a abstração das propriedades a partir dos objetos, 
Piaget usou o termo abstração empírica (ou simples). Para a abstração do número, ele 
usou o termo abstração reflexiva.” 
Quando uma criança focaliza uma certa propriedade de um objeto e ignora outras ela 
está fazendo uma abstração empírica. Já se a criança faz relações entre os objetos ela 
estará fazendo uma abstração reflexiva, que é uma construção feita pela mente, que vai 
além da simples representação de algo já existente no objeto. 
Apesar desta distinção entre a abstração empírica e a abstração 
reflexiva, Piaget afirma que no âmbito da realidade psicológica da criança uma 
abstração não existe sem a outra. Pois para que uma criança possa construir a relação 
diferente ela precisa observar propriedades de diferença entre os objetos. E também para 
construir o conhecimento físico ela necessita de um sistema de referência lógico-
matemático que lhe permita relacionar novas observações com um conhecimento já 
existente. 
A criança elabora por abstração reflexiva dois tipos de relações entre os objetos para 
chegar ao número: uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica. 
Piaget entendia por ordem a tendência comum entre as crianças de contar objetos 
saltando alguns ou contar o mesmo objeto mais de ma vez. Isto significa que a criança 
não sente a necessidade lógica de colocar objetos em uma determinada ordem para ter 
certeza de que não pulou nenhum objeto, ou contou duas vezes o mesmo objeto. Porém 
a criança não precisa colocar objetos em uma ordem espacial para arrumá-los em uma 
relação organizada. O importante é que ela possa ordená-los mentalmente. 
De acordo com Kamii (1990, p. 20) “se a ordenação fosse a única operação mental da 
criança sobre os objetos, estes não poderiam ser quantificados, uma vez que a criança os 
consideraria apenas um de cada vez, em vez de um grupo de muitos ao mesmo tempo.” 
Se depois de uma criança contar oito bolas organizadas numa relação ordenada nós 
pedirmos a ela que por exemplo nos mostre as oito bolas ela irá nos mostrar a última 
bola que ela contou. 
Para que esta criança consiga quantificar estas bolas como um grupo ela precisa colocá-
los em uma relação de inclusão hierárquica, que significa que ela inclui mentalmente 
um em dois, dois em três e assim sucessivamente. 
A teoria do número de Piaget se opõe à hipótese comum de que os conceitos numéricos 
podem ser ensinados pela transmissão social, especialmente o ato de ensinar as crianças 
a contar. 
Segundo Kamii (1990, p. 25) 
As pessoas que acreditam que os conceitos numéricos devem ser ensinados através da 
transmissão social falham por não fazerem a distinção fundamental entre o 
conhecimento social e o lógico-matemático. No conhecimento lógico-matemático, a 
base fundamental do conhecimento é a própria criança, e absolutamente nada arbitrário 
neste domínio. Por exemplo 2 + 3 dá o mesmo resultado em todas as culturas. Na 
verdade, toda cultura que construir algum sistema de matemática terminará construindo 
exatamente a mesma matemática, porque este é um sistema de relações no qual 
absolutamente nada é arbitrário. 
O fato de que crianças pequenas não conservam os números antes dos cinco anos prova 
que o número é algo que é construído individualmente por muitos anos através da 
criação e coordenação de relações e que não é concebido inatamente. 
Por causa desta construção individual do número é que vemos a seqüência do 
desenvolvimento sintetizada da seguinte forma: 
- No nível I a criança não consegue fazer um conjunto que tenha o mesmo número que 
outro; 
- No nível II ela já consegue fazer um conjunto com o mesmo número, no entanto não 
consegue conservar a igualdade numérica de dois conjuntos; 
- No nível III ela já consegue conservar os números. Já construiu uma estrutura 
numérica que se tornou forte o suficiente para torná-la apta a ver objetos 
numericamente, em vez de espacialmente. 
Quanto aos educadores cabe o papel de favorecer o desenvolvimento desta estrutura ao 
invés de tentar fazer com que as crianças dêem respostas certas e superficiais na tarefa 
de conservação. 
Piaget declara que o objetivo da educação deve estar centrada na autonomia da criança. 
E isto implica em não exigir que elas digam coisas nas quais elas não acreditam. Que é 
o caso que acaba por acontecer quando as escolas tradicionalmente ensinam através da 
obediência, através de notas. Todos estes procedimentos acabam por atrapalhar o 
desenvolvimento da autonomia das crianças. 
Este desempenho da escola acaba por refletir a diante quando alunos universitários 
demonstram não estarem preparados para serem críticos. 
Segundo Kamii (1990, p. 38) “as pesquisas mostram que o meio ambiente pode agilizar 
ou retardar o desenvolvimento lógico-matemático.” 
A criança de sete ou oito anos após ter construído o conhecimento lógico-matemático 
consegue representar esta idéia através de símbolos ou com signos. 
Piaget em sua teoria difere os símbolos dos signos porque os símbolos são criados pela 
criança e mantêm uma semelhança figurativa dos objetos. 
Muitos professores acreditam que ensinando as crianças a contar e a escrever os 
numerais estará ensinando conceitos numéricos o que é um equívoco, pois na verdade 
está apenas fazendo com que ela decore os números ao invés de construir a estrutura 
mental do número. Não que não seja bom para a criança aprender a contar e escrever 
numerais se isto lhe for de seu interesse, mas só isto não basta. 
Existem muitas maneiras de fazer com que um ambiente torne-se facilitador do 
conhecimento lógico-matemático. Segundo Kamii “… o meio ambiente pode 
proporcionar muitas coisas, que, indiretamente, facilita o desenvolvimento do 
conhecimento lógico-matemático. O ensino indireto pode variar do ato de encorajar as 
crianças a colocar todos os tipos de coisas em todas as espécies de relações, até pedir-
lhes que peguem tantos pratos quantas são as pessoas em suas mesas.” 
As relações são criadas pela própria criança. É algo que faz parte de 
seu processo de construção. Agora, o professor tem um papel muito importante neste 
desenvolvimentoe deve estar atento para propiciar a criação de um ambiente material e 
social que encoraje a autonomia e o pensamento das crianças. 
Quando um adulto consegue criar um ambiente que indiretamente encoraje o 
pensamento das crianças acaba por surpreender-se com a quantidade de relações que 
elas por si acabam por demonstrar. 
As situações de conflito são ótimos momentos para colocar as coisas em relações e 
desenvolver a mobilidade e a coerência do pensamento. Se ao contrário de ser 
reprimidas, as crianças forem encorajadas a discutir ou justificar uma decisão estará 
desenvolvendo de uma maneira indireta o seu pensamento lógico. Com isto crianças 
criadas em um ambiente repressor, mal sabem as famílias, o quanto tem a perder. 
O pensamento numérico pode ser desenvolvido naturalmente, sem ser necessário que a 
professora determine o horário de matemática. Já que o papel do professor é encorajar a 
autonomia da criança, então é muito mais interessante que seja observado o momento 
em que a criança demonstra interesse, e aí encorajá-las a pensar sobre quantidades. 
Existe uma diferença entre contagem mecânica e uma contagem que a própria criança 
tenha escolhido para resolver um determinado problema real. Normalmente antes dos 
sete anos de idade, a correspondência um-a-um, a cópia da configuração espacial, ou 
mesmo estimativas imperfeitas representam procedimentos mais confiáveis para a 
criança. Depois que a criança constrói a estrutura mental do número e assimila as 
palavras a esta estrutura, a contagem torna-se um instrumento confiável. 
O professor deve ser cuidadoso para não insistir que a criança dê respostas corretas a 
uma pergunta. Estas perguntas devem ser feitas de maneira casual para fazer com que as 
crianças pensem numericamente se isso lhes interessar. Deixar as crianças decidirem 
sobre quando usar a contagem é o melhor caminho na prevenção de imposições e numa 
fundamentação mais lógica para a aprendizagem futura. 
Segundo Kamii (1990, p. 58) “as crianças não aprendem conceitos numéricos com 
desenhos. Tampouco aprendem conceitos numéricos meramente pela manipulação de 
objetos.” 
Elas só conseguem adquirir conceitos numéricos após construir esses conceitos pela 
abstração reflexiva à medida que agem mentalmente sobre os objetos. 
Uma criança que pensa na quantidade de pratos que terá que colocar na mesa de acordo 
com o número de pessoas que terá para o almoço, certamente é bem diferente daquela 
que está fazendo uma contagem porque a mãe mandou, ou disse: são seis pratos. 
Um bom princípio no âmbito lógico-matemático é o de evitar ficar reforçando erros e 
acertos, em vez disso encorajar as crianças em trocar idéias com seus colegas. 
Quando uma criança percebe que um colega encontrou uma resposta diferente da sua, 
ela normalmente é motivada a pensar outra vez sobre o problema, ou encontrar 
argumentos para defender sua resposta. É por este motivo que a confrontação social 
entre colegas é um excelente método para o desenvolvimento do conhecimento lógico-
matemático. É muito mais interessante para a criança ser corrigida por um de seus 
colegas durante um jogo do que aprender através de cadernos e exercícios. 
Já que o erro é um reflexo do que a criança está pensando, o professor tem um papel de 
descobrir como é que a criança chegou até um determinado resultado. Descobrindo isto 
é mais fácil fazer a correção do raciocínio da criança do que simplesmente corrigir suas 
respostas. 
Por exemplo é comum entre as crianças em nível pré-operacional encontrar dificuldade 
de considerar-se tanto como quem conta, quanto como quem é contado. E assim é 
quando contam os outros se esquecem de contar a si mesma. O que acaba acontecendo 
com este processo é que quando vai distribuir algum material sempre acaba faltando. 
Então neste momento é importante a professora estar alerta e fazer uma pergunta de 
uma maneira casual: – “Você contou a si mesmo?” 
Desta forma a professora estará atuando um papel significante no pensamento da 
criança não simplesmente reforçando seus erros. 
Referência 
KAMII, Constance. A criança e o número: implicações da teoria de Piaget para 
atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. Campinas, São Paulo : Papirus, 1990. 
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