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CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2009.1 Questa˜o 1 (2 pontos). Encontre o conjunto das respostas das inequac¸o˜es a seguir. a) −5x < 8 + 4x b) |4x− 7| ≥ 13 c) (2x + 8)2 < x− 7 d) |x2 − 10| ≥ 6 Soluc¸o˜es: a) −5x < 8 + 4x ⇔ −9x < 8 ⇔ −x < 8/9 ⇔ x > −8/9. Resposta: x ∈ (−8/9,∞). b) |4x− 7| ≥ 13 ⇔ 4x− 7 ≥ 13 ou 4x− 7 ≤ −13 4x− 7 ≥ 13 ⇔ 4x ≥ 20 ⇔ x ≥ 5 4x− 7 ≤ −13 ⇔ 4x ≤ −6 ⇔ x ≤ −6/4 Resposta: x ∈ (−∞,−3/2] ∪ [5,∞) c)(2x + 8)2 < x− 7 ⇔ 4x2 + 32x + 64 < x− 7 ⇔ 4x2 + 31x + 71 < 0 Por Bhaskara, vemos que na˜o ha´ ra´ızes para o polinoˆmio do segundo grau 4x2 + 31x + 57, pois ∆ = 312 − 4 · 4 · 71 = 969− 1136 = −167 < 0. Ale´m disso, vemos que quando x = 0, o polinoˆmio assume um valor positivo (71). Logo podemos concluir que o gra´fico do polinoˆmio esta´ todo acima do eixo x, isto e´ na˜o ha´ nenhum valor de x para o qual 4x2 + 31x+ 71 < 0. Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto ∅. d)|x2 − 10| ≥ 6 ⇔ x2 − 10 ≥ 6 ou x2 − 10 ≤ −6 x2 − 10 ≥ 6 ⇔ x2 − 16 ≥ 0 ⇔ (x− 4)(x + 4) ≥ 0 1 Fazendo a ana´lise de sinais desta u´ltima inequac¸a˜o, vemos que (x − 4)(x + 4) ≥ 0 quando x ≥ 4 ou x ≤ −4. Por outro lado, temos x2 − 10 ≤ −6 ⇔ x2 − 4 ≤ 0 ⇔ (x− 2)(x + 2) ≤ 0 Fazendo a ana´lise de sinais desta u´ltima inequac¸a˜o, vemos que (x−2)(x+2) ≤ 0 se e somente se −2 ≤ x ≤ 2. Resposta: x ∈ (−∞,−4] ∪ [−2, 2] ∪ [4,∞). Questa˜o 2 (1,5 pontos). Represente geometricamente os conjuntos abaixo: a) {(x, y) ∈ R2; x = y e |y| ≤ 2} b) {(x, y) ∈ R2; |x| < 3 e |y + 2| ≤ 5} c) {(x, y) ∈ R2; |x| ≥ 4 e y > 2} Soluc¸o˜es: 2 Questa˜o 3 (1,5 ponto). Em cada item, encontre o que se pede: a) A distaˆncia entre os pontos P = (5, 3) e Q = (2,−1). b) A equac¸a˜o do c´ırculo de centro C = (0,−1) e raio R = 3 c) O conjunto dos pontos (x, y) que pertencem ao c´ırculo do item anterior e tambe´m a` reta definida pela equac¸a˜o y = 2x− 1. 3 Soluc¸o˜es: a) d(P, Q) = √ (5− 2)2 + (3− (−1))2 = √9 + 16 = 5 b) Para encontrarmos a equac¸a˜o do c´ırculo, devemos buscar os pontos (x, y) que distam 3 de C:√ (x− 0)2 + (y − (−1))2 = 3 ⇔ x2 + (y + 1)2 = 9 ⇔ x2 + y2 + 2y = 8 c) Para encontrar o conjunto pedido vamos substituir y na equac¸a˜o do c´ırculo por y = 2x−1: x2 + (2x− 1)2 + 2(2x− 1) = 8⇔ x2 + 4x2 − 4x + 1 + 4x− 2 = 8⇔ 5x2 = 9⇔ x = 3/ √ 5 = 3 √ 5 5 ou x = −3 √ 5 5 Temos ainda que encontrar os valores de y correspondentes a cada um destes valores de x: Se x = 3 √ 5/5, temos y = 2x− 1 = (6√5− 5)/5. Se x = −3√5/5, temos y = 2x− 1 = (−6√5− 5)/5. Resposta: O conjunto procurado e´:{( 3 √ 5 5 , 6 √ 5− 5 5 ) , ( −3 √ 5 5 , −6√5− 5 5 )} Questa˜o 4 (2 pontos). Encontre o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es a seguir: a) (3x + 1) 2 + 1 8 = ( x− 3 2 ) 1 5 b) 3x2 − x− 4 = 0 c) ∣∣∣∣8x3 + 49 ∣∣∣∣ = 10 4 d) |2x2 − 8x + 6| = 2 Soluc¸o˜es: a) (3x + 1) 2 + 1 8 = ( x− 3 2 ) 1 5 ⇔ 12x + 4 8 + 1 8 = ( x 5 − 3 10 ) ⇔ 12x + 5 8 = 2x + 3 10 ⇔ 120x + 50 = 16x + 24⇔ 104x = −26⇔ x = −26/104 = −1/4 (1) Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ −1/4. b) Podemos resolver por Bhaskara: ∆ = 1− 4 · 3 · (−4) = 1 + 48 = 49 x = (1±√49)/6 = (1± 7)/6, isto e´, x = 8/6 = 4/3 ou x = −6/6 = −1. Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ {4/3,−1}. c) Para que a equac¸a˜o seja satisfeita devemos ter 8x 3 + 4 9 = 10 ou 8x 3 + 4 9 = −10 8x 3 + 4 9 = 10⇔ 24x + 4 9 = 10⇔ 24x + 4 = 90⇔ 24x = 86⇔ x = 43 12 5 Ale´m disso, 8x 3 + 4 9 = −10⇔ 24x + 4 9 = −10⇔ 24x + 4 = −90⇔ 24x = −94⇔ x = −47 12 Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ {43/12,−47/12}. d) |2x2 − 8x + 6| = 2 ⇔ 2x2 − 8x + 6 = 2 ou 2x2 − 8x + 6 = −2 Por um lado, temos: 2x2 − 8x + 6 = 2⇔ 2x2 − 8x + 4 = 0⇔ x2 − 4x + 2 = 0 Resolvendo por Bhaskara: ∆ = 16− 8 = 8 x = (8±√8)/2 = 4±√2 Por outro lado, 2x2 − 8x + 6 = −2⇔ 2x2 − 8x + 8 = 0⇔ x2 − 4x + 4 = 0⇔ (x− 2)2 = 0⇔ x = 2 Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ {4 +√2, 4−√2, 2}. 6 Questa˜o 5 (0,5 ponto). Resolva o sistema de equac¸o˜es a seguir: x + 3y = 5 2x− y = 1 Soluc¸a˜o: Vamos isolar x na primeira equac¸a˜o e substituir na segunda: Temos x = 5− 3y e, substituindo, 2(5− 3y)− y = 1 ⇔ −7y = −9 ⇔ y = 9/7 Da´ı, x = 5− 3y = 5− 27/7 = 8/7. Resposta: x = 8/7 e y = 9/7. Questa˜o 6 (2,5 pontos). Na loja OBA o sala´rios dos vendedores e´ composto da seguinte forma: cada funciona´rio recebe 700 reais mais dez porcento do valor total que ele vender no meˆs. Se representarmos por x o total vendido por um funciona´rio em determinado meˆs, podemos considerar que seu sala´rio sera´ calculado, enta˜o, por uma func¸a˜o s : [0,∞) → R cuja lei e´ dada por s(x) = 700 + 0, 1x. Responda os ı´tens a seguir: a) Esboce o gra´fico de s. b) Qual sera´ o sala´rio de um funciona´rio que tenha vendido 5000 reais no meˆs? c) Quanto deve vender um funciona´rio para que receba no fim do meˆs sala´rio de 2000 reais? d) Na loja EBA, vizinha e concorrente da OBA, os funciona´rios recebem sala´rio fixo de 1000 reais, mais comissa˜o de 5% sobre as vendas. Encontre a lei da func¸a˜o r : [0,∞)→ R que descreve a remunerac¸a˜o r(x) de um funciona´rio da EBA que tenha vendido x durante o meˆs. 7 e) Joa˜o trabalha na OBA e vende todo meˆs algo entre 7000 e 8000 reais. A EBA oferece para ele um emprego. Para Joa˜o, tanto faz trabalhar na EBA ou na OBA, o que ele quer e´ ter o maior sala´rio poss´ıvel. Com base nesse crite´rio, decida se Joa˜o deve ou na˜o aceitar a oferta e mudar de emprego. Justifique sua resposta. (Considere que se ele mudar de empresa, continuara´ com o mesmo volume de vendas mensais). f) (boˆnus) Dentre a OBA e a EBA, qual voceˆ acha que deve conseguir contratar os funciona´rios mais eficientes? Deˆ uma justificativa matema´tica para sua resposta. Caso voceˆ responda e justifique corretamente, este item podera´ substituir um outro item da prova que voceˆ tenha errado. Soluc¸o˜es: a) b) s(5000) = 700 + 0, 1 · 5000 = 1200. O sala´rio sera´ de 1200 reais. c) s(x) = 2000 ⇔ 700 + 0, 1x = 2000 ⇔ 0, 1x = 1300 ⇔ x = 13000. Para receber 2000 reais o funciona´rio deve vender 13000. d) r(x) = 1000 + 0, 05x. 8 e) Temos que descobrir para quais valores de x ocorre r(x) > s(x): r(x) > s(x) ⇔ 1000 + 0, 05x > 700 + 0, 1x ⇔ 300 > 0, 05x ⇔ x < 6000. Isso significa que so´ e´ mais vantajoso trabalhar na EBA se o funciona´rio vender menos de 6000 reais por meˆs. Na˜o e´ o caso do Joa˜o, que vend por meˆs entre 7 e 8 mil reais. Logo ele deve permanecer na OBA. f) Para qualquer funciona´rio que venda mais que 6000 por meˆs (como e´ o caso do Joa˜o), o sala´rio na OBA sera´ maior que na EBA. Logo e´ razoa´vel considerar que a loja OBA atraira´ os funciona´rios mais eficientes. 9
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