Análise Real - 2ª lista de exercícios (Soluções do 6, 7, 10 e 12)

Prévia do material em texto

MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
2a Lista de Exerc´ıcios
Para entregar: exerc´ıcios 6, 7, 10 e 12.
1-) Demonstre que:
(a) ∀p > 0, n√p→ 1
Sugesta˜o. Para p > 1, defina
(∀n ∈ N)xn .= n√p− 1, de modo que (∀n ∈ N)xn > 0 e n√p = 1 + xn,
donde p = (1 + xn)n. Agora use a desigualdade de Bernoulli para estudar o que ocorre com a sequ¨eˆncia
(xn)n∈N. Se 0 < p < 1, use o caso anterior para estudar a sequ¨eˆncia n
√
1/p, e se p = 1 a tese e´ trivial.
(b) n
√
n→ 1
Sugesta˜o. Como no item anterior, defina
(∀n ∈ N)xn .= n√n − 1, de modo que (∀n ∈ N)xn > 0
e n
√
n = 1 + xn, donde n = (1 + xn)n. Agora use o teorema do binoˆmio para concluir que
(∀n ∈
N
)
(1 + xn)n > n(n−1)2 x2n, e use isto para estudar a sequ¨eˆncia (xn)n∈N.
2-) Sejam N1, . . . ,Nk subconjuntos infinitos de N tais que N = N1 ∪N2 ∪ · · · ∪Nk. Prove que, se (xn)n∈N e´
uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais tal que lim
n∈N1
xn = · · · = lim
n∈Nk
xn = a, enta˜o limxn = a.
Observac¸a˜o. Em particular, segue-se que, se (xn)n∈N e´ uma sequ¨eˆncia tal que as subsequ¨eˆncias
(x2n−1)n∈N e (x2n)n∈N sa˜o ambas convergentes para a ∈ R, enta˜o xn → a.
3-) (a) Se (xn)n∈N e´ uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais que converge para a ∈ R, mostre que, para todo
k ∈ N, lim
n→∞x
k
n = a
k. (Sugesta˜o: por induc¸a˜o sobre k)
(b) Se (xn)n∈N e´ uma sequ¨eˆncia de nu´meros positivos que converge para a ∈ R, mostre que, para
todo k ∈ N, lim
n→∞x
1/k
n = a
1/k.
Sugesta˜o. Substitua y = x1/k e b = a1/k na identidade yk − bk = (y − b) ·∑k−1n=0 yk−1−nbn.
(c) Conclua a partir dos dois ı´tens anteriores que, se (xn)n∈N e´ uma sequ¨eˆncia de nu´meros positivos
que converge para a ∈ R, enta˜o, para todo r ∈ Q, lim
n→∞x
r
n = a
r.
4-) Sejam k ∈ N e a > 0. Se (∀n ∈ N) a 6 xn 6 nk, enta˜o n√xn → 1.
5-) Sejam (xn)n∈N e (an)n∈N sequ¨eˆncias de nu´meros reais. Suponha que an → a e que, para cada n ∈ N,
an e´ um valor de adereˆncia de (xn)n∈N. Enta˜o a e´ valor de adereˆncia de (xn)n∈N.
6-) Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N sequ¨eˆncias limitadas de nu´meros reais. Mostre que:
(a) lim(xn + yn) 6 limxn + lim yn e lim(xn + yn) > limxn + lim yn
(b) lim(−xn) = limxn e lim(−xn) = limxn
1
(c) se
(∀n ∈ N)xn > 0 e yn > 0, enta˜o lim(xn · yn) 6 limxn · lim yn e lim(xn · yn) > limxn · lim yn.
Observac¸a˜o. As desigualdades podem ser, de fato, estritas (i.e. em geral na˜o vale a igualdade nos
ı´tens (a) e (c)). Ale´m disso, a hipo´tese de serem as sequ¨eˆncias limitadas pode ser retirada, se: (1)
colocarmos, por definic¸a˜o, limxn = +∞ se (xn)n∈N tiver uma subsequ¨eˆncia que diverge para +∞ (ou,
equivalentemente, se (xn)n∈N na˜o for limitada superiormente) e limxn = −∞ se (xn)n∈N tiver uma
subsequ¨eˆncia que diverge para −∞ (ou, equivalentemente, se (xn)n∈N na˜o for limitada inferiormente);
(2) no item (a) o segundo membro na˜o for da forma ∞−∞.
7-) Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N sequ¨eˆncias de nu´meros reais. Se
(∀n ∈ N)xn 6 yn, enta˜o limxn 6 lim yn e
limxn 6 lim yn.
8-) Seja (xn)n∈N uma sequ¨eˆncia de nu´meros estritamente positivos. Prove que:
lim
xn+1
xn
6 lim n√xn 6 lim n√xn 6 lim xn+1
xn
Em particular, se existir lim xn+1xn , enta˜o existe lim
n
√
xn e os limites coincidem.
Sugesta˜o. Esta´ demonstrado no Elonza˜o ou no Rudin, Principles of Mathematical Analysis, mas
tente um pouco antes de olhar a demonstrac¸a˜o.
9-) Sejam a > 0, b > 0. Mostre que n
√
an + bn → max{a, b}.
10-) Diz-se que uma sequ¨eˆncia (xn)n∈N tem variac¸a˜o limitada se a sequ¨eˆncia (νn)n∈N dada por
(∀n ∈
N
)
νn =
∑n
i=1|xi+1 − xi| for limitada. Prove que, neste caso, (νn)n∈N converge. Prove tambe´m que:
(a) Se (xn)n∈N for de variac¸a˜o limitada, enta˜o (xn)n e´ convergente.
Sugesta˜o. Verifique, por induc¸a˜o, que
(∀n ∈ N) ∑ni=1(xi+1 − xi) = x1 − xn+1. Ora, a condic¸a˜o de
ser (xn)n∈N de variac¸a˜o limitada e´ equivalente a ser a se´rie
∑
(xn+1 − xn) absolutamente convergente,
portanto convergente.
(b) Se
(∀n ∈ N) |xn+2 − xn+1| 6 c|xn+1 − xn|, com 0 6 c < 1, enta˜o (xn)n∈N tem variac¸a˜o limitada.
(c) (xn)n∈N tem variac¸a˜o limitada se, e somente se,
(∀n ∈ N)xn = yn − zn, onde (yn)n∈N e (zn)n∈N
sa˜o sequ¨eˆncias crescentes e limitadas.
Sugesta˜o. Verifique que, se uma sequ¨eˆncia e´ crescente e limitada, enta˜o e´ de variac¸a˜o limitada; a
seguir, verifique que a soma/diferenc¸a de sequ¨eˆncias de variac¸a˜o limitada e´ uma sequ¨eˆncia de variac¸a˜o
limitada. Enta˜o segue-se que, se uma sequ¨eˆncia se escreve como a diferenc¸a entre duas sequ¨eˆncias
crescentes e limitadas, ela e´ de variac¸a˜o limitada.
Para demonstrar a outra implicac¸a˜o: dado a ∈ R, sejam a+ .= |a|+a2 = max{a, 0} e a−
.= |a|−a2 =
max{−a, 0}; assim, a = a+ − a− e |a| = a+ + a−. Para cada n ∈ N, ponha ξn .=
∑n
i=0(xi+1 − xi)+, e
µn
.=
∑n
i=0(xi+1 − xi)−, e verifique que νn = ξn + µn e ξn − µn =
∑n
i=1(xi+1 − xi) = x1 − xn+1.
11-) Seja x1 = 1 e xn+1 = 1 + 1xn . Verifique que |xn+2 − xn+1| 6 12 |xn+1 − xn|. Conclua que (xn)n∈N e´
convergente e calcule seu limite.
12-) Seja (xn)n∈N a sequ¨eˆncia de nu´meros reais dada por x1 = 1 e
(∀n ∈ N)xn+1 = 1+√xn. Verifique que
(xn)n∈N e´ de variac¸a˜o limitada e calcule o seu limite.
13-) Exerc´ıcios 4.5 e 4.6 do cap´ıtulo 3 do Elonzinho.
2
14-) Suponha a1 > a2 > · · · > 0. Enta˜o a se´rie
∑∞
n=1 an converge se, e somente se, a se´rie:
∞∑
k=0
2ka2k = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · ·
converge.
Sugesta˜o. (a) Lembre-se que a sequ¨eˆncia das reduzidas de uma se´rie de termos positivos e´ cres-
cente; portanto, uma tal se´rie e´ convergente se, e somente se, sua sequ¨eˆncia das reduzidas for limitada
superiormente.
(b) Sejam sn =
∑n
i=1 ai e tk =
∑k
i=0 2
ia2i as reduzidas de cada uma das se´ries; verifique que (sn)n∈N
e´ limitada se, e somente se, (tk)k>0 for limitada. Para tal, verifique que: (1) dado n ∈ N, tomando-se
k tal que 2k+1 > n, tem-se sn 6 tk; (2)dado k ∈ N, tomando n tal que n > 2k, tem-se sn > 12 tk, i.e.
tk 6 2sn.
(c) Se a sugesta˜o na˜o ajudar, veja a demonstrac¸a˜o no Rudin, Principles of Mathematical Analysis,
pa´gina 61.
15-) Prove que
∑ 1
np
converge se p > 1 e diverge se p 6 1.
Sugesta˜o. Se p 6 0, o termo geral da se´rie na˜o converge para zero. Se p > 0, o termo geral e´
positivo e decrescente, portanto podemos aplicar o exerc´ıcio anterior. Neste caso, pondo an = 1/np,
tem-se
∑∞
k=0 2
ka2k =
∑∞
k=0 2
k 1
2kp
=
∑∞
k=0 2
(1−p)k i.e. e´ uma se´rie geome´trica de raza˜o 21−p.
16-) Seja
(∀n ∈ N) sn = n∑
k=0
1
k!
. Mostre que, para todo n ∈ N, 0 < e−sn < 1
n!n
. Use esta desigualdade
para mostrar que e e´ irracional.
Sugesta˜o. So´ leia o que segue depois de tentar um pouco, pois esta sugesta˜o praticamente resolve o
problema. Tem-se e−sn = 1(n+1)! + 1(n+2)! + 1(n+3)! + · · · < 1(n+1)!
(
1+ 1n+1 +
1
(n+1)2
+ · · ·
)
, e isto prova a
segunda desigualdade. Para provar que e e´ irracional: (1) ja´ sabemos que e na˜o e´ inteiro, pois 2 < e < 3,
conforme foi demonstrado em aula. (2) Suponha e = p/q, com p, q ∈ N e q > 2; use 0 < e − sn < 1
n!n
com n = q, multiplique tudo por q! e mostre que isto leva a uma contradic¸a˜o.
17-) Seja (an)n>0 uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais. A se´rie:
∞∑
n=0
anx
n
chama-se uma se´rie de poteˆncias. Os nu´meros an chama-se coeficientes da se´rie; x e´ um nu´mero real. A
convergeˆncia/divergeˆncia da se´rie depende do valor de x.
Seja
∑
anx
n uma se´rie de poteˆncias, e defina:
α
.= lim n
√
|an|, R .= 1
α
(se α = 0, pomos R = +∞; se α = +∞, pomos R = 0). Prove que ∑ anxn converge absolutamente se
|x| < R e diverge se |x| > R.
3
Observac¸a˜o. R chama-se raio de convergeˆncia da se´rie. O estudo da convergeˆncia da se´rie para
x = ±R e´ mais delicado (a se´rie pode convergir ou na˜o nestes pontos, dependendo de como forem os
coeficientes da mesma).
Sugesta˜o.Ponha bn = anxn e aplique o teste da raiz para esta sequ¨eˆncia.
18-) Dados m ∈ R e k ∈ Z+, define-se:(
m
k
)
.=
m(m− 1) · · · (m− k + 1)
k!
Calcule o raio de convergeˆncia (vide observac¸a˜o da questa˜o anterior) da se´rie de poteˆncias
∑∞
k=0 akx
k,
onde ak =
(
m
k
)
.
Observac¸a˜o. Esta se´rie chama-se binomial. Conforme veremos mais adiante no curso, ela e´ a se´rie de
Taylor centrada no zero da func¸a˜o x 7→ (1 + x)m; se m ∈ N, a se´rie e´ finita (i.e. ak = 0 para k > m) e
coincide com a expansa˜o de (1 + x)m pelo teorema do binoˆmio.
Sugesta˜o. Use o exerc´ıcio 8 para calcular lim n
√|an|.
19-) Sejam
∑
an e
∑
bn se´ries de termos estritamente positivos. Prove que: (1) se anbn → 0 e
∑
bn converge,
enta˜o
∑
an converge; (2) se anbn → c 6= 0, enta˜o
∑
an converge se, e somente se,
∑
bn converge.
Sugesta˜o. Use o crite´rio de comparac¸a˜o.
20-) (a) Para todo polinoˆmio p(x) com grau maior que 1 a se´rie
∑ 1
p(n)
converge.
(b) Se
∑
an converge e
(∀n) an > 0, enta˜o ∑(an)2 e∑ an1 + an convergem.
Sugesta˜o. Use o exerc´ıcio anterior.
21-) Se
∑
(an)2 converge, enta˜o
∑ an
n
converge.
Sugesta˜o. Aplique a desigualdade de Cauchy-Schwartz a` sequ¨encia das reduzidas desta u´ltima se´rie.
22-) Prove o crite´rio de Abel : se
∑
an e´ convergente e (bn)n∈N e´ uma sequ¨eˆncia decrescente de termos
positivos, enta˜o
∑
anbn e´ convergente.
Sugesta˜o. Existe c > 0 tal que bn → c (por queˆ?). Aplique o crite´rio de Dirichlet para
∑
an e
(bn− c) para concluir que
∑
an(bn− c) e´ convergente (por que podemos aplicar o tal crite´rio?) e conclua
a demonstrac¸a˜o.
23-) Exerc´ıcios 2.8 e 4.3 do cap´ıtulo 4 do Elonzinho.
4
MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
2a Lista de Exerc´ıcios - Resoluc¸a˜o dos Exerc´ıcios 6, 7, 10 e 12
6-) Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N sequ¨eˆncias limitadas de nu´meros reais. Mostre que:
(a) lim(xn + yn) 6 limxn + lim yn e lim(xn + yn) > limxn + lim yn
(b) lim(−xn) = − limxn e lim(−xn) = − limxn
(c) se
(∀n ∈ N)xn > 0 e yn > 0, enta˜o lim(xn · yn) 6 limxn · lim yn e lim(xn · yn) > limxn · lim yn.
Demonstrac¸a˜o:
(a) Sejam a = limxn e b = lim yn. Provemos que, para todo ² > 0, lim(xn + yn) 6 a + b + ²; isto
implica lim(xn + yn) 6 a+ b (por queˆ?). Com efeito, dado ² > 0, existe n0 ∈ N tal que
(∀n > n0)xn <
a + ²/2 e existe n1 ∈ N tal que
(∀n > n1) yn < b + ²/2; assim, tomando N = max{n0, n1}, tem-se(∀n > N)xn + yn < a + b + ². Isto implica que toda subsequ¨eˆncia convergente de (xn + yn)n∈N tem
limite menor ou igual a a+ b+ ², donde lim(xn + yn) 6 a+ b+ ².
A demonstrac¸a˜o da outra desigualdade e´ ana´loga.
(b) Decorre imediatamente do fato de que um nu´mero real a e´ valor de adereˆncia de (xn)n∈N se,
e somente se, −a for valor de adereˆncia de (−xn)n∈N (o que trivialmente implica que o sime´trico do
maior valor de adereˆncia de (xn)n e´ o menor valor de adereˆncia de (−xn)n, i.e. − limxn = lim(−xn), e
analogamente − limxn = lim(−xn)).
(c) Como
(∀n ∈ N)xn > 0 e yn > 0, tem-se 0 6 limxn 6 limxn e 0 6 lim yn 6 lim yn.
Sejam a = limxn e b = lim yn. Provemos que, para todo ² > 0, lim(xn · yn) 6 a · b + ²; isto implica
lim(xn · yn) 6 a · b. Com efeito, dado ² > 0, tome δ > 0 tal que (a + b)δ + δ2 < ² (por exemplo, tome
0 < δ < min{1, ²a+b+1 }). Existe n0 ∈ N tal que
(∀n > n0)xn < a + δ e existe n1 ∈ N tal que (∀n >
n1
)
yn < b+ δ; assim, tomando N = max{n0, n1}, tem-se
(∀n > N)xn · yn < ab+(a+ b)δ+ δ2 < ab+ ².
Isto implica que toda subsequ¨eˆncia convergente de (xn · yn)n∈N tem limite menor que a · b + ², donde
lim(xn · yn) < a · b+ ².
A demonstrac¸a˜o da desigualdade lim(xn · yn) > limxn · lim yn e´ ana´loga.
¤
7-) Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N sequ¨eˆncias de nu´meros reais. Se
(∀n ∈ N)xn 6 yn, enta˜o limxn 6 lim yn e
limxn 6 lim yn.
Demonstrac¸a˜o: Sejam a = limxn e b = lim yn. Suponha b < a. Tomando ² = (a − b)/2 > 0, existe
n0 ∈ N tal que
(∀n > n0) yn < b + ² = a − ²; como (∀n)xn 6 yn, segue-se (∀n > n0)xn < a − ²,
portanto a na˜o e´ valor de adereˆncia de (xn)n∈N, o que contradiz o fato de ser a o limite superior da
referida sequ¨eˆncia. A demonstrac¸a˜o da outra desigualdade e´ ana´loga. ¤
10-) Diz-se que uma sequ¨eˆncia (xn)n∈N tem variac¸a˜o limitada se a sequ¨eˆncia (νn)n∈N dada por
(∀n ∈
N
)
νn =
∑n
i=1|xi+1 − xi| for limitada. Prove que, neste caso, (νn)n∈N converge. Prove tambe´m que:
(a) Se (xn)n∈N for de variac¸a˜o limitada, enta˜o (xn)n e´ convergente.
(b) Se
(∀n ∈ N) |xn+2 − xn+1| 6 c|xn+1 − xn|, com 0 6 c < 1, enta˜o (xn)n∈N tem variac¸a˜o limitada.
1
(c) (xn)n∈N tem variac¸a˜o limitada se, e somente se,
(∀n ∈ N)xn = yn − zn, onde (yn)n∈N e (zn)n∈N
sa˜o sequ¨eˆncias crescentes e limitadas.
Demonstrac¸a˜o:
(a) A sequ¨eˆncia (νn)n∈N e´ mono´tona e limitada, logo convergente. Ale´m disso, segue-se por induc¸a˜o
sobre n que
(∀n ∈ N) ∑ni=1(xi+1−xi) = xn+1−x1. Ora, a condic¸a˜o de ser (xn)n∈N de variac¸a˜o limitada
e´ equivalente a ser a se´rie
∑
(xn+1 − xn) absolutamente convergente, portanto convergente, portanto a
sequ¨eˆncia n ∈ N 7→ xn+1 − x1 e´ convergente. Enta˜o a sequ¨eˆncia n ∈ N 7→ xn+1 e´ convergente, donde
(xn)n∈N e´ convergente.
(b) Tem-se |xn+2−xn+1| 6 c|xn+1−xn| 6 c2|xn−xn−1| 6 · · · , i.e. por induc¸a˜o sobre n segue-se que(∀n ∈ N) |xn+2 − xn+1| 6 cn|x2 − x1|. Assim, (∀n ∈ N) νn = ∑ni=1|xi+1 − xi| 6 |x2 − x1|(∑n−1k=0 ck) 6
|x2 − x1| 11−c , portanto (νn)n∈N e´ limitada.
(c) Provemos, inicialmente, que se uma sequ¨eˆncia se escreve como a diferenc¸a entre duas sequ¨eˆncias
crescentes e limitadas, ela e´ de variac¸a˜o limitada. Isto segue dos seguintes fatos:
(i) Seja (xn)n∈N for crescente e limitada. Enta˜o existe M > 0 tal que
(∀n ∈ N) |xn| < M e, (∀n ∈
N
)
νn =
∑n
i=1|xi+1−xi| =
∑n
i=1[xi+1−xi] = xn+1−x1 < 2M , portanto (νn)n∈N e´ limitada, i.e. (xn)n∈N
e´ de variac¸a˜o limitada.
(ii) A soma/diferenc¸a de sequ¨eˆncias de variac¸a˜o limitada e´ uma sequ¨eˆncia de variac¸a˜o limitada. Com
efeito, sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N sequ¨eˆncias de variac¸a˜o limitada. Ou seja, pondo
(∀n ∈ N) νn =∑n
i=1|xi+1−xi| e
(∀n ∈ N)µn =∑ni=1|yi+1−yi|, existemM > 0, N > 0 tais que (∀n ∈ N) νn 6M,µn 6
N . Ora, pela desigualdade triangular segue-se que
∑n
i=1|(xi+1 ± yi+1)− (xi ± yi)| 6 νn + µn 6 N +M ,
donde (xn ± yn)n∈N e´ de variac¸a˜o limitada.
Reciprocamente, suponha que (xn)n∈N seja de variac¸a˜o limitada. Definamos, dado a ∈ R, a+ .=
|a|+a
2 = max{a, 0} e a−
.= |a|−a2 = max{−a, 0}; assim, a = a+ − a− e |a| = a+ + a−. Para cada n ∈ N,
ponha ξn
.=
∑n
i=0(xi+1 − xi)+, e µn .=
∑n
i=0(xi+1 − xi)− (portanto (ξn)n∈N e (µn)n∈N sa˜o crescentes);
enta˜o νn = ξn+µn (portanto (ξn)n∈N e (µn)n∈N sa˜o limitadas) e ξn−µn =
∑n
i=1(xi+1−xi) = xn+1−x1,
e isto conclui a demonstrac¸a˜o. ¤
12-) Seja (xn)n∈N a sequ¨eˆncia de nu´meros reais dada por x1 = 1 e
(∀n ∈ N)xn+1 = 1+√xn. Verifique que
(xn)n∈N e´ de variac¸a˜o limitada e calcule o seu limite.
Demonstrac¸a˜o: Tem-se,
(∀n ∈ N) |xn+2 − xn+1| = |(1 +√xn+1) − (1 +√xn)| = |√xn+1 −√xn| =
|xn+1 − xn|√
xn+1 +
√
xn
. Ora, por induc¸a˜o sobre n segue-se que
(∀n ∈ N)xn > 1, donde √xn+1 + √xn > 2,
i.e.
(∀n ∈ N) |xn+1 − xn|√
xn+1 +
√
xn
6 |xn+1 − xn|
2
. Do item (b) da questa˜o 10, segue-se que (xn)n∈N e´ de
variac¸a˜o limitada, portanto convergente. Seja c o seu limite. Enta˜o c tambe´m e´ o limite da subsequ¨eˆncia
(xn+1)n∈N; como
(∀n ∈ N)xn+1 = 1+√xn, segue-se c = 1+√c, donde (c−1)2 = c⇔ c2−3c+1 = 0⇔
c = (3+
√
5)/2 ou c = (3−√5)/2. Como (∀n ∈ N)xn > 1, devemos ter c > 1, donde c = (3+√5)/2. ¤
2
	lista_02_ime_usp
	lista_02_ime_usp_gabarito