Aula 9 Deformação Axial

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Tensão e deformação – Cargas axiais
• Seção transversal constante ⇒ Tensão
normal constante ao longo da barra.
A
P
=σ
L
δ
ε =
Tensão e deformação – Cargas axiais
• Seção transversal variável ⇒ Tensão
normal variável ao longo da barra.
dx
d
xx
δδ
ε =
∆
∆
=
→∆ 0
lim Deformação
específica
Diagrama tensão-deformação
Tensão x Deformações específicas
Ensaio de 
tração
Materiais dúcteis
• Material que possa ser submetido a grandes deformações antes de 
sofrer ruptura é denominado material dúctil.
Exemplo: Aço estrutural e outros metais
Materiais frágeis
• Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha 
são denominados materiais frágeis.
Exemplo: Ferro fundido, vidro e pedra
http://www.esm.psu.edu/courses/emch13d/
design/animation/animation.htm
• Comportamento elástico
� A tensão é proporcional à 
deformação.
� O material é linearmente elástico.
Diagrama tensão-deformação
Materiais dúcteis
• Escoamento
� Um pequeno aumento na tensão 
acima do limite de elasticidade 
resultará no colapso do material e 
fará com que ele se deforme 
permanentemente.
• Endurecimento por deformação
� Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar uma carga 
adicional ao corpo de prova, o que resulta em uma curva que cresce 
continuamente, mas torna-se mais achatada até atingir uma tensão 
máxima denominada limite de resistência.
• Estricção
� No limite de resistência, a área � No limite de resistência, a área 
da seção transversal começa a
diminuir em uma região localizada
do corpo de prova.
� O corpo de prova quebra quando 
atinge a tensão de ruptura.
Diagrama tensão-deformação
Materiais dúcteis
Aço com baixo teor de carbono Alumínio
• Não existe diferença entre tensão 
última e tensão de ruptura.
Diagrama tensão-deformação
Materiais frágeis
Características dos materiais
Fratura frágil
Fraturas dúcteis
Fratura após ensaio de tração
Características dos materiais
a- formação do pescoço
b- formação e propagação da trinca 
em um ângulo de 45 graus em 
relação à carga aplicada (plano 
onde ocorre as maiores tensões de 
cisalhamento
a
b
Ruptura se deve as Fratura após ensaio de tração
A fratura frágil ocorre a uma direção 
perpendicular à aplicação da 
tensão
Material frágil submetido ao 
ensaio de tração
Ruptura se deve as 
tensões de cisalhamento.
Ruptura se deve as 
tensões normais
Ductibilidade
0
0100
L
LLpercentualoAlongament R −=
Comprimento inicial do corpo de prova 
e seu comprimento final no instante da 
RLL ,0
e seu comprimento final no instante da 
ruptura, respectivamente.
0
0100Re
A
AAáreadapercentualdução R−=
A área inicial da seção transversal do 
corpo de prova e a área mínima antes 
da ruptura, respectivamente.
RAA ,0
Diagrama tensão–deformação real
Ensaio de tração real ou verdadeiro
i
i
R A
P
=σ Carga e área da seção transversal 
medida no mesmo instante.
ii AP ,
Limite de proporcionalidade
Limite de elasticidade
Limite de resistênciaLimite de resistência
Um material deformado armazena energia interna
(energia de deformação)
Energia de deformação
E
u
pl
plplr
2
2
1
2
1 σ
εσ ==
Módulo de resiliência
• Quando a tensão atinge o limite de 
proporcionalidade, a densidade da energia 
de deformação é denominada
módulo de resiliência, ur.
Módulo de 
resiliência
Módulo de tenacidade
• Módulo de tenacidade, ut, representa a área inteira sob o diagrama tensão-
deformação.
• Indica a densidade de energia de deformação do material um pouco antes da 
ruptura.
O diagrama tensão-deformação para uma liga 
de alumínio utilizada na fabricação de peças 
de aeronaves é mostrado ao lado. Se um 
corpo de prova desse material for submetido à 
Exemplo 1
corpo de prova desse material for submetido à 
tensão de tração de 600 MPa, determine a 
deformação permanente no corpo de prova 
quando a carga é retirada. Calcule também o 
módulo de resiliência antes e depois da 
aplicação da carga.
Solução:
Quando o corpo de prova é submetido à carga, a 
deformação é aproximadamente 0,023 mm/mm.
A inclinação da reta OA é o módulo de 
elasticidade, isto é,elasticidade, isto é,
Pelo triângulo CBD, temos que
( ) ( ) mm/mm 008,0100,7510600 96 =⇒=== CD
CDCD
BDE
GPa 0,75
006,0
450
==E
A deformação representa a quantidade de deformação elástica recuperada.
Assim, a deformação permanente é
(Resposta) mm/mm 0150,0008,0023,0 =−=OCε
Calculando o módulo de resiliência,
( ) ( )( )
( ) ( )( ) (Resposta) MJ/m 40,2008,0600
2
1
2
1
(Resposta) MJ/m 35,1006,0450
2
1
2
1
3
3
===
===
lplpfimr
lplpinícior
u
u
εσ
εσ
Calculando o módulo de resiliência,
Note que no sistema SI, o trabalho é medido em joules, onde 1 J = 1 N • m.
• A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e deformação dentro da 
região elástica.
σ = tensão
Lei de Hooke
Relações constitutivas
• E pode ser usado somente se o material tiver relação linear–elástica.
• E = tanα→ Mede a rigidez do material.
εσ E=
σ = tensão
E = módulo de elasticidade ou módulo de Young
ε = deformação
-Regime elástico;
-Homogêneo;
-Isotrópico
-Regime elástico;
-Homogêneo;
-Isotrópico
Sendo, zy εε = Deformação específica transversal
Coeficiente de Poisson
..
..
longitespec
deformação
transvespec
deformação
v =
-Regime elástico;
-Homogêneo;
-Isotrópico
Sendo, zy εε = Deformação específica transversal
x
z
x
y
ε
ε
ε
ε
−=−=v
Coeficiente de Poisson
..
..
longitespec
deformação
transvespec
deformação
v = E
E
x
zy
x
x
σ
νεε
σ
ε
−==
=
-Regime elástico;
-Homogêneo;
-Isotrópico
Sendo, zy εε = Deformação específica transversal
x
z
x
y
ε
ε
ε
ε
−=−=v
a
b
c
A+∆∆∆∆a
b+∆∆∆∆b
c+∆∆∆∆c
y
x
z
Barra submetida a tensão em 1 direção
E
E
x
zy
x
x
σ
νεε
σ
ε
−==
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
zyxv
zyx
zyx
zyx
V
V
VVV
cbaVV
ccbbaaVV
ccbbaaVV
cbaV
εεεε
εεε
εεε
εεε
++==
∆
+++=∆+
+⋅+⋅+⋅⋅⋅=∆+
+⋅+⋅+=∆+
∆+⋅∆+⋅∆+=∆+
⋅⋅=
1
111
Variação específica do 
volume
zyxvV
V
εεεε ++==
∆
( )νσε
σ
ν
σ
ν
σ
ε
21−+=






−+





−+=
E
EEE
x
v
xxx
v
a
b
c
A+∆∆∆∆a
b+∆∆∆∆b
c+∆∆∆∆c
y
x
z
Barra submetida a tensão em 2 direções
EE
EE
EE
yx
z
xy
y
yx
x
σ
ν
σ
νε
σ
ν
σ
ε
σ
ν
σ
ε
−−=
−=
−=
zyxvV
V
εεεε ++==
∆
EE
( ) ( )νσσε 21−++=
E
yx
v
a
b
c
A+∆∆∆∆a
b+∆∆∆∆b
c+∆∆∆∆c
y
x
z
Barra submetida a tensão em 3 direções
EEE
EEE
EEE
yxz
z
zxy
y
zyx
x
σ
ν
σ
ν
σ
ε
σ
ν
σ
ν
σ
ε
σ
ν
σ
ν
σ
ε
−−=
−−=
−−=
zyxvV
V
εεεε ++==
∆
( ) ( )νσσσε 21−+++=
E
zyx
v
Barra submetida a tensão em 3 direções
EEE
EEE
EEE
yxz
z
zxy
y
zyx
x
σ
ν
σ
ν
σ
ε
σ
ν
σ
ν
σ
ε
σ
ν
σ
ν
σ
ε
−−=
−−=
−−= Generalização da 
Lei de Hooke para 
carregamentos
multiaxiais
Lei de Hooke Generalizada
• Material homogêneo e isotrópico sob o regime elástico:
EEE
zyx
x
νσνσσ
νσνσσ
ε −−+=
G
xy
xy
τ
τγ =
EEE
EEE
xyz
z
zxy
y
νσνσσ
ε
νσνσσ
ε
−−+=
−−+=
G
G
zx
zx
yz
yz
τγ
τγ
=
=
Deformações de barras sujeitas a cargas axiais
( )L( )
( ) dx
dδ
ε
xA
xP
== e σ
( )
( )∫=
L
ExA
dxxP
0
δ
δ = deslocamentode um ponto na barra relativo a outro;
L = distância original;
P(x) = força axial interna na seção;
A(x) = área da seção transversal da barra;
E = módulo de elasticidade.
Carga e área de seção transversal constante 
Convenção de sinais
AE
PL
=δ
positivo
Um elemento é feito de um material com peso específico 
e módulo de elasticidade E. Se esse elemento tiver forma de um 
γ
Exercício 1
cone, determine até que distância sua extremidade se deslocará 
sob a força da gravidade, quando suspenso na posição vertical.
Duas barras cilíndricas maciças são ligadas em B e carregadas 
como mostrado. A barra AB é de aço (E = 200GPa) e a barra BC é 
de latão (E = 105GPa). Determinar:
a) A deformação total da barra composta ABC (deslocamento 
relativo do ponto A);
b) A deflexão do ponto B (deslocamento do ponto B em relação a 
C).
Exercício 2
Uma amostra para ensaio de 5 mm de espessura deve ser 
cortada de uma placa de vinil (E = 3,10 GPa) e submetida a uma 
carga de tração de 1,5kN. Determinar:
a) a deformação total da amostra;
b) a deformação da mesma, na porção central.
Exercicio 3 – Carga axial x Concentração de tensões
b) a deformação da mesma, na porção central.
Cada uma das quatro hastes verticais, ligadas às duas barras horizontais, são de 
alumínio (E = 70GPa) e tem uma seção transversal retangular de 10 x 40 mm. 
Para o carregamento mostrado, determine:
-A deflexão no ponto E; 
- A deflexão no ponto F; 
- A deflexão no ponto G; 
Exercicio 4 –
Problemas estaticamente indeterminados
Equações de equilíbrio 
insuficientesinsuficientes
Um tubo de alumínio de 250 mm de comprimento (E = 70 GPa), e com diâmetro 
externo de 36 mm e interno de 28 mm, pode ser fechado em ambas as 
extremidades por meio de tampas com roscas simples, de 1,5 mm de passo. Após 
uma das tampas ser totalmente apertada, coloca-se uma barra maciça de latão (E 
= 105 GPa) de 25 mm de diâmetro dentro deste tubo. Em seguida, a outra tampa 
Exercício 5 –
= 105 GPa) de 25 mm de diâmetro dentro deste tubo. Em seguida, a outra tampa 
é totalmente rosqueada. Como a barra é sensivelmente maior do que o tubo, 
observa-se que a tampa comprime a barra durante uma rotação de um quarto de 
volta, antes de completamente fechado. Determine:
A) A tensão normal no tubo e na barra.
B) A deformação no tubo e na barra.
O parafuso de liga de alumínio (75GPa) é apertado de modo a comprimir um tubo 
cilíndrico de liga de magnésio (E=45GPa). O tubo tem raio externo de 10mm e 
consideramos que o raio interno do tubo e o raio do parafuso são ambos 5mm. 
As arruelas nas partes superior e inferior do tubo são consideradas rígidas e tem 
espessura desprezível. Inicialmente, a porca é apertada levemente a mão, depois, 
é apertada mais meia volta com uma chave de porca. Se o parafuso tiver 20 
Exercício 6 –
é apertada mais meia volta com uma chave de porca. Se o parafuso tiver 20 
roscas em 20mm. Determine:
a) A tensão normal no parafuso.
O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal 
de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar 
rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra, 
determine o deslocamento da extremidade C da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 
Exercício proposto:
determine o deslocamento da extremidade C da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 
GPa ) 
Resp. 4,2mm
A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à 
parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga 
de 1 mm entre a parede B’ e a haste. Determine as 
reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força 
Exercicio 7
reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força 
axial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C. 
(Eaço = 200 GPa)
Duas barras cilíndricas, uma de aço (E = 200 GPa) e outra de latão (E = 105 
GPa), são ligadas em C e engastadas em A e E. Para o carregamento indicado, 
determinar: (a) as reações em A e E; (b) a deflexão no ponto C
Exercício 8
Uma barra rígida AD é sustentada por dois arames de aço de 1,6 mm de diâmetro 
(E=200 GPa), um pino e um suporte em D. sabendo-se que os arames estão 
inicialmente esticados, determinar: (a) a tração adicional em cada arame quando 
uma força P de 530 N é aplicada em B; (b) a correspondente deflexão no ponto B.
Exercício 9
uma força P de 530 N é aplicada em B; (b) a correspondente deflexão no ponto B.
Problemas envolvendo variação de temperatura
Se o material for homogêneo e isotrópico,
TLT ∆=αδ
= coeficiente linear de expansão térmica, propriedade do material
= variação na temperatura do elemento
= comprimento inicial do elemento
= variação no comprimento do elemento
α
T∆
T
Tδ
Problemas envolvendo variação de temperatura
Se o material for homogêneo e isotrópico,
TLT ∆=αδ
Tε
= coeficiente linear de expansão térmica, propriedade do material
= variação na temperatura do elemento
= comprimento inicial do elemento
= variação no comprimento do elemento
= deformação térmica específica
α
T∆
T
Tδ
Tε
Problemas envolvendo variação de temperatura
0==
L
T
T
δ
ε
Problemas envolvendo variação de temperatura
TLT ∆=αδ
AE
PL
P =δ
Problemas envolvendo variação de temperatura
0=+∆=+=
AE
PLTLPT αδδδ
Condição essencial: 0=δ
AE
)( TAEP ∆−= α
)( TE
A
P ∆−== αα
Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes feitos de aço (E = 
200GPa e ) e alumínio (E = 70GPa e ). Cada um dos 
postes tem comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada à 
barra e a temperatura é de T1 = 20°C. Determine a força suportada por cada poste 
Exercício 10
Co/10.12 6−=α Co/10.23 6−=α
se a barra for submetida a um carregamento distribuído uniformemente de 150 
kN/m e a temperatura aumentar até T2 = 80°C.
Seja um tubo de alumínio (E = 70 GPa; a = 23.6x 10-6/oC) preenchido com núcleo 
de aço (E = 200 GPa; a = 11.7x10-6/oC). A montagem foi realizada de tal forma que 
a temperatura de 20oC há ausência de tensões internas. Considerando-se somente 
deformações axiais, determine a tensão em cada um dos tubos quando a 
Exercício 11 
temperatura atingir 180oC.
Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB 
e BC é engastada em ambas extremidades. A 
porção AB é de aço (E = 200 GPa; a = 11.7x10-6 /oC) 
e a porção BC é de latão (E = 70 GPa; a = 23.6x 10-
Exercício 12 
6/oC). Sabendo-se que o conjunto de barras está 
inicialmente livre de tensões internas, determinar (a) 
as tensões normais induzidas nas porcões AB e BC 
devido a um acréscimo de 50oC na temperatura 
inicial do conjunto; (b) a correspondente deflexão no 
ponto B.