Lista de Exercícios - Espaços e subespaços vetoriais (UFSM, LAZZARIN)

Prévia do material em texto

L3P2 - UFSM - Linear - Telecomunicações - LAZZARIN
1. Diga porque os seguintes conjuntos NÃO são espaços vetoriais apesar de sabermos somar e multiplicar por escalares seus
elementos.
(a) V = N
(b) V = [�1; 1] (um intervalo de reta).
(c) V = o círculo de raio 1 e centro (0; 0) no plano.
(d) V = matrizes 2x2 cujo determinante é diferente de zero.
2. Mostre com todos os detalhes que o conjunto dos números complexos
C = fa+ bi : a; b 2 R e i = p�1g
é um espaço vetorial com a soma: (a+ bi)+(c+ di) = (a+c)+(b+d)i e multiplicação por escalar: � (a+ bi) = (�a)+(�b) i.
3. Diga porque o conjunto W NÃO é subespaço do espaço vetorial V indicado:
(a) W = f(x; y) : y = x2g em V = R2.
(b) W = [�1; 1]� R em V = R2 Dica: W é uma faixa in…nita: �1 � x � 1 e y livre.
(c) W = f(x; y; z) : y � z = x+ 1g em V = R3.
(d) W = f(x; y; z; t; r) :
8<: y � z = xx� r = 4t� 2z
z � x� 8y = 2� t
g em V = R5.
(e) W = f
24 x11 x12 x13x21 x22 x23
x31 x32 x33
35 : x11 + x22 + x33 = 3g em V = M3(R).
(f) W = ff : [�1; 1] ! R : f é uma função descontínua no ponto x = 0} em V = F ([0; 1]) o espaço das funções. Dica :
Pegue uma função descontínua e multiplique por � = 0 ou pegue uma função descontínua e some com ela de sinal trocado.
4. Em cada item, veri…que que o conjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
(a) W = f(x; y) : y = 3xg em V = R2.
(b) W = f(x; 0) : x 2 Rg em V = R2.
(c) W = f(x; y; z) : y � z = xg em V = R3.
(d) W = f(x; y; z; t; r) :
8<: y � z = xx� r = 4t� 2z
z � x� 8y = t
g em V = R5.
(e) W = f
24 x11 x12 x13x21 x22 x23
x31 x32 x33
35 : x11 + x22 + x33 = 0g em V = M3(R).
(f) W = f
24 x11 0 00 x22 0
0 0 x33
35 : x11; x22; x33 2 Rg em V = M3(R). (W é chamado de subespaço das matrizes diagonais).
(g) W = f
24 x11 x12 x130 x22 x23
0 0 x33
35 : xij 2 Rg em V = M3(R). (W é chamado subespaço das matrizes triangulares superiores,
veja que a obrigação é ser zero abaixo da diagonal).
(h) W = ff : [0; 1]! R : f é uma função contínua} em V = F ([0; 1]) o espaço das funções cujo domínio é [0; 1]. DICA:
veja a solução do item i: abaixo para ter uma ideia.
(i) W = ff : [�1; 1] ! R : f é uma função derivável} em V = F ([�1; 1]) o espaço das funções cujo domínio é o intervalo
[�1; 1].
Solução: Uma função y = f(x) só está em W se ela tem derivada em todos os pontos do intervalo [�1; 1] (por exemplo
y = jxj não está em W porque esta função não tem derivada no ponto x = 0): Aqui temos que veri…car as três
propriedades: 1)
�!
0 2 W? lembre-se que no espaço das funções �!0 é a função nula: f(x) = 0: Então veri…car 1) é o
mesmo que saber derivar a função nula: f 0(x) = 0: Como a função nula tem derivada, segue-se que ela está dentro de
W: 2) Se f e g são funções em W; então f + g está em W? isto é o mesmo que perguntar como se calcula a derivada da
soma: (f + g)0 = f 0 + g0. Como f 0 e g0 existem, então a derivada da função (f + g)0 existirá. 3) Se f está em W , e �
é um número real qualquer então (�f) estará em W? Isto é o mesmo que perguntar como se calcula a derivada de uma
constante vezes uma função: (�:f)0 = �:f 0. Assim, se f 0 existe, então (�:f)0 existirá, ou seja se f está em W então �:f
está em W: Como valem 1),2) e 3) temos que W é subespaço de V:
1
5. Veri…que se o subespaço vetorial W é uma reta um plano ou um subespaço de dimensão superior a dois no espaço vetorial
dado. (DICA: discuta o sistema e veja a quantidade de variáveis livres).
(a) W = f(x; y; z) : y � z = xg em V = R3. R: Plano com normal N = (�1; 1;�1).
(b) W = f(x; y; z) : � y�z=x3x�3y+3z=0g em V = R3. R: Plano. N � P = 3� 1 = 2 livres.
(c) W = f(x; y; z) : � y�z=x3x�3y+z=0g em V = R3. R: Reta. N � P = 3� 2 = 1 livre.
(d) W = f(x; y; z; t) :
8<: x+ y + 4z � t = 0x+ y + z = 0
4x+ 4y + 10z � 2t = 0
g em V = R4. R: Plano. N � P = 4� 2 = 2:
(e) W = f(x; y; z; t; r; s) :
8>><>>:
x+ 3y + 4z � 2t+ r � 2s = 0
x+ y + 2z � r + 2s = 0
x+ 2y + 3z � t = 0
y + z � r � t� 2s = 0
g em V = R6. R: Um subespaço de dimensão 4. N�P = 6�2 = 4:
2