Funções Exponenciais e Equações

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1 
Funções Exponenciais 
 
Definição: 
 
 Dada um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base 
a função f: IR  IR+* definida por f(x) = ax. 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 4x b) f(x) x







2
1
 c) f(x) = 10x d) f(x) = 
 x2
 
 
As restrições a > 0 e a ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois: 
 
 Para a = 0 e x negativo, não existiria ax (Não teríamos uma função definida em IR); 
 Observe: 
a) 02 = 0 
b) 0-2 = 
0
1
0
1
2

 (Não existe divisão por zero) 
 
 Para a < 0 e x = 
2
1
, por exemplo, não haveria ax (Não teríamos uma função em IR); 
 Observe: 
 a) 
  99 2
1

  IR 
 
 Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1 (Função constante); 
 Observe: 
 a) 15 = 1 
 
 
 Crescimento e Decaimento exponencial 
 
 A fórmula f(x) = fo ax gera uma família de funções exponenciais com parâmetro fo e base a. 
A base tem a mesma importância para uma função exponencial do que a declividade tem para 
uma função linear. O crescimento ou decaimento exponencial é descrito com frequência em forma 
de porcentagem. Por exemplo, se uma população está aumentando 20% , o fator de crescimento é 
a = 1 +
100
20
= 1 + 0,20 = 1,2. De modo análogo, se uma população está diminuindo 20%; o fator de 
decaimento é a = 1 -
100
20
= 0,8. 
 
 
 
 
 
 2 
 Gráfico da função exponencial 
 
 
Função exponencial: f(x) = ax 
 
 
a > 1 (função crescente) 
 
 
0 < a < 1 (função decrescente) 
y = 
0
1
2
3
4
5
6
-4 -3 -2 -1 0 1 2
x
y
 
 
- f(x) é crescente, pois a > 1; 
 
- O gráfico não toca o eixo x e não tem 
pontos nos quadrantes III e IV; 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
 
- f(x) é decrescente, pois 0 < a < 1; 
 
 - O gráfico não toca o eixo x e não tem 
pontos nos quadrantes III e IV; 
 
 
Equações Exponenciais: 
 
Equações exponenciais são aquelas em que as variáveis aparecem nos expoentes. Veja alguns 
exemplos: 
 
a) 2x = 16 
 
b) 22x = 64x - 2 
 
c) 3 . 5x = 75 
 
d) 
27
8
2
3






x 
 
e) 
12 43xx
2

 
 
f) 32x – 6. 3x – 27 = 0 (Equações exponenciais que exigem transformações e artifícios) 
 
 
x5
 x
x
y 





 2
2
1
 
 
 3 
O número irracional 
e
 e a função exponencial 
xe
. 
 
 Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. É um importante número irracional, 
que é estudado em Cálculo Diferencial e Integral, e surge como limite, para valores muito grandes de 
n, da sucessão n
n







1
1
. 
 
 Vamos considerar a expressão n
n







1
1
com n  {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}: 
 
 ,
1000
1
1,,
100
1
1,,
10
1
1,,
4
1
1,
3
1
1,
2
1
1,
1
1
1
1000100104321











































 
 
 2,000 ; 2,250 ; 2,370 ; 2,441 ; ... ; 2,594 ; ... ; 2,705 ; ... ; 2,715 ; ... 
 
Quando n aumenta indefinidamente, a expressão n
n







1
1
tende ao número irracional 
...7182818284,2e
 
 
 Uma função exponencial muito importante em matemática é aquela cuja base é 
e
: 
 
 f(2) = 
2e
= 7,39 
 f(x) = 
xe
 f(5) = 
5e
= 148,41 
 f(-1) = 
1e
 = 0,37 
 Gráfico da função exponencial f(x) = 
xe
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = e
x
0
5
10
15
20
25
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
f(x) = e
- x
0
5
10
15
20
25
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
 
 4 
Exercícios Resolvidos 
 
 
 
 
1) Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão 
de bactérias, quantas haverá ao fim de x dias? 
 
Solução. Observando o crescimento, temos: 
 
- ao fim de 1 dia: 1.(1 + 0,5) = 1.(1,5) = 1,5 milhões; 
- ao fim de 2 dias: 1,5.(1 + 0,5) = 1,5.(1,5) = (1,5)2 milhões; 
- ao fim de 3 dias: (1,5)2.(1 + 0,5) = (1,5)2.(1,5) = (1,5)3 milhões; 
... 
- ao fim de x dias: (1,5)x milhões. 
 
2) No dia 1 de Janeiro de 2010, o Sr. José investiu 10.000 euros num depósito a prazo, remunerado 
com a taxa de 3% ao ano. Admitindo que os juros fossem sendo capitalizados, determine o montante 
que o Sr. José tinha no dia 1 de Janeiro de 2014. 
 
Solução. Num processo de juros compostos, com capital inicial C e uma taxa de juros i, o valor 
do capital acumulado M ao fim de x anos é dado por M = C.(1 + i)x. 
 
Como em 1 de Janeiro de 2014, decorreram 4 anos, o montante pedido é: 
 
A = 10.000(1 + 0,03)4 = 10.000(1, 03)4 = 11255,08 euros. 
F. 
3) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a 
quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0.2-0,25t, em que S0 representa a quantidade 
de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se 
desintegre? 
Solução. A quantidade inicial ao fim de t anos será 
2
S0
. 
4
25,0
1
t1t25,022
2
1
2
2
S
2.S
2.SS
2
S
S
1t25,0t25,00t25,0
0
t25,0
0
0










. 
 
A situação ocorrerá ao fim de 4 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Exercícios – Função exponencial 
 
1) Resolva as equações exponenciais: 
a) 2x = 32 
b) 103x = 1000 
c) 25x = 125 
d) 9x = 243 
e) 
32
1
2
1






x 
f) 
27
125
5
3
2






x 
g) 4x = 
64
1
 
h) 2x-3 =
8
1
 
i) 
813 5
2
x
 
j) 23x+1 = 4x-2 
l) 25x-1 = 125x+3 
m) 3x-1=27 
n) 2x=
16
1
 
o) 
3 42 x
 
p) 125x + 2 = 1 
q) 
3 4
2
1






x 
r) 
  42 x
 
s) 
32
1
25 x
 
t) 9x - 2 = 
27
 
u) (0,25)2x = 
32
 
 
v) 2x - 4 + 2x = 34 
 
x) 3x + 3x - 1 – 3x - 2 = 11 
 
2) Qual é o ponto comum aos gráficos de f(x) = 4 x – 1 e g(x) = 2x? 
 
3) Dada a função exponencial f(x) = 4x, determine: 
a) f(3) b) f(-1) 
c) f(-1/2) d) f(x) = 1024 
e) f(x) = 
3 32
 
 
4) Resolva a equação 
 
x1
1x
8
1
0,25









. 
 
5) Resolva a equação 
2x
x2








8
2
1
4 . 
 
 
6) Observe o gráfico da função definida de IR em IR, que 
 esta ao lado e responda: 
a) A função é crescente ou decrescente? 
b) Qual é Im(f) e D(f)? 
c) Em que ponto a função corta o eixo y? 
d) Em que ponto a função corta o eixo x? 
e) Determine a imagem para x = -1 
f) Determine x de modo que f(x) = 5. 
 
7) Calcule o valor de y = [3-1 – (-3)-1]-1. 
 
f(x) = 4
x
 + 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
 
 
 6 
8) Supondo a ≠ 0 e b ≠ 0, vamos simplificar a expressão E = (- a-1 )2 + (b2)-1 + 2(ab)-1. 
9) Qual é o valor de 
1
2
2
2
3
3
2
1
4





























y ? 
 
10) Calcular o valor de cada uma das seguintes expressões: 
 
a) 
2
1
11
2
1
)2(2
























 b) 
2
22
)2.3(
3.22.3

 
 
 
11) Simplifique 
x
xx
3
3312  
. 
 
12) Calcule o valor de y = 4132 818  . 
 
13) Efetue: 
a) 
6
5
2
1
2
3
8
4.2 b) 
4
1
2
1
2
3
2
1
10000
36.4.
4
1








 
 
14) Resolva, em IR, as seguintes equações exponenciais: 
a) 23x + 2 = 32 f) 
    12313 162   xx
 
b) 
162 16
2
xx
 g) 
7 149
7
1  x
 
c) 811 – 3x = 27 h) 4x – 2x – 2 = 0 
 
d) 
15 232
2
 xx
 i) 9x + 3x + 1 = 4 
 
e) 
3
2
1  xe
e
 
 
15) Simplifique a expressão 
12
124
22
222




nn
nnn . 
 
16) Resolva as equações: (a) 
642.154 21
22
  xx
 e (b) 
3055.105 510  xx
 
 
 
 
 7 
17) Suponha que exista inicialmente 1 bactéria em certa cultura. Sabendo que a cada hora o 
número de bactérias duplica, escreva a lei da função que relaciona o número de bactérias com 
o tempo em horas. 
 
18) A pressão que a camada de ar exerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de 1 
atm(atmosfera). Para cada metro de altitude acima do nível do mar, essa pressão cai em 10 %. 
Construa uma tabela que forneça a pressão, em atmosferas, em função da altitude, em 
metros. Escreva a lei que relaciona a pressão com a altitude. 
 
19) A tabela abaixo nos dá a população do México no período de 1980-1986: 
 
Ano População ( em 
milhões) 
1980 67,38 
1981 69,13 
1982 70,93 
1983 72,77 
1984 74,66 
1985 76,60 
1986 78,59 
 
 Escreva a lei da função que relaciona a população do México em função do tempo. 
 
20) Suponha que Q= f(t) é uma função exponencial de t. Se f(4) = 8.100 e f(7) = 218.700: 
 
 a) Encontre a base. 
 b) Encontre a taxa de crescimento percentual. 
 c) Calcule f(0). 
 d) Calcule f(10). 
 
21) Uma droga é injetada na corrente sangüínea de um paciente ao longo de um intervalo de 
cinco minutos. 
 Durante esse tempo, a quantidade de droga no sangue cresce linearmente. Após os cinco 
minutos a injeção é interrompida, e, então, a quantidade de droga decai exponencialmente. 
Esboce um gráfico da quantidade versus tempo. 
 
22) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e0,02t 
milhões de habitantes. 
 
 a) Qual é a população atual do país? 
 b) Qual será a população, daqui a 30 anos? 
 
23) Uma certa máquina desvaloriza de tal forma que, após t anos, seu valor é dado pela 
função Q(t) = Qoe-0,04t . Após 20 anos, a máquina vale R$ 8.986,58. Qual era seu valor original? 
 
24) Suponha que existam inicialmente 2000 bactérias em certa cultura e que existirão 6000 
bactérias 20 minutos depois. Sabendo que o número de bactérias cresce exponencialmente, 
determine o número de bactérias que existirão, após uma hora. 
 
 
 
 
 8 
 
Respostas: 
 
1) a. S={5} b. S={1} c. S={3/2} d. S={5/2} e. S={5} f. S={-3/2} g. S={-3} 
h. S={0} i. S={-3,+3} j. S={-5} l. S={-11} m. S={4} n. S={-4} o. S={2/3} 
p. S={-2} q. S={-2/3} r. S={4} s. S={-25} t. S={11/4} u. S={-5/8} 
v. S={ 5 } x. S={ 2 } 
2) S = (2,4) 
3) a. 64 b. ¼ c. ½ d. 5 e. 5/6 4) {1} 5) {-2, -1} 
6) a. crescente b. Im = ]0, + ] c. y = 2 d. Nunca corta e. f(-1) = 
4
5
 f. x = 1 
7) y = 
2
3
 8) 
2





 

ab
ba
E
 9) 
5
7
y
 10) a. 4 b. 19 
11) 6 12) 7 13) a. 1 b. 
3
20
 
14) a. {1} b. {5, -4} c. 






12
1
 d. 







2
1
,2
 e. {1} f. 






7
5
 g. 







2
5
 h. {1} i. {0} 15) 
3
82
 
16) a) (-2,2) b) 
5
1
 
17) N(t) =2t 
18) P(h) =(0,9)h 
19) P(t) = 67,38(1,026)t 
20) a) 3 b) 200 % c) 100 d) 5.904.900 
 
22) a) 50 milhões b) 91,11 milhões 
23) R$ 20.000,00 
24) 54.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
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