Plano Cartesiano e Função do 1º Grau

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PLANO CARTESIANO ORTOGONAL E 
LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NO PLANO
VARIÁVEIS COMO GENERALIZAÇÕES DO 
MODELO MATEMÁTICO PARA O ESTUDO 
DE FUNÇÕES
E MUITO MAIS...
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Matemática
Aplicada
Função do 1º Grau122
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Prof.a Isabel Cristina Dias Alves Lisboa 
Prof.a Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo!
E então, podemos começar?
O assunto que iremos abordar agora faz parte constante do 
nosso cotidiano, por isso aproveite e se inteire ao máximo.
Alertamos para o fato de que o 
seu êxito dependerá muito da sua 
dedicação, seu comprometimento e 
seu empenho! 
Função do 1º Grau 123
APRESENTAÇÃO
O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes 
circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.
O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer 
tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmi-
ca. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada 
expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.
As funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, onde as rela-
ções entre pares ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de 
funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos proble-
mas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções.
Nesse módulo o nosso estudo se restringe ao estudo da Função de 1º Grau. Sendo assim, 
a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas.
Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, é impor-
tante que você compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica 
das incógnitas e dos coeficientes.
Bons estudos!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo, você será capaz de:
• Utilizar e relacionar variáveis como generalizações do modelo matemático para o 
estudo de funções;
• Conhecer o Plano Cartesiano Ortogonal e localizar pontos situados no plano;
• Relacionar conteúdos adequados para a interpretação e resolução de situações-
problema;
• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo os 
diversos significados das operações envolvendo funções do 1º grau.
Sistema Cartesiano Ortogonal
Você já ouviu falar em plano cartesiano 
ortogonal?
E você saberia explicar o que é?
Veja então!
O nome Plano Cartesiano é uma homenagem prestada ao seu criador René Descartes 
(1596-1650), filósofo e matemático francês, que assinava seus trabalhos como Cartesius. 
O nome de Descartes em Latim, é Cartesius, daí vem o nome cartesiano.
Renê Descartes foi o inventor dessa ideia de representar um ponto no plano cartesiano. E 
mostrou que as retas se interceptavam e seria possível construir um sistema para associar 
e representar pontos.
Portanto Plano Cartesiano Ortogonal é constituído por dois eixos 
x e y perpendiculares entre si que se cruzam num ponto 
comum, denominado origem. O eixo horizontal é o eixo 
das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das 
ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos 
eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-
-se o plano cartesiano ortogonal.
O sistema Cartesiano é utilizado para localizar 
pontos em mapas, gráficos, etc.
Função do 1º Grau
René Descartes (1596-1650)
124
Função do 1º Grau 125
O PLANO CARTESIANO ORTOGONAL
É composto pelos eixos coordenados XOY onde “O” é a origem. Esses eixos encontram-
-se na origem e formam um ângulo reto de 90 graus (90º). O eixo vertical é OY e o eixo 
horizontal OX.
Assim:
y
x0
A origem representa o ponto onde x = 0 e y = 0.
Então 0 =( 0, 0 ) é a indicação do ponto 0 no plano cartesiano.
COORDENADAS DE UM PONTO: PAR ORDENADO
Um ponto é representado através das variáveis x e y e ordenado assim: P ( x , y ) onde x 
vem primeiro ( 1 º componente) e y vem depois ( 2 º componente), que é a ordenação 
das variáveis x e y , dentro de parênteses, separados por vírgula ou por ponto e vírgula.
Veja como localizar pontos no plano cartesiano:
Tomemos como exemplo o ponto P = ( 2,3)
Representação: x = 2 e y = 3
Resolução:
x = 2 é a distância horizontal em relação à origem. 
y = 3 é a distância vertical em relação à origem.
y
x0
distância
vertical
distância
horizontal
Função do 1º Grau126
Por “2” passa-se uma reta vertical (pontilhada) paralela à OY:
y
x0 2
Por “3” passa-se uma reta horizontal (pontilhada) paralela à OX:
y
x0 2
3
A interseção dessas retas pontilhadas é o ponto encontrado P (2,3).
y
x0 2
3
P ( 2 , 3 )
Consideremos agora a seguinte situação:
O mapa abaixo de um bairro de B.H. mostra três localizações das posições dos amigos 
João(J), Cláudio(C) e Bruno(B).
Função do 1º Grau 127
Considerando como referência do ponto Origem a Praça Milton Campos e os quarteirões 
indicados, pode-se dizer que:
B
C
J
• Cláudio está localizado a 3 quarteirões à direita da praça e 2 acima da praça;
• Bruno está localizado a 4 quarteirões à esquerda da praça e 3 acima da praça;
• João esta localizado a 3 quarteirões à esquerda da praça e 2 abaixo da praça.
Veja em outro exemplo: Utilizando segmentos de mesma medida e considerando a origem 
“0” localizada na praça, temos:
y
x0
Usaremos números positivos para indicar quarteirões à direita, e números negativos para 
indicar quarteirões à esquerda. De uma forma análoga para cima, é positivo, para baixo 
é negativo. Assim:
0 1
-1
-2
-3
3
4
2
1
2 3-3 -2 -1
Função do 1º Grau128
Portanto, localizaremos os três amigos no nosso plano cartesiano utilizando os pares 
ordenados respectivos: 
(esquerda, para cima) = (x negativo, y positivo)
(esquerda, para baixo) = (x negativo, y negativo)
(direita, para cima)= (x positivo, y positivo)
(direita, para baixo) = (x positivo, y negativo)
No caso dos três amigos temos:
Cláudio: C =(3,2)
Bruno: B =(-4, 3)
João: J=(-3,-2)
Assim poderemos considerar que todo ponto fica representado por um par ordenado (x,y) 
cujos valores x e y representam as coordenadas do ponto.
Simplificando teremos:
• X é a abscissa do ponto
• y é a ordenada do ponto
• x e y são as coordenadas do ponto
• (x,y) é o par ordenado de coordenadas do ponto.
Noção De Função Polinomial
Você saberia explicar o que é 
Função Polinomial?
Então me acompanhe e preste 
bastante atenção!
Uma função polinomial é toda expressão matemática da forma (y= ax+b ), onde a ∈ ℜ, 
com a ≠ 0 e b ∈ ℜ.
Função do 1º Grau 129
São exemplos:
a) y = 2x + 1
onde 



a = 2
b = 1
b) y = ‒ x
onde 



a = ‒1
b = 0
c) y =10x ‒ 4
onde 



a = 10
b = -4
Quando a = 0
Teremos uma função constante do tipo y = b
a) y = ‒2
onde 



a = 0
b = ‒2
b) y = 0
onde 



a = 0
b = 0
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
É o conjunto de valores que a variável x poderá assumir. O domínio é indicado por Df e a 
imagem é o conjunto Imf dos valores de y correspondente aos dados valores de x.
Acompanhe o exemplo:
Seja o quadrado de lados x.
x
x
x x
Seja o perímetro y do quadrado dado por y = 4x
Então o domínio pode ser indicado pelo conjunto D ={ x ∈ ℜ / x > 0 } ou D =ℜ*+
Função do 1º Grau130
Exemplos de valores de x:
Então para acharmos os valores correspondentes de y teremos que substituir os valores 
de x, assim: 
• Para x =1 então y = 4 . 1
 y = 4
 Formaremos o ponto P (1, 4)
• Para x =1,5 então y = 4 .(1,5)
 y = 6
 Formaremos o ponto é P (1,5 ; 6)
• Para x=3,1 então y = 4.(3,1)
 y =12,4
 Então o ponto é P (3,1 ; 12,4).
Assim marcando os pontos nos diagramas relacionados pela função p = y = 4x
f : y =4x
1
1,5
3,1
4
6
12,4
 Df → x Imf → y
Veja outro exemplo: Seja o retângulo de lados x e 2x.
x
1
1,5
3,1
y = 4x
x
1
1,5
3,1
y = 4x
4
6
12,4
Função do 1º Grau 131
2x
2x
x x
Seja o perímetro y do quadrado dado por y= 2x + x + 2x + x, ou seja, y = 6x.
Então o domínio pode ser indicado pelo conjunto D ={ x ∈ ℜ / x > 0 } ou D =ℜ*+
Exemplos de valores de x e os correspondentes valores de y que são encontrados quando 
substituímos os correspondentes valores de x, assim:
Assim marcando os pontos nos diagramas relacionados pela função p=y = 6x 
f : y =6x
 Df → x Imf → y
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Como você percebeu, para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algé-
brica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada 
valor de x um valor para o f (x).
Veja um exemplo para a função f (x)= x – 2.
x = 1, temos que f (1)= 1 – 2 ou y = –1
x = 4, temos que f (4)= 4 – 2 ou y = 2
Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim, 
obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f (x)). Observe, 
que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f (x). Isso auxilia na constru-
ção de gráficos das funções.
x
1
1,5
3,1
y = 6x
6.(1)=6
6.(1,5) = 9
6.(3,1)=18,6
+1
1,5
3,1
6
9
18,6
Função do 1º Grau132
O estudo de gráficos das funções de 1º grau auxilia na resolução de equações ou inequa-
ções, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é 
visível por meio dos gráficos esboçados no mesmo referencial cartesiano.
TOME NOTA
O gráfico da função do 1º grau é uma reta.
Caro(a) aluno(a), para esboçar o gráfico de 
uma reta serão necessários e suficientes dois 
pontos.
Por dois pontos distintos passa uma 
única reta.
Então, veja alguns exemplos:
1) Seja a função y = x + 3
Vamos fazer uma tabela para as coordenadas a serem representadas no plano cartesiano, 
atribuindo valores quaisquer para “x” e calculando o “y” correspondente:
• Sugerindo x = – 3, teremos:
 y = x + 3
 y = – 3 + 3
 y = 0
• Sugerindo x = 1, teremos:
 y = x + 3
 y = 1 + 3
 y = 4
• Sugerindo x = 0, teremos:
 y = x + 3
 y = 0 + 3
 y = 3
Então a tabela a seguir será formada com esses pares ordenados:
x
-3
1
0
y (x,y)
0
4
3
(-3,0)
(1,4)
(0,3)
Função do 1º Grau 133
Em seguida localizamos esses pontos no plano cartesiano:
y
x0 1-3
4
3
Agora ligamos esses pontos representando assim a reta referente à função cuja equação 
é y = x + 3
y
y = x+3
x0 1-3
4
3
Note que uma função do 1º grau é da forma y = ax + b.
No exemplo y = x + 3 temos:
• a = 1(a > 0) é positivo então a função é crescente (inclinação crescente).
• b = 3 foi onde a reta interceptou (cortou) o eixo das ordenadas (eixo OY).
2) y = 1 ou y = 0x + 1
Observe que y não depende de x,então a função é constante, y não varia, é sempre 1.
x
-1
0
1
y (x,y)
1
1
1
(-1,1)
(0,1)
(1,1)
Função do 1º Grau134
Para o gráfico da reta representativa dessa função y = 1 , basta localizar esses pontos no 
plano cartesiano e ligá-los, veja abaixo:
y
y = 1
x0 1-1
Nesse caso temos: 
• a = 0 não há inclinação
• b = 1 foi onde a reta interceptou (cortou) o eixo OY.
Como você pode ver, a reta é constante, e isto ocorreu porque a = 0, y não depende do 
valor de x porque é sempre o mesmo (constante).
3) Para a função y = –x + 2 temos:
a = –1 e b = 2
Vamos escolher aleatoriamente dois valores de x e encontrar o y correspondente, na 
tabela a seguir:
Localizando esses dois pontos no plano e ligando teremos a reta representativa dessa 
função y = – x + 2, veja a seguir:
y
y =-x + 2
x0
1
2
3
1-1
x
–1
1
2
y (x,y)
– (–1) + 2 = 1 + 2= 3
– (1) + 2 = –1 + 2= 1
– (2) + 2 = –2+2 = 0
(-1,3)
(1,1)
(2,0)
Função do 1º Grau 135
Nesse exemplo y = –x + 2 temos:
• a = – 1( a < 0) é negativo então a função é decrescente (inclinação decrescente).
• b = 2 foi onde a reta interceptou (cortou) o eixo das ordenadas (eixo OY).
A função de 1º grau é:
Crescente quando a > 0
Constante quando a = 0
Decrescente quando a < 0
INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS NO PLANO
Sejam as retas r e s cujas equações são:
(r) y = x – 6
(s) y = – 2x + 3
Observe que r e s se interceptam no ponto P que é o ponto comum as elas.
Assim vimos que as retas r e s se encontraram em um ponto comum P.
y
(r) y= x - 6
(s) y= -2x + 3
x0
-1
-3
-4
-5
1
3
1 2 3-1
x
1
2
3
y
-5
-4
-3
Reta (r) y = x – 6
x
1
2
3
y
1
-1
-3
Reta (s) y = – 2x + 3
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
GESTÃO PEDAGÓGICA
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Ester Cristina Santos de Oliveira
PRODUÇÃO DE 
DESIGN MULTIMÍDIA
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
INFRA-ESTRUTUTURA E SUPORTE
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias N. Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
Síntese
Chegamos ao final deste módulo, onde o nosso direcionamento foi o estudo de função 
do 1º grau, e como pré-requisito para esse aprendizado você precisou rever e ampliar os 
conceitos algébricos aprendidos até agora.
Como você viu função é uma correspondência que estabelece regras que muitas vezes 
ocorre na prática onde o valor de uma quantidade depende do valor de outra, e a rela-
ção entre as quantidades é dada geralmente por uma função, assim uma função pode 
ser considerada como uma correspondência de valores entre si. O objetivo maior desse 
estudo foi levar você a reconhecer funções e conhecer a necessidade deste conceito, 
com o destaque para as funções de 1º grau.
A aplicabilidade de funções nos vários campos da atividade humana é atualmente, incon-
testável, assim é fundamental que você reconheça e conheça as principais funções, e 
neste estudo foi permitido o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático. A impor-
tância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas 
colocado em prática em outras ciências, entendendo os métodos e os procedimentos 
próprios para aplicá-los em diferentes contextos, como a física, a química, a biologia. 
E assim apropriar-se desses conhecimentos para, em situações-problema, interpretar, 
avaliar ou planejar quaisquer intervenções.
Referências
IEZZI, Gelson. ET AL.Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções.
Volume 1, São Paulo: editora Atual,2009.
MORETTIN, Pedro A. ET AL. Cálculo.Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: 
Editora Saraiva, 2005.
TAN, S.T. Matemática aplicada a Administração e Economia. 5 ed. São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 2001.
BARRETO FILHO, Benigno.Matemática. Volume único. São Paulo: FTD, 2000.
IAN, Jacques. Matemática para Economia e Administração. 6ª Ed, São Paulo: Pearson, 
2010.
DOMINGUES, HyginoH. ; IEZZI, Gelson, Álgebra Moderna, 4ª ed, São Paulo: Atual,2003.
SITES
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm