Formulario completo cal 4

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Fo´rmulas Ca´lculo IV
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Fator Integrante
P (t).y′(t) +Q(t).y(t) = R(t)
y(t) =
1
µ(t)
·
∫
R(t)
Q(t)
· µ(t).dt
onde µ(t) = e
∫ Q(t)
P (t)
·dt
1.2 ”Me´todo dos lambdas”
• Equac¸o˜es Diferenciais:
A.y”(t) +B.y′(t) + C.y(t) = x(t) ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yh(t) = C1.e
λ1t + C2.e
λ2t
yp(t) ∼ x(t) → Ex.: x(t) = sin(t) ⇒ yp(t) = a. sin(t) + b. cos(t)
y(t) = yh(t) + yp(t)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
A.yn+2 +B.yn+1 + C.yn = xn ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yhn = C1.λ
n
1 + C2.λ
n
2
ypn ∼ xn → Ex.: x(t) = 2n2 ⇒ ypn = a.n2 + b.n+ c
y(t) = yhn + ypn
1
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 6= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 6= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 6= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 6= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · = ∑ xn (para
|x| < 1)
3
4 Observac¸o˜es
sinh(x) = sin(ix) =
ex − e−x
2
cosh(x) = cos(ix) =
ex + e−x
2
cosh2(x)− sinh2(x) = 1
eix = cos(x) + i. sin(x)
4