Exercios raiz equacao 20180321223454 (2)

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Disciplina: Cálculo Numérico- Professor: Bráulio RGM Couto
Exercícios sobre raízes de equações
Calcular pelo menos uma raiz da equação abaixo com ( ( 0,10 pelo método de Newton:
 
Calcular pelo menos uma raiz da equação abaixo com ( ( 0,05 pelo método de Newton:
Demonstrar que a raiz 
 , a ( 0, pode ser calculada pela fórmula de recorrência:
, com 
Determinar o ponto de mínimo da função:
Seja a função 
. Achar o valor de x no qual f(x) = 2.
�
Solução dos exercícios
Calcular pelo menos uma raiz da equação abaixo com ( ( 0,10 pelo método de Newton:
	
		
Encontrar um intervalo que tenha uma raiz: usar algoritmo “Troca Sinal”
	Iter
	a
	f(a)
	b
	f(b)
	0
	-0,05
	-4,095
	0,05
	-3,895
	1
	-0,05
	-4,095
	0,21
	-3,492
	2
	-0,05
	-4,095
	0,64
	-1,949
	3
	-0,05
	-4,095
	1,74
	17,132
Intervalo = [-0,05;+1,74]
Encontrar a raiz usando algoritmo de Newton:
1º) Definir o valor inicial (X0): se f(a)f”(a) > 0 então x0 = a
					 se f(b)f”(b) > 0 então x0 = b
	a
	f(a)
	f"(a)
	f(a)xf(b)
	-0,05
	-4,1
	4,2
	-17,3
	b
	f(b)
	f"(b)
	f(b)xf(b)
	1,74
	16,9
	109,0
	1844,0
					Conclusão: x0 = b = 1,74
	 
	2º) Refinar a raiz: 
	k
	Xk
	f(Xk)
	f'(Xk)
	0
	1,7400
	16,9237
	46,7538
	1
	1,3780
	5,5040
	20,0814
	2
	1,1039
	1,4057
	10,8808
	3
	0,9747
	0,1729
	8,3495
	4
	0,9540
	0,0035
	8,0192
	5
	0,9536
	0,0000
	8,0125
					Conclusão: uma raiz de f(x) = 0, com precisão de 10-3 é x = 0,954. 
�
Calcular pelo menos uma raiz da equação abaixo com ( ( 0,05 pelo método de Newton:
Encontrar um intervalo que tenha uma raiz: usar algoritmo “Troca Sinal”
	Iter
	a
	f(a)
	b
	f(b)
	0
	-0,05
	-9,052
	0,05
	-8,951
	1
	-0,05
	-9,052
	0,21
	-8,773
	2
	-0,05
	-9,052
	0,64
	-7,534
	3
	-0,05
	-9,052
	1,74
	12,805
Intervalo = [-0,05;+1,74]
Encontrar a raiz usando algoritmo de Newton:
1º) Definir o valor inicial (X0): se f(a)f”(a) > 0 então x0 = a
					 se f(b)f”(b) > 0 então x0 = b
	a
	f(a)
	f"(a)
	f(a)xf(b)
	-0,05
	-9,052
	-216,3
	1958,0
	b
	f(b)
	f"(b)
	f(b)xf(b)
	1,74
	12,6
	302,5
	3824,1
					Conclusão: x0 = b = 1,74
	 
	2º) Refinar a raiz: 
	k
	Xk
	f(Xk)
	f'(Xk)
	0
	1,7400
	12,644
	36,3455
	1
	1,3921
	2,362
	23,2721
	2
	1,2906
	0,167
	20,0281
	3
	1,2823
	0,001
	19,7734
	4
	1,2823
	0,0000
	19,7717
					Conclusão: uma raiz de f(x) = 0, com precisão de 10-3 é x = 1,282. 
�
Demonstrar que a raiz 
 , a ( 0, pode ser calculada pela fórmula de recorrência:
, com 
Equação de iteração do Método de Newton: 
( 
 ( 
( 
(
 
Conclusão:
�
Determinar o ponto de mínimo da função:
Ponto de mínimo de f(x) é p valor de x tal que
Ou seja, achar o ponto de mínimo de f(x) equivale encontrar uma raiz de 
Encontrar um intervalo que tenha uma raiz: usar algoritmo “Troca Sinal”
	Iter
	a
	g(a)
	b
	g(b)
	0
	-0,05
	-0,916
	0,05
	-1,114
	1
	-0,21
	-0,922
	0,05
	-1,114
	2
	-0,64
	-4,204
	0,05
	-1,114
	3
	-0,64
	-4,204
	1,16
	1,077
Intervalo = [-0,64;+1,16]
Encontrar a raiz usando algoritmo de Newton:
1º) Definir o valor inicial (X0): se f(a)f”(a) > 0 então x0 = a
					 se f(b)f”(b) > 0 então x0 = b
	a
	g(a)
	g"(a)
	g(a)xg(b)
	-1,08
	-15,9
	-63,8
	1016,1
	b
	g(b)
	g"(b)
	g(b)xg(b)
	1,87
	26,6
	77,8
	2067,8
					Conclusão: x0 = b = 1,87 ou x0 = a = -1,08. Optei por x0 = b.
	 
	2º) Refinar a raiz: 
	k
	Xk
	g(Xk)
	g'(Xk)
	0
	1,8700
	26,592
	59,4856
	1
	1,4230
	7,055
	29,5203
	2
	1,1840
	1,499
	17,4352
	3
	1,0980
	0,161
	13,7589
	4
	1,0863
	0,003
	13,2872
	5
	1,0861
	0,000
	13,2789
				Conclusão: um ponto de mínimo f(x), com precisão de 10-3 é x = 1,086. 
�
Seja a função 
. Achar o valor de x no qual f(x) = 2.
Seja 
, então 
. Ou seja, encontrar o valor de f(x) = 2, equivale encontrar a raiz de 
Encontrar um intervalo que tenha uma raiz: usar algoritmo “Troca Sinal”
	Iter
	a
	g(a)
	b
	g(b)
	0
	-0,05
	-2,871
	0,05
	-2,858
	1
	-0,05
	-2,871
	0,21
	-2,832
	2
	-0,05
	-2,871
	0,64
	-2,641
	3
	-0,05
	-2,871
	1,74
	13,928
Intervalo = [-0,05;+1,74]
Encontrar a raiz usando algoritmo de Newton:
1º) Definir o valor inicial (X0): se f(a)f”(a) > 0 então x0 = a
					 se f(b)f”(b) > 0 então x0 = b
	a
	g(a)
	g"(a)
	g(a)xg(b)
	-0,05
	-2,871
	0,1
	-0,4
	b
	g(b)
	g"(b)
	g(b)xg(b)
	1,74
	13,7
	106,1
	1456,2
					Conclusão: x0 = b = 1,74
	 
	2º) Refinar a raiz: 
	k
	Xk
	g(Xk)
	g'(Xk)
	0
	1,7400
	13,721
	46,6029
	1
	1,4456
	3,887
	22,4091
	2
	1,2721
	0,814
	13,5773
	3
	1,2121
	0,072
	11,2486
	4
	1,2058
	0,001
	11,0210
	5
	1,2057
	0,000
	11,0187
					Conclusão: o x no qual f(x) = 2, com precisão de 10-3 é x = 1,206. 
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