exercicio inducao matematica

Prévia do material em texto

Exercícios sobre Indução 
 
1. Demonstre, por indução, a validez das seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo a equação do 2º grau temos: 
 
 
Substituindo na igualdade encontrada, tem-se: 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
2. Demonstre, por indução, a validez das seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
Dividindo o polinômio pelo polinômio temos: 
 
 
 
Desta forma temos na igualdade anterior: 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo o polinômio pelo polinômio temos: 
 
 
 
Desta forma temos na igualdade anterior: 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
Fatorando a expressão temos: 
 
Substituindo na igualdade anterior tem-se: 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo o polinômio pelo polinômio temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na igualdade anterior tem-se: 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo a equação do 2º grau temos: 
 
 
Substituindo na igualdade encontrada, tem-se: 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
3. Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
4. Sejam e números reais distintos. Mostre que para todo vale a igualdade: 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
 
 
5. Se , mostre que, para todo , vale a igualdade: 
 
 
Neste exercício usaremos o fato de que 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
Agora iremos desenvolver o segundo membro da igualdade: 
 
 
Logo é válida para todo . 
 
6. Para todo , mostre que nos inteiros: 
a) divide 
 
 
 
Suponhamos para algum , saibamos que . 
Logo existe um número inteiro tal que . 
Provaremos que existe um inteiro tal que . 
 
 
 
 
 
Logo divide para todo . 
b) divide 
 
 
 
Suponhamos para algum , saibamos que . 
Logo existe um número inteiro tal que . 
Provaremos que existe um inteiro tal que . 
 
 
 
 
 
 
Logo divide para todo . 
 
c) divide 
 
 
 
Suponhamos para algum , saibamos que . 
Logo existe um número inteiro tal que . 
Provaremos que existe um inteiro tal que . 
 
 
 
 
 
Logo divide para todo . 
 
 
7. Mostre que: 
a) 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
Como então . Logo temos: 
 
 
Logo para todo . 
 
 
 
b) 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
Como então . Logo temos: 
 
 
Logo para todo . 
 
 
c) 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
Como então . Logo temos: 
 
 
Logo para todo . 
 
 
8. Mostre que a sequência de Fibonacci satisfaz as seguintes identidades: 
 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
Logo para todo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
Logo para todo . 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
Logo para todo . 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
Logo para todo . 
 
 
 
 
 
9. Prove que 
 
 
 
 
Suponhamos que seja verdadeira para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo para todo . 
 
 
Exerícios sobre Recorrência 
 
1. Para a sequência definida por , determine . 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja o número máximo de regiões em que retas podem dividir o plano. Caracterize recursivamente. 
O número máximo de regiões é determinado quando, para cada , a reta intersecta as retas já existentes. Neste 
caso, a nova reta subdivide regiões, criando assim novas regiões. Logo o número máximo de regiões 
determinado por retas satisfaz 
 
 
3. Prove que uma recorrência de primeira ordem, , com uma condição inicial , tem sempre uma e só 
uma solução. 
i) para , temos: 
 
Suponhamos que esteja bem definida. 
ii) Como o valor para também está bem definido. 
Logo pelo P.I.F. o valor de está bem definido para todo natural . 
 
4. Prove que uma recorrência de segunda ordem , com condições iniciais e , tem 
sempre uma solução única. 
Para , tem-se : ; 
Para , tem-se : . 
Suponhamos que e estejam bem definidas. 
Então como o valor de também está bem definido. 
Logo pelo P.I.F. o valor de está bem definido para todo natural . 
 
5. Se e , determine . 
 
 
 
6. Se e , determine . 
 
 
 
7. Seja o número máximo de regiões em que círculos podem dividir o plano. Caracterize recursivamente. 
O círculo é subdividido em no máximo arcos pelos já existentes. Cada um destes arcos subdivide uma região 
existente, determinando assim novas regiões. Logo temos: 
 
 
 
8. Determine o número máximo de regiões em que retas podem dividir o plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Somando membro a membro as equações temos: 
 
 
 
9. Quantas são as sequências de termos, todos pertencentes a , que possuem um número ímpar de termos iguais a 
? 
 
 1º elemento é igual a 1 1º elemento é igual a 0 
 
 
 
 
10. Quantas são as sequências de termos, todos pertencentes a , que possuem um número ímpar de termos iguais 
a ? 
 
 1º elemento é igual a 1 1º elemento é igual a 2 1º elemento é igual a 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somando membro a membro as equações temos:11. Determine o número máximo de regiões em que círculos podem dividir o plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Somando membro a membro as equações temos: 
 
 
 
 
 
12. Resolva as equações a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Resolva a equação 
 
 
 
 
para , temos: 
para , temos: 
Somando e temos: 
 
Logo temos: