Estudo de Caso: Forças em Treliça e Exercícios de Cálculo Numérico

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UNIBH - Centro Universitário de Belo Horizonte 
Disciplina: Cálculo Numérico 
Professora: Ana Paula de Carvalho 
 
Estudo de Caso 
Determinar as forças na treliça com oito membros mostrada na figura a seguir. 
 
 
As forças nos oito membros da treliça são determinadas a partir do seguinte conjunto de oito 
equações: 
 
 
 
As equações são deduzidas a partir do traçado dos diagramas de corpo livre dos pinos A, B, C e 
D, e a aplicação das equações de equilíbrio. As equações são reescritas na forma matricial. 
 
Utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial, obtém-se que as forças nos 
oito membros da treliça são: 
 
Exercícios 
1) Engenheiros devem ser capazes de prever a taxa de perda de calor através das paredes de 
um edifício para determinar os requisitos do sistema de aquecimento. Eles fazem isso utilizando o 
conceito de resistência térmica R, que relaciona o fluxo de calor q através de um material com a 
diferença de temperatura ΔT ao longo do material: q = ΔT/R. Essa relação é igual à relação 
tensão-corrente para um resistor elétrico: i = v/R. Portanto, o fluxo de calor exerce o papel da 
corrente elétrica, e a diferença de temperatura exerce o papel da tensão. A unidade do SI para q 
é o watt (W), que é igual a 1 joule/segundo (J/s). 
A parede mostrada na figura abaixo consiste em quatro camadas: uma camada mais interna de 
gesso/ripa com espessura de 10 mm, uma camada de isolamento de fibra de vidro com 
espessura de 125 mm, uma camada de madeira com espessura de 60 mm e uma camada 
externa de tijolo com espessura de 50 mm. Se considerarmos que as temperaturas interna e 
externa Ti e To são mantidas constantes por algum tempo, então a energia calórica armazenada 
nas camadas é constante, e assim o fluxo de calor através de cada camada é o mesmo. 
 
Aplicando a conservação da energia, as seguintes equações são obtidas: 
 
As três últimas equações podem ser rearranjadas da seguinte forma: 
 
 resist n ia térmi a de um material s lido é dada por R = D/k, em que D é a espessura do 
material e k é a onduti idade térmi a do material. ara os materiais dados as resist n ias para 
1 m2 de área de parede são R1 = 0.036, R2 = 4.01, R3 = 0.408 e R4 = 0.038 K/W. 
Suponha que Ti = 20°C e T0 = - . En ontre as outras tr s temperaturas e a ta a de perda de 
calor q, em watts. 
Resposta: T = [19.7596,−7. 2 4 −9.7462]T 
 q = 6.6785 W/m2 
2) Considere o circuito da figura com resistências e baterias, tal como indicado. Escolhemos 
arbitrariamente as correntes e os valores da malha: 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff, que diz que a soma algébrica da diferença de potencial em qualquer 
circuito fechado é nula, obtemos para as correntes i1 , i2 e i3, o seguinte sistema linear: 
2i1 + 4(i1 -i2) + 2 (i1 -i3) -10 = 0 
2i2 - 2i2 + 2(i2 -i3) + 4(i2 -i1) = 0 
6i3 + 2(i3 -i1) + 2(i3 -i2) - 4 = 0 
Deseja-se determinar o valor de i = [i1 i2 i3]
T que satisfaça o sistema linear. 
Resposta: [2.758, 2.310, 1.414]T 
3) Um engenheiro super isiona a produção de tr s tipos de omponentes elétri os. Tr s tipos de 
material — metal pl sti o e orra a — são ne ess rios para a produção. s quantidades 
ne ess rias para a produção de ada omponente são: 
 
 e um total de . 9 g . 9 g e .2 2 g de metal pl sti o e orra a, respectivamente, 
esti er dispon el a ada dia quantos omponentes poderão ser produ idos por dia? 
Resposta: c1 = 90, c2 = 60 e c3 = 80. 
 
4) Seja o diagrama de um circuito 
 
A corrente que flui do nó p para o nó q de uma rede elétrica é , 
I em ampères e R em ohms, onde Vp e Vq são voltagens nos nós p e q, respectivamente, e Rpq é 
a resistência no arco pq (lei de Ohm). A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (Lei de 
Kirchhoff), assim, as equações que relacionam as voltagens podem ser obtidas. 
No nó 1, tem-se a equação IA1 + I21 + I41 = 0, ou seja, 
 
Obtenha as equações dos nós 2, 3 e 4. Resolva o sistema linear formado pelas equações dos 
nós 1, 2, 3 e 4, a fim de obter as voltagens em cada nó do circuito. 
Resposta: x = [76, 72, 68, 60]T 
5) Implemente em SCILAB os seguintes algoritmos: 
 Substituições sucessivas 
 Substituições retroativas 
 Eliminação de Gauss com pivotação parcial 
 
Resolva os exercícios anteriores utilizando os algoritmos implementados: 
 
 
Referências 
CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira. Algoritmos numéricos. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007 
BARROSO, L.C.; Barroso, M. M. A.; Campos, F. F.; Carvalho, M. L. B. e Maia M. L. Cálculo 
Numérico: com Aplicações, 2a Edição, Editora Harbra, 1987. 
CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond.P. Métodos Numéricos para Engenharia. 5.ed. São 
Paulo: McGraw-Hill, 2008. 
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