REFORÇO DE MATEMÁTICA PARA OS CURSOS UNIVERSITÁROS

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REFORÇO DE MATEMÁTICA 
INTRODUÇÃO:
Nessa etapa, vamos fazer uma recapitulação de alguns conteúdos que vão ajudar no aprendizado da disciplina cálculo, entre outras disciplinas na área de matemática, física, arquitetura, engenharia etc.
Conjuntos Numéricos:
Conjunto dos Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Números Naturais não-nulos (N*): {1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z): Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros não-negativos (Z+):{0, +1, +2, +3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros não-positivos (Z-):{0, -1, -2, -3, ...}
Conjunto dos Números Inteiros não-nulos (Z*): Z* = {±1, ±2, ±3, ...}
Conjunto dos Números Racionais (Q): Q = {x = a/b; a,b ϵ Z e b ≠ 0}
Obs.: toda dízima é uma fração, logo, é um número racional.
Conjunto dos Números Irracionais (I): são todos os números infinitos que não são dízimas (raiz de número não exata).
Conjunto dos números Reais (R): R = Q U I
Operações com Sinais:
1ª) Sinais iguais na soma/diferença: devemos somar e conservar o sinal.
Ex.: a) + 2 + 4 + 7 = +13 b) -2 - 4 - 7 = -13
2ª) Sinais diferentes na soma/diferença: devemos diminuir e conservar o sinal do maior:
Ex.: a) -4 + 6 = +2 b) +5 – 7 = -2
3ª) Sinais iguais no produto/divisão: o resultado é sempre positivo.
Ex.: a) (+2) x (+5) = +10 b) (-2) x (-5) = + 10 c) (+10) : (+2) = +5 d) (-10) : (-2) = +5
4ª) Sinais diferentes no produto/divisão: o resultado é sempre negativo.
Ex.: a) (+2) x (-5) = -10 b) (-2) x (+5) = -1 c) (+10) : (-2) = -5 d) (+10) : (-2) = -5
- Resolva as expressões:
a) 3 – 4 + 12 – 15 b) 2 x 3 – 4 + 5 x (-2) + 12 c) -5 – 6 x 2 + 14 : 2 – 3
d) 4 – 5 – 7 – 9 + 3 x (-2) + 7 e) (-2) : 2 + 1 – 5 x 0 – 0 : (-3) f) 
g) 
 h) 
 
Obs.: 1) 
 2) 
 3) 
Ex: a) 
- Potenciação
1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) a0 = 1
6) (-a)n(ímpar) = -an 7) (-a)n(par) = an 8) –an(par ou ímpar) = -an 9) (ab)c = ab.c
10) 
11) ab.ac = ab+c 12) ab:ac = ab-c
- Dízima:
1) 
 2) 
 3) 
4) 
- Resolva as potências:
a) 34 b) (-2)5 c) (-2)4 d) -25 e) -24 f) -104 g) (-10)4 h) (-10)3 i) 4-2 j) 5-1 k) 
 l) 
 m) (2,5)3 n) 250 0) (-25)0 p) -250 q) 015 r) 01/3 s) (0,33...)-2 t) 91/2 u) (-9)1/2 v) (0,444...)-1/2 x) 
 y) 
- Potência de Dez
a) 1000 = 103 b) 50000 = 5x10000 = 5x104 c) 0,001 = 10-3 
d) 0,000007 = 7x0,000001 = 7x10-6 
- Transformar em potências de 10:
a) 50000 b) 35000000000 c) 0,0000006 d) 0,000000075
1- Resolva as expressões:
a) 
 b) 
c) 
 d)
 e) 
 f) 
 h)
 i) 
 j) 
 
2) Sendo x = [(-1)3 – (-2)2 + (-3)2.(-2)3 + (-345)0]2 e y = 42 : 23 – 51 : 150, determine 3x – 4y2.
3) Calcule o valor numérico das expressões abaixo:
3x³ - 4x²y³ +5xy² - 2xy para x = -1 e y = -2
, para x = -1 e y = -3
 , para x = 
 e y = 
4) O número de diagonais de um polígono é dado pela fórmula 
, onde n representa o número de lados do polígono. Responda:
a) Quantas diagonais tem o pentágono?
b) Qual o polígono que apresenta 20 diagonais?
- Produtos Notáveis:
1) (a+b)2 = a2+ 2a.b + b2 2) (a-b)2 = a2- 2a.b + b2 
3) (a+b)3 = a3 + 3a2 .b + 3a.b2 +b3 4) (a-b)3 = a3 - 3a2 .b + 3ª.b2 - b3 
5) (a + b).(a – b) = a2 – b2
- Desenvolva os produtos notáveis.
a) (2x – 3y)² b) (x³ - 2)² c) (x + 5)(x – 5) d) (2x + 5)³ e) (x + 4)(4 – x) f) (x - 2a) (x – 5a) n) 
- Reduzir a termos semelhantes: 
a) 3x – 4x(x – 2) + y2 + 3y(2 – y)
b) (3x² - 5x – 3) – {4x² + [-2x – ( 2x² - 10 ) + 5x –8 ] – x²}
c) ( x – 8 ) (x – 3 ) – (2x + 1)(x – 5 ) 
d)
 
- Simplificar as expressões algébricas:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
e) 
 f)
 g) 
Obs.: ax2 + bx + c = a(x – x’)(x - x”) 
- Resolver as equações:
a) 
 - 
 = 
 b) 
 - 
 = 
 - 
h) 
 - 
 = 
 i) (4 – x)² = (3x + 8)(x + 2)
SISTEMA DE EQUAÇÕES
- Resolver os sistemas:
1) 
 2)
 3) 
 4) 
 5) 
- Resolva as inequações:
a) 4x – 12 > 4 b) 3x – 2(x+5) < 7 c) 
- Simplifique as expressões:
 - 
 + 
 
 
- Escreva sob a forma de uma só raiz:
 
 
- Resolva:
 
- Sabendo que as medidas dos lados de um triângulo são 
e de um retângulo são 
. Determine seus perímetros.
- Racionalização: o objetivo é eliminar o radical do denominador.
- Racionalizar:
a) 
 b) 
 c) 
 d)
e) 
 f) 
 f) 
h) 
 i) 
. 
Função: dados dois conjuntos A e B não vazios. Denominamos de função de A em B, se cada elemento do conjunto A se relacionar com apenas um e somente um elemento do conjunto B. O conjunto A é denominado de domínio da função, o conjunto dos elementos do conjunto B que estão se relacionando com os elementos do conjunto A denominamos de conjunto imagem e, o conjunto B de contra-domínio da função.
- Valor numérico de uma função:
Exemplo: dadas as funções f(x) = 3x2 – 4x + 6 e g(x) = 
, determine: f(2), f(-2), g(3) e g(1)
Equações do 20 grau (ou Quadrática)
Completa:
Incompletas:
2.1- Quando c = 0.
2.2- 2.1- Quando b = 0.
EXERCÍCIOS 
1. Calcular o discriminante (Δ) de cada equação encontrando sua respectiva solução:
a)  x² + 9 x + 8 = 0         (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0    (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0           (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0    (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0  (R:-8 e 4/5)
2- Resolva as equações de 2º grau
1) x² - 5x + 6 = 0          (R: 2, 3)
2) x² - 8x + 12 = 0        (R: 2, 6)
3) x² + 2x - 8 = 0          (R: 2, -4)
4) x² - 5x + 8 = 0          (R: vazio)
5) x² - 4x - 5 = 0           (R: -1, 5)
6) -x² + x + 12 = 0        (R: -3, 4)
7) 25x² = 20x – 4       (R: 2/5)
- RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS
Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau
1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)
Exemplos: 
- Resolva as equações:
1) x² - 25 = 0
    x² = 25
    x = 
√25
    x = 
5
    logo V = (+5 e -5)
2) 2x² - 18 = 0
    2x² = 18
    x² = 18/2
    x² = 9
    x = 
√9
    x = 
3
    logo V = (-3 e +3)
3) 7x² - 14 = 0
    7x² = 14
    x² = 14/7
    x² = 2
    x = 
√2
    logo V = (-√2 e +√2)
4) x² + 25 = 0
    x² = -25
    x = 
 → x’ e x” não pertencem aos reais. São números complexos: 
Obs: não existe nenhum número real negativo que elevado ao quadrado seja igual a -25
EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau incompletas:
    a) x² - 49 = 0                  (R: -7 e +7)
    b) x² = 1                         (R: +1 e -1)
    c) 2x² - 50 = 0                 (R: 5 e -5)
    d) 7x² - 7 = 0                   (R: 1 e -1)
    e) 5x² - 15 = 0                 (R: √3 e -√3)
    f) 21 = 7x²                       (R: √3 e -√3)
    g) 5x² + 20 = 0                (R: vazio)
2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 (c = 0)
ax² + bx = 0
x.(ax + b) = 0
Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .
x’ = 0 ou ax + b = 0 → x = -b/a 
Exemplos
1) Resolver x² - 5x = 0
    fatorando: x(x – 5)= 0
    deixando um dos fatores nulo temos x = 0
    e o outro x – 5 = 0 , passando 5 para o outro lado da igualdade temos x = 5
    logo, V = (0 e 5)
2) Resolver: 3x² - 10x = 0
    fatorando: x(3x – 10) = 0
    deixando um dos fatores nulo temos x = 0
    Tendo também 3x – 10 = 0
    3x = 10
    x = 10/3
    logo V= (0 e 10/3)
    Observe que nesses casos uma das raízes é sempre zero.
EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.
    a) x² - 7x = 0        (R: 0 e 7)
    b) x² + 5x = 0       (R: 0 e -5)
    c) 4x² - 9x = 0      (R: 0 e 9/4)
    d) 3x² + 5x =0      (R: 0 e -5/3)
    e) 4x² - 12x = 0    (R: 0 e 3)
    f) 5x² + x = 0        (R: 0 e -1/5)
    g) x² + x = 0         (R: 0 e -1)
    h) 7x² - x = 0        (R: 0 e 1/7)
    i) 2x² = 7x            (R: 0 e 7/2)
2) Resolva as seguintes equações do 2° grau
    a) x² + x (x – 6) = 0        (R: 0 e 3)
    b) x(x + 3) = 5x              (R: 0 e 2)
    c) x(x – 3) -2 (x - 3) = 6   (R: 0 e 5)
    d) (x + 5)² = 25               (R: 0 e -10)
    e) (x – 2)² = 4 – 9x          (R: 0 e -5)
    f) (x + 1) (x – 3) = -3        (R: 0 e 2)
PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R: 9 e -10)
2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero. (R: 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R: 1)
4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R: 10 e -8)
5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número.         Calcule esse número (R: 5)
- INEQUAÇÃO: é toda expressão que apresenta os sinais de >(maior), < (menor), ≥ (maior ouigual) ou ≤ (menor ou igual).
Resolva as inequações:
a) 3x + 9 > 0 b) -2x -8 > 0 c) x2 - 5x + 4 ≤ 0 d) –x2 + 4x – 4 ≥ 0
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO: são valores da variável x que geram imagens y.
- Calcular o domínio das seguintes funções:
a) 
 b) 
 c) 
d) 
 e) f(x) = 
 f) 
 g) 
h) f(x) = 
 i) f(x) = 
 j) 
	 
- Para cada função ao lado, pede-se:
A concavidade a) f(x) = x² - 4x + 3
Os zeros b) f(x) = -x² + 4x - 4
As coordenadas do vértice (máx. ou mín.) c) f(x) = x² + 3x + 4
Crescimento e decrescimento
Esboço do gráfico
O sinal
- O lucro, em reais, na venda de x unidades de determinado produto é dado pela expressão
L(x) = -x² + 12x – 32 . Pede-se:
o lucro na venda de 7 unidades do produto.
a quantidade vendida para um lucro zero.
o intervalo para o qual L(x) > 0.
o intervalo para o qual L(x) < 0.
a quantidade vendida para que o lucro seja o maior possível.
o gráfico de L(x).
Problemas do 1º/2º grau.
1º) O dobro de um número, aumentado de 40, é igual a 89. Qual é esse número?
2º) Dois terços de um número, adicionado de sua metade, é igual ao seu triplo menos dois. Qual é esse número?
3º) Igor e Diogo têm juntos 50 anos. A idade de Diogo é dois quintos da idade de Igor.
Qual a idade de cada um deles?
4º) Dividir o número 192 em duas partes tais que 2/5 da primeira superem em duas unidades a terça parte da segunda.
5º) Dividiu-se 5.200,00 por 3 irmãos de modo que a segunda receba 2/5 da primeira e a terceira 5/6 da segunda. Quanto recebeu cada irmão?
6º) Um pai tem 37 anos e seu filho 7. Daqui a quantos anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho?
7º) Determine o número que multiplicado por seu triplo é igual a 432.
8º) Determine o número cujo quadrado aumentado de seu dobro é igual a 15.
9º) O produto de dois números ímpares e consecutivos excede a soma deles em 47 unidades. Encontre os dois números.
10º) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero.
TEORIA DOS CONJUNTOS 1
1) Escreva com símbolos:
a) 4 pertence ao conjunto dos números naturais pares.
b) 8 não pertence ao conjunto dos números naturais ímpares.
2) Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
a) x é um conjunto natural menor que 8.
b) x é um número natural maior que 5 e menor que 15.
3) Classifique os conjuntos abaixo em vazio, unitário, finito ou infinito:
a) A é o conjunto das soluções da equação 2x + 5 = 19.
b) B = C {x /x é número natural maior que 10 e menor que 11}.
c) C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ... }.
d) D = {0, 10, 20, 30, ..., 90}
4) Dados os conjuntos A = {1, 2 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 }, C = {3, 4, 5}  e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) A C B
b) C C A
c) B Ȼ D
d) D C B
f) A Ȼ D
g) B C C
5) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto (A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C) é:
a) {a, b, c, e}
b) {a, c, e}
c) A
d) {b, d, e}
e) {b, c, d, e}
6) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, 0, 4, 3, 5} e B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7} assinale a afirmação verdadeira:
a) A U B = {2, 4, 0, -1}
b) A ∩ (B - A) = Ø
c) A ∩ B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7, 3}
d) (A U B) ∩ A = {-1, 0}
e) Nenhuma das respostas anteriores
7) Das três sentenças: A) 2 x + 3 = 2 x.2 3,    B) (25) x = 5 2x   e   C) 2 x + 3 x = 5x
a) Somente a sentença A) é verdadeira.
b) Somente a sentença B) é verdadeira
c) Somente a sentença C) é verdadeira
d) Somente a sentença B) é falsa
e) Somente a sentença C) é falsa
8) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16,  São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
a) 29 b) 24
c) 11 d) 8
e) 5
Parte superior do formulário
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