LISTA 6 - DERIVADAS

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Universidade Federal de Pelotas – UFPEL 
Centro de Engenharias – CENG 
Curso de Engenharia de Automação e Controle / Engenharia Eletrônica 
Curso de Engenharia de Petróleo / Curso de Engenharia Geológica 
Cálculo com GA I / Prof. Bruna Sentano 
LISTA 6 - DERIVADA 
 
1. Determinar uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 2𝑥² + 3 que é paralela à reta 
8𝑥 − 𝑦 + 3 = 0. R: 8𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 
 
2. Determinar uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 2 −
𝑥2
3
 que é perpendicular à reta 
𝑥 − 𝑦 = 0. R: 4𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0 
 
3. Determinar 𝑓′(𝑥) aplicando a definição de derivada: 
a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 3 R: 𝑓′(𝑥) = 7 
b) 𝑓(𝑥) = −4 R: 𝑓′(𝑥) = 0 
c) 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥2 R: 𝑓′(𝑥) = −4𝑥 
 
4. Determinar 𝑓′(𝑥) aplicando a Regra da Cadeia: 
a) 𝑓(𝑥) = 8 − 𝑥³ R: 𝑓′(𝑥) = −3𝑥² 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 R: 𝑓′(𝑥) =
1
2√𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+3
3𝑥−2
 R: 𝑓′(𝑥) = −
13
(3𝑥−2)²
 
d)𝑓(𝑥) =
1
𝑥²
− 𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = −
2
𝑥3
− 1 
e) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥2
+ 3𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = −
8
𝑥3
+ 3 
f) 𝑓(𝑥) = √2 − 7𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = −
7
2√2−7𝑥
 
g) 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
 R: 𝑓′(𝑥) =
1
3 √𝑥²
3 
h) 𝑓(𝑥) = (2𝑥4 − 1)(5𝑥3 + 6𝑥) R: 𝑓′(𝑥) = 70𝑥6 + 60𝑥4 − 15𝑥2 − 6 
i) 𝑓(𝑥) = (2𝑥2 + 5)(4𝑥 − 1) R: 𝑓′(𝑥) = 24𝑥2 − 4𝑥 + 20 
j) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−1
 R: 𝑓′(𝑥) = −
1
(𝑥−1)²
 
k) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+2𝑥+1
𝑥²−2𝑥+1
 R: 𝑓′(𝑥) =
−𝑥3−4𝑥2+4
(𝑥2−2𝑥+1)
 
 
5. (i) Traçar um esboço do gráfico da função; (ii)Determinar se 𝑓 é contínua em 𝑎; (iii) Calcular 
𝑓−
′(𝑎) e 𝑓+
′ (𝑎), se existirem; (iv) Determinar se 𝑓 é derivável em 𝑎. 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −4
−𝑥 − 6, 𝑠𝑒 𝑥 > −4
; 𝑎 = −4 
R*: (𝑖𝑖)𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎; (𝑖𝑖𝑖)1 𝑒 − 1; (𝑖𝑣)𝑛ã𝑜 é 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣á𝑣𝑒𝑙 
 
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LISTA 6 - DERIVADA 
 
b) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|; 𝑎 = 3 
R*: (𝑖𝑖)𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎; (𝑖𝑖𝑖) − 1 𝑒 1; (𝑖𝑣)𝑛ã𝑜 é 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣á𝑣𝑒𝑙 
c) 𝑓(𝑥) = {
−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
; 𝑎 = 0 
R*: (𝑖𝑖)𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎; (𝑖𝑖𝑖)0 𝑒 1; (𝑖𝑣)𝑛ã𝑜 é 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣á𝑣𝑒𝑙 
 
6. Calcular a derivada indicada: 
a) 𝑓(𝑥) = 3 sin 𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = 3 cos 𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 + 𝑐𝑜 tan 𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = sec² 𝑥 − cosec² 𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = 2(−𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥 
e) 𝑓(𝑥) = 4 sin 𝑥 cos 𝑥 R: 𝑓′(𝑥) = 4 cos 2𝑥 
f) 𝑓(𝑥) =
sin 𝑥
1−cos 𝑥
 R: 𝑓′(𝑥) = −
1
1−cos 𝑥
 
 
7. Calcular a derivada indicada: 
a) 𝑓′′(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥3 + 𝑥 R: 𝑓′′(𝑥) = 20𝑥3 − 12𝑥 
b) 𝑓′′′(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 7𝑥 − 1 R: 𝑓′′′(𝑥) = 24(𝑥 − 1) 
c)𝐷𝑥³ → 𝑓(𝑥) = 𝑥
4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 5 R: 𝐷𝑥
3 = 24𝑥 
d) 𝑓(5) → 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 − sin 2𝑥 R: 𝑓(5) = −32(sin 2𝑥 + cos 2𝑥) 
 
8. Achar os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e 
determinar os valores de 𝑥 nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do 
gráfico da função no intervalo. 
a) 𝑓(𝑥) = 4 − 3𝑥; (−1,2] R*: 𝑀í𝑛. 𝑎𝑏𝑠: 𝑓(2) = −2 
b) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
; [−2,3] R*: 𝑛ã𝑜 ℎá 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo com GA I / Prof. Bruna Sentano 
LISTA 6 - DERIVADA 
 
9. (i) Achar os extremos relativos de 𝑓 pelo Teste da Primeira Derivada; (ii) Determinar os 
valores de 𝑥 nos quais os extremos relativos ocorrem; (iii) Determinar os intervalos nos quais 𝑓 
é crescente. (iv) Determinar os intervalos nos quais 𝑓 é decrescente; (v) Fazer um esboço do 
gráfico: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 − 1 R*: 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙. : 𝑓(2) = −5; [2, +∞); (−∞, 2] 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 𝑥2 − 𝑥 
R*: 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓(1) = −1 𝑒 𝑀á𝑥. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓 (−
1
3
) =
5
27
; (−∞, −
1
3
] , [1, +∞); [−
1
3
, 1 ] 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ − 9𝑥2 + 2 
R*: 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓(3) = −25 𝑒 𝑀á𝑥. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓(0) = 2; (−∞, 0], [3, +∞); [0,3 ] 
 
10. Encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determinar onde 
o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Fazer um esboço do gráfico e 
mostrar um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 − 1 R*: 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙. : 𝑓(2) = −5; [2, +∞); (−∞, 2] 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 𝑥2 − 𝑥 
R*: 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓(1) = −1 𝑒 𝑀á𝑥. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓 (−
1
3
) =
5
27
; (−∞, −
1
3
] , [1, +∞); [−
1
3
, 1 ] 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ − 9𝑥2 + 2 
R*: 𝑀í𝑛. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓(3) = −25 𝑒 𝑀á𝑥. 𝑟𝑒𝑙: 𝑓(0) = 2; (−∞, 0], [3, +∞); [0,3 ] 
 
 
*Gráficos